A Gap Theorem for Willmore Tori and an application to the Willmore Flow
在1965年Willmore证明，积分的平方中曲率的环面沉浸在$R^3$至少是$2π^2$，并达到这一极小值，当且仅当环面是一个默比乌斯变换的克利福德环面。这一点最近由Marques和Neves证明。在本文中，我们表明环面有一个缺口的下一个临界点的Willmore能源，我们讨论了应用程序的Willmore流。我们还证明了从Clifford环面到高亏格曲面的能隙。
2014-02-20 math.DG
Willmore-like functionals for surfaces in 3-dimensional Thurston geometries
我们发现类似的Willmore功能的Thurston几何与4维等距群，使CMC球在这些几何是这些泛函的临界点。
2015-11-05 math.DG
Conformal Gauss Map Geometry and Application to Willmore Surfaces in Model Spaces
本文对共形高斯映射作了详细而完备的研究。然后，从R. Bryant和共形高斯映射的概念，我们恢复了Willmore曲面的许多基本性质。我们还得到了一些新的结果，如最小和常数平均曲率（CMC）曲面的共形高斯映射行为的一些特征。
2019-04-08 math.DG
Constrained Willmore Tori and Elastic Curves in 2-Dimensional Space Forms
本文考虑了三维球面中两类特殊的约束Willmore环面。第一类是由上半平面（被视为双曲平面）中的闭合弹性曲线围绕x轴的旋转给出的。第二个是封闭约束弹性曲线的原像，即，具有封闭面积约束的弹性曲线，在圆2-球面上的Hopf纤维化。我们证明了所有的共形型都可以等距地浸入到S^3中作为约束Willmore（Hopf）环面，并且用Weierstrass椭圆函数写出H^2和S^2中的所有约束弹性曲线。此外，我们确定的封闭条件的曲线和计算Willmore能源和共形型的结果环面。
2014-05-15 math.DG
Constrained Willmore Tori in the 4--Sphere
我们证明了2-环面到共形4-球面的约束Willmore浸入是“有限型“的，即具有有限亏格的谱曲线，或者是“全纯型”的，即它是超共形的或具有平面端点的欧氏极小的.这意味着，所有受约束的Willmore环面在4-球可以构造，而明确的方法，复杂的代数几何。证明使用四元数全纯几何结合可积系统的方法类似于希钦的方法来研究调和环面的3球。
2008-03-05 math.DG
On the Willmore functional of 2-tori in some product Riemannian manifolds
讨论了黎曼流形$N$中环面的Willmore泛函的极小值，特别是当$N$是乘积流形时.我们证明了当$N=S^2\times S^1$时，$W(T^2)$的最小值为0，当$N=R^2\times S^1$时，不存在具有最小Willmore泛函的环面.当为$N=H^2(-c)\times S^1$和$x=γ\times S^1$时，$W(x)$的最小值为$2π^2\sqrt{c}$。
2011-11-04 math.DG
Rectangular constrained Willmore minimizers and the Willmore conjecture
我们证明了著名的$2$ -lobed Delaunay环面$\;f^b\;$族在$\;S^3,\;$中由$\;b \in \mathbb R_{\geq1},\;$参数化，在从环面到共形类$\;(a, b)\;$的$3$ -空间的所有浸入中唯一地最小化Willmore能量。作为推论，我们得到了Willmore猜想在$3$ -空间中的另一个证明.这种新的策略可以推广到任意的余维提供了一个分类的等温约束Willmore环面是可能的，所有的$\;f^b\;$保持稳定的所有余维。
2019-02-05 math.DG
The Willmore Conjecture for immersed tori with small curvature integral
Willmore猜想指出任何2-环面浸入平坦欧几里得空间的F：T^2 -> R^n满足$\int_{T^2} H^2\geq 2π^2$。我们在高斯曲率的L^p范数足够小的条件下证明了它。
1999-11-16 math.DG
Isothermic and S-Willmore Surfaces as Solutions to Blaschke's Problem
本文将经典的Blaschke问题推广到更高余维的情形，刻画了等温曲面的Darboux对和对偶S-Willmore曲面是唯一的包围2-球面同余且共形对应的非平凡曲面对.当球面汇是一个包络曲面的中曲率球面时，它必须是双曲3-空间中的cmc-1曲面或S-Willmore曲面。研究了共形浸入曲面对，讨论了新不变量的几何意义。
