Subsets of rectifiable curves in Banach spaces I: sharp exponents in traveling salesman theorems
分析师流动推销员问题是在度量空间中寻找可求长曲线子集的特征。这个问题由Jones于1990年在平面上提出并解决，随后由Okikiolu于1992年在高维欧氏空间中解决，并由Schul于2007年在无限维希尔伯特空间$\ell_2$中解决。本文将Schul关于有界集$E\subset\ell_p$包含在可求长曲线中的充要条件从$p=2$推广到$1<p<\infty$ .当$p=2$的充要条件一致时，我们证明了当$p\neq 2$的充要条件和充分条件之间存在严格的差距。我们还发现并纠正了Schul证明中的技术错误。这项调查的部分动机是最近的工作Edelen，Naber和Valtorta的Reifenberg型定理在巴拿赫空间和补充工作的Hahlomaa和最近的工作大卫和舒尔的分析家的TSP在一般度量空间。
2022-08-23 math.CA math.FA math.MG
Subsets of Rectifiable curves in Hilbert Space-The Analyst's TSP
本文研究希尔伯特空间中的一维集合（豪斯多夫维数）.其目的是分类子集的希尔伯特空间所包含的一个连接集的有限豪斯多夫长度。我们这样做的扩展和改进的结果彼得琼斯和凯特Okikiolu集$\R^d$。他们的结果形成了$\R^d$定量校正的基础。我们证明了以下陈述的定量版本：有限豪斯多夫长度（或一个子集）的连通集，其特征在于以下事实：在大多数尺度上，球内的大多数点的集合，该集合位于接近直线段（这取决于球）。这是通过一个量来完成的，类似于\cite{Jones90}中引入的量，它是平方函数的几何模拟。这使我们能够得出结论，对于给定的集合$K$，这个量的$\ell_2$范数（它是$K$的函数）具有与包含$K$的最短（豪斯多夫长度）连通集相当的大小。特别是，我们的结果意味着，与正确的重新制定的定理，估计在\cite{Jones90,Okik92}是{ \bf独立的环境尺寸}。
2007-05-20 math.CA math.MG
A characterization of $1$-rectifiable doubling measures with connected supports
Garnett、Killip和Schul已经展示了一个支持度等于$\mathbb{R}^{d}$的加倍测度$μ$，它是$1$ -可求长的，这意味着有可数多条有限长度的曲线$Γ_{i}$，其中$μ(\mathbb{R}^{d}\backslash \bigcup Γ_{i})=0$。本文刻画了当支持度等于连通度量空间$X$的加倍测度$μ$有一个正测度的$1$ -可求长子集，并证明了这一集与$μ$ -测度零集重合，且$μ$ -测度零集与$x\in X$集重合，其中$\liminf_{r\rightarrow 0} μ(B_{X}(x,r))/r>0$ .
