Cylindrical Estimates for High Codimension Mean Curvature Flow
研究了欧几里得空间$\mathbb{R}^{n+k}$中维数为$n$的子流形$\mathcal{M}^n$在二次曲率条件$ |A|^{2}\leq c_n |H|^{2}, c _n = \min\{ \frac{4}{3n} , \frac{1}{n-2}\}$下的高余维中曲率流.这个条件将超曲面的二凸性概念推广到高余维子流形。通过直接证明一个逐点梯度估计，分析了高余维中曲率流的奇异性形成。然后，我们表明，在奇点附近的表面是定量圆柱形。
2018-05-30 math.AP math.DG
The extension and convergence of mean curvature flow in higher codimension
本文首先研究了余维为$d\geq1$的黎曼流形中子流形的中曲率流的扩张的积分曲率条件，推广了Le-\cite{LS}和作者\cite{XYZ1,XYZ2}关于超曲面的中曲率流的扩张定理.利用扩张定理，证明了${R}^{n+d}$中闭子流形的中曲率流在适当的积分曲率条件下的两个收敛定理。
2011-04-05 math.AP math.DG
Singularity Models for High Codimension Mean Curvature Flow in Riemannian Manifolds
研究了黎曼流形$\mathcal{N}^{n+m}$中具有二次箍缩的光滑$n$维紧致子流形的中曲率流.我们的主要重点是高余维的情况下，$m\geq 2$。我们建立了一个余维估计，表明在高曲率的区域，子流形成为近似余维1在一个可量化的方式。这个估计使我们能够证明在一个奇异的时间流，存在一个重新缩放收敛到一个光滑的余维一极限流在欧几里得空间。在圆柱型箍缩下，这种极限流是弱凸的，并通过平移运动。我们的方法依赖于沿流的二次箍缩条件的保存和控制高曲率区域中的中曲率的梯度估计。这些估计使我们能够分析奇点附近的流动行为，并建立极限流动的存在。
2023-03-01 math.AP math.DG
Mean curvature flow in higher codimension
中曲率流是子流形沿其中曲率向量方向变形的演化过程。自八十年代以来，超曲面的情况已经得到了大量的研究。最近，在各种环境空间和余维中证明了流的正则性、整体存在性和收敛性的几个定理。我们将解释所获得的结果以及所涉及的技术。在辛拓扑和镜像对称的潜在应用也将被讨论。
2002-04-03 math.AP math.DG
Mean Curvature Flow of Compact Spacelike Submanifolds in Higher Codimension
证明了度量满足类时曲率条件的$n+m$维流形的光滑$n$维类空子流形的中曲率流的长时间存在性。
2020-07-22 math.AP math.DG
Analysis of thresholding for codimension two motion by mean curvature: a gradient-flow approach
Merriman-Bence-Osher（MBO）方案，也称为阈值或扩散生成运动，是用于计算中曲率流（MCF）的有效数值算法。在超曲面的情况下，这是相当好理解的。本文给出了该格式在余维2上的第一个收敛性证明。我们集中在$\mathbb{R}^3$中的灯丝（曲线）的曲率运动的情况。我们的证明是基于超曲面（Esedoglu-Otto '15）的最小化运动解释的一个新的推广，通过一个近似于状态函数的Dirichlet能量的能量。只要一个光滑的MCF存在，我们建立统一的能量估计的近似远离光滑的解决方案，并证明收敛到这个MCF。目前的结果，在余维2依赖于一个新的尖锐的单调性公式的阈值能量在一个非常重要的方式。这是对早期近似版本的改进。
2018-04-02 math.AP
Area estimates for two-dimensional immersions of mean curvature type in Euclidean spaces of higher codimension
我们建立了R^3和R^n中二维浸入的面积界。即，对于R^3（R^n）中的μ-稳定浸入，对于求解散度型的拟线性方程的$\mathbb R^3$中的图，以及对于R^n中的Fermat型变分问题是临界的图。
2007-03-12 math.AP math.DG
A rigidity theorem for codimension one shrinking gradient Ricci solitons in $\mathbb R^{n+1}$
证明了具有非负曲率的完全梯度Ricci孤子的分裂定理，建立了具有非负里奇曲率的$\mathbb R^{n+1}$中余维为1的完全收缩梯度Ricci孤子的刚性定理.
