门格尔曲率和可矫正性
Menger curvature and rectifiability
摘要：
对于R^n中的一个博雷尔集E，E的总门格尔曲率或c（E）是c（x，y，z）^2在E ^3上的积分（关于E的每个因子中的一维豪斯多夫测度），其中1/c（x，y，z）是E中通过三点x，y，z的圆的半径。设H^1（X）表示集合X的一维Hausdorff测度。R^n中的一个博雷尔集E是纯不可求长的，如果对从R到R^n的任何Lipschitz函数gamma，H^1（E cap gamma（R））= 0。如果存在从R到R^n的可数族Lipschitz函数gamma_i使得H^1（E -并gamma_i（R））= 0，则称它是可求积的。从这个定义可以看出，任何1-集合E（即E Borel和0<H^1（E）< \infty）可以分解为两个不相交的子集E_irr和E_rect，其中E_irr是完全不可求长的，而E_rect是可求长的。定理如果E是R^n中的1-集且c（E）^2是有限的，则E是可求长的。
英文摘要：
For a Borel set E in R^n, the total Menger curvature of E, or c(E), is the integral over E^3 (with respect to 1-dimensional Hausdorff measure in each factor of E) of c(x,y,z)^2, where 1/c(x,y,z) is the radius of the circle passing through three points x, y, and z in E. Let H^1(X) denote the 1-dimensional Hausdorff measure of a set X. A Borel set E in R^n is purely unrectifiable if for any Lipschitz function gamma from R to R^n, H^1(E cap gamma(R)) = 0. It is said to be rectifiable if there exists a countable family of Lipschitz functions gamma_i from R to R^n such that H^1(E - union gamma_i(R)) = 0. It may be seen from this definition that any 1-set E (that is, E Borel and 0<H^1(E)<\infty) can be decomposed into two disjoint subsets E_irr and E_rect, where E_irr is purely unrectifiable and E_rect is rectifiable. Theorem. If E is a 1-set in R^n and c(E)^2 is finite, then E is rectifiable.
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