Characterizing rectifiability via biLipschitz pieces of Lipschitz mappings on the space
本文给出了可求长度量空间的新刻画：通过Lipschitz映射的biLipschitz片段及完全biLipschitz分解，并利用独立Alberti表示构造方法，将不可求长空间刻画为存在与低维映射定量横截的曲线片段上$\cH^1$-零测集的空间。
2025-10-15 math.CA math.MG
Rectifiability of the reduced boundary for sets of finite perimeter over RCD$(K,N)$ spaces
本文研究RCD $(K,N)$度量测度空间上的有限周长集.其目的是在这个框架内完成De Giorgi定理的推广。从文[2]的结果出发，得到了有限周长集的约化边界的切线唯一性和可求长性。作为一个中间工具，独立的利益，我们开发了一个高斯-格林分部积分法公式定制此设置。这些结果是新的和非平凡的，即使在设置的Ricci极限。
2019-09-01 math.DG math.FA math.MG
Minkowski and packing Dimension comparisons for sets with Reifenberg properties
在Koeller的\cite{koerprops}的12个变种的Reifenberg属性已知是有助于理论的极小曲面进行了分类相对于各种豪斯多夫措施为基础的措施理论性质。分类导致考虑精细的几何性质和连接到分形几何。目前的工作发展了这种联系，并扩大了分类考虑闵可夫斯基维，包装尺寸，措施，和rectifiability，和平等的包装和Hausdorff措施与有趣的结果。
2011-01-19 math.MG
A sharp bound on the Hausdorff dimension of the singular set of an n-uniform measure
几何的研究$n$ -均匀措施在$\mathbb{R}^{d}$一直是一个重要的问题，在许多领域的分析，因为Preiss'开创性的证明rectifiability措施，积极和有限的密度。统一措施的分类至今仍是一个悬而未决的问题。事实上，只有一个已知的例子，一个非平凡的一致措施，即$3$ -豪斯多夫措施限制在科瓦尔斯基-普雷斯锥。利用这个锥可以构造一个$n$ -一致测度，它的奇异集具有豪斯多夫维数$n-3$ .在本文中，我们证明了这是最大的奇异集可以。也就是说，任何$n$ -一致测度的奇异集的豪斯多夫维数至多为$n-3$ .
2015-10-13 math.DG math.MG
Tangents, rectifiability, and corkscrew domains
在最近的一篇论文中，Csörnyei和Wilson证明了$σ$ -有限长度的欧几里得空间中的曲线在一组正的$\mathscr{H}^{1}$ -测度上有切线。他们还表明，一个更高的维度模拟这个结果是不可能的，没有一些额外的假设。本文证明了：如果$Σ\subseteq \mathbb{R}^{d+1}$具有以$Σ$为中心的每个球包含两个位于$Σ^{c}$不同分量中的大球的性质，且$Σ$具有$σ$ -有限$\mathscr{H}^{d}$ -测度，则它在一组正的$\mathscr{H}^{d}$ -测度中具有$d$ -维切点.我们也给出了较短的证明，Semmes表面是一致可求长的，如果$Ω\subseteq \mathbb{R}^{d+1}$是一个外部的螺旋形域的边界具有局部有限的$\mathscr{H}^{d}$措施，可以找到一个Lipschitz子域相交的大部分边界。
2016-12-28 math.AP math.CA math.MG
On rectifiable measures in Carnot groups: Marstrand-Mattila rectifiability criterion
本文继续研究卡诺群中的$\mathscr{P}$ -可求正性概念。我们说一个Radon测度是$\mathscr{P}_h$ -可求正的，对于$h\in\mathbb N$，如果它几乎处处有正的$h$ -下密度和有限的$h$ -上密度，并且在几乎每一点上，它都有一个唯一的直到倍数的正切测度。本文证明了任意Carnot群中$\mathscr{P}$ -可求长测度的一个Marstrand-Mattila可求长准则，其中切面允许正规补子群.也就是说，在这种共法的情况下，即使先验的切面在一个点可能不相同，在不同的尺度，后验的措施有一个唯一的切线几乎处处。由于卡诺群的每个水平子群都有一个正规补，我们的准则适用于切线是一维水平子群的特殊情况。因此，作为我们的Marstrand-Mattila可求正性判据和Chousionis-Magnani-Tyson的结果的直接结果，我们得到了第一海森堡群$\mathbb H^1$中的一维Preiss定理。更精确地说，我们证明了$\mathbb H^1$上的Radon测度$ϕ$关于Koranyi距离具有正的和有限的单密度，关于一维Hausdorff测度$\mathcal{H}^1$是绝对连续的，并且它在Federer意义下支持在一个可求长集上，即，它在从$A\subseteq \mathbb R$到$\mathbb H^1$的Lipschitz映射的图像的可数…