2004-05-05 math.DG
Willmore surfaces and Hopf tori in homogeneous 3-manifolds
本文在齐次三维流形中定义了Willmore泛函，通过第一变分公式和Simons型积分不等式，分类了Berger球面中的Willmore曲面，并给出了常外曲率闭曲面的积分不等式，刻画了Hopf环面。
2024-02-07 math.DG
First stability eigenvalue characterization of CMC Hopf tori into Riemannian Killing submersions
给出了紧致常中曲率可定向曲面在黎曼Killing浸没中稳定性算子第一特征值的上界。因此，研究了这类曲面的强稳定性。我们还刻画了常数中曲率的Hopf环面作为唯一的达到在某些情况下的界。
2013-10-15 math.DG
Generalized Weierstrass formulae, soliton equations and Willmore surfaces. I. Tori of revolution and the mKdV equation
提出了一种新的方法来研究${\bf R}^3$中曲面的总平方平均曲率$W$的结构和性质。它是基于广义Weierstrass公式诱导曲面。的数量$W$（Willmore功能）被证明是不变的下修改的Novikov-Veselov层次的可积流。的$1+1$ -维的情况下，特别是，Willmore环面的革命，进行了详细的研究。对mKDV-不变Willmore环面证明了Willmore猜想.
1995-06-29 dg-ga math.DG
First explicit constrained Willmore minimizers of non-rectangular conformal class
我们研究了$3$空间中的浸入环面在其各自的共形类中最小化Willmore能量。在矩形共形类$\;(0,b)\;$与$\;b \sim 1\;$的齐次环面$\;f^b\;$已知是唯一的约束Willmore极小（不变性）。在本文中，我们推广了这一结果，并表明，在\cite{HelNdi2}中构造的候选确实是在某些非矩形共形类$\;(a,b).\;$中的约束Willmore极小元。困难来自于这样一个事实，即这些极小元对于$\;a \neq 0\;$是非退化的，但光滑地收敛到退化的齐次环面$\;f^b\;$作为$\;a \longrightarrow 0.\;$作为我们的论点的副产品，我们证明了对于某些$\;a^b>0\;$和固定的$\;b \sim 1,\;$ $b \neq 1.$，最小Willmore能量$\;ω(a,b)\;$在$\;a \in (0, a^b)\;$中是实解析的和凹的
2019-02-25 math.DG
Bifurcation of constant mean curvature tori in Euclidean spheres
利用分歧理论证明了在欧氏球面中存在无穷序列等距嵌入的环面，这些环面具有常数中曲率（CMC），并且在某些CMC Clifford环面处不等距全等.
2010-11-24 math.DG
On the Willmore energy of flat $n$-tori in $\mathbb{R}^N$ and Chen's conjecture for $n$-tori
Fujian Normal University（福建师范大学）；Beihang University（北京航空航天大学）
本文证明了平坦 $n$-环面 Willmore 能量的尖锐下界，并确认 Clifford $n$-环面为唯一极小化子，从而证实 Chen 猜想；但 $n\geq3$ 时该猜想对一般浸入环面不成立。
2026-09-30 math.DG
A characterization of the Ejiri torus in $S^{5}$
$S^5$中的Ejiri环面是Willmore曲面与任何空间型中的任何极小曲面不共形等价的第一个例子。Li和Vrancken将$S^{n}$中张量积的Willmore曲面归约为$S^3$中的弹性曲线，从而对所有Willmore曲面进行了分类，Ejiri环面作为特例出现。本文首先证明了在所有张量积的Willmore环面中，$S^5$中Ejiri环面的Willmore泛函达到最小值$2π^2\sqrt{3}$。证明了当余维数足够大时，所有张量积的Willmore环面都是不稳定的。我们还表明，Ejiri环面是不稳定的$S^5$。此外，与Li和Vrancken类似，我们在$S^3$中用弹性曲线约化张量积的约束Willmore曲面，从而对它们进行了分类.当余维足够大时，所有这样得到的约束Willmore环面也是不稳定的。我们猜想具有介于$2π^2$和$2π^2\sqrt{3}$之间的Willmore泛函的Willmore环面是Clifford环面或Ejiri环面.
