Euclidean rectifiability of sub-Finsler spheres in free-Carnot groups of step 2
本文证明二步自由-Carnot 群中子-Finsler 度量球面在欧几里得意义下是余维数一的可整流集，方法是通过分析异常测地线附近距离函数的 Lipschitz 常数。
2024-03-15 math.MG math.OC
Sub-Riemannian curvature of Carnot groups with rank-two distributions
本文所讨论的曲率概念是黎曼截曲率的一个广泛推广。它首先由Agrachev、Barilari和Rizzi在arXiv：1306.5318中引入，并且它被定义用于广泛的一类最优控制问题：一个统一的框架，包括诸如黎曼、次黎曼、芬斯勒和次芬斯勒结构的几何结构。本文研究了秩为2的卡诺群的广义截面曲率。特别地，我们考虑了具有Goursat型水平分布的Cartan群和Carnot群。在这些卡诺群中，我们刻画了充分等正则测地线。对于具有水平Goursat分布的卡诺群，我们证明了它们的广义截面曲率仅依赖于分布的恩格尔部分。这个卡诺群族自然包含了三维海森堡群和恩格尔群。此外，我们还表明，在恩格尔和嘉当群存在初始余向量，有一个无限的离散集的时间，在相应的丰富测地线是不等正则的。
2017-02-08 math.DG math.MG math.OC
Measure contraction properties of Carnot groups
证明了维数为$k+1$的任意corank 1卡诺群满足$\mathrm{MCP}(K,N)$当且仅当$K \leq 0$和$N \geq k+3$ .这将Jullet对Heisenberg群$\mathbb{H}_{k+1}$的著名结果推广到更大的一类结构，这类结构允许非平凡的异常极小化曲线。数$k+3$与卡诺群的测地维数一致，我们在这里为一般的度量空间定义卡诺群。我们讨论了它的一些性质，以及它与曲率指数（满足$\mathrm{MCP}(0,N)$的最小$N$）的关系.证明了在度量测度空间上，曲率指数总是大于测地维数，测地维数又大于Hausdorff维数。当应用到卡诺集团，我们的结果提高了以前的下限，由于Rifford。作为一个副产品，我们证明了卡诺集团是理想的，当且仅当它是脂肪。
2016-05-20 math.DG math.MG math.OC
Space of signatures as inverse limits of Carnot groups
本文给出了度量空间中具有无界纤维的$1$ -Lipschitz投影逆系统的极限概念。其目的是使用子黎曼群度量空间的签名的可求长路径在欧几里得空间，介绍了陈。构造性极限空间在具有1-Lipschitz映射的点度量空间范畴中具有泛性质。在一般的设置一些度量性质进行了讨论，如测地线和电梯的存在。次度量的概念将发挥至关重要的作用。该构造适用于固定秩$n$和递增步长的自由卡诺群序列。在这种情况下，这样的极限空间对应于$\mathbb R^n$中的可求长路径的签名空间。Hambly-Lyons关于签名唯一性的结果意味着这个空间是一个测地线度量树，在每个点上以无穷价分支。作为一个特殊的结果，我们推断，每一个路径在$\mathbb R^n$可以近似的投影的一些测地线在一些卡诺群的秩$n$，给出了一个证据，证明复杂的亚黎曼测地线增加的步骤。
2019-10-10 math.CA math.MG
Isometries of Carnot groups and subFinsler homogeneous manifolds
我们证明了卡诺群的开集之间的等距是仿射的。这个结果推广了Hamenstadt的一个结果。我们的证据并不依赖于她的证据。此外，我们还研究了具有左不变subFinsler距离的一般齐性流形的整体等距。我们表明，每个等距是由在一个点的爆破。为了证明这一结果，我们考虑了Killing向量场空间上等距的作用。我们利用Capogna-Cowling和Gleason-Montgomery-Zippin的结果获得等距作用的光滑性。
2012-10-18 math.DG math.GR math.MG
Group actions on geodesic Ptolemy spaces
在本文中，我们研究测地托勒密度量空间$X$，允许适当的和共紧的等距作用的晶体或更一般的，虚拟的多环组。证明了$X$是欧几里得空间的等变粗等距空间。
2008-12-03 math.MG
Geodesics in the Heisenberg group
给出了海森堡群$\mathbb{H}^n$中测地线结构的一个新的初等证明。证明基于$\mathbb{R}^{2n}$中闭曲线的一个新的等周不等式。我们还证明了Carnot-Carathéodory度量是远离群中心的实解析度量。
2015-10-20 math.MG
Escape from compact sets of normal curves in Carnot groups
本文研究了 subFinsler Carnot 群中满足 Pontryagin 最大值原理的正规曲线，证明了非常数曲线会以不低于 $t^{1/s}$ 的量级逃离紧致集，从而得出不存在周期正规测地线的结论。
2023-04-06 math.CA math.DG math.MG
Variational problems concerning sub-Finsler metrics in Carnot groups