2014-10-21 math.AP math.DG
Long-time Existence and Convergence of Graphic Mean Curvature Flow in Arbitrary Codimension
设f：f_1--> f_2是常曲率紧致黎曼流形之间的映射.本文考虑了f在中曲率流作用下的图的演化。在适当的条件下，我们证明了该流始终光滑地存在。在每个时刻t，流保持映射f_t的图形，并且当t接近无穷大时，f_t收敛到常数映射。这也为Lipschtz初始数据提供了规律性估计。
2001-12-28 math.AP math.DG
Codimension Bounds and Rigidity of Ancient Mean Curvature Flows by the Tangent Flow at $-\infty$
受一类显式紧致古曲线缩短流的极限行为的启发，我们利用古平均曲率流在$-\infty$上的切流证明了古平均曲率流的余维界，推广了[CM 19 b]中关于圆柱的一个定理.在$m$ -覆盖圆的情况下，我们应用这个界证明了一个强刚性定理。此外，我们扩展了这种范式下，充分快速收敛的假设下，一个紧凑的古代中曲率流是相同的，它的切线流在$-\infty$。
2021-10-26 math.AP math.DG
Existence of disks with prescribed mean curvature and contact angle in arbitrary codimension
School of Mathematics and Statistics, Shaanxi Normal University（陕西师范大学数学与统计学院）；School of Mathematical Sciences, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学数学科学学院）
本文在任意余维数下建立极小极大理论，证明在适当假设下存在具有给定平均曲率和接触角的非恒定分支浸入圆盘或球面，并在欧氏空间中给出自由边界圆盘及维数相关的莫尔斯指标界。
2026-09-24 math.AP math.DG
Extrinsic curvature of codimension one isometric immersions with Hölder continuous derivatives
证明了：如果$n$是偶数，$(M,g)$是紧致的$n$维黎曼流形，其Pfuman形式是体积形式的正倍数，且$y\in C^{1,α}(M;\mathbb{R}^{n+1})$是与$n/(n+1)< α\leq 1$的等距浸入，则$y(M)$是有界外曲率曲面.证明了这一点，表明外在曲率，定义通过一个适当的拉回的体积形式上的$n$ -球通过高斯映射，是相同的内在曲率，定义的Pfidian形式。后一个事实是以积分恒等式的形式陈述的布劳威尔度的高斯映射，这是经典的$C^2$功能，但新的$n>2$在目前的背景下，低的规律性。
2016-09-14 math.AP math.DG
Min-max theory and existence of H-spheres with arbitrary codimensions
本文通过极小极大理论，在闭黎曼流形中证明了具有指定平均曲率、受控莫尔斯指标和任意余维数的分支浸入2-球面的存在性，并在特定曲率条件下推广至所有平均曲率选择，进而构造平行平均曲率球面并部分解决同伦问题。
2024-07-16 math.AP math.DG
Higher codimension isoperimetric problems
本文考虑子流形QPDMATHABMM M具有非空边界$\partial$ Q = K的变分问题.我们提出了任意临界点Q的边界K具有常中曲率的定义，这似乎是当dim Q \textless{} dim M时的一个新观点.然后，我们构造了这个高余维CMC问题的小的近球解;这些解集中在某个曲率函数的临界点附近。
2015-02-24 math.AP math.DG
Codimension two mean curvature flow of entire graphs
研究整体图的余维二平均曲率流，通过推广Ecker-Huisken最大原理，证明一致面积递减映射的图性与面积递减性保持，并证明渐近锥形初始图归一化流收敛至自展开子流形。
2024-03-15 math.AP math.DG
Regularity of Einstein Manifolds and the Codimension 4 Conjecture