2022-02-19 math.MG
Subsets of Rectifiable curves in Hilbert Space-The Analyst's TSP
本文研究希尔伯特空间中的一维集合（豪斯多夫维数）.其目的是分类子集的希尔伯特空间所包含的一个连接集的有限豪斯多夫长度。我们这样做的扩展和改进的结果彼得琼斯和凯特Okikiolu集$\R^d$。他们的结果形成了$\R^d$定量校正的基础。我们证明了以下陈述的定量版本：有限豪斯多夫长度（或一个子集）的连通集，其特征在于以下事实：在大多数尺度上，球内的大多数点的集合，该集合位于接近直线段（这取决于球）。这是通过一个量来完成的，类似于\cite{Jones90}中引入的量，它是平方函数的几何模拟。这使我们能够得出结论，对于给定的集合$K$，这个量的$\ell_2$范数（它是$K$的函数）具有与包含$K$的最短（豪斯多夫长度）连通集相当的大小。特别是，我们的结果意味着，与正确的重新制定的定理，估计在\cite{Jones90,Okik92}是{ \bf独立的环境尺寸}。
2007-05-20 math.CA math.MG
Pauls rectifiable and purely Pauls unrectifiable smooth hypersurfaces
本文讨论了在次黎曼几何中寻找一个好的可求正性概念的问题。特别地，我们研究了卡诺群中的光滑超曲面可以期望得到什么样的结果。我们的主要贡献将是以下结果的一个推论：存在一个没有特征点的$C^{\infty}$超曲面$S$，它在每个正测度子集上有无数个两两非同构的切群。这个例子是在一个拓扑维数为8的卡诺群中发现的，它的豪斯多夫维数为12，所以我们在它上面使用豪斯多夫测度$\mathcal{H}^{12}$。结果表明，对于Hausdorff维数为12的卡诺群，定义在其子集上的Lipschitz映射都有$S$-空象.特别地，我们推导出这个光滑超曲面不能由可数个映射Lipschitz参数化，每个映射定义在Hausdorff维数$12$的卡诺群的某个子集上。作为主要的结果，我们有一个概念的可求直性提出的S.Pauls是不等价的一个提出的B.Franchi，R.Serapioni和F.Serra Cassano，至少对任意卡诺群。此外，我们证明了，给定卡诺群的Hausdorff维数为$12$的齐次子群的子集$U$，每个双Lipschitz映射$f:U\to S$满足$\mathcal{H}^{12}(f(U))=0$ .最后，我们证明了这样的例子不存在于海森堡群：我们证明了所有的$C^{\infty}$ -超曲面在$\mathbb H^n$与$n\geq 2$是可数$\mathbb{H}^{n-1}…
2019-10-28 math.AP math.DG math.MG
Weak Carleson conditions in uniformly rectifiable metric spaces: the WCD and alpha numbers
该研究通过弱Carleson条件刻画一致可求长度度量空间，证明UR空间满足弱常数密度条件，引入度量空间版alpha数并证明其弱Carleson条件可刻画度量一致可求长度性，且两结果均为更一般抽象结论的推论。
2024-12-12 math.CA math.MG
Notes on Pointed Gromov-Hausdorff Convergence
本文针对的是开始使用（指向）格罗莫夫-豪斯多夫收敛的每个人。主要介绍并研究了紧度量空间和点度量空间的格罗莫夫-豪斯多夫收敛。讨论了格罗莫夫-豪斯多夫收敛与极限之间的关系。
2017-03-28 math.MG
Bi-Lipschitz Pieces between Manifolds
一类著名的问题问如下：如果$X$和$Y$是度量测度空间和$f:X\rightarrow Y$是一个Lipschitz映射的形象有积极的措施，那么必须$f$有大片上，它是双Lipschitz？建立在方法的大卫（谁不是本作者）和塞姆斯，我们回答这个问题的肯定Lipschitz映射之间的某些类型的Ahlfors $s$ -定期，拓扑$d$ -流形。一般来说，这些流形不需要在任何欧几里得空间中是双李普希茨可嵌入的。为了证明这一结果，我们利用了流形的格罗莫夫-豪斯多夫收敛和Bonk和Kleiner的一个拓扑定理.这也给出了一些度量流形的一致求长性的一个新证明。
2013-12-13 math.CA math.MG