2016-09-09 math.CA math.MG
Alberti representations and rectifiability of metric spaces
University of Warwick（华威大学）
本文通过证明若限制测度具有n个独立Alberti表示则Borel子集n-可整流，并建立满足PDE约束的测度的高阶可积性，锐利加强了Bate和Li的结果，回答了度量空间可整流性中的多个公开问题。
2026-10-27 math.MG
Differential forms for fractal subspaces and finite energy coordinates
本文通过利用$C^1$函数对欧氏空间的闭子集的限制，定义了点态余切空间，从而在欧氏空间的闭子集上引入了微分形式的概念.方面的上同调的发展：它表明，微分形式是一个巴拿赫代数，它是可能的整合这些形式沿着可求长路径。通过考虑具有有限能量坐标的分形，这些定义与狄利克雷空间上的微分形式理论相联系。在这种情况下，$C^1$微分形式投影到Dirichlet微分形式空间上。进一步证明了，如果狄利克雷型的内禀度量是一个长度空间，则通过有限能量坐标序列的任何可求长路的象也是可求长的。并以谐波Sierpinski垫片为例进行了详细计算。
2017-01-10 math.MG
Absolute continuity of the harmonic measure on low dimensional rectifiable sets
考虑维数为$d<n-1$的一致可求长集$Γ\subset \mathbb R^n$. Guy David，Svitlana Mayboroda等人利用补$Ω= \mathbb R^n \setminus Γ$上的退化椭圆算子，在$Γ$上引入了调和测度的概念.本文证明了$Γ$上的这种调和测度满足$A^\infty$ -性质，即$Γ$上的调和测度与$d$ -维Hausdorff测度在定量和标度不变的情况下相互绝对连续.因此，我们给一个替代证明最近的定理大卫和Mayboroda，这本身扩展了霍夫曼和马特尔的结果的情况下，一致可求长集$Γ$是不是余维1。证明是令人惊讶的简单-特别是不遵循路线使用的大卫和梅博罗达，或霍夫曼和马特尔-但具体的情况下，当$d<n-1$。
2022-07-24 math.AP math.MG
Some examples of non-rectifiable, repetitive Delone sets
我们构造了平面的Delone集（即均匀分离且粗糙密集的离散子集）的例子，这些Delone集是重复的（集合的每个补丁出现在每个足够大的球中），但不可求长（即非双Lipschitz等价于标准格）。更一般地说，我们构造这样一个集合，使其轨道闭合的平移作用具有任何规定的Choquet单纯形作为其不变概率测度的集合（特别是，我们提供了唯一遍历的例子）。该结构依赖于经典的例子Burago-Kleiner和McMullen，我们给纯组合（一个有效的）版本，有兴趣自己。
2015-04-01 math.DS math.GR math.MG
Corona Decompositions for Parabolic Uniformly Rectifiable Sets
我们证明了抛物一致可求长集允许正则Lip（1，1/2）图的（双边）冠分解.结合我们以前的工作，这使我们能够得出结论，如果$Σ\subset\mathbb{R}^{n+1}$是抛物线Ahlfors-David正则的，那么下面的陈述是等价的。(1)$Σ$是抛物线一致可求长的。(2)$Σ$允许正则Lip（1，1/2）图的冠分解. (3)$Σ$允许正则Lip（1，1/2）图的双边冠分解. (4)$Σ$是正则Lip（1，1/2）图的大块平方。
2023-02-07 math.AP math.MG
On rectifiable measures in Carnot groups: Marstrand-Mattila rectifiability criterion
本文继续研究卡诺群中的$\mathscr{P}$ -可求正性概念。我们说一个Radon测度是$\mathscr{P}_h$ -可求正的，对于$h\in\mathbb N$，如果它几乎处处有正的$h$ -下密度和有限的$h$ -上密度，并且在几乎每一点上，它都有一个唯一的直到倍数的正切测度。本文证明了任意Carnot群中$\mathscr{P}$ -可求长测度的一个Marstrand-Mattila可求长准则，其中切面允许正规补子群.也就是说，在这种共法的情况下，即使先验的切面在一个点可能不相同，在不同的尺度，后验的措施有一个唯一的切线几乎处处。由于卡诺群的每个水平子群都有一个正规补，我们的准则适用于切线是一维水平子群的特殊情况。因此，作为我们的Marstrand-Mattila可求正性判据和Chousionis-Magnani-Tyson的结果的直接结果，我们得到了第一海森堡群$\mathbb H^1$中的一维Preiss定理。更精确地说，我们证明了$\mathbb H^1$上的Radon测度$ϕ$关于Koranyi距离具有正的和有限的单密度，关于一维Hausdorff测度$\mathcal{H}^1$是绝对连续的，并且它在Federer意义下支持在一个可求长集上，即，它在从$A\subseteq \mathbb R$到$\mathbb H^1$的Lipschitz映射的图像的可数…
