Whitney extension theorem and intrinsic rectifiability of jump sets in Carnot-Carathéodory spaces
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
证明等正则Carnot-Carathéodory空间中局部可积函数的内在跳跃集具有内在可数可求长性，关键新工具是内在C^1函数的局部标量Whitney延拓定理。
2026-09-10 math.CA math.FA math.MG
Lipschitz Carnot-Carathéodory structures and their limits
本文讨论了光滑流形上Lipschitz向量场的收敛结构和连续变范数的距离的收敛性。我们证明了，在一个温和的可控性假设下的极限向量场结构，与equi-Lipschitz向量场结构的距离一致收敛于紧子集，并规范一致收敛于紧子集，局部一致收敛到极限卡诺-Carathéodory距离。在极限距离是有界紧的情况下，我们证明了在紧集上距离的一致收敛性。我们给出了一个例子，其中的极限距离不是有界紧的，收敛是不一致的紧集。我们讨论了几个例子中，我们的收敛结果可以应用。其中，我们证明了一个范数连续变化的次Finsler Mitchell定理，以及连通李群的李代数上与子空间和范数相关的Carnot-Carathéodory距离的一般收敛结果.
2021-11-12 math.CA math.DG math.FA
Intrinsic Lipschitz maps vs. Lagrangian type solutions in Carnot groups of step 2
我们把我们的注意力集中在内在Lipschitz图的概念，在一个子类的卡诺集团的步骤2，其中包括一个corank 1卡诺集团（因此海森堡集团），自由群的步骤2和复杂的海森堡集团。更精确地说，我们证明了一个适当的非线性一阶偏微分方程组的内在Lipschitz映射与一个弱解之间的等价性，从而推广了Heisenberg群背景下的Lagrange解.
2021-10-11 math.DG math.MG
BiLipschitz decomposition of Lipschitz maps between Carnot groups
设$f : G \to H$是两个卡诺群之间的Lipschitz映射.我们表明，如果$B$是球的$G$，则存在一个子集$Z \subset B$，其图像在$H$下的$f$具有小的Hausdorff内容，使$B \backslash Z$可以被分解成一个控制数量的片，限制$f$对每个定量biLipschitz。这推广了\cite{meyerson}的一个结果，该结果证明了相同的结果，但有一个限制，即$G$具有适当的离散化。我们提供了一个例子，卡诺集团不承认这样的离散化。
2015-08-29 math.MG
A Lipschitz curve in a Carnot group that is purely unrectifiable by smooth horizontal curves
University of Cincinnati（辛辛那提大学）；The Ohio State University（俄亥俄州立大学）
本文构造了一条在自由Carnot群中的Lipschitz曲线，该曲线与所有C^1水平曲线相交于测度为零的集合，揭示了C^1_H-Lusin性质在此群中失效，且此类曲线必须为纯C^1_H 1-不可测，表明Carnot群中的1-可测性与欧几里得空间有显著差异。
2026-04-17 math.MG
Gâteaux differentiability on infinite-dimensional Carnot groups
本文推广了Rademacher关于Lipschitz函数的可微性结果，当区域是无穷维的且具有非交换群结构时。我们引入度量可扩展群的概念，这是我们的无限维卡诺群的类似物。我们最感兴趣的群是那些允许有限维卡诺子群的稠密递增序列的群。事实上，在这些空间中，我们证明了每个Lipschitz函数都有一个Gâteaux可微点。我们提供的例子和标准时，这样的卡诺子群存在。主要定理的证明遵循Aronszajn和Pansu的工作。
2018-12-18 math.FA math.MG
Carnot rectifiability and Alberti representations
本文通过阿尔贝蒂表示与取值于卡诺群的李普希茨映射可微性，刻画了卡诺可整流性，并提出潘苏可微性空间（PDS）作为切格尔可微性空间的卡诺群类比。
2024-10-19 math.CA math.MG
Unextendable intrinsic Lipschitz curves
在卡诺群的设置中，我们展示了正$\mathcal{H}^1$ -测度的内在Lipschitz曲线的例子，这些内在Lipschitz曲线与$\mathcal{H}^1$ -可忽略集合中的每个连通的内在Lipschitz曲线相交。因此，这样的曲线不能扩展到连通的内在Lipschitz曲线。这些例子是在恩格尔群和步骤3和秩2的自由卡诺群中构造的。虽然失败的Lipschitz扩展属性已经知道一些对卡诺集团，我们是第一个例子的类似现象的内在Lipschitz图。这与欧几里德的情况形成鲜明对比。
2021-05-28 math.MG
Porosity, Differentiability and Pansu's Theorem
