On the equivalence of derivatives for maps between Carnot groups
本文用初等欧几里得方法证明了Carnot群间保持水平曲线且水平方向连续可微的映射必为连续Pansu可微，并重证了Magnani的均值估计。
2024-05-22 math.DG math.MG
A Lipschitz curve in a Carnot group that is purely unrectifiable by smooth horizontal curves
University of Cincinnati（辛辛那提大学）；The Ohio State University（俄亥俄州立大学）
本文构造了一条在自由Carnot群中的Lipschitz曲线，该曲线与所有C^1水平曲线相交于测度为零的集合，揭示了C^1_H-Lusin性质在此群中失效，且此类曲线必须为纯C^1_H 1-不可测，表明Carnot群中的1-可测性与欧几里得空间有显著差异。
2026-04-17 math.MG
A $C^m$ Whitney Extension Theorem for Horizontal Curves in Free Step $2$ Carnot Groups
本文为自由步长 $2$ Carnot 群中的水平曲线建立了 $C^m$ Whitney 延拓定理，推广了 Heisenberg 群的现有结果，并提出了水平层射流定量线性依赖结构、垂直区域离散化校正等新技术。
2023-08-03 math.MG
Horizontally affine functions on step-2 Carnot algebras
本文引入了水平仿射函数的概念，并给出了这类函数在step-2卡诺代数上的完整刻画。证明了自由步2秩$n$ Carnot代数上的h-仿射函数的向量空间与$\mathbb{R}^n$的外代数同构。利用每个卡诺代数都可以表示为自由卡诺代数的商，我们将从自由情形推出任意步2卡诺代数上的h-仿射函数的描述，以及h-仿射函数在向量空间的通常意义下是仿射的步2卡诺代数的几个特征.我们对h-仿射函数的兴趣源于它们与一类称为精确单调的集合的关系，最近在文献中介绍了这类集合，以及它们与极小超曲面的关系。
2021-06-25 math.GR math.MG
The coarea formula for projections of Lipschitz mappings on Carnot groups
本文证明了Carnot群上内在Lipschitz映射沿水平投影的余面积不等式，并在有限余畸变映射及Heisenberg群情形下取得等式。
2024-05-24 math.FA math.MG
On the inner cone property for convex sets in two-step Carnot groups, with applications to monotone sets
在第二步卡诺群的设定下，我们证明了水平凸集的一个“锥性质”。即证明了：给定一个水平凸集$C$，一对点$P\in \partial C$和$Q\in $ int $C$都属于一条水平线$\ell$，则一个围绕$\ell$且顶点在$P$上的开截子黎曼锥包含在$C$中.我们应用我们的结果的分类问题的水平单调集的卡诺集团。我们能够证明海森堡群与实直线的直积$\mathbb{H} \times\mathbb{R}$中的单调集有超平面作为边界。
2019-02-23 math.MG
Polar Coordinates in Carnot groups II
本文研究 Carnot 群的可极化性，证明了若 Carnot 群支持具有适当性质的水平极坐标系，则该群是可极化的，从而确立了该性质的充要条件。
2022-08-09 math.AP math.DG math.MG
Structure of Porous Sets in Carnot Groups
我们证明了任何卡诺群包含一个闭疏集，它的测度为零，但不是$σ$ -多孔的Carnot-Carathéodory（CC）距离。在第一海森堡群中，我们观察到存在关于CC距离而不是欧几里得距离是多孔的集合，反之亦然。在Carnot群中，我们构造了一个Lipschitz函数，它在给定的$σ$ -多孔集的任何点处都是Pansu可微的，并证明了开集在水平梯度下的原像远不是多孔的.