本文研究了定义在给定Carnot群的子域上的测地距离，这些测地距离从上到下都被Carnot-Carathéodory距离的固定倍数所限制.我们证明了这些距离的一致收敛性（在紧集上）可以等价地用几类变分问题的$Γ$ -收敛性来刻画.此外，我们还研究了水平丛上的内禀距离类及其度量导数与次Finsler凸度量之间的关系。
2022-02-17 math.AP math.MG
Metric Lie Groups. Carnot-Carathéodory spaces from the homogeneous viewpoint
本书探讨 Lie 群上左不变距离定义的非光滑几何，重点阐述 Carnot 群等度量 Lie 群在幂零群渐近锥、对称空间抛物边界及流形极限等数学语境中的核心作用。
2024-10-09 math.DG math.GR math.MG
Isometric Embeddings into Heisenberg Groups
我们研究了欧几里得空间或海森堡群到高维海森堡群的等距嵌入，其中源空间和目标空间都具有任意的左不变齐次距离，但不一定是次黎曼距离.我们证明了，如果所有的无限测地线在目标是直线，那么这样的嵌入必须是一个齐次同态。我们讨论了目标空间具有这种“测地线线性性质”的一个必要和某些充分条件，并提供了各种例子。
2017-06-07 math.MG
Sub-Riemannian geodesics in the affine-additive group
本文利用庞特里亚金最大值原理推导仿射加法群的次黎曼测地线，计算割时间，并构造Carnot-Carathéodory球面及烧瓶曲面，后者为海森堡群中Pansu球面的类似物。
2026-10-05 math.DG math.MG math.OC
Quasi-conformal VS quasi-isometric equivalence in spaces with controlled growth
University of Jyväskylä（于韦斯屈莱大学）；University of Fribourg（弗里堡大学）；University of New South Wales（新南威尔士大学）；Université Paris-Saclay（巴黎萨克雷大学）
本文研究拟共形同胚成为拟等距的条件，证明了幂零测地李群间的拟共形同胚蕴含拟等距等价，并将结论推广至具有特定共形类型的测地李群及一致局部有界几何的度量测度空间。
2026-10-30 math.GR math.MG
Rigidity for convex-cocompact actions on rank-one symmetric spaces
当一个离散群在非紧秩1对称空间上存在凸-余紧作用时，极限集的豪斯多夫维数存在一个自然下界，由群边界的Ahlfors正则共形维数给出.我们发现，平等的实现时，组稳定的等距副本的一些非紧的秩一对称空间，它的作用与紧凑的商。这推广了Bonk-Kleiner的一个定理，后者在实双曲空间中证明了这个定理。为了证明我们的主要定理，我们研究嵌入在卡诺群中的Lipschitz可微空间的切线。我们表明，几乎所有的切线是等距卡诺子群，至少当他们是整流连接。这扩展了Cheeger的一个定理，Cheeger证明了嵌入在欧几里得空间中的PI空间。
2016-09-09 math.GT math.MG
Intrinsic Diophantine approximation in Carnot groups and in the Siegel model of the Heisenberg group
本文首先研究了有理Carnot群$G$上的丢番图逼近的一个内在概念。如果$G$有豪斯多夫维数$Q$，我们证明了它的丢番图指数等于$(Q+1)/Q$，推广了$G=\mathbb R^n$的情况。我们还得到了关于有理逼近计数的一个精确渐近式。然后，我们专注于海森堡群$\mathbb H^n$的情况下，区分两个概念的丢番图逼近的合理点在$\mathbb H^n$：卡诺丢番图逼近和西格尔丢番图逼近。在计算Siegel丢番图指数（令人惊讶的是，对于所有$\mathbb H^n$都等于1）之后，我们考虑Siegel-差逼近点，以表明Siegel逼近与海森堡连分数和复双曲空间中的测地线都有联系.我们的结论表明，卡诺和西格尔近似是定性不同：西格尔的严重逼近点是施密特赢得任何完整的Ahlfors正则子集的$\mathbb H^n$，而集卡诺严重逼近点不具有这种性质。
2015-10-20 math.MG math.NT
On rectifiable measures in Carnot groups: representation
本文讨论任意卡诺群的可求正性理论，特别是对$\mathscr{P}$-可求正测度概念的研究。首先，我们证明了在任意卡诺群中，可求积测度的自然\textit{infinitesimal}定义，即，根据\textit{flat}正切测度的存在性给出的定义等价于根据具有内在可微图的覆盖给出的全局定义，即，具有\textit{flat} Hausdorff切线的图。在一般情况下，我们没有后者的等价性，如果我们要求覆盖的内在Lipschitz图。其次，我们给出了任意卡诺群中的固有可微图的中心Hausdorff测度的几何面积公式。后一个公式扩展和加强了文献中卡诺群的情况下得到的其他面积公式。作为应用，我们的分析使我们能够证明的内在$C^1$-可求直的几乎所有的原像的一大类Lipschitz函数之间的卡诺群。特别地，从后一个结果，我们得到，任何测地球的卡诺群配备了一个任意的左不变齐次距离是内在的$C^1$-可求长。
2021-04-01 math.DG math.MG
How many geodesics join two points on a contact sub-Riemannian manifold?