A short note on the dimension of the CC-geodesic Kakeya sets in the first Heisenberg group
Ghent University（根特大学）
该研究针对第一Heisenberg群的CC测地线Kakeya集，修正了Kakeya猜想的自然预测，证明其精确下界为4，构造了满维零测集及不同曲率的低维零测Kakeya集，完善了相关维数理论。
2026-08-27 math.CA math.MG
Coronizations and big pieces in metric spaces
我们证明了加冕相对于任意d-正则集（不一定是图）意味着这些（近似）集的大块平方。这是已知的（由于大卫和塞姆斯在足够大的余维的情况下，和阿扎姆和舒尔一般）在（经典）设置的欧几里得空间与豪斯多夫措施的整数维，其中的近似集是Lipschitz图。我们的结果是这些结果的一个深远的推广，我们证明了加冕意味着大块平方是一个通用的属性。特别是，我们的结果适用于，当适当的解释，在度量空间有一个固定的正（也许是非整数）的尺寸，配备了博雷尔正则测度和任意近似集。作为一个新的应用程序，我们强调如何利用这一一般设置的上下文中的抛物线均匀可整流性。
2020-09-09 math.CA math.MG
A note on Gromov-Hausdorff-Prokhorov distance between (locally) compact measure spaces
给出了紧度量空间集合上的Gromov-Hausdorff度量的一个推广：紧度量空间集合上的Gromov-Hausdorff-Prokhorov度量.然后，我们将其扩展到非紧的情况下，通过描述一个度量的一组根完整的局部紧长度空间赋予一个局部有限的措施。我们证明了这个具有扩展的Gromov-Hausdorff-Prokhorov度量的空间是一个Polish空间。这种推广需要定义Lévy树，Lévy树是（可能是无界的）赋予局部有限测度的随机实树。
2012-02-24 math.MG math.PR
A note on the 1-prevalence of continuous images with full Hausdorff dimension
考虑任意紧度量空间上实值连续函数组成的巴拿赫空间。众所周知，对于一个普遍的（在亨特，绍尔和约克的意义上）一组功能的豪斯多夫维数的形象是尽可能大，即1。我们扩展了这一结果表明，“普遍”可以被替换为“1-普遍”，即它是可能的\emph{witness}这种流行使用的措施支持的一维子空间。这种一维尺度称为\emph{probes}，它们的存在表明流行率的结构和性质比必须使用更复杂的“无限维”见证尺度的情况更简单。
2014-01-27 math.MG math.PR
Geodesic in the Gromov-Hausdorff class for which the real line is an interior point
本文在Gromov-Hausdorff类中构造了一条测地线，其内点包含带自然度量的实数直线，解决了该空间中的测地线存在性问题。
2025-10-26 math.MG
Condensation of polyhedric structures onto soap films
我们研究了局部Lipschitz同伦下稳定的拓扑类上的一般测度最小化问题的解的存在性，包括标准的高原问题，而不需要限制性的假设，如定向性，甚至可整流的表面。在一个开放和有界域的问题的情况下，我们建立了一个“最小候选人”的存在，获得的最小化序列的措施是低连续的局部Hausdorff收敛的限制。虽然我们没有给出一种方法来控制的拓扑约束时，采取限制-除了一些例子的拓扑类保持局部分离或周期二维集-我们证明了这个候选人是一个Almandro-极小集。因此，使用正则性结果，如让·泰勒定理，这可能是一种在任意维数和余维的一般设置下找到上述最小化问题的解决方案的方法。
2009-09-29 math.MG
A simple proof of Dvoretzky-type theorem for Hausdorff dimension in doubling spaces
超度量骨架定理[Mendel，Naor 2013]暗示了以下豪斯多夫维数的非线性Dvoretzky型定理：对于任何$0<β<α$，任何豪斯多夫维数$α$的紧致度量空间$X$包含一个子集，该子集是双Lipschitz等价于超度量，并且具有至少$β$的豪斯多夫维数。在本文中，我们提出了一个简单的证明超度量骨架定理在加倍空间使用Bartal的拉姆齐分解[Bartal 2021]。同样的一般方法也被用来回答一个问题Zindulka [Zindulka 2020]的存在“近超度量”子集的紧空间具有完整的豪斯多夫维数。
2022-02-28 math.MG
Improvement of the dimension bound for unweighted RCD spaces