2017-07-23 math.FA math.MG
Metric currents, differentiable structures, and Carnot groups
我们研究理论的度量电流的Ambrosio和Kirchheim的设置空间承认可微结构的意义上的Cheeger和基思。我们证明了度量形式消失的意义上的Cheeger一组也必须消失时，与电流集中沿该集。从这一点，我们推导出一个推广的链式法则，并表明，绝对连续质量的电流是由积分对可测的$k$ -向量场。进一步证明了：如果度量空间是一个具有Carnot-Carathéodory距离的Carnot群，则当$θ\in Ω^{1}(\mathbb{G})$零化$\mathbb G$的水平丛时，每个度量流$T$满足$T\lfloor_θ=0$和$T\lfloor_{dθ}=0$.此外，这个条件是一个关于黎曼度量的度量流扩展到关于卡诺-卡拉西奥多里度量的度量流的充要条件，只要这个度量流是局部正规的，或者具有绝对连续的质量。
2011-02-06 math.DG math.FA math.MG
On tangent cones to length minimizers in Carnot-Carathéodory spaces
本文给出了Carnot-Carathéodory空间中水平曲线爆破的一些事实的详细证明。
2017-07-25 math.MG math.OC
Sub-Riemannian curvature of Carnot groups with rank-two distributions
本文所讨论的曲率概念是黎曼截曲率的一个广泛推广。它首先由Agrachev、Barilari和Rizzi在arXiv：1306.5318中引入，并且它被定义用于广泛的一类最优控制问题：一个统一的框架，包括诸如黎曼、次黎曼、芬斯勒和次芬斯勒结构的几何结构。本文研究了秩为2的卡诺群的广义截面曲率。特别地，我们考虑了具有Goursat型水平分布的Cartan群和Carnot群。在这些卡诺群中，我们刻画了充分等正则测地线。对于具有水平Goursat分布的卡诺群，我们证明了它们的广义截面曲率仅依赖于分布的恩格尔部分。这个卡诺群族自然包含了三维海森堡群和恩格尔群。此外，我们还表明，在恩格尔和嘉当群存在初始余向量，有一个无限的离散集的时间，在相应的丰富测地线是不等正则的。
2017-02-08 math.DG math.MG math.OC
Isometric rigidity of the Wasserstein space $\mathcal{W}_1(\mathbf{G})$ over Carnot groups
Corvinus University of Budapest（布达佩斯考文纽斯大学）
本文研究了Carnot群上1-Wasserstein空间的等距刚性，证明了在水平严格凸范数下该空间的等距映射与群上的等距映射相关联。
2025-08-14 math-ph math.FA math.MG
Rank-one theorem and subgraphs of BV functions in Carnot groups
我们证明了一个秩一定理。Alberti证明了一类包含Heisenberg群的Carnot群中有界变差的向量值映射的导数，其中$\mathbb H^n$为$n\geq 2$ .主要工具是有界变差实值函数的水平导数与其子图的关系性质。
2017-12-22 math.AP math.FA math.MG
Pliability, or the whitney extension theorem for curves in carnot groups
Whitney扩张定理是分析中的一个经典结果，给出了定义在闭集上的函数可扩张到整个空间的一个充要条件。它已经适应了几个设置，其中之一的卡诺集团。然而，对于某些d $\ge$ 1，目标空间通常被假定为等于R^d。本文主要研究一般序偶（G_1，G_2）（G_2非阿贝尔）的可扩性问题.我们特别分析的情况下，G1 = R和特征的惠特尼扩展属性持有的群体G2，在一个新引入的概念，我们称之为柔韧性。正如Bryant和Hsu所定义的那样，柔韧性与刚性有关。我们利用这种关系，以提供非柔韧的卡诺集团，即卡诺集团，使惠特尼扩展属性不成立的例子。利用几何控制理论关于控制仿射系统可达性的结果来检验卡诺群的可达性。特别地，我们恢复了Le Donne，Speight和Zimmermann关于第二步Carnot群中的Lusin逼近和Heisenberg群中的Whitney扩张的一些结果.我们推广这样的结果，所有柔韧的卡诺集团，我们表明，后者可能是任意大的步骤。
2016-12-08 math.GR math.MG math.OC
A rectifiability result for finite-perimeter sets in Carnot groups
该研究在Carnot群框架下提出了一种可能更弱的锥性质可求长概念，证明有限周长集的约化边界可被可数个具该性质的子集覆盖，还推导了锥内含水平方向时的可数可求长性，并验证其在丝状群中成立。