2022-02-19 math.MG
Carleson measure estimates for caloric functions and parabolic uniformly rectifiable sets
本文证明了抛物一致可求长集外热方程有界解满足 Carleson 测度估计，核心创新是利用正则 Lip(1/2,1) 图区域构建日冕区域逼近方案，其椭圆版本改进了已知结果。
2021-03-23 math.AP math.MG
Point distributions in compact metric spaces
我们考虑紧度量空间中的有限点子集（分布）。在一般可求长度量空间的情形下，给出了度量球上分布点间距离和及分布差的非平凡界。我们将Stolarsky的不变性原理推广到距离不变空间，并对任意度量空间证明了一个概率不变原理.此外，我们构造了一般可求长紧度量空间的等测度最小平均直径子集的划分。
2015-12-01 math.CO math.MG math.PR
Identifying 1-rectifiable measures in Carnot groups
本研究扩展了欧几里得空间中的定理，在任意Carnot群中开发测试方法以识别测度中由可求长曲线承载的部分及其奇异部分，并关联解析旅行推销员定理，同时在完备度量空间中实现了Garnett-Killip-Schul构造。
2023-08-30 math.CA math.MG
Mixed Dimensional Compactness with Dimension Collapsing from Sn-1 Bundle Measures
本文给出了Rn中混合维C2可求长子流形的某些并的测度拓扑。在这种拓扑中，当高维集合坍缩到它们时，低维集合作为测度保持在极限中。例如，一个递减的球体序列可能有一个仅由一个点组成的极限。向外指向的向量的n-1维空间可以用于这样的测量。它把Rn中至少有一个余维数的所有C2可求长集表示为Rn × Sn-1中具有n-1维Hausdorff测度的可求长集。当被看作RnXSn-1中的（n-1）-可求长变量或电流时，它们具有紧性定理。他们的限制Rn的投影恢复的可求长集的混合维给限制所需的拓扑的子集Rn。变量折叠和当前紧性都是必需的，因为存在序列，如蜂窝，收敛为变量折叠而不是电流。相反，序列，如升降机的多面体近似收敛的电流，但不作为varifolds。
2004-09-06 math.DG math.MG
Pauls rectifiable and purely Pauls unrectifiable smooth hypersurfaces
本文讨论了在次黎曼几何中寻找一个好的可求正性概念的问题。特别地，我们研究了卡诺群中的光滑超曲面可以期望得到什么样的结果。我们的主要贡献将是以下结果的一个推论：存在一个没有特征点的$C^{\infty}$超曲面$S$，它在每个正测度子集上有无数个两两非同构的切群。这个例子是在一个拓扑维数为8的卡诺群中发现的，它的豪斯多夫维数为12，所以我们在它上面使用豪斯多夫测度$\mathcal{H}^{12}$。结果表明，对于Hausdorff维数为12的卡诺群，定义在其子集上的Lipschitz映射都有$S$-空象.特别地，我们推导出这个光滑超曲面不能由可数个映射Lipschitz参数化，每个映射定义在Hausdorff维数$12$的卡诺群的某个子集上。作为主要的结果，我们有一个概念的可求直性提出的S.Pauls是不等价的一个提出的B.Franchi，R.Serapioni和F.Serra Cassano，至少对任意卡诺群。此外，我们证明了，给定卡诺群的Hausdorff维数为$12$的齐次子群的子集$U$，每个双Lipschitz映射$f:U\to S$满足$\mathcal{H}^{12}(f(U))=0$ .最后，我们证明了这样的例子不存在于海森堡群：我们证明了所有的$C^{\infty}$ -超曲面在$\mathbb H^n$与$n\geq 2$是可数$\mathbb{H}^{n-1}…
2019-10-28 math.AP math.DG math.MG
Uniformly rectifiable metric spaces: Lipschitz images, Bi-Lateral Weak Geometric Lemma and Corona Decompositions