利用孔隙度研究了卡诺群上Lipschitz映射的可微性。我们的第一个结果指出，Lipschitz函数的方向导数线性作用在$σ$ -多孔集之外。第二个结果说明Lipschitz函数的不规则点形成$σ$ -多孔集。利用这些观测结果给出了从一般卡诺群到欧几里得空间的Lipschitz映射的Pansu定理的一个新的证明。
2016-12-05 math.FA math.MG
BiLipschitz embeddings of spheres into jet space Carnot groups not admitting Lipschitz extensions
对于所有的$k,n\ge 1$，我们构造一个biLipschitz嵌入$\mathbb{S}^n$到喷流空间卡诺群$J^k(\mathbb{R}^n)$，不允许Lipschitz扩展到$\mathbb{B}^{n+1}$。设$f:\mathbb{B}^n\to \mathbb{R}$是一个光滑的正函数，其$k^{th}$阶导数在$\partial \mathbb{B}^n$附近近似线性.通过将$f$的射流置于上半球和将$-f$的射流置于下半球来给出嵌入，其中我们将$\mathbb{S}^n$视为$\mathbb{B}^n$的两个副本。为了证明缺少Lipschitz扩张，我们将Wenger和Young的因式分解结果应用于$n=1$，并修改Rigot和Wenger的参数用于$n\ge 2$。
2018-09-07 math.GT math.MG
Exceptional families of measures on Carnot groups
研究了卡诺群上$p$ -模为零的测度族，称之为$p$ -例外族.我们找到了一族通过公共点的内禀Lipschitz曲面是$p$ -例外于$p\geq 1$的充要条件。我们描述了一类广泛的$p$ -例外的内在Lipschitz曲面的$p\in(0,\infty)$。
2022-09-18 math.MG
Invertible Carnot Groups
本文将允许1-拟共形度量反演的卡诺群刻画为李代数满足$J^2$ -条件的Heisenberg型李群，从而刻画了反演不变双Lipschitz齐性的一种特殊情况.对某些非分形度量空间，给出了反演不变双Lipschitz齐性的一个更一般的刻画.
2016-08-18 math.MG
Intrinsically Lipschitz graphs on semidirect products of groups
在度量空间中，给出了Franchi，Serapioni和Serra Cassano在次Riemannian Carnot群中引入的固有Lipschitz映射的一些等价条件.与卡诺群不同的是，在我们的上下文中，内禀膨胀不存在，但我们可以使用投影映射的Lipschitz性质证明相同的结果。
2022-05-05 math.DG math.GR math.MG
On rectifiable measures in Carnot groups: representation
本文讨论任意卡诺群的可求正性理论，特别是对$\mathscr{P}$-可求正测度概念的研究。首先，我们证明了在任意卡诺群中，可求积测度的自然\textit{infinitesimal}定义，即，根据\textit{flat}正切测度的存在性给出的定义等价于根据具有内在可微图的覆盖给出的全局定义，即，具有\textit{flat} Hausdorff切线的图。在一般情况下，我们没有后者的等价性，如果我们要求覆盖的内在Lipschitz图。其次，我们给出了任意卡诺群中的固有可微图的中心Hausdorff测度的几何面积公式。后一个公式扩展和加强了文献中卡诺群的情况下得到的其他面积公式。作为应用，我们的分析使我们能够证明的内在$C^1$-可求直的几乎所有的原像的一大类Lipschitz函数之间的卡诺群。特别地，从后一个结果，我们得到，任何测地球的卡诺群配备了一个任意的左不变齐次距离是内在的$C^1$-可求长。
2021-04-01 math.DG math.MG
Characterizations of uniformly differentiable co-horizontal intrinsic graphs in Carnot groups
在任意卡诺群中，研究了具有水平目标的映射的固有图.当映射是一致内在可微的时，这些图是$C^1_H$正则的.我们的第一个主要结果是利用左不变向量场在图上的投影的Hölder性质刻画了一致内在可微性。我们通过只要求水平正则性来加强步骤2中卡诺群的结果。我们注意到，这样的改进在最简单的步骤3组中已经是不可能的。作为独立兴趣的副产品，在每个卡诺群中，我们证明了一致内在可微实值映射的面积公式。我们也明确地写在地图的内在衍生物的面积元素。
2020-05-22 math.AP math.CA math.DG
Marstrand-Mattila rectifiability criterion for $1$-codimensional measures in Carnot Groups
本文证明了卡诺群中$1$ -余维测度的切线的平坦性蕴含着$C^1_\mathbb{G}$ -可求正性.作为应用，我们证明了Heisenberg群$\mathbb{H}^n$中具有$(2n+1)$ -密度的测度是$C^1_{\mathbb{H}^n}$ -可求正的，给出了Preiss可求正定理的第一个非欧推广，并给出了一般Carnot群中有限周长集的内禀Lipschitz可求正的一个判据.