2015-01-27 math.DG
Euclidean minimal tori with planar ends and elliptic solitons
一个平面端点的欧氏极小环面在共形3-球面$S^3=\R^3\cup \{\infty\}$中产生一个浸入的Willmore环面。给出了这样得到的Willmore环面类的谱理论特征，即它是具有可约谱曲线的Willmore环面类。这种类型的谱曲线必然是椭圆KP孤子谱曲线的两倍。最简单的可能的例子最小环面与平面结束有关的1-间隙Lamé潜力，最简单的非平凡代数几何KdV潜力。如果允许平移周期，黎曼的“阶梯”极小曲面作为与1-间隙Lamé势相关的其他例子出现。
2012-12-20 math.DG
Solutions of the Sinh-Gordon Equation of Spectral Genus Two and constrained Willmore Tori I
该研究探讨谱亏格g<3的椭圆型sinh-Gordon方程解的参数化、流轨道性质及等谱集影响，还利用极限情况构造约束Willmore共形映射并计算Willmore泛函。
2024-11-28 math.DG
Bi-Lipschitz rigidity for $L^2$-almost CMC surfaces
对于密度接近1且Willmore能量较小的$\RR^n$中的光滑曲面，给出了最优先验估计（bi-Lipschitz和$W^{2,2}$参数化）.我们还讨论了$L^2$ -几乎CMC表面的定量刚性。
2022-12-06 math.AP math.DG
Constrained Willmore Surfaces: Symmetries of a Moebius Invariant Integrable System
本文主要研究约束Willmore曲面的Moebius不变量类及其对称性。我们定义了一个频谱变形的行动，一个循环的平坦度量连接; Baecklund变换，通过应用敷料行动;和，在4-空间，达布变换，基于解决方案的Riccati方程。建立了谱形变与Baecklund变换之间的可置换性，证明了四维空间中约束Willmore曲面的非平凡Darboux变换可以作为Baecklund变换的一种特殊情形得到.所有这些变换对应于零乘子保持类Willmore曲面。我们验证，对于特殊的参数选择，谱变形和Baecklund变换保持类的约束Willmore表面承认一个保守的量，特别是，类的CMC表面在3维空间形式。
2013-07-22 math.DG
Biharmonic tori in spheres
我们认为适当的双调和平坦环面与恒定的中曲率（CMC）的领域，并找到充要条件，某些矩形环面和正方形环面承认充分CMC适当的双调和浸入$\mathbb{S}^n$，以及这些浸入的显式表达。
2016-10-17 math.DG
Conformal Willmore Tori in $\mathbb{R}^4$
对于每个二维环面$T^2$和每个$k\in \mathbb{N}$，$k\ge 3$，我们构造了一个共形Willmore浸入$f:T^2\to \mathbb{R}^4$，它恰好具有一个密度点$k$和Willmore能量点$4πk$ .此外，我们表明，能量值$8π$不能达到这样的浸泡。此外，我们的特点是分支双重覆盖$T^2\to S^2 \times \{0\}$作为唯一的分支共形浸入，直到莫比乌斯变换的$\mathbb{R}^4$，从一个环面到$\mathbb{R}^4$至少有一个分支点和Willmore能源$8π$。使用扰动参数，以正则化一个分支的双重覆盖，我们最后证明了Willmore能量的下确界在每一个共形类的环面小于或等于$8π$。
2015-10-23 math.AP math.DG
The Willmore Flow of Tori of Revolution
研究旋转环面Willmore流的长时间行为，证明能量低于8π时收敛至Clifford环面，并应用于共形约束极小化。
2023-08-13 math.AP math.DG
Sequences of Willmore surfaces
本文发展了四维球面上Willmore曲面的Willmore序列理论。我们表明，在适当的条件下，这个序列必须终止。在这种情况下，Willmore曲面要么是全纯曲线在复射影空间中的扭量投影，要么是四维空间中具有平面端点的极小曲面的反演。这些结果给出了一个统一的解释以前的工作的刻画Willmore球和Willmore环面与非平凡正常丛的不同作者。
