A modular framework for functions of Knopp and indefinite binary quadratic forms
University of Cologne（科隆大学）；Vanderbilt University（范德堡大学）
本文提出了一种模块化框架，用于研究Knopp函数与不定二元二次型相关的非全纯双模形式，并定义了局部调和Maass形式的模类比负权重。
2025-09-11 math.NT
On indefinite $k$-universal integral quadratic forms over number fields
本文研究数域上整二次格的不定 $k$-泛性质，证明 $k\geq3$ 时满足局部—整体原则，并刻画 $k=1,2$ 时局部泛而非整体泛的格的存在条件与类数。
2022-05-12 math.NT
On indefinite and potentially universal quadratic forms over number fields
数域$k$允许二元整二次型局部表示所有整数而非全局表示当且仅当$k$的类数大于1.在这种情况下，在$k$上只有1000类这样的二元整二次型。数域$k$允许一个三元整二次型表示所有整数而非全局表示当且仅当$k$的类数是偶数。在这种情况下，在$k$上有无穷多类这样的三元整二次型。数域$k$上的一个具有多个变量的整二次型表示$k$的有限扩张的整数环上的$k$的所有整数当且仅当这个二次型表示$k$的有限扩张的整数环上的$1$。
2021-11-01 math.NT
On representations of integers by indefinite ternary quadratic forms
令$f$是不定三元二次型，并且令$q$是使得$-q det(f)$不是正方形的整数。令$N(T,f,q)$表示方程$f(x)=q$的整数解的个数，其中$x$位于以原点为中心的半径为$T$的球中。我们感兴趣的是$N(T,f,q)$的渐近行为的$T$趋于无穷大。我们从我们与Z.鲁德尼克认为$N(T,f,q)$的增长类似于cE（T，f，q）$ as $ T $ tends to infinity, where $ E（T，f，q）$ is the Hardy-Littlewood expectation (the product of local densities) and $ 0 \le c \le 2 $. We give examples of $ f $ and $ q $ such that $ c$取值为0，1，2.
2000-06-20 math.NT
Small Values of Indefinite Diagonal Quadratic Forms at Integer Points in at least five Variables
对于任何$\varepsilon > 0$，我们得到了求解丢番图不等式$\lvert Q[m] \rvert < \varepsilon$的非零整数点$m \in \mathbb{Z}^d \setminus \{0\}$的大小的有效估计，其中$Q[m] = q_1 m_1^2 + \ldots + q_d m_d^2$表示以$d \geq 5$为变量的非奇异不定对角二次型.为了证明我们的奥本海姆猜想的定量变体，我们将Birch和Davenport [BD 58b]开发的方法扩展到更高的维度，并结合Schlickewei [Sch85]的定理。所得到的结果是一个最佳的扩展Schlickewei的结果，给小零的整二次型的签名$(r,s)$，对角线形式的增长因子可以忽略不计的依赖范围。
2021-11-13 math.NT
Mock theta functions and indefinite modular forms III
该文属于数论领域，聚焦含不定二次型的一类函数，开展其模变换性质的研究工作。
2023-12-19 math.NT
Effective density of values of indefinite ternary inhomogeneous quadratic forms
本文研究不定 $\mathbb{Q}$-迷向有理三元非齐次二次型在无理平移下的取值密度，给出范数有界整数向量落入任意目标区间的有效计数下界，指数由平移向量的丢番图性质决定，代数情形下可达到 $ν<1/8$。
2024-08-06 math.NT
A geometric reduction theory for indefinite binary quadratic forms over $\mathbb{Z}[λ]$
高斯关于$\mathbb{Z}$上不定二元二次型的经典约化理论最初是通过纯粹的代数和算术考虑来证明的。后来发现，这种约化理论与模曲面上的测地流的某种符号动力学密切相关，因此也可以从几何上推导出来。本文利用Hecke三角形曲面（也是非算术曲面）上测地流的某些符号动力学，发展了与Hecke三角形群相关的不定二元二次型的约化理论.此外，我们提出了一个算法来决定任何$g\in {\rm PSL}_2(\mathbb{R})$是否$g$包含在Hecke三角形组考虑，并提供了一个上限估计其运行时间。
2015-12-26 math.DS math.NT
On the representation of integers by indefinite binary Hermitian forms
给定虚二次数域上的整数不定二元Hermitian型f，当s趋于无穷大时，我们给出了满足某些同余性质的绝对值至多为s的有理数f的非等价表示的个数的精确渐近等价.