本文在任意 Ahlfors 正则度量空间中证明了 Lipschitz 像大块、双侧弱几何引理与 Corona 分解的等价性，从而将一致可求长性的经典刻画推广到一般度量空间，并研究了 Reifenberg 参数化。
2023-06-22 math.CA math.MG
Typical Lipschitz images of rectifiable metric spaces
本文研究可求长度量空间在典型 1-Lipschitz 映射下的像，依据切范数刻画 Hausdorff 测度保持性，并给出强可求长情形的近最优结果及范数空间中的反例。
2024-10-28 math.FA math.MG
Point distributions in compact metric spaces, II
我们考虑紧度量空间中的有限点子集（分布）。在一般可求长的度量空间中，给出了度量球中分布点间距离和的非平凡界以及分布的差异的非平凡界（定理1.1）。我们将Stolarsky的不变原理推广到距离不变空间（定理2.1）。对于任意度量空间，我们证明了一个概率不变原理（定理3.1）。此外，我们构造了一般可求长紧度量空间的等测度分拆为小平均直径的部分（定理4.1）。该版本的论文将发表在Mathematika上
2017-01-15 math.MG math.PR
On sets with unit Hausdorff density in homogeneous groups
给出度量空间的一个子集$E$，如果$E$在$α\ge 0$维上有有限Hausdorff测度，且$\mathscr{H}^α\llcorner E$几乎处处有单位密度，则$E$是一个$α$ -可求长集，这是一个长期存在的猜想.我们证明了这个猜想的假设下，周围的度量空间是一个齐次群的光滑盒模。
2022-06-30 math.MG
Characterizing rectifiability via biLipschitz pieces of Lipschitz mappings on the space
本文给出了可求长度量空间的新刻画：通过Lipschitz映射的biLipschitz片段及完全biLipschitz分解，并利用独立Alberti表示构造方法，将不可求长空间刻画为存在与低维映射定量横截的曲线片段上$\cH^1$-零测集的空间。
2025-10-15 math.CA math.MG
Square packings and rectifiable doubling measures
本文利用平面正方形填装观察构造高维 Lipschitz 像，证明 $\mathbb{R}^d$ 上存在 $m$-可整流且纯 $(m-1)$-不可整流的加倍测度，并应用于海森堡群及 Assouad 维数受限的紧度量空间。
2025-05-07 math.CA math.MG
Self-contracted curves have finite length
曲线$θ$：在一个度量空间$E$中的$I\to E$被称为自收缩的，如果对于任何三个时间$\{t_i\}_{i=1}^3\subset I$与$t_1\leq t_2\leq t_3$的实例都有$d(θ(t_3),θ(t_2))\leq d(θ(t_3),θ(t_1))$，则配置有距离$d$，其中$I\subset \R$是一个（可能是无界的）区间。证明了：若$E$是一个具有任意范数的有限维赋范空间，且$θ$的迹是有界的，则$θ$有有限长，即是可求长的，从而肯定地回答了~ \cite{Lemenant16sc-rectif}中提出的问题.
2017-07-16 math.MG
Asymptotics of generalized Hadwiger numbers
本文给出了中心对称椭圆$B$与具有可求长边界的二维区域$F$有公共点的非重叠位似拷贝数的渐近估计，推广了L.Fejes-Toth，K.Borockzy Jr.，D.G.Larman、S.Sezgin、C.Zong和作者。渐近式计算由$B$确定的Minkowski度量中的边界$\partial F$的长度。证明的核心包括一个方法，用于沿着闵可夫斯基平面中具有正到达的曲线滑动凸珠。我们还证明了水平集是可求长的子集，并将Erdös，Oleksiv和Pesin关于欧几里得空间的一个定理推广到Minkowski空间。
2008-09-15 math.CO math.MG
Finite Good Witnesses for Generalized Curve Projections at the Rectifiable Endpoint
The University of Toronto（多伦多大学）