2023-10-04 math.AP math.DG math.GR
Intrinsically Lipschitz functions with normal target in Carnot groups
本文给出了固有Lipschitz函数$ϕ:U\subseteq \mathbb W\to \mathbb L$的Rademacher定理，其中$U$是博雷尔集，$\mathbb W$和$\mathbb L$是卡诺群的补子群，这里要求$\mathbb L$是正规子群.例如，当$\mathbb W$是水平子群时，我们的假设得到满足。此外，我们提供了这类内在Lipschitz函数的面积公式。
2020-09-29 math.CA math.FA math.MG
The Sard problem in step 2 and in filiform Carnot groups
我们研究了一些著名的卡诺群类中端点映射的Sard问题。我们的第一个主要结果涉及步骤2卡诺群，其中我们提供了异常集余维的下界（仅取决于群的代数）;结果表明我们的界总是至少为3，这改进了arXiv：1503.03610中证明的结果，并解决了arXiv：1709.02854中出现的问题。在我们的第二个主要结果中，我们刻画了丝状群中的反常集，并证明它要么是一条水平线，要么是一个三维代数簇。
2022-03-30 math.DG math.MG math.OC
Geometric properties of extremal sets for the dimension comparison in Carnot groups of step 2
在第二步的卡诺群中，我们考虑与欧几里得维数相比具有最大或最小可能齐次豪斯多夫维数的集合：在第一种情况下，我们证明它们在某种意义上必须是垂直的，也就是说，这些集合中的很大一部分可以通过它们的点离开水平面，在后一种情况下接近水平面。用于证明次黎曼维数与欧几里德维数比较的尖锐性的例子直观地满足这些几何性质，我们在这里量化并证明这些几何性质是必要的。我们还用一些例子来说明我们的声明的尖锐性。本文推广了Mattila和作者在第一Heisenberg群中证明的类似结果。
2018-08-30 math.CA math.MG
Local minimizers and Gamma-convergence for nonlocal perimeters in Carnot Groups
我们证明了卡诺群的半空间的局部极小的一类非局部泛函通常称为非局部周长。此外，在一类Carnot群中，De Giorgi的可求直定理成立，我们提供了一个下界的$Γ$ -limif的重新标度的能量的水平周长。
2020-04-05 math.AP math.MG
A Note on Pliability and the Openness of the Multiexponential Map in Carnot Groups
本文探讨了Carnot群中多指数映射的可变性和开放性，比较了不同非刚性概念。
2026-08-21 math.MG math.OC
On the Whitney extension property for continuously differentiable horizontal curves in sub-Riemannian manifolds
在这篇文章中，我们研究的Whitney $C^1$扩展性质的有效性的子黎曼流形赋予1-喷流，满足一阶泰勒展开相容条件的水平曲线。我们首先考虑等正则的情况下，我们证明了扩张性质成立时，一个合适的非奇异性的性质持有的卡诺群上的输入输出映射的幂零逼近。然后我们讨论了具有奇点的次黎曼流形的情形，证明了所有的step-2流形都满足$C^1$扩张性质。我们的结论表明，$C^1$扩展性质意味着一个Lusin的近似定理的水平曲线的子黎曼流形。
2018-12-20 math.DG math.MG math.OC
Singular integrals on $C^{1,α}$ regular curves in Carnot groups
设$\mathbb{G}$为任意卡诺群。证明了如果与$1$ -维Calderón-Zygmund核相关的卷积型奇异积分在水平线上是$L^2$ -有界的，且具有一致界，则它在$\mathbb{G}$中的任何紧$C^{1,α}, α\in (0,1],$正则曲线上在$L^p, p \in (1,\infty),$中有界.
2020-01-03 math.CA math.MG
Existence of tangent lines to Carnot-Carathéodory geodesics
证明了Carnot-Carathéodory空间中的长度极小曲线在任意点上至少有一条正切曲线（即，幂零近似中的爆破）等于直的水平线。这是长度最小化器的第一个规律性结果，该结果在空间上没有任何假设（例如，它的排名，步骤，或解析性）或曲线，它是新颖的，甚至在卡诺集团的设置。
2017-11-10 math.MG math.OC
The Hessian of the distance from a surface in the Heisenberg group
