发表机构
University of Florida（佛罗里达大学）
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本文利用Borsuk--Ulam定理，证明了不同维数欧几里得单位球间的Gromov--Hausdorff距离大于1/2且随维数趋于1，并给出上界小于1。
AI 中文摘要
不同维数欧几里得单位球之间的Gromov--Hausdorff距离，记为$d_\gh(B^m,B^n)$，当$m>n$时是多少？注意，由持续同调的稳定性得出的下界为零，因为所有球具有相同的（平凡的）持续同调。为建立非平凡下界，我们利用Borsuk--Ulam定理。对于任意$n \ge 1$，我们证明当$m>n$时，$d_\gh(B^m,B^n)\ge \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} > \frac{1}{2}$，且当$m\to \infty$时，$d_\gh(B^m,B^n)\to 1$。最后，我们证明对所有有限$m>n\geq 1$，有$d_\gh(B^m,B^n)<1$。
英文摘要
What is the Gromov--Hausdorff distance between Euclidean unit balls of different dimensions, denoted by $d_\gh(B^m,B^n)$, for $m>n$? Note that the lower bound coming from the stability of persistent homology is zero, since all balls possess identical (trivial) persistent homology. To establish non-trivial lower bounds, we exploit the Borsuk--Ulam theorem. For any $m > n \ge 1$, we prove that $d_\gh(B^m,B^n)\ge \tfrac{1}{1+α_n} > \frac{1}{2}$, where we determine $α_n$ explicitly. We also prove that $d_\gh(B^m,B^n)\to 1$ as $m\to \infty$ and that $d_\gh(B^m,B^n)<1$ for all finite $m>n\geq 1$.