2010-04-19 math.NT
Values of indefinite quadratic forms at integral points and flows on spaces of lattices
这篇论文主要集中在两个领域最近证明的猜想：A）A。Oppenheim关于实不定二次型在整点的值。B）Dani、Raghunathan和Margulis关于像${\BSL}_n(\R)/{\BSL}_n(\Z)$这样的格空间中轨道闭包的猜想。初看起来，A）属于解析数论，B）属于遍历和李理论，它们似乎完全不相关。在此一并讨论它们，是因为M. S. Raghunathan，也就是说，B）的一个特例产生了A）的一个证明。
1995-04-01 math.NT math.RT
Correlations of representation functions of binary quadratic forms
本文推广了以前关于正定二元二次型表示函数的线性相关性的工作，使之允许不定形式。
2012-05-18 math.NT
Indefinite zeta functions
我们定义广义zeta函数与签名（g-1，1）的不定二次型-更一般地说，复杂的对称矩阵的虚部有签名（g-1，1）-我们调查他们的性质。这些不确定的zeta函数被定义为梅林变换的不确定θ函数的意义上的Zwegers，这反过来又推广到西格尔模块设置。证明了不定zeta函数的一个解析延拓和函数方程。我们还表明，不定zeta函数在2维专门的差异射线类zeta函数的实二次域，其领先的泰勒系数在s=0的预测是代数单位的Stark代数。
2021-02-06 math.CV math.NT
Binary quadratic forms as dessins
我们证明了每一个本原不定二元二次型的类都可以自然地表示为一个无限图（名为çark），该无限图具有嵌入在共形环上的唯一圈。这个循环被称为方舟的脊柱。每一个选择一个固定的方格的边指定一个不定二元二次型在由方格表示的类中。在由一个çark表示的类中的约化形式对应于它的脊上的一些显著的边。高斯归约是将边缘向柜脊方向移动的过程。互反类和互反类由具有对称性的类表示。周期性夸克代表非原始形式的类。
2015-08-07 math.NT
A quantitative Oppenheim Theorem for generic diagonal quadratic forms
利用解析数论的方法，对一般三元不定二次型建立了一个定量的Oppenheim猜想。这些语句带来了权力收益，在某些情况下，它们本质上是最佳的
2016-06-14 math.NT
A new look at Hecke's indefinite theta series
本文描述了一类由不定二元二次型生成权为1的模形式的$q$ -级数，并研究了这些级数之间的线性关系.
2001-02-13 math.AG math.NT
Asymptotic formulas for class number sums of indefinite binary quadratic forms in arithmetic progressions
已知本原不定二元二次型的等价类与模群的本原双曲共轭类之间存在一一对应。由于这种对应，Sarnak利用模群的素测地线定理得到了基本单位阶的类数和的渐近公式。本文给出了等差数列中判别式上类数和的渐近公式。由于判别式的算术性质与由模群及其同余子群给出的有限群中的共轭类之间存在联系，通过整理Tchebotarev型质测地线定理，可以得到所需的渐近公式.虽然Raulf已经给出了这样的渐近公式，但方法是完全不同的，我们的渐近公式的首项的表达式更简单，其余项的估计更尖锐。
2010-09-06 math.NT math.RT
A Kronecker limit formula for indefinite zeta functions
我们证明了一个类似的克罗内克的第二个极限公式的连续家庭的“不定zeta函数”。不定zeta函数介绍了作者的前一份文件作为梅林变换的不定θ函数，定义Zwegers。我们的公式在g=2维s=1或s=0时有效。在参数选择服从一定对称性的条件下，不定zeta函数是实二次域的差射线类zeta函数，Stark证明了它在$s=0$上的特殊值是代数单位的对数。我们的公式也允许实际的高精度计算斯塔克射线类不变量。
2021-07-12 math.NT
Values of binary quadratic forms at integer points and Schmidt games
证明了对任意实数可数集$A$，使得$Q(\mathbb{Z}^2)$的闭包与$A$不相交的二元不定二次型集$Q$具有满豪斯多夫维数.