我们计算海森堡群H中的表面S的有符号卡诺-查拉西奥多利距离的水平海森。Hessian的表达式是根据曲面的固有曲率。作为应用，我们计算了H中一点的Carnot-Charatheodory距离的水平Hessian。
2006-10-11 math.AP math.MG
Multiexponential maps in Carnot groups with applications to convexity and differentiability
分析了卡诺群几何分析中自然出现的一类多指数映射的性质。我们将看到，这样的地图至少在两个有趣的问题中是有用的。首先，关于水平凸集的一些正则性的分析。然后，我们将证明我们的多指数映射可以用来证明从一个不动点的次黎曼距离的Pansu可微性。
2020-05-08 math.MG
Dimension results for mappings of jet space Carnot groups
我们提出了类似的水平和垂直投影模型丝状喷流空间卡诺集团。由$\mathbb{R}$上的光滑函数的喷流和第一坐标固定的垂直超平面组成的每一对提供了模型丝状群的分裂，这诱导了群的映射。我们证明了这些映射的Marstrand型定理，并确定了在这些映射下集合的象的可能的豪斯多夫维数。一般喷流空间卡诺群的投影的类似物可以类似地定义。
2018-04-24 math.GT math.MG
Blow-up estimates at horizontal points and applications
层群中光滑子流形的水平点对于Carnot-Carnovel 'odory距离起着奇点的作用。当我们考虑超曲面时，它们与众所周知的特征点重合。分两步得到了$C^{1,1}$光滑子流形在所有水平点上的黎曼曲面测度的逐点估计。作为应用，我们建立了计算任意$C^{1,1}$子流形的球面Hausdorff测度的积分公式.我们的技巧还表明，$C^2$光滑子流形到处承认一个内在的爆破和极限集是一个内在齐次代数簇。
2008-07-28 math.DG math.MG
Variational problems concerning sub-Finsler metrics in Carnot groups
本文研究了定义在给定Carnot群的子域上的测地距离，这些测地距离从上到下都被Carnot-Carathéodory距离的固定倍数所限制.我们证明了这些距离的一致收敛性（在紧集上）可以等价地用几类变分问题的$Γ$ -收敛性来刻画.此外，我们还研究了水平丛上的内禀距离类及其度量导数与次Finsler凸度量之间的关系。
2022-02-17 math.AP math.MG
Precisely monotone sets in step-2 rank-3 Carnot algebras
卡诺群的一个子集称为精确单调的，如果它的特征函数对每一个左不变水平向量场的每一条积分曲线的约束是单调的.等价地，精确单调集是具有h-凸补的h-凸集。在2010年，Cheeger和Kleiner在海森堡背景下引入并分类了这样的集合。本文研究了步-2卡诺群（等价于步-2卡诺代数）在更广的背景下的精确单调集.除了一般性质，我们证明了一个分类在步骤-2秩-3卡诺代数，推广了分类已经知道在海森堡设置使用子级集的h-仿射函数。一个显著的新颖性是，这样的子水平集可以不同于半空间。
2022-03-21 math.GR math.MG
Infinite geodesics and isometric embeddings in Carnot groups of step 2
在具有严格凸范数的第二步子Finsler Carnot群的背景下，证明了所有无限测地线都是直线.由此得出，对于任何其他齐次距离，当水平空间上的诱导范数是严格凸时，所有测地线都是直线。作为进一步的结果，我们证明了所有等距嵌入之间的齐次群是仿射的。证明的核心是庞特里亚金最大值原理给出的极值的渐近研究。
2019-11-19 math.MG math.OC
Semigenerated step-3 Carnot algebras and applications to sub-Riemannian perimeter
本文对卡诺群中有限内蕴周长集的研究作出了贡献。我们的目的是刻画在哪些群中，唯一具有恒定内禀法线的集合是垂直半空间。我们的观点是代数的：当且仅当由每个水平半空间生成的半群是垂直半空间时，这种现象发生。我们把具有这种性质的卡诺群称为\emph{semigenerated}。对于卡诺群的幂零性步骤3，我们提供了一个完整的半代方面的表征，这些群体是否没有任何恩格尔型的子。这里引入的恩格尔型群是最小的（就同数而言）反例。此外，我们还给出了任意步长卡诺群半生成的一些充分判据。为此，我们定义了一类新的卡诺群，我们称之为类型$(\Diamond)$，它推广了以前由M定义的类型$(\star)$的概念。马奇作为一个应用，我们得到了在$ (\Diamond) $型群和没有任何Engel型代数作为商的第3步群中，对于有限周长的集合，在Franchi，Serapioni和Serra-Cassano意义下得到了一个强可求正性结果.