2006-10-21 math.DG
Embedded Delaunay tori and their Willmore energy
在欧氏空间中构造了一族嵌入旋转对称环面，它由两个符号相反的常中曲率曲面组成，它们以变倍形式收敛于一个双圆球.使用完全椭圆积分，它表明，他们的Willmore能量严格低于$8π$。将这样一个严格的不等式与Keller-Mondino-Rivière和Mondino-Scharrer以前的工作相结合，可以得出这样的结论：对于每一个等周比，都存在一个光滑嵌入的环面，使等周约束下的Willmore泛函最小化，从而完成了环面的等周约束Willmore问题的求解。同样，我们推导出存在的光滑嵌入环面极小化的Helfrich功能与小的自发曲率。此外，还证明了环面在模空间中的退化，并给出了它在保形约束Willmore问题中的应用.最后，由于它们的对称性，Delaunay环面可以用来构造高等周比的球面，从而为亏格为零的情况下的已知结果提供了另一种证明。
2022-05-31 math.CA math.DG math.OC
Dimension reduction for Willmore flows of tori: fixed conformal class and analysis of singularities
本文通过固定共形类的 Willmore 流与双曲平面弹性流的维数约化联系，给出奇异性判据并构造新高能 Willmore 环面，同时分析经典流的反悬链面奇异极限及重启收敛。
2025-02-18 math.AP math.DG
Linear Quantitative Rigidity for Almost-CMC Surfaces
University of Freiburg（弗赖堡大学）；Capital Normal University（首都师范大学）
本文通过线性化分析证明了近常曲率面在特定条件下接近标准球面的定量刚性结果。
2026-01-14 math.DG
Spacelike Willmore surfaces in 4-dimensional Lorentzian space forms
本文研究了4维Lorentz空间型中的类空Willmore曲面，这是Lorentz共形几何中的一个课题，它与$S^4$中的Willmore曲面理论是平行的.我们定义了两种类型的变换，这样的表面，产生所谓的左/右极曲面和伴随曲面。这些新的曲面又是共形Willmore曲面。对于他们持有有趣的对偶定理。作为一个应用，对类空Willmore 2-球进行了分类.最后，我们构造了一族齐次类空Willmore环面。
2007-09-12 math.DG
CMC tori of revolution in $\mathbb{S}^3$: additional data on the spectra of their Jacobi operators
本文证明了定义在闭环上的函数空间上的具有对称势函数的椭圆算子的一个定理。该结果类似于区间上具有Dirichlet边界条件的函数空间的已知结果。这些定理提供了精确的数值方法，用于在任一类型的函数空间上寻找这些算子的谱。作为一个应用程序，我们数值计算的Morse指数的恒定中曲率环面的单位3-球面$\mathbb{S}^3$，确认每个这样的环面的Morse指数至少为5，并显示其他已知的下界，这个Morse指数接近最优。
2008-04-23 math.DG
Embedded area-constrained Willmore tori of small area in Riemannian three-manifolds II: Morse Theory
这是第二个一系列的两篇论文中，我们构建嵌入Willmore环面小面积约束黎曼三流形。在这两篇论文的建设依赖于一个Lyapunov-Schmidt减少，困难是莫比乌斯退化的环面。在第一篇论文的建设是通过最小化，这里由莫尔斯理论;为了这个目的，我们建立新的几何扩展的衍生物的Willmore功能指数小克利福德环面退化，根据行动的莫比乌斯组，小测地球的一个小手柄。利用这些尖锐的渐近性，利用周围曲率张量和Morse不等式，给出了Willmore泛函在给定（足够小）面积的约束下存在/多重平稳嵌入环面的充分条件.