本文研究了具有有界Ricci曲率的非塌陷黎曼流形$(M^n,g)$及其Gromov-Hausdorff极限空间$(M^n_j,d_j)\stackrel{d_{GH}}{\longrightarrow} (X,d)$的正则性，其中$d_j$表示黎曼距离.我们的主要结果是余维$4$猜想的解决方案，即$X$是光滑的余维$4$的闭子集。我们结合这一结果与定量分层的想法，以证明先验$L^q$估计的全曲率$|Rm|$的所有$q<2$。在爱因斯坦流形的情况下，我们改进这一估计的规律性规模。我们应用这证明了安德森的一个猜想，收集$4$ -流形$(M^4,g)$与$|Ric_{M^4}|\leq 3$，$Vol(M)>v>0$，和$diam(M)\leq D$包含最多有限数量的同胚类。一个本地版本，这是用来表明，noncollapsed $4$ -流形有界里奇曲率先验$L^2$黎曼曲率估计。
2015-05-24 math.AP math.DG
Regularity of elliptic and parabolic systems
证明了中曲率流在所有维数和所有余维下圆柱爆破的唯一性。圆柱奇点是已知的最重要的;他们是最普遍的任何余维。高余维下的中曲率流是一个非线性抛物方程组，其中许多用于超曲面的方法都不适用，并且圆柱爆破的唯一性仍然是一个主要的开放问题。我们的结果暗示了系统奇异集的正则性。
2020-02-14 math.AP math.DG
Perpendicularity and Locality for Codimension-One Varifolds with Bounded Anisotropic Mean Curvature
本文研究了具有有界各向异性均曲率的变分的法向性和局部性，扩展了Brakke、Schätzle和Ambrosio-Masnou在欧几里得空间中的经典定理。
2026-04-13 math.AP math.DG math.OC
Codimension one stability of the catenoid under the vanishing mean curvature flow in Minkowski space
研究了（3+1）维Minkowski空间中中曲率为零的类时超曲面，它是黎曼流形极小嵌入的双曲对应.悬链线是一个固定的解决方案，相关的柯西问题。这个解决方案是线性不稳定的，我们表明，这种不稳定性是唯一的障碍，全球非线性稳定的悬链。更精确地说，我们证明了在一定的对称类的存在性，在附近的悬链线的初始数据，一个余维1 Lipschitz流形横向的不稳定模式组成的初始数据，其解决方案存在的时间全局渐近收敛到悬链线。
2015-04-30 math-ph math.AP math.DG
Evolving Pinched Submanifolds of the Sphere by Mean Curvature Flow
本文证明了球面上的高余维平均曲率流在第二基本型的范数平方与球面的中曲率和背景曲率的范数平方之间存在一个pinching条件下，收敛到一个圆点或一个全测地球面上.我们表明，这种捏是尖锐的尺寸$n\geq 4$，但不是尖锐的尺寸$n=2,3$。对于维数$n=2$和余维数$2$，我们考虑了一个包含法丛的法曲率的可供选择的Pinching条件.最后，我们锐化了四个球面中曲面的Chern-do Carmo-Kobayashi曲率条件-这个曲率条件对于极小曲面是尖锐的，我们猜想它对于球面中的曲率流也是尖锐的。
2020-04-26 math.AP math.DG
Optimal isoperimetric inequalities for surfaces in any codimension in Cartan-Hadamard manifolds
设$(M^n,g)$是单连通的、完备的、具有非正截面曲率的，且$Σ$是$M$中具有紧支集的二维闭积分流（或模2扁链）.令$S$为面积最小化积分3-电流（分别为平链模2），使得$\partial S = Σ$ .我们使用一个弱平均曲率流，通过椭圆正则化，从$Σ$开始，以显示S满足最佳的欧几里得等周不等式：$ 6 \sqrtπ\, \mathbf{M}[S] \leq (\mathbf{M}[Σ])^{3/2} $。当M的截面曲率由$-κ< 0$自上而下有界时，得到了最优估计，并证明了等式成立的情况.证明如下从一个几乎单调的一个合适的等周差沿近似流在一个维度更高和Willmore能量的最佳估计的2维积分变倍与第一变分可求和$L^2$。
2020-02-04 math.AP math.DG
Entropy and codimension bounds for generic singularities
我们发现，所有封闭的$2$维奇异性较高的余维中曲率流，不能被扰动了有一致的熵界，并在一个线性子空间的小尺寸。对于某个普适常数$C$和亏格$γ$，子空间的熵和维度都是$\leq C\,(1+γ)$。这是第一个一般的界限一般奇点任意余维。
2019-07-10 math.AP math.DG math.GT