2020-04-18 math.DG math.GR math.MG
On rectifiable measures in Carnot groups: Marstrand-Mattila rectifiability criterion
本文继续研究卡诺群中的$\mathscr{P}$ -可求正性概念。我们说一个Radon测度是$\mathscr{P}_h$ -可求正的，对于$h\in\mathbb N$，如果它几乎处处有正的$h$ -下密度和有限的$h$ -上密度，并且在几乎每一点上，它都有一个唯一的直到倍数的正切测度。本文证明了任意Carnot群中$\mathscr{P}$ -可求长测度的一个Marstrand-Mattila可求长准则，其中切面允许正规补子群.也就是说，在这种共法的情况下，即使先验的切面在一个点可能不相同，在不同的尺度，后验的措施有一个唯一的切线几乎处处。由于卡诺群的每个水平子群都有一个正规补，我们的准则适用于切线是一维水平子群的特殊情况。因此，作为我们的Marstrand-Mattila可求正性判据和Chousionis-Magnani-Tyson的结果的直接结果，我们得到了第一海森堡群$\mathbb H^1$中的一维Preiss定理。更精确地说，我们证明了$\mathbb H^1$上的Radon测度$ϕ$关于Koranyi距离具有正的和有限的单密度，关于一维Hausdorff测度$\mathcal{H}^1$是绝对连续的，并且它在Federer意义下支持在一个可求长集上，即，它在从$A\subseteq \mathbb R$到$\mathbb H^1$的Lipschitz映射的图像的可数…
2022-02-19 math.MG
Polynomial and horizontally polynomial functions on Lie groups
我们推广了李群上的多项式函数的概念和卡诺群上的水平仿射映射的概念。我们将左不变向量场代数$\mathfrak g$的子集$S$固定在李群$\mathbb G$上，并假设$S$ Lie生成$\mathfrak g$。我们说一个函数$f:\mathbb G\to \mathbb R$（或者更一般地说是$\mathbb G$上的一个分布）是$S$ -多项式，如果对于所有的$X\in S$都存在$k\in \mathbb N$，使得迭代导数$X^k f$在分布意义上为零。首先，我们表明，所有的$S$ -多项式函数（以及分布）表示的解析函数，如果指数$k$在前面的定义是独立的$X\in S$，他们形成一个有限维向量空间。其次，如果$\mathbb G$是连通的且幂零的，我们证明了$S$ -多项式函数是Leibman意义下的多项式函数.对于非幂零群，同样的结果可能不成立.最后，我们证明了在连通幂零李群中，在Leibman意义下是多项式，在指数图上是多项式，以及在$\mathfrak g$方向上某个固定次数的混合导数为零是等价的概念.
2020-11-27 math.DG math.FA math.GR
A new class of $({\cal H}^k,1)$-rectifiable subsets of metric spaces
本文的主要动机来自于对Carnot-Carathéodory空间的研究，其中1-可求长集类不包含光滑的非水平曲线;因此需要一个包含非水平曲线的可求长集的新定义。这就是为什么我们在任何度量空间中引入一类新的曲线，称为连续度量可微度$k$，当$k>1$是Hölder连续的但不是Lipschitz连续的。用这类曲线代替Lipschitz曲线，我们定义了$({\cal H}^k,1)$ -可求长集，并给出了推广欧氏几何中相应结果的一个稠密结果.这个定理是Hausdorff测度沿曲线计算的结果，我们给出了一个积分公式。特别是，我们表明，球形和通常的Hausdorff措施沿曲线符合一类的尺寸长度和相关的插值复杂性，估计已经获得了卡诺-Carathéodory空间。
2012-05-24 math.MG
Regularity of sets with constant horizontal normal in the Engel group
在具有Carnot群结构的Engel群中，研究了局部有限的次黎曼周长的子集和具有常次黎曼法线的子集。我们证明了这些集合的可求正性：更确切地说，我们表明，在某些特定的坐标，它们是整个Lipschitz函数的上图（相对于欧几里德距离）。然而，我们发现，当它们被写为关于法线方向的内在上图时，定义集合的函数甚至可能不连续。然而，我们可以证明，人们总是可以找到其他水平方向，使集合是函数的上图，该函数对于内在距离是Lipschitz连续的（特别是对于欧氏距离是Hölder连续的）。进一步讨论了具有常水平法线的集合类的PDE刻画。最后，我们表明，我们的整流论证延伸到第一类丝状群的情况下。
2012-01-30 math.AP math.DG math.GR
Stability theorems for H-type Carnot groups
本文引入二阶Carnot群的H型偏差，给出其消失等价于H型结构，并建立水平梯度与次Laplace调和性的逆向解析刻画，还提出并在一类各向异性Heisenberg群上验证定量稳定性猜想。
2022-08-09 math.AP math.DG math.MG
Tubular neighborhoods in the sub-Riemannian Heisenberg groups
研究了次黎曼海森堡群$\mathbb{H}^n$，$n\ge 1$中$δ_E$到闭集$E$的Carnot-Carathéodory距离.在较弱的条件下证明了$δ_E$的$\mathbb{H}$ -正则性，并引入了奇点的一般概念.当$E$是欧氏$C^k$子流形$k\ge 2$时，我们证明了$δ_E$是奇异集之外的$C^k$.当$E$的边界为类$C^2$时，得到了管状邻域的体积的显式表达式，在奇异集之外，根据$\partial E$的水平主曲率和函数$\langle N,T\rangle/|N_h|$及其切导数.
2017-09-21 math.DG math.MG
Lipschitz graphs and currents in Heisenberg groups
本文证明子黎曼海森伯格群中余维数k≤n的内蕴Lipschitz图的Rademacher型定理，并给出延拓、逼近、常值定理及Lusin型结果、可修正性等价和面积公式等应用。
2020-07-28 math.CA math.DG math.FA