2016-09-14 math.AP math.AT math.DG
The Prevalence of Tori amongst Constant Mean Curvature Planes in $\mathbb{R}^3$
欧几里得三维空间中的常中曲率（CMC）环面由一条称为谱曲线的代数曲线、该曲线上的线丛和$ S ^ 1 $上的一个点（称为Sym点）来描述。对于给定的光谱曲线，很容易描述可能的线束和Sym点的选择。环面的谱曲线空间是完全不连通的。因此，为了确定CMC环面的“模量空间“，对于每个亏格$g$，应该确定CMC环面的谱曲线在具有谱亏格$g$的CMC平面的谱曲线内的闭合$\overline{\mathcal{P}^g}$。我们确定了一个实子簇$\mathcal{R}^g$和一个子集$\mathcal{S}^g\subseteq\mathcal{R}^g $，使得$\mathcal{R}^g_{\text{max}}\subseteq\overline{\mathcal{P}^g}\subseteq\mathcal{S}^g$，其中$\mathcal{R}^g_{\text{max}}$表示$\mathcal{R}^g$中具有最大维数的点。环面存在的最低光谱亏格是$g=2$，在这种情况下是$\mathcal{R}^2=\mathcal{R}^2_{\text{max}}=\overline{\mathcal{P}^2}=\mathcal{S}^2$。对于$g>2 $，我们推测$\mathcal{R}^g\supsetneq\mathcal{R}^g_{\text{max}}=\mathcal{S…
2014-07-30 math.DG
CMC Tori in the Generalised Berger Spheres and their Duals
极小曲面的研究有着悠久的历史，因为它有着重要的应用。给定一个固定的边界，人们希望最小化表面积：例如，这可以用来最小化建筑物屋顶的面积。类似地，寻找恒定的中曲率（CMC）为我们提供了许多有趣的物理应用：最简单的例子之一是肥皂泡。然而，在这项工作中，我们占用自己的最小和恒定的中曲率曲面的三维领域$S^3$和它的对偶空间$Σ^3$。在第1章中，我们简要介绍了我们将使用的黎曼几何和洛伦兹几何的工具。然后我们进一步研究$S^3$，计算它的列维-奇维塔联络和截面曲率：在第2章中是关于黎曼度量g，在第4章中是关于洛伦兹度量h。此外，我们在第三章和第五章分别确定了（$S^3$，g）和（$S^3$，h）中的极小环面和CMC环面。然后我们继续进行$S^3$的对偶空间$Σ^3$。在第六章中，我们计算了Levi-Civita联络和关于g的截面曲率，在第八章中，我们计算了关于h的截面曲率。我们再次在第7章的（$Σ^3$，g）和第9章的（$Σ^3$，h）中寻找某个族的极小环面和CMC环面。在附录中，读者会发现一个Maple程序。它是为了检查$S^3$情况下的计算而编写的，但它可以很容易地适用于$Σ^3$。
2022-06-30 math.DG
The spectral curve theory for $(k,l)-$symmetric CMC surfaces
$S^3$中的常平均曲率曲面可以通过其相关的平坦联络族来研究。在环面的情况下，这种方法导致了对所有CMC环面的模空间的深刻理解。对于高亏格的紧CMC曲面，由于其基本群的非交换性质，理论涉及得更多。本文将\cite{Hi, PiSt}中环面和亏格$2$曲面\cite{He3}的谱曲线理论推广到亏格$g=k\cdot l$的$S^3$中的CMC曲面，使$\mathbb Z_{k+1}$和$\mathbb Z_{l+1}$对称性互换.我们确定其相关的家庭的平坦连接通过某些平坦的线丛连接参数化的谱曲线。我们推广了\cite{HeHeSch}中引入的谱数据流，并证明了对于某些初始曲面族，该流的短时存在性。这样，我们得到了各种家庭的新的CMC曲面的高亏格规定的分支点和规定的脐。