研究了切触子黎曼流形M上两点$p$和$q$之间测地线的个数。我们证明了$M$上测地线的计数是由$p$（接触卡诺群）上的幂零近似的计数控制的。对于接触卡诺群，我们使计数在以$p$为中心的指数坐标$(x,z) \in \mathbb{R}^{2n} \times \mathbb{R}$中显式。在这种情况下，我们证明了，对于一般的$q$的$p$和$q=(x,z)$之间的测地线$ν(q)$的数量满足：\[ C_1\frac{|z|}{\|x\|^2} + R_1 \leq ν(q) \leq C_2\frac{|z|}{\|x\|^2} + R_2\]的一些常数$C_1,C_2$和$R_1,R_2$。我们恢复海森堡群的精确值，其中$C_1=C_2 = \frac{8}π$。删除$q$的泛型条件，测地线可能会出现在家庭，我们证明了类似的声明，他们的拓扑结构。我们研究这些家庭，特别是我们专注于意想不到的外观等距非等效测地线：家庭的等距的行动是不传递的。我们应用以前的研究接触次黎曼流形：我们证明了，对于任何给定的点$p \in M$有一个序列的点$p_n$，使$p_n \to p$和$p$和$p_n$之间的测地线的数量增长无界（此外，这些测地线的属性被包含在一个小邻域$p$）。
2017-04-25 math.DG math.MG math.OC
Interior singularity and branching of geodesics in real-analytic sub-Riemannian manifolds
Università degli Studi dell’Aquila（阿奎拉大学）；Scuola Internazionale Superiore di Studi Avanzati (SISSA)（国际高等研究院）；Unité de Mathématiques Appliquées, ENSTA, Institut Polytechnique de Paris（巴黎理工学院应用数学系）
研究实解析子黎曼流形中严格异常极小测地线的正则性和分支特性，通过构造例子解决长期未解问题，并在 Carnot 组中证明非光滑和分支极小测地线的存在。
2026-04-30 math.DG math.MG
Isometric embedding of a weighted Fermat-Frechet multitree for isoperimetric deformations of the boundary of a simplex to a Frechet multisimplex in the $K$-Space
本文研究了$N$维$K$ -空间（$N$维欧氏空间$\mathbb{R}^{N}$，如果$K=0,$，$N$维开半球半径$\frac{1}{\sqrt{K}}$（$\mathbb{S}_{\frac{1}{\sqrt{K}}}^{N}$），如果$K >0$和常曲率的罗巴切夫斯基空间$\mathbb{H}_{K}^{N}$，如果$K<0$）中确定$N$ -单形的正实数$\frac{N (N+1)}{2}-$元组的加权Fermat-Frechet问题.（加权）Fermat-Frechet问题是$N$ -单形的（加权）Fermat问题的一个新的推广。我们控制的解决方案（加权费马树）的数量相对于加权费马-弗雷歇问题，我们称之为加权费马-弗雷歇多树，通过使用一些条件的边长发现Dekster-Wilker。为了构造$K$ -空间中加权Fermat-Frechet多重树的等距浸入，我们利用了$N$ -球面中$N$ -单形的Godel-Schoenberg的等距浸入和$N$ -双曲空间$\mathbb{H}_{K}^{N}$中加权Fermat（Steiner）树的Gromov的等距浸入（直到加常数）.最后，我们创建了一个新的变分方法，它不同于Schafli的，罗的和Milnor的技术，以区分长度的测地弧相对于可变测地弧，在3 $K$ -空间。应用这种方法，我们从方程组中消去了一个变量测地弧，从而给…
2022-09-13 math.DG math.MG math.OC
Quasisymmetric maps of boundaries of amenable hyperbolic groups
本文证明了：如果$Y=N \times \mathbb{Q}_m$是度量空间，其中$N$是赋有Carnot-Caratheodory度量的Carnot群，则$Y$的任何拟对称映射实际上是bilipschitz映射.关键的观察是，$Y$是一个混合型局部紧顺从双曲群的抛物可视边界。同样的结果也适用于更大类的幂零李群$N$。作为证明的一部分，我们还获得了混合型局部紧顺从双曲群的部分拟等距刚性结果。最后证明了在$N= \mathbb{R}^n$情形下$Y$的Bilipschitz映射的一致子群的刚性结果.