Sharp Quartic Pinching for the Mean Curvature Flow in the Sphere
本研究针对球面中平均曲率流，运用爆破论证等方法证明了精确四次曲率夹挤定理，推广了Pu的相关收敛性成果，无需Stampacchia迭代或积分分析即得到重标度的光滑收敛结果。
2026-10-20 math.AP math.DG
$L^2$ Curvature Bounds for Area-Minimizing Currents Mod(2)
Princeton University（普林斯顿大学）
本文证明了模2面积最小化流形的第二基本形式满足仅依赖于维度、余维数及质量上界的内部 $L^2$ 界，并由此推出有界面积的此类曲面属于有限多个微分同胚类，回答了相关文献中的问题。
2026-09-23 math.AP math.DG
Singular Perturbations of Mean Curvature Flow
本文通过高阶方程给出了欧几里得空间中任意余维子流形的中曲率流的一种正则化方法。我们证明了正则化问题在第一个奇异点之前的所有时刻都收敛于中曲率流。
2004-07-19 math.AP math.DG
Stable prescribed-mean-curvature integral varifolds of codimension 1: regularity and compactness
在前一篇论文中，我们发展了一个正则性和紧性理论，在欧氏环境空间余维1弱稳定CMC积分变倍满足两个（必要）结构条件。在这里，我们将这个理论推广到平均曲率（变倍的正则部分的）由给定的$C^{1, α}$周围函数$g$规定，并且周围空间是一般的$(n+1)$维黎曼流形;我们给出了一般的条件，这意味着支持的varifold，远离维度$\leq n-7,$的可能奇异集合的是具有连续单位法向$ν$和平均曲率$gν$的$C^{2}$浸入的图像。这些条件也确定了一个紧凑的类varifolds受到额外的统一质量约束。如果$g$在任何地方都不为零，或者更一般地说，如果集合$\{g=0\}$足够小（例如，如果${\mathcal H}^{n}\,(\{g=0\})=0$），那么结果及其证明与CMC的情况非常类似。然而，当$g$是任意的时，必须考虑一些额外的考虑：首先，正确的第二变分假设是有限Morse指数的假设（而不是弱稳定性）;第二，要得到一个几何上有用的具有紧性结论的理论，变分流形上的两个结构条件之一必须被削弱;第三，鉴于简单的例子，这种结构假设的弱化需要更多的假设才能得出相同的结论。我们确定了两套额外的假设下，这一结论适用于一般的$g$：其中一个给出了正则性和紧性，另一个给出了正则性，并适用于某些相变问题。我们还提供了推论的多重$1$ varifolds减少边界的Caccioppoli集。在这些情…
2020-10-11 math.AP math.DG
Uniqueness of conical singularities for mean curvature flows
本文证明了渐近锥切流在所有余维中的唯一性。这是基于Chodosh-Schulze的早期工作，他证明了超曲面的唯一性。
2023-02-02 math.AP math.DG
Jacobian estimates and geometric inequalities under intermediate Ricci curvature
University of Wollongong（伍伦贡大学）；Macquarie University（麦考瑞大学）；University of California, Santa Cruz（加州大学圣克鲁兹分校）
本文证明了一个适用于任意余维子流形的 Jacobian 估计，无需曲率符号假设，并由此在中间 Ricci 曲率条件下推导出定量 Fenchel--Willmore、Sobolev 和等周不等式，所需条件仅与子流形维数相关。
2026-10-23 math.AP math.DG
Existence and uniqueness to a fully non-linear version of the Loewner-Nirenberg problem
考虑在给定的维数为$n \geq 3$的欧几里得整环$Ω$上寻找一个完备的共形平坦度量的问题，该度量的Schouten曲率$A$满足$f(λ(-A)) = 1$形式的方程.这推广了Loewner和Nirenberg考虑的数量曲率的问题。当边界$\partialΩ$是光滑有界超曲面（余维为1）时，我们证明了这种度量的存在唯一性。当$\partialΩ$包含一个具有较高余维的紧致光滑子流形$Σ$且$\partialΩ\setminusΣ$是紧致子流形时，我们还给出了共形因子在$Σ$附近关于余维发散到无穷大的一个“尖锐”条件.