2020-08-23 math.CA math.MG
Structure of Porous Sets in Carnot Groups
我们证明了任何卡诺群包含一个闭疏集，它的测度为零，但不是$σ$ -多孔的Carnot-Carathéodory（CC）距离。在第一海森堡群中，我们观察到存在关于CC距离而不是欧几里得距离是多孔的集合，反之亦然。在Carnot群中，我们构造了一个Lipschitz函数，它在给定的$σ$ -多孔集的任何点处都是Pansu可微的，并证明了开集在水平梯度下的原像远不是多孔的.
2017-07-23 math.FA math.MG
Radon-Nikodym property and area formula for Banach homogeneous group targets
证明了从Carnot群的子集到Banach齐次群的Lipschitz映射的Rademacher型定理，并适当地削弱了Radon-Nikodym性质.我们提供了一个度量面积公式，适用于这些映射，更一般地说，所有的几乎处处度量可微Lipschitz映射定义在卡诺群。
2012-01-16 math.FA math.MG
A C^k Lusin Approximation Theorem For Real-Valued Functions on Carnot Groups
研究了Carnot群上实值可测函数的Lusin逼近问题。我们证明了几乎处处k-近似可微等价于$C^{k}_{\mathbb{G}}$映射的Lusin逼近。我们还证明了几乎处处存在一个近似（k-1）-Taylor多项式等价于在适当的Lipschitz函数空间中允许映射的Lusin逼近.
2022-06-03 math.FA math.MG
Nowhere differentiable intrinsic Lipschitz graphs
我们构造了卡诺群中的内禀Lipschitz图，其性质是，在每一点上，存在无穷多个不同的爆破极限，其中没有一个是齐次子群。这为内在Lipschitz图的Rademacher定理提供了反例。
2021-01-08 math.CA math.MG
A note about Intrinsically Lipschitz constants
最近，Le Donne和作者在度量空间中引入了一个内在Lipschitz图的概念。本文的主要目的是研究内禀Lipschitz常数的性质。更精确地说，我们给出了内禀斜率的莱布尼茨公式和乘积公式。
2022-05-05 math.CA math.DG math.MG
Space of signatures as inverse limits of Carnot groups
本文给出了度量空间中具有无界纤维的$1$ -Lipschitz投影逆系统的极限概念。其目的是使用子黎曼群度量空间的签名的可求长路径在欧几里得空间，介绍了陈。构造性极限空间在具有1-Lipschitz映射的点度量空间范畴中具有泛性质。在一般的设置一些度量性质进行了讨论，如测地线和电梯的存在。次度量的概念将发挥至关重要的作用。该构造适用于固定秩$n$和递增步长的自由卡诺群序列。在这种情况下，这样的极限空间对应于$\mathbb R^n$中的可求长路径的签名空间。Hambly-Lyons关于签名唯一性的结果意味着这个空间是一个测地线度量树，在每个点上以无穷价分支。作为一个特殊的结果，我们推断，每一个路径在$\mathbb R^n$可以近似的投影的一些测地线在一些卡诺群的秩$n$，给出了一个证据，证明复杂的亚黎曼测地线增加的步骤。
2019-10-10 math.CA math.MG
Normed spaces using intrinsically Lipschitz sections and Extension Theorem for the intrinsically Hölder sections
本文的目的是双重的：首先，我们想定义两个范数使用空间的内在Lipschitz部分。另一方面，我们想推广作者在以拓扑空间$Y.$为目标的内在Hölder截面的背景下证明的一个扩张定理。这里我们的目标是$Y\times \R^s$，而不是$Y.$，它具有$s \geq 1$
2023-01-04 math.MG
Coarse differentiation and quantitative nonembeddability for Carnot groups