本文针对1-可求长集建立广义曲线投影的有限优见证原理，通过内蕴论证和新的折叠非退化条件得到确定性见证子与例外参数结构界，并将框架应用于多类非线性投影族，补充了分形集相关的例外集估计工作。
2026-08-12 math.CA math.MG
Weak Carleson conditions in uniformly rectifiable metric spaces: the WCD and alpha numbers
该研究通过弱Carleson条件刻画一致可求长度度量空间，证明UR空间满足弱常数密度条件，引入度量空间版alpha数并证明其弱Carleson条件可刻画度量一致可求长度性，且两结果均为更一般抽象结论的推论。
2024-12-12 math.CA math.MG
A $d$-dimensional Analyst's Travelling Salesman Theorem for subsets of Hilbert space
我们感兴趣的是无穷维希尔伯特空间$H$子集的定量可求正性结果。我们证明了一个版本的阿扎姆和舒尔的$d$ -维分析师的旅行推销员定理在此设置显示任何较低的$d$ -正则集$E \subseteq H$，\[ \text{diam}(E)^d + β^d(E) \sim \mathscr{H}^d(E) + \text{Error}, \]其中$β^d(E)$给一个措施的曲率$E$和误差项是有关的理论一致rectifiability（一个定量版本的rectifiability介绍了大卫和塞姆斯）。为了做到这一点，我们展示了如何修改大卫和托罗的Reifenberg参数化定理，使其在希尔伯特空间中成立。作为推论，我们证明了一个集合$E \subseteq H$是一致可求长的当且仅当它满足所谓的双边弱几何引理，这意味着$E$是双边以及近似的平面在大多数尺度和位置。
2021-06-23 math.CA math.MG
The traveling salesman problem in the Heisenberg group: upper bounding curvature
我们证明了如果Heisenberg群中的子集$K$（赋予Carnot-Carathéodory度量）包含在一条可求长曲线中，则它满足Peter Jones几何引理的一个修改的类似物.这是一个定量版本的声明，有限长度曲线有切线几乎在每一个点。该条件补充了\cite{FFP}的条件，除了将幂2改变为幂4。我们在证明中使用的两个关键工具是像\cite{Schul-TSP}那样的几何鞅参数以及海森堡群中的一个新的曲率不等式。
2014-06-25 math.MG
An Analyst's Traveling Salesman Theorem for sets of dimension larger than one
在他1990年的Inventions论文中，P. Jones通过$β$数的多尺度和来描述平面上可求长曲线的子集。这些$β$ -数是几何量，测量给定集合在每个尺度和位置处偏离最佳拟合线的程度。琼斯的结果是一种定量的方式说，一条曲线是可求长的，当且仅当它几乎在每一点都有切线。此外，计算曲线的平方和将曲线的长度返回到乘法常数。K. Okikiolu延长他的结果从子集的飞机子集的欧几里得空间。G. David和S.塞姆斯在阿尔福斯正则性的假设下，使用琼斯的$β$数的一个变体，将讨论扩展到包括大于1的（整数）维集合。本文对欧几里得空间中的任意（整数）维集合给出了P. Jones定理的一个版本。我们用$β$型数的类似和来估计一个集合的$d$维Hausdorff测度.没有假设Ahlfors正则性，而是只有Hausdorff内容的下界。我们通过使用Choquet积分来重新定义Jones的$β$ -数，从而适应David和Semmes的版本。证明中的一个关键工具是G.大卫和T. Toro的参数化Reifenberg平坦集（与洞）。
2019-11-21 math.CA math.MG
Characterizations of $k$-rectifiability in homogenous groups
一个众所周知的$k$ -可求长集的概念可以在任何度量空间中使用$\mathbb{R}^k$的子集的Lipschitz像来公式化。当度量空间是任意齐次群时，证明了$k$ -可求正性的一些特征.特别是，我们表明，a.e. $(k,\mathbb{G})$ -近似切群的存在性蕴涵了$k$ -可求直性。
2020-09-08 math.CA math.DG math.MG
The Traveling Salesman Theorem in Carnot Groups