2013-11-07 math.NT
The quadratic form in 9 prime variables
设$f(x_1,\ldots,x_n)$是具有$n\ge 9$的正则不定积分二次型，$t$是整数.它建立了$f(x_1,\ldots,x_n)=t$有解决方案，在素变量，如果没有当地的障碍。
2014-02-15 math.NT
Symmetries of quadratic forms classes and of quadratic surds continued fractions. Part II: Classification of the periods' palindromes
根据拉格朗日定理，二次根式的连分式是周期的。它们的周期可能具有不同类型的对称性。这项工作涉及这些类型的对称性的类的相应的不定二次型的对称性。这允许对二次根式的周期进行分类，同时对于任意的不定二次型，找到它的类的对称类型和这个类的整数点的数目，这些整数点包含在第一部分介绍的德西特世界的庞加莱模型的每个定义域中。此外，我们获得了相同的信息，为每一类形式表示零，由有限连续分数有关的一类特殊的代表。最后，我们将看到由连分数定义的不定二次型的归约过程与经典的约化理论之间的关系，经典的约化理论由第一部分的结果获得了几何描述。
2008-03-27 math.GM math.NT
Moments of Margulis functions and indefinite ternary quadratic forms
本文通过建立Margulis α-函数沿单幂轨道扩张平移的λ-矩一致界，并引入新高度函数刻画经典Margulis不等式的失效，从而证明了不定三元二次型Oppenheim猜想的定量版本。
2025-07-19 math.DS math.NT
On the representation of integers by quadratic forms
设Q为整系数非奇异二次型。当Q是不定的时，我们给出了方程Q=0的最小非平凡积分解的新的上界。当Q是正定的，我们提供了改进的上界的最小正整数k，使方程Q=k是不溶于整数，尽管是可溶模每个素数的权力。
2006-12-12 math.NT
Symmetries of quadratic forms classes and of quadratic surds continued fractions. Part I: A Poincaré model for the de Sitter world
通过引入形式系数所在的de Sitter世界的特殊划分，解决了整数系数不定二元二次型的分类问题.每一类不定形式在作用于整平面格上的特殊线性群的作用下，在每一个这样的区域内都有有限个定义明确的表示数。这个性质只属于单叶双曲面上的有理点。在第二部分中，我们将展示如何从该类的唯一代表中获得该类的对称类型以及它在所有域中的点数。
2008-03-27 math.GM math.NT
A Quantitative Oppenheim Theorem for generic ternary quadratic forms
本文证明了一般三元不定二次型的Oppenheim猜想的一个定量版本。我们的结果是启发和类似的对角二次型由于Bourgain最近的结果。
2016-06-08 math.DS math.NT
Translation invariant quadratic forms and dense sets of primes
设$f(x_1,\ldots,x_s)$是具有$s\ge 10$的整数系数的平移不变不定二次型.让$\mathcal{A}\subseteq \mathcal{P}\cap \{1,2,\ldots,X\}$。设$X$足够大。在秩条件下，证明了存在不同素数$p_1,\ldots,p_s\in \mathcal{A}$，使得只要$f(p_1,\ldots,p_s)=0$
2021-05-27 math.NT
Mock theta functions and indefinite modular forms
本文研究从$D(2,1;a)$余根格得到的带符号mock theta函数的模变换性质，利用Zwegers修正理论证明其线性张成在$SL_2(\mathbf{Z})$下不变。
2023-05-15 math.NT math.RT
Quantitative Oppenheim Conjecture for Quadratic Forms in 5 Variables over Function Fields
我们翻译达文波特和海尔布隆的工作的定量版本的奥本海姆猜想不定对角二次型在5个变量的设置功能领域。
2022-02-17 math.NT
InfoMod: A visual and computational approach to Gauss' binary quadratic forms
InfoMod是一个新的软件和应用程序，致力于模群，PSL2（Z）。它的算法，处理经典的连分数之间的对应关系，测地线的模块表面和二进制二次型。此外，该软件还实现了最近发现的高斯不定二进制二次型及其类的表示，这些表示是根据某些称为çarks的无限可平面图（dessins）来实现的。InfoMod说明了这些形式的各个方面，即高斯的约简算法，形式的表示问题，二义性和互惠形式。它可以作为一种教育工具，并可能被用来探索一些新的事实，这些对象。