给出了从具有Carnot-Carathéodory度量$(G,\dcc)$的Carnot群到几类不同的度量空间的Lipschitz映射的宏观尺度粗可微性的下界估计.利用这一结果，我们推导出下界估计的定量nonembeddability的Lipschitz嵌入$G$到度量空间$(X,d_X)$，如果$X$是一个Alexandrov空间的非正或非负曲率，超自反Banach空间，或另一个卡诺群，不承认一个biLipschitz同态嵌入$G$。对于相同的目标，我们可以进一步给出每个嵌入$f : B(n) \to X$的biLipschitz失真的下界估计，其中B（n）是一个非交换无挠幂零群$G$的半径为$n$的球.我们还证明了类似的Bourgain的离散化定理的卡诺集团，并表明卡诺集团有非平凡的马尔可夫凸性。这些给出了第一个例子的度量空间，有非平凡的马尔可夫凸，但不能biLipschitzly嵌入到巴拿赫空间的非平凡马尔可夫凸。
2013-06-18 math.GR math.MG
A variant of Gromov's problem on Hölder equivalence of Carnot groups
对于任何$\frac{1}{2}< α\le \frac{2}{3}$，是否存在局部$α$ -Hölder同胚$f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{H}^1$是未知的，尽管恒等映射$\mathbb{R}^3\to \mathbb{H}^1$是局部$\frac{1}{2}$ -Hölder。更一般地说，格罗莫夫问道：给定$k$和卡诺群$G$，对于哪个$α$存在局部$α$-Hölder同胚$f:\mathbb{R}^k\to G$？在这里，我们配备了卡诺群$G$与卡诺-Carathéodory度量。在2014年，Balogh，Hajlasz和Wildrick考虑了这个问题的一个变体。这些作者证明，如果$k>n$，不存在一个内射，$(\frac{1}{2}+)$ -Hölder映射$f:\mathbb{R}^k\to \mathbb{H}^n$，也是局部Lipschitz作为映射到$\mathbb{R}^{2n+1}$。对于他们的证明，他们使用了$\mathbb{H}^n$是纯粹的$k$的事实-对于$k>n$是不可纠正的。本文将他们的结果从Heisenberg群推广到阶数至多为3的Filiform群和Carnot群。我们现在要求卡诺群是纯粹的PDMATHAMR-不可纠正的。我们证明的主要关键是证明局部Lipschitz到欧氏空间的$(\frac{1}{2}+)$ -Höl…
2017-07-04 math.MG
Intrinsic Lipschitz sections of no-linear quotient maps
Le Donne和作者在度量空间的背景下引入了固定商映射$π$的所谓内在Lipschitz截面。当商映射也是线性映射时，引入了内禀Cheeger能量的概念.本文研究了$π$的非线性问题。特别地，当$π$满足一个较弱的条件时，我们发现了一个内禀斜率的莱布尼茨公式.然后，我们将注意力集中在卡诺群上，并利用内禀膨胀的性质证明了Lipschitz截面的膨胀也是如此。最后，在第二步的卡诺群中，我们给出了一个适当的附加条件，使得两个固有Lipschitz截面的和也是如此。
2022-06-15 math.DG math.MG
Euclidean rectifiability of sub-Finsler spheres in free-Carnot groups of step 2
本文证明二步自由-Carnot 群中子-Finsler 度量球面在欧几里得意义下是余维数一的可整流集，方法是通过分析异常测地线附近距离函数的 Lipschitz 常数。
2024-03-15 math.MG math.OC
Compression bounds for Lipschitz maps from the Heisenberg group to $L_1$
本文证明了具有Carnot-Carathéodory度量的Heisenberg群的一个定量的双Lipschitz非嵌入定理，并应用它给出了Spartens-Cut问题的Goemans-Linial半定松弛的积分间隙的一个下界.