2014-04-21 math.GR math.MG
Stability of isometric maps in the Heisenberg group
本文证明了Heisenberg群中双Lipschitz映射的一些逼近结果。也就是说，我们表明，biLipschitz映射biLipschitz常数接近1可以逐点近似，定量地在任何固定的球，由等距。这导致了一个近似的BMO范数的地图的潘苏衍生物。我们还证明了一个整体的拟测地线可以近似的测地线在任何固定的部分。
2008-01-15 math.MG
Additive quasi-isometries and cacti
University of Oxford（牛津大学）；Brigham Young University（杨百翰大学）
本文证明不含胖θ曲线的测地度量空间与仙人掌图存在加法拟等距，并由此推出所有拟等距于仙人掌图的空间亦然。
2026-09-15 math.CO math.MG
On the reach of isometric embeddings into Wasserstein type spaces
本文研究了测地度量空间X到p-Wasserstein空间及Orlicz-Wasserstein空间的等距嵌入的可达性，证明了多测地线导致局部可达性为零，而CAT(0)空间可达性无穷，并扩展至持续同调图空间。
2023-07-03 math.MG
On the isometric embedding problem for length metric spaces
本文证明每个真n维长度度量空间可近似等距嵌入洛伦兹空间$\mathbb{R}^{3n+6,1}$，即在预定测地线集上保持能量泛函。
2016-01-28 math-ph math.DG math.MG
Isometric action of SL(2,R) on homogeneous spaces
研究了抛物几何中SL（2，R）不变测地曲线与相应的不变距离函数的关系.抛物几何自然地出现在SL（2，R）的研究中，并且被置于椭圆和双曲（也称为罗巴切夫斯基半平面和二维闵可夫斯基半平面时空）几何之间。最初，我们试图使用标准的方法来寻找测地线，但他们导致简并在此设置。相反，通过仔细研究两个相关的椭圆和双曲几何，我们发现了一个统一的方法，一个更奇特的和不太明显的抛物的情况下。借助常见的不变量，我们描述了可能的距离函数，结果证明有一些意想不到的，有趣的属性。
2009-11-14 math.CV math.DG math.MG
Flats in spaces with convex geodesic bicombings
在非正曲率的空间中，等距嵌入的平坦（超）平面的存在性通常在大尺度上由明显较弱的条件所赋予。我们证明了这样的一些结果仍然有效的度量空间与非唯一测线段适当的凸性假设的距离函数沿区分测地线。除其他外，讨论还包括平坦环面定理和格罗莫夫关于嵌入平面的双曲性准则。这推广了Bowditch关于Busemann空间的结果。
2016-03-14 math.DG math.GR math.MG
Transitive bi-Lipschitz group actions and bi-Lipschitz parameterizations
证明了欧氏平面的Ahlfors 2-正则拟对称象是平面的双Lipschitz象当且仅当它们关于群是一致双Lipschitz齐次的.我们还证明了某些测地空间是卡诺群的双Lipschitz象，如果它们是关于群的反演不变双Lipschitz齐性的.
2022-07-08 math.MG
Euclidean nets under isometric embeddings
本文研究黎曼流形上离散子集距离与欧氏网距离对应时流形的几何性质，证明该离散子集构成网、所有测地线距离最短且无共轭点，并推出流形大尺度几何渐近欧氏。
2025-06-03 math.DG math.MG
Hilbert metrics and Minkowski norms
证明了有界凸区域$D\subset \mathbb{E}^n$上的Hilbert几何$(D,h_D)$与赋范向量空间$(V,||\cdot ||)$等距当且仅当$D$是开$n$ -单形.关于希尔伯特度量的渐近几何的一个进一步的结果得到了测地线行为的推论。最后证明了Hilbert几何中的每条测地线都收敛于边界上的一点。
2004-07-12 math.DG math.MG
Isometries and isometric embeddings of Wasserstein spaces over the Heisenberg group
该研究建立欧氏空间与海森堡群最优输运映射的关联，刻画海森堡群上p-Wasserstein空间的测地线结构与度量秩，证明其等距刚性，完善了该类空间的几何性质研究。
2025-07-15 math-ph math.FA math.MG