2017-04-04 math.NT
Hecke-type identities associated with definite quadratic forms
自Jacobi和Hecke的研究以来，Hecke型级数受到了广泛的关注。与不定二次型相关的级数不同，定二次型相关的Heck型级数的恒等式在文献中相当少见。受Liu等人工作的启发，我们首先利用不同的$q$变换公式建立了许多含两个参数的参数化恒等式，然后通过对这两个参数的特殊选择，推导出与定二次型相关的各种Hecke型恒等式.作为应用，我们利用其中的一些Heck型恒等式建立了几个分拆函数的不等式族。我们的证明在很大程度上依赖于刘志国工作中的一些公式。
2020-03-16 math.NT
Reducing quadratic forms by kneading sequences
我们在有限个正整数序列上引入一种可逆运算，称之为“揉”。捏合保留了序列的三个不变量--长度的奇偶性、条目的和，还有一个我们称之为“交替”。我们提供了一个双射之间的一组序列交替$a$和奇偶$s$和Zagier约化的不定二进制二次型与判别式$a^2 + (-1)^s \cdot 4$，并表明捏对应于Zagier约化相应的形式。因此，序列的和是相应形式的类不变量。最后，我们对这个新的不变量进行了一些观察和分析。
2014-12-08 math.NT
CM points on Shimura curves and $p$-adic binary quadratic forms
本文证明了不定四元数$\mathbb{Q}$ -代数中与Eichler序相关的Shimura曲线上的CM点集与某些类$p$ -adic二元二次型的集合是双射的，其中$p$是四元数代数的判别式的素数整除.通过对Shimura曲线进行$p$ -adic一致化得到了$\mathrm{PGL}_{2}(\mathbb{Q}_{p})$的离散余紧子群的作用，得到了$p$ -adic二元二次型类.最后，我们计算家庭$p$ -进二进制二次型与志村曲线的研究在以前的论文Amorós-Milione的无限家庭。这将Alsina-Bayer的结果扩展到了$p$ -adic上下文。
2017-11-25 math.NT
Arithmetic Springer theorem and $n$-universality under field extensions
基于BONGs理论证明一般二进局部域上二次型的整及相对整旋量范数的范数原理，建立不定二次型的算术版Springer定理，解决任意局部域上n-普遍性的提升问题。
2025-04-18 math.NT
Constructing minimal periods of quadratic irrationalities in Zagier's reduction theory
狄利克雷版本的高斯约化理论的不定二进制二次型包括一个映射从高斯约化形式到字符串的自然数。它附加到一个形式的最小周期的连分数的二次无理性与形式。当Zagier制定了自己的约化理论，平行狄利克雷的，他省略了类似的这张地图。我们定义了一个新的映射Zagier约化形式，作为这个模拟。我们还定义了一个映射从一组高斯约化形式到一组Zagier约化形式，给出了一个近嵌入的结构高斯的约化理论到Zagier的。从这个角度来看，Zagier约化成为Gauss约化的一种改进。
2017-10-12 math.NT
Extreme values of quadratic Dirichlet $L$-functions
Soochow University（苏州大学）；Shandong University（山东大学）；Hunan University（湖南大学）；Tongji University（同济大学）
研究二次狄利克雷L函数在中心点的极值问题，通过新方法给出d很大时L(1/2,χ_d)的新极值，改进了前人结果。
2026-07-23 math.NT
Examples of badly approximable vectors over number fields
我们考虑向量$\mathbf{z}\in F\otimes\mathbb{R}\cong\mathbb{R}^r\times\mathbb{C}^s$的数域$F$的元素的近似，并构造了一些可近似向量的例子。这些例子来自$SL_2(\mathcal{O}_F)\backslash SL_2(F\otimes\mathbb{R})$的紧致子空间，它自然地与（完全不定的、各向异性的）$F$ -有理二元二次和厄米特形式相关联，这是众所周知的事实的推广，即二次无理数在$\mathbb{Q}$上是很难逼近的。
2019-01-15 math.NT
Extreme central $L$-values of almost prime quadratic twists of elliptic curves
该研究证明椭圆曲线殆素数二次扭曲的中心 $L$-函数极值，并在 BSD 猜想下推出其二次扭曲族中 Tate--Shafarevich 群的极值。
2023-10-07 math.NT
A general double sum identity, mock theta functions, and Bailey pairs
我们得到了与$β_n$连接到有限和的不定二次型有关的Bailey对。给出了一个新的一般恒等式，它为$q$ -超几何级数提供了恒等式，包括模拟θ函数.