2009-10-11 cs.DS math.DG math.FA
Pauls rectifiable and purely Pauls unrectifiable smooth hypersurfaces
本文讨论了在次黎曼几何中寻找一个好的可求正性概念的问题。特别地，我们研究了卡诺群中的光滑超曲面可以期望得到什么样的结果。我们的主要贡献将是以下结果的一个推论：存在一个没有特征点的$C^{\infty}$超曲面$S$，它在每个正测度子集上有无数个两两非同构的切群。这个例子是在一个拓扑维数为8的卡诺群中发现的，它的豪斯多夫维数为12，所以我们在它上面使用豪斯多夫测度$\mathcal{H}^{12}$。结果表明，对于Hausdorff维数为12的卡诺群，定义在其子集上的Lipschitz映射都有$S$-空象.特别地，我们推导出这个光滑超曲面不能由可数个映射Lipschitz参数化，每个映射定义在Hausdorff维数$12$的卡诺群的某个子集上。作为主要的结果，我们有一个概念的可求直性提出的S.Pauls是不等价的一个提出的B.Franchi，R.Serapioni和F.Serra Cassano，至少对任意卡诺群。此外，我们证明了，给定卡诺群的Hausdorff维数为$12$的齐次子群的子集$U$，每个双Lipschitz映射$f:U\to S$满足$\mathcal{H}^{12}(f(U))=0$ .最后，我们证明了这样的例子不存在于海森堡群：我们证明了所有的$C^{\infty}$ -超曲面在$\mathbb H^n$与$n\geq 2$是可数$\mathbb{H}^{n-1}…
2019-10-28 math.AP math.DG math.MG
Transitive bi-Lipschitz group actions and bi-Lipschitz parameterizations
证明了欧氏平面的Ahlfors 2-正则拟对称象是平面的双Lipschitz象当且仅当它们关于群是一致双Lipschitz齐次的.我们还证明了某些测地空间是卡诺群的双Lipschitz象，如果它们是关于群的反演不变双Lipschitz齐性的.
2022-07-08 math.MG
Hypergenerated Carnot groups
本文刻画了超生成分层群，证明其等价于非特征超曲面嵌入为局部双Lipschitz，并推广至任意余维数子流形。
2025-03-31 math.DG math.GR math.MG
Intrinsic Cheeger energy for the intrinsically Lipschitz constants
最近，Le Donne和作者在度量空间中引入了所谓的内在Lipschitz截面.本文的主要目的是在新的背景下，使Cheeger理论适用于经典Lipschitz常数。更准确地说，我们定义的内在Cheeger能量从$L^2(Y,\R^s)$到$[0,+\infty],$，其中$(Y,d_Y,\mm)$是一个度量测度空间，我们表征它在一个合适的概念放松斜率。为了得到这一结果，在更一般的情形下，我们建立了内禀Lipschitz常数的一些性质，如莱布尼茨公式，乘积公式和渐近内禀Lipschitz常数的上连续性.
2022-07-27 math.DG math.MG math.OC
On the converse of Pansu's Theorem
我们提供了一个适当的推广潘苏的可微性定理一般Radon措施卡诺集团，我们表明，如果卡诺集团之间的Lipschitz地图潘苏可微几乎处处不在的一些Radon措施$μ$，那么$μ$必须是绝对连续的Haar措施的组。
2022-11-11 math.AP math.CA math.MG
Intrinsically Lipschitz sections and applications to metric groups
该研究在度量空间中提出本征Lipschitz截面的广义概念，证明了相关紧性、正则性及延拓定理，将Carnot群中的已有经典结果纳入为推论。
2023-10-03 math.DG math.GN math.GR
Maximal Directional Derivatives in Laakso Space
研究了定义在Laakso空间上的Lipschitz函数的最大方向导数与可微性之间的关系.我们证明了Lipschitz函数的方向导数的极大性仅对$σ$ -多孔点集才意味着可微性。另一方面，到一个不动点的距离在任何地方都是可微的，除了一个$σ$ -多孔点集。这种行为与以前研究的欧几里得空间和卡诺群的设置完全不同。
2022-08-05 math.FA math.MG
A rectifiability result for finite-perimeter sets in Carnot groups
该研究在Carnot群框架下提出了一种可能更弱的锥性质可求长概念，证明有限周长集的约化边界可被可数个具该性质的子集覆盖，还推导了锥内含水平方向时的可数可求长性，并验证其在丝状群中成立。
2023-10-04 math.AP math.DG math.GR