2018-04-24 math.AP math.DG
Compactness properties of Ricci flows with bounded scalar curvature
本文证明了具有有界数量曲率和熵的里奇流的一个紧性结果。它指出，给定任何序列的这种里奇流，我们可以通过一个子序列，收敛到一个度量空间，这是光滑的一组余维$\geq 4$。这个结果有两个主要的结果：第一，它意味着有界数量曲率的里奇流中的奇点有余维$\geq 4$;第二，它建立了一个一般形式的哈密尔顿-田猜想，这在黎曼情形下甚至是正确的。在证明过程中，我们还将建立以下结果：$L^{p < 4}$曲率界，曲率半径的积分界，时间片的Gromov-Hausdorff封闭性，里奇流的$\varepsilon$正则性定理和一个改进的向后伪局部性定理.
2016-05-12 math.AP math.DG
Quadratic flatness and Regularity for Codimension-One Varifolds with Bounded Anisotropic Mean Curvature
该研究证明了具有有界各向异性均曲率的变分在几乎所有点上具有正则性，结合Allard定理进一步表明其在密度为1的点上具有更高级的正则性。
2026-01-28 math.AP math.DG
The non-parametric problem of Plateau in arbitrary codimension
本文研究了在任意维数和余维数下求具有给定边界数据的最小图的问题。存在性，唯一性，稳定性和正则性。我们首先介绍了著名的结果余维1：Jenkins-Serrin的存在性定理，凸性的唯一性和稳定性的区域和De Giorgi的正则性定理。在高余维下，我们首先讨论Lawson和Osserman的反例.然后我们介绍了王慕涛的最新结果：我们使用中曲率流来证明小边界数据的存在性，并证明了一个新的Bernstein定理（也是由于王慕涛），它对每一个面积减少的最小图都成立。最后，我们从Bernstein定理推出面积减少的极小图总是光滑的。
2004-11-26 math.AP math.DG
ABP inequalities for singular submanifolds of bounded mean curvature
利用任意闭集的曲率概念，证明了B.白.一个弱Harnack型估计，然后使用ABP估计。这些结果推广了O.极小曲面方程的黏性解的Savin。
2018-09-06 math.AP math.DG
Regularity for graphs with bounded anisotropic mean curvature
证明了具有各向异性中曲率有界于$L^p$，$p>m$的$m$ -维Lipschitz图在每个维数和余维数上几乎处处正则.这为文献中出现的多个未决问题提供了部分或全部答案。各向异性能量需要满足一个新的椭圆性条件，例如在面积泛函的$C^2$邻域中。这个条件被证明是隐含的原子条件。特别是，我们提供了第一类非平凡的例子，各向异性能量在高余维满足原子条件，解决一个悬而未决的问题，在外地。作为一个副产品，我们推导出可变折叠（分别）的可整流性。对于一个$C^2$（分别为$C^1$）区域功能的邻域。除了这些例子，我们还提供了一类各向异性的能量在高余维，远离面积泛函，其中的可整流性的质量varifolds局部有界各向异性一阶变分持有。最后，我们表明，原子条件排除非平凡的杨措施的情况下，各向异性的固定图。
2020-12-02 math.AP math.DG math.FA