2015-03-17 math.DG
Willmore surfaces in spheres: the DPW approach via the conformal Gauss map
利用共形高斯映射建立了Willmore曲面的DPW方法。作为应用，我们给出了$\mathbb R^{n+2}$中极小曲面、$S^4$中各向同性曲面和齐次Willmore环面的环群描述.本文还给出了一个在$S^6$中Willmore双球面不具有对偶曲面的新例子。
2019-03-03 math.DG
Critical weak immersed Surfaces within Sub-manifolds of the Teichmüller Space
证明了环面的面积、Willmore能量、框架能量等各种能量的临界点都是环面的。在Teichmüller空间的光滑子流形内演化的可能分支浸入等满足相应的约束Euler Lagrange方程。在亏格至多为2或子流形不与超椭圆点的子空间相交的条件下，我们导出环面的Willmore能量或框架能量的临界点是光滑解析曲面，可能远离孤立的分支点.利用作者以前工作中的一个紧性结果，我们可以得出结论：Teichmüller空间的每个闭子流形，包括点，在前面的假设下，都是满足共形约束Willmore方程的可能分支光滑Willmore极小元.
2013-07-20 math.DG
Embedded area-constrained Willmore tori of small area in Riemannian three-manifolds I: Minimization
在一定的曲率条件下，我们构造了黎曼三流形中嵌入Willmore环面的小面积约束，以防止Möbius退化。的建设依赖于一个Lyapunov-Schmidt减少，为此，我们建立了新的几何展开指数小对称克利福德环面和分析的急剧的渐近行为下退化环面的莫比乌斯组的行动。在这第一项工作中，我们证明了两个存在性结果，通过最小化或最大化一个合适的约化功能，特别是我们获得嵌入面积约束Willmore环面（或，等价地，面积约束下的霍金质量的环面临界点）在紧凑的3-流形常数数量曲率和双Schwarzschild空间。在即将发表的论文中，新的存在定理将通过莫尔斯理论得到。
2017-05-06 math-ph math.AP math.DG
Stability properties of 2-lobed Delaunay tori in the 3-sphere
我们证明了2-lobed Delaunay环面作为约束Willmore曲面在3-球面上是稳定的。
2019-03-28 math.DG
On Willmore surfaces in S^n of flat normal bundle
本文讨论了平坦法丛的几种Willmore曲面。首先证明了$S^n$中每个具有平坦法丛的S-Willmore曲面必位于某个$S^3\subset S^n$中，由此刻画了Clifford环面是具有平坦法丛的$S^n$中唯一的非赤道齐次极小曲面，改进了K.杨然后，我们证明了$S^n$中的每个具有平坦法丛的Willmore二球面与$\mathbb{R}^3$中的具有嵌入平面端点的极小曲面共形。我们还指出，对于一类Willmore环面，它们有平坦法丛当且仅当它们位于某个$S^3$中。最后，我们证明了具有平坦法丛的Willmore曲面必定位于某个$S^6$中
2013-01-13 math.DG
Exploring the space of compact symmetric CMC surfaces
从偶数瓣数的Delaunay环面出发，通过广义Whitham流，数值地映射出亏格为$g>1$的3-球面上Lawson对称常中曲率曲面的模空间.