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；University of Warwick（华威大学）
该研究针对无权重RCD空间的维数界问题，证明有限维无权重RCD空间的维数界可自动改进为其Hausdorff维数，且在额外假设n-可求长性时，该结论对N=∞的情形也成立，推进了RCD空间理论的相关研究。
2026-09-01 math.DG math.MG
Contractibility of the space of $\varepsilon$-nets in $\mathbb{R}$
本文研究了实直线中ε-网空间在自然度量下的合同性，证明了该空间在Hausdorff或Gromov-Hausdorff距离下是合同的。
2026-05-19 math.MG
Continuity of nonlinear eigenvalues in $CD(K,\infty)$ spaces with respect to measured Gromov-Hausdorff convergence
在本文中，我们证明了在$CD(K,\infty)$空间的非线性设置下的拉普拉斯算子$-Δ$的Krasnoselskii谱的稳定性下测量格罗莫夫-豪斯多夫收敛，在一个额外的紧性假设下满足，例如，由序列的$CD^*(K,N)$度量测度空间一致有界直径。另外，我们证明了Krasnoselskii谱中的每个元素$λ$确实是一个本征值，即存在一个满足本征值方程$- Δu = λu$的非平凡$u$.
2017-06-26 math.AP math.MG math.SP
A note about charts built by Eriksson-Bique and Soultanis on metric measure spaces
这一说明的动机是最近的研究Eriksson Bique和Soultanis关于建设图在一般度量测度空间。我们分析他们的建设，并提供了一个替代和更简单的事实证明，这些图表存在于有限的豪斯多夫维数。本文的观察也为研究$\text{RCD}$空间中的参考测度与图之间的关系提供了一些简化。
2022-10-13 math.MG
A note on antichains in the continuous cube
众所周知，偏序集$[0,1]^n$中的反链必须具有测度零。Engel，Mitsis，Pelekis和Reiher证明了它实际上一定有$(n-1)$维Hausdorff测度至多为$n$，并证明了这个界是可以达到的.在本文中，我们证明了，对于每一个$n$，这样的反链确实存在。
2019-11-08 math.CO math.MG
Steiner's Invariants and Minimal Connections
本文的目的是证明任何紧度量空间都可以最小代价连通，其中代价取为一维Hausdorff测度。
2006-09-08 math.MG
Gromov--Hausdorff Distance Between Euclidean Unit Balls
University of Florida（佛罗里达大学）
本文利用Borsuk--Ulam定理，证明了不同维数欧几里得单位球间的Gromov--Hausdorff距离大于1/2且随维数趋于1，并给出上界小于1。
2026-09-29 math.MG
Lipschitz distance between clouds
本文证明了单点度量空间和实数线到有限Gromov-Hausdorff距离的度量空间类的Lipschitz距离为正，揭示了这些类之间的分离性。
2025-10-26 math.MG
Purely 1-unrectifiable metric spaces and locally flat Lipschitz functions
我们刻画了紧致的度量空间，其局部平坦的Lipschitz函数将点一致分离为纯1-不可求长的点，解决了Weaver的一个问题。随后，我们使用这种几何特征来回答Lipschitz分析中的几个问题。值得注意的是，紧度量空间$M$上的无Lipschitz空间$\mathcal{F}(M)$是对偶空间当且仅当$M$是纯1-不可求长的。进一步，我们建立了Radon-Nikodaim性质（RNP）的紧决定性原理，并证明了对于任何完全度量空间$M$，纯1-不可求正性实际上等价于$\mathcal{F}(M)$的一些著名的巴拿赫空间性质，如RNP和Schur性质.一个直接的结果是，任何完备的纯1-不可求长的度量空间等距嵌入具有RNP的巴拿赫空间。最后，我们提供了一个可能的解决方案的惠特尼问题，找到1-临界紧度量空间的可求正性为基础的描述，我们使用这个描述证明了以下几点：一个有界的转向树不能是1-临界的当且仅当它的每个子弧有$σ$ -有限Hausdorff 1-措施。
2021-10-29 math.FA math.MG