设$\mathbb{G}$为任意卡诺群。证明了如果$\mathbb{G}$的一个子集包含在一条可求长曲线中，则它满足PeterJones的几何引理，并作了一些自然的修改.从而证明了$\mathbb{G}$中旅行商定理的一个方向。我们的证明依赖于新的Alexandrov型曲率不等式的Hebisch-Sikora度量。我们还应用几何引理证明了，在每个卡诺群中，存在$-1$ -齐次Calderón-Zygmund核，使得如果一个集合$E \subset \mathbb{G}$包含在1-正则曲线中，则相应的奇异积分算子在$L^2(E)$中有界.与欧几里德设置相反，这些核是非负的和对称的。
2018-04-16 math.CA math.MG
Rectifiability of planes and Alberti representations
我们研究度量测度空间，具有定量拓扑控制，以及一个弱形式的可微结构。特别地，令$X$是逐点加倍度量测度空间。设$U$是一个Borel子集，在这个Borel子集上$X$的爆破是拓扑平面.我们证明了$U$最多可以容纳$2$独立的Alberti表示.此外，如果$U$允许$2$ Alberti表示，则对$U$的测度限制是$2$ -可求正的。这是对第二作者和Schioppa的一个问题的案例$n=2$的部分回答。
2016-11-16 math.CA math.MG
Purely unrectifiable metric spaces and perturbations of Lipschitz functions
通过研究所有有界1-Lipschitz函数$f\colon X \to \mathbb R^m$的集合的元素关于上确界范数的任意小扰动，证明了完备度量空间$X$的具有有限Hausdorff $n$ -测度的纯$n$ -不可求长子集$S$.在一个这样的表征，它表明，如果$S$具有积极的低密度几乎无处不在，然后设置所有的$f$与$\mathcal H^n(f(S))=0$是剩余的。相反，如果$E\subset X$是$n$ -可与$\mathcal H^n(E)>0$求正的，则所有具有$\mathcal H^n(f(E))>0$的$f$的集合是剩余的。这些结果为任意度量空间中的Besicovitch-Federer投影定理提供了一个替代，该定理在欧氏空间之外是错误的。
2020-03-09 math.CA math.MG
A note on topological dimension, Hausdorff measure, and rectifiability
本文的目的是对一般度量空间记录David Bate最近的一个结果的一个推论。证明了如下事实：设$X$是拓扑维数为$n$的紧度量空间.设$X$的$n$维Hausdorff测度$\mathcal H^n(X)$是有限的.进一步假设测度$\mathcal H^n$的低n-密度是正的，$\mathcal H^n$ -几乎在$X$中的任何地方。则$X$包含正$\mathcal H^n$ -测度的$n$ -可求长子集.此外，如果使用最近宣布的Csörnyei-Jones的结果，则不需要对较低密度的假设。
2018-07-07 math.CA math.MG
Qusisymmetric dimension distortion of Ahlfors regular subsets of a metric space
证明了若$f:X\to Y$是Ahlfors正则空间之间的拟对称映射，则对“几乎每一个”有界Ahlfors正则集$E\subseteq X$，有$\dim_H f(E)\leq\dim_H E$.另外，若$X$和$Y$是Loewner空间，则对“几乎每一个”Ahlfors正则集$E\subset X$有$\dim_H f(E)=\dim_H E$.这些结果的精确报表中给出的Fuglede的模的措施。作为这些一般定理的推论，我们证明了：如果$f$是$\mathbb{R}^N$，$N\geq 2$的拟共形映射，则对于Lebesgue a.e.我们有$y\in\mathbb{R}^N$。类似的结果也适用于卡诺群。对于平面拟共形映射，我们的一般估计意味着：如果$E \subset \mathbb{R}$是Ahlfors $d$ -正则的，$d<1$，那么$f(E \times \mathbb{R})$的某个分支的维数至多为$2/(d+1)$，并且我们构造了例子来证明这个界是尖锐的.另外，我们证明了存在一个$1$ -维集$S\subseteq \mathbb R$和平面拟共形映射$f$，使得$f(\mathbb{R} \times S)$不含可求长的子弧.这些结果推广了Balogh，Monti和Tyson \cite{Tyson:frequency}的工作，并回答了\cite{Tyson:f…
2016-03-04 math.CV math.MG
On Boundaries of $\varepsilon$-neighbourhoods of Planar Sets: Singularities, Global Structure, and Curvature