2017-02-14 math.DG
Mean-convex Alexandrov embedded constant mean curvature tori in the 3-sphere
在圆单位球面上引入了有限型常中曲率（\cmc \hspace{-5pt}）柱谱曲线的模空间.利用可积系统和几何分析技术相结合的方法，明确地确定了平均凸Alexandrov嵌入柱的谱曲线子集。我们证明了这些柱面是旋转曲面。因此，所有平均凸亚历山德罗夫嵌入{ \sc{cmc} }环面的3-球是表面的革命。
2015-04-09 math.DG
Minimal Bubbling for Willmore Surfaces
在本文中，我们建立了一个显式的例子，一个最小的气泡在Willmore表面上，表明不可能有紧的Willmore浸入的Willmore能量以上$16 π$。此外，我们证明了一个关于具有简单极小泡的Willmore浸入极限序列的第二剩余的不等式。这样做，我们排除了一些胶合配置，并证明了紧凑性浸没Willmore环面的能量低于$12 π$。
2019-06-01 math.AP math.DG
CMC proper-biharmonic surfaces of constant Gaussian curvature in spheres
在双调和性的附加条件下，研究了球面中的CMC曲面。从Miyata的工作，特别是在平坦的情况下，我们给出了这种浸入的完整描述，并证明了对于任何$h\in (0,1)$，在具有$|H|=h$的$\sn^5$中存在CMC固有双调和平面和柱面，同时找到了在$h$中存在CMC固有双调和环面的一个充要条件.
2014-05-28 math.DG
A proof of the Willmore-type conjecture in $\mathbb{C}P^2$
School of Mathematical Sciences, Beihang University（北京航空航天大学数学科学学院）
本文证明了 $\mathbb{C}P^2$ 中 Lagrangian 环面的 Willmore 型猜想，并构造非 Lagrangian 形变否定一般情形。
2026-09-23 math.DG
On the Rigidity of Closed CMC Hypersurfaces in $\mathbb{S}^5(1)$ with Constant Scalar Curvature
Central China Normal University（华中师范大学）；Washington State University（华盛顿州立大学）
该研究证明$\boldsymbol{\text{S}^5(1)}$中具有常数量曲率的闭CMC超曲面若某点仅两个主曲率则为等参Clifford环面，加Willmore条件后可完整分类为几类等参超曲面，采用无迹张量恒等式等方法完成证明。
2026-08-25 math.DG
Harmonic tori in de Sitter spaces $S^{2n}_1$
我们证明了从亏格为1的曲面到de Sitter空间$ S ^ {2n}_1 $中的所有超共形调和浸入都是有限型的，因此它们仅仅是解一对常微分方程的结果.作为应用，我们证明了$ S ^ 3 $中所有无脐点的Willmore环面都可以用这种简单的方法构造。
2012-01-27 math.DG
Candidates for non-rectangular constrained Willmore minimizers
对于每个固定的$\;b>1\;$，我们显式地构造了由其共形类$\;(a,b)$参数化的嵌入约束Willmore环面的$1$ -维族，其中$\; a \sim_b 0^+\;$使共形类的齐次环面$f^b$变形; $(0,b).$在$f^b$处的变分向量场由此由非-我们证明了惩罚Willmore稳定算子的平凡零方向与相应谱曲线的一个双点重合。此外，我们的特点为$b \sim 1$，$b \neq 1$和$a \sim_b 0^+$的家庭通过打开“最小”的双点的光谱曲线上，这是明确的方向与最小的增加威尔莫能量在$f^b$。事实上，我们在\cite{HelNdi1}中表明，这些候选者在$b \sim 1$、$b \neq 1$和$a \sim_b 0^+.$的相应共形类中最小化Willmore能量
2020-12-02 math.DG
On Willmore Legendrian surfaces in $\mathbb{S}^5$ and the contact stationary Legendrian Willmore surfaces
在本文中，我们研究Willmore Legendrian曲面（即Legendrian曲面，这是临界点的Willmore功能）。利用\cite{Luo}中证明的一个等式，得到了$\mathbb{S}^5$中Willmore Legendrian曲面与接触平稳Legendrian曲面之间的一个关系，并利用这个关系证明了$\mathbb{S}^5$中Willmore Legendrian球面的一个分类结果.我们还得到了Willmore Legendrian曲面的一个积分不等式，特别证明了如果$\mathbb{S}^5$中Willmore Legendrian曲面的第二基本形式的平方长属于$[0,2]$，则它必定是$0$且$L$是全测地线，或者是$2$且$L$是平坦的极小Legendrian环面，推广了\cite{YKM}的一个结果.我们还研究了5维Sasakian流形中Legendrian曲面之间Willmore泛函的变化。设$Σ$是一个闭曲面，$(M,α,g_α,J)$是一个5维Sasakian流形，它具有接触形式$α$，伴随度量$g_α$和几乎复结构$J$ .假设$f:Σ\mapsto M$是Legendrian沉浸。如果$f$是接触形变下Willmore泛函的临界点，则称$f$为接触平稳LegendrianWillmore曲面（简称csLWillmore曲面）.为了研究csL Wi…
2017-05-31 math.DG
Darboux transforms and spectral curves of constant mean curvature surfaces revisited
研究了常中曲率曲面的达布变换的几何性质，并利用这些达布变换得到了常中曲率环面的代数几何表示.我们发现，所有的达布变换的CMC环面的空间有一个自然的子集，这是一个代数曲线（称为频谱曲线）和所有的达布变换表示的频谱曲线上的点是CMC环面。使用达布变换得到的谱曲线不是双有理的，但具有与使用更传统的可积系统方法得到的谱曲线相同的归一化。
2011-04-08 math.DG
Index Estimates for CMC and Minimal Surfaces with Capillary Boundary
本文研究具有毛细边界的CMC曲面的指数，证明其受亏格、边界组件数和分支阶数及Willmore型能量的线性限制。主要辅助定理比较了分支共形映射边界的面积和能量二阶变分。
2026-03-19 math.AP math.DG
The Closure of Spectral Data for Constant Mean Curvature Tori in $ S ^ 3 $
sinh-Gordon方程的有限型解的谱曲线对应描述了它们是如何产生和产生具有实结构的超椭圆曲线的。当这些谱曲线满足周期性条件时，$ S ^ 3 $中的常中曲率（CMC）2-环面就产生了。我们证明了CMC环面的谱曲线在sinh-Gordon方程有限型解的光滑谱曲线空间中是稠密的。这样做的一个结果是，对于每个正整数$ n $，在$ S ^ 3 $中存在可数个CMC环面的实$ n $维族.
2012-02-21 math.AG math.DG
Spheres under a Cauchy-Riemann inequality in $E(κ,τ)$, and non-CMC Hopf tori
Universidade Federal de Alagoas（阿拉戈斯联邦大学）
本文证明在齐性空间 $E(\kappa,\tau)$ 中，球面浸入满足单侧 Cauchy-Riemann 型不等式即可推出平均曲率为常数，并构造了 Berger 球面上的非-CMC Hopf 环面反例，同时给出闭曲面为环面的判别条件。
2026-09-22 math.DG
Hopf Reduction and Multiplicity-Resolved Endpoints for the Classical Willmore Flow of Hopf Tori
Justus-Liebig-Universität Gießen（吉森大学）；Technion–Israel Institute of Technology（以色列理工学院）
本文通过将三维球面中 Hopf 环面的经典 Willmore 流精确约化为球面弹性流，结合已知收敛定理，证明了任意初始能量下流线的完全光滑收敛，并给出了未重参数化轨迹的定量收敛结果，包括端点密度与覆盖重数的关系。
2026-09-24 math.AP math.DG
Bifurcations of the Clifford Torus as Willmore Surfaces in Berger Spheres
IMPA - Instituto de Matemática Pura e Aplicada（巴西纯粹与应用数学研究所）
通过估计Morse指标并应用分岔理论，从Clifford环面分岔出新的对称Willmore环面。
2026-08-13 math.AP math.DG
Willmore surfaces in 4-dimensional conformal manifolds
本文研究4维共形流形中曲面的Willmore泛函，计算其变分并证明Clifford环面严格稳定，支持Montiel-Urbano猜想，并给出Jacobi算子特征值下界及极小球面的Willmore性质。
2026-09-23 math.DG