2020-04-25 math.NT
Extreme values of quadratic Dirichlet $L$-functions with prime-related moduli
Soochow University（苏州大学）；Shandong University（山东大学）；Hunan University（湖南大学）；Tongji University（同济大学）
研究具有素数相关模的二次狄利克雷\(L\)函数极值，通过给出新下界推广前人工作并改进近期成果。
2026-07-29 math.NT
What is the probability that a random integral quadratic form in $n$ variables has an integral zero?
我们证明了在$\mathbb Z_p$上的$n$变量的二次型的密度是$p$的有理函数，其中有理函数独立于$p$，并且我们明确地确定了这个有理函数。当$n$变量中的实二次型根据随机矩阵理论的高斯正交包络（GOE）分布时，我们明确地确定随机的这种实二次型是各向同性的概率（即，不定）。因此，对于每个$n$，我们确定$n$变量中的随机积分二次型是各向同性的概率的精确表达式（即，在$\mathbb Z$上具有非平凡的零），当根据GOE分布选择这些整二次型时。特别是，我们找到一个精确的概率表达式，一个随机积分四元二次型有一个整数为零，数值上，这个概率约为$98.3\%$。
2015-02-20 math.NT
Quadratic forms of signature $(2, 2)$ or $(3, 1)$ I: effective equidistribution in quotients of $\mathrm{SL}_4(\mathbb{R})$
本文证明了$\mathrm{SO}(2, 2)$和$\mathrm{SO}(3, 1)$的次球面子群轨道在$\mathrm{SL}_4(\mathbb{R})$的多项式误差项下的一个有效的等分布定理。在即将发表的论文中，我们将使用这个定理来证明一个有效的版本的奥本海默猜想的不定二次型的签名$(2, 2)$或$(3, 1)$的多项式错误率。
2025-08-08 math.DS math.NT
Quantitative strong approximation for ternary quadratic forms I
本文研究不定三元整系数二次型在局部条件下的定量强逼近，利用 Heath-Brown 的 δ 圆法得到含次级项、且允许 m 随 B 增长的整数解计数渐近公式。
2024-12-04 math.NT
Extreme values of class numbers of real quadratic fields
改进了H. L. Montgomery和J.P.Weinberger通过建立无穷多个基本判别式$d>0$的存在性，使得实二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$的类数超过$(2e^γ+o(1)) \sqrt{d}(\log\log d)/\log d$ .我们相信这是最好的办法。我们还获得了几乎相同数量级的上限和下限，判别式$d\leq x$的实二次域的数量有这样一个极端的类数。
2015-02-06 math.NT
Extreme central values of quadratic Dirichlet $L$-functions with prime conductors
Data Science Institute and School of Mathematics Shandong University（山东大学数据科学研究所与数学学院）
研究素数p≡1 mod 8时L(1/2,χ_p)的下界结果，采用分析方法证明极值下限。
2025-07-08 math.NT
On restriction estimates for discrete quadratic surfaces
我们得到了离散曲面\begin{align} S = \{\, ( n_1 , \dots , n_d , R( n_1 , \dots, n_d ) ) \,,\, n_i \in [-N,N] \cap \mathbb{Z} \,\}, \end{align}的一种非期望形式的截断约束估计，其中$R$是一个具有整数矩阵的不定二次型.
2016-11-02 math.CA math.NT
Hasse Principle Violations for Atkin-Lehner Twists of Shimura Curves
设$D > 546$是不定有理四元数代数的判别式。证明了存在无穷多个虚二次域$l/\mathbb Q$，使得主Atkin-Lehner对合$w_D$和$l/\mathbb Q$对Shimura曲线$X^D$的扭曲违反了$\mathbb Q$上的Hasse原理.