Embedding snowflakes of Carnot groups into bounded dimensional Euclidean spaces with optimal distortion
我们证明，对于任何卡诺群$G$，都存在一个自然数$D_G$，使得对于任何$0<\varepsilon<1/2$，度量空间$(G,d_G^{1-\varepsilon})$允许双Lipschitz嵌入到$\mathbb{R}^{D_G}$中，并带有失真$O_G(\varepsilon^{-1/2})$。这是通过建立在T. Tao（2021），他在$G$是海森堡群时，使用Nash-Moser迭代方案的新变体结合正交向量场的新扩展定理建立了上述断言。除了需要克服在卡诺群的更一般的设置中出现的几个技术问题之外，我们的证明与陶的证明不同的一个关键点是在正交向量场延拓定理的证明中，我们将Lovász局部引理和测量现象在球体上的集中代替了陶使用的定量同伦参数。
2023-03-14 math.AP math.MG
Sets with constant normal in Carnot groups: properties and examples
我们分析卡诺群的子集，具有内在的常数正常的，因为它们出现在爆破研究的集合，有有限的子黎曼周长。本文件有三个目的。首先，我们证明了任意Carnot群中的一些弱正则性和结构性结果。也就是说，我们证明了，对于卡诺群中的每一个常正规集，它的次黎曼-勒贝格代表是正则开的，可收缩的，并且它的拓扑边界与约化边界和测度论边界重合。我们从锥的性质推断出这些性质。这样的锥将是一个具有非空内部的半群，它与法线方向正则相关。我们的特点是常数正规集正是那些任意工会的翻译，这样的半子群。其次，利用这样的表征，我们提供了一些病理的例子，在特定情况下的自由卡诺集团的步骤3和秩2。也就是说，我们构造了一个常数正规集，相对于任何黎曼度量，不是局部有限周长;我们还构造了一个例子，在某些点上具有非唯一的内禀爆破，表明它在原点具有不同的上下子黎曼密度。第三，我们表明，在卡诺集团的步骤4或更少，每一个常数正规集是内在可求长，在这个意义上的弗兰基，塞拉皮奥尼，和塞拉卡萨诺。
2019-10-26 math.AP math.DG math.GR
Smooth contact lifts to central extensions of Carnot groups
研究Carnot群间光滑切触映射向其中心扩张间映射的提升存在性问题，给出基于de Rham势拉回Rumin微分的充要条件及Pansu拉回的必要条件，并证明后者在特定条件下充分。
2025-08-20 math.DG math.MG
On rectifiable measures in Carnot groups: existence of density
本文详细研究了卡诺群中可求正性的一个新概念：对于$h\in\mathbb N$，若一个Radon测度$h$-下密度为正，$h$-上密度几乎处处为有限，且几乎在每一点上都有唯一的直到倍数的切线测度，则称它是$\mathscr{P}_h$-可求正的.首先，我们比较$\mathscr{P}_h$-可求直性与其他概念的可求直性以前已知的文献中的卡诺群的设置，我们证明，它是严格弱于他们。其次，我们证明了$\mathscr{P}_h$-可求长测度的几个结构性质。即，我们证明了$\mathscr P_h$-可求正测度的支持几乎处处被满足锥状性质的集合所覆盖，并且在具有补切线的$\mathscr P_h$-可求正测度的特定情况下，我们证明了它们在本质Lipschitz图和可微图的并集中得到支持。利用这种覆盖性质证明了本文的主要结果：证明了$\mathscr{P}_h$-可求长测度几乎处处具有正的有限$h$-稠密性，只要其切线至少允许一个补子群.
2022-02-25 math.MG
Lipschitz graphs and currents in Heisenberg groups
本文证明子黎曼海森伯格群中余维数k≤n的内蕴Lipschitz图的Rademacher型定理，并给出延拓、逼近、常值定理及Lusin型结果、可修正性等价和面积公式等应用。
2020-07-28 math.CA math.DG math.FA
On rectifiable measures in Carnot groups: Marstrand-Mattila rectifiability criterion
本文继续研究卡诺群中的$\mathscr{P}$ -可求正性概念。我们说一个Radon测度是$\mathscr{P}_h$ -可求正的，对于$h\in\mathbb N$，如果它几乎处处有正的$h$ -下密度和有限的$h$ -上密度，并且在几乎每一点上，它都有一个唯一的直到倍数的正切测度。本文证明了任意Carnot群中$\mathscr{P}$ -可求长测度的一个Marstrand-Mattila可求长准则，其中切面允许正规补子群.也就是说，在这种共法的情况下，即使先验的切面在一个点可能不相同，在不同的尺度，后验的措施有一个唯一的切线几乎处处。由于卡诺群的每个水平子群都有一个正规补，我们的准则适用于切线是一维水平子群的特殊情况。因此，作为我们的Marstrand