本文研究紧致平面集合 $\varepsilon$-邻域边界的几何与拓扑性质，开发新技术将奇点分为八类，刻画了补集正可达的局部几何条件，给出边界一致可求长的充分条件，并证明曲率在边界 Jordan 曲线子集上几乎处处有定义。
2025-05-27 math.GN math.MG
Embeddability and rectifiability of Lipschitz differentiability spaces
本文通过可分解束和爆破分析，证明了双Lipschitz嵌入RNP空间的Lipschitz可微空间可数可修正，并给出新的刻画及解决Le Donne问题。
2026-09-09 math.MG
Quantitative Estimates on the Singular Sets of Alexandrov Spaces
设$X\in\text{Alex}\,^n(-1)$是具有曲率$\ge -1$的$n$维Alexandrov空间.令$r$ -尺度$(k,ε)$ -奇异集$\mathcal S^k_{ε,\,r}(X)$是$x\in X$的集合，使得$B_r(x)$在任何分裂空间$\mathbb R^{k+1}\times Z$中都不是$εr$ -接近球.我们表明，存在$C(n,ε)>0$和$β(n,ε)>0$，独立的体积，使任何不相交的集合$\big\{B_{r_i}(x_i):x_i\in \mathcal S_{ε,\,βr_i}^k(X)\cap B_1, \,r_i\le 1\big\}$，包装估计$\sum r_i^k\le C$举行。因此，我们得到了Hausdorff测度估计$\mathcal H^k(\mathcal S^k_ε(X)\cap B_1)\le C$和$\mathcal H^n\big(B_r (\mathcal S^k_{ε,\,r}(X))\cap B_1(p)\big)\leq C\,r^{n-k}$。这回答了Kapovitch和Lytchak提出的一个开放性问题。我们还证明了$k$ -奇异集$\mathcal S^k(X)=\underset{ε>0}\cup\left(\underset{r>0}\cap\mathcal S^k_{ε,\,r}\right)…
2019-12-08 math.DG math.MG
A rectifiability result for finite-perimeter sets in Carnot groups
该研究在Carnot群框架下提出了一种可能更弱的锥性质可求长概念，证明有限周长集的约化边界可被可数个具该性质的子集覆盖，还推导了锥内含水平方向时的可数可求长性，并验证其在丝状群中成立。
2023-10-04 math.AP math.DG math.GR
Intrinsic perimeter, compactness and Poincaré inequality for SBV functions in Carnot-Carathéodory spaces
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；Università di Padova（帕多瓦大学）
通过引入内蕴可数可求积集的内蕴周长测度，在满足性质$\mathcal R$的等则Carnot-Carathéodory空间中证明了有界变差特殊函数的紧性结果和Poincaré不等式。
2026-06-17 math.CA math.FA math.MG
The Analyst's traveling salesman theorem in graph inverse limits
在一类由Laakso引入并由Cheeger-Kleiner推广的高度非欧度量空间中，证明了PeterJones的旅行商定理.这些空间被构造为度量图的逆极限，并且包括加倍和具有庞加莱不等式的例子。我们表明，在这些空间之一的一组包含在一个可求长曲线当且仅当它是定量的“平坦”在大多数位置和尺度，其中平坦度是衡量相对于所谓的单调测地线。这提供了在这些空间内的定量可校正性的第一次检查。
2016-03-09 math.CA math.MG
Regularity of sets with constant intrinsic normal in a class of Carnot groups
在这篇注记中，我们定义了一类任意阶的分层李群（在整篇文章中称为“$\star$型群”），并且我们证明了，在这些群中，具有常数固有法线的集合是垂直半空间。因此，在$\star$型群中的有限固有周长集合的约化边界在固有意义上是可求长的（De Giorgi可求长定理）。这个结果推广了Franchi，Serapioni和Serra Cassano在第二步群中证明的结果.
2013-12-27 math.CA math.FA math.MG