2016-12-05 math.NT
On values of binary quadratic forms at integer points
我们得到估计的整数解的数目在大球，不等式的形式$|Q(x, y)| < ε$，其中$Q$是一个不定的二元二次型，在Hurwitz连分数的扩展的斜率上的$Q$消失。该方法是基于编码的测地线上的模块化表面通过Hurwitz扩展的端点的升降机在庞加莱半平面。
2016-07-12 math.DS math.NT
On ternary quadratic forms over the rational numbers
本文给出了下列经典事实的初等证明。任何有理数上的正定三元二次型都不能表示无穷多个正整数。对于任何三元二次型（正定或不定），我们的方法构造某些同余类的元素，直到一个平方因子，是唯一的元素不表示的有理数的形式。在一个正定的三元形式的情况下，我们表明，这些类是非空的。这表明，表示所有正整数的正定二次型中的变量的最小数目是4。我们的证明是非常初级的，只使用高斯的二次互易性。
2021-09-12 math.HO math.NT
Local information of ADC quadratic lattices over algebraic number fields
Dongguan University of Technology（东莞理工学院）
本文研究了ADC二次格在代数数域上的局部结构，确定了二元和三元格的表示集、计数公式及密度，并探讨了其在非阿基米德局部域上的性质与应用。
2026-01-09 math.NT
Points on Shimura curves rational over imaginary quadratic fields in the non-split case
对类数为$>1$的虚二次域$k$，证明了有理不定四元数除代数$B$的同构类只有1000个，使得相应的Shimura曲线$M^B$有$k$ -有理点.换句话说，主要的结果断言，有一个有限的集合$P(k)$的素数依赖于$k$，使得：如果有一个素数的约数$B$的判别式，这是不是在$P(k)$，那么$M^B$没有$k$ -有理数点。此外，我们可以采取$P(k)$满足以下条件：有一个有效的可计算常数$C(k)$依赖于$k$，使得$p\in P(k)$意味着$p<C(k)$至多有一个可能的例外。$k$拆分$B$的病例由Jordan完成。在非分裂的情况下，证明是通过研究一个典型的isochronous字符和它的组合与转移映射。
2022-11-22 math.NT
Effective equidistribution in rank 2 homogeneous spaces and values of quadratic forms
本文在绝对秩2的拟分裂几乎单线性代数群商空间中建立了带多项式误差率的幂幺轨道有效等分布定理，并据此给出不定三元二次型整点取值分布的定量结果，从而有效且定量地证明了Oppenheim猜想。
2025-07-21 math.DS math.NT
Perfect Lattices over Imaginary Quadratic Number Fields
本文给出了适用于类数大于1的虚二次数域的Voronoi理论。这包括一个极端厄米特形式的表征，这是类似于经典的极端二次型的表征，以及一个版本的Voronoi的著名算法，可用于枚举所有完美的厄米特形式为一个给定的虚二次数字段的尺寸2和3。我们还提出了一个应用程序的算法，它允许确定一般线性群的$Ø_K$ -格的生成元。
2013-04-02 math.NT
Precision Asymptotics for Partitions Featuring False-Indefinite Theta Functions
本文利用模性质研究假不定 theta 函数相关划分的傅里叶系数渐近行为，通过具体例子推导出包含所有指数增长项的精确渐近展开式。
2025-02-27 math.CO math.NT
Iwasawa theory of elliptic modular forms over imaginary quadratic fields at non-ordinary primes
我们制定一个新形式的$f$是非普通的$p$适当的扭曲，在分圆$\mathbb{Z}_p$ -扩展，反分圆$\mathbb{Z}_p$-扩展（在确定和不确定的情况下），以及$\mathbb{Z}_p^2$ -扩展的虚二次域$K$，其中$p$分裂积分Iwasawa主要结构。为了做到这一点，我们定义了Kobayashi-Sprung风格的带符号Coleman映射，我们使用它来引入双符号Selmer群。在同样的精神，我们构造有符号（积分）Beilinson-Flach元素（来自Loeffler-Zerbes的无界Beilinson-Flach元素的集合），我们使用它来定义双符号$p$ -adic $L$ -函数。主要的猜想，然后将这两组对象。此外，我们表明，积分Beilinson-Flach元素形成一个局部限制的欧拉系统，这反过来又使我们能够推导（在某些技术假设下）一个包含在每一个的四个主要的代数，我们制定在这里（这可能会变成等式在有利的情况下）。
2019-05-06 math.NT
On Oppenheim-type conjecture for systems of quadratic forms
设Q_i，i=1，.，t，是d元实非退化不定二次型。我们研究了在什么条件下集合{（Q_1（x），.，Q_t（x））：x \in Z^d-{0}}包含（0，..，0）。作为推论，我们推导出关于g \in GL（d，R）的集合Δ的大小的几个结果，使得集合{（Q_1（gx），.，Q_t（gx））：x \in Z^d-{0}}包含（0，.，0）。当依赖于超曲面{Q_i=0}，i=1，.，t，集合Δ有全Haar测度或测度零，且有豪斯多夫维数d^2-（d-2）/2.
2003-10-15 math.DS math.NT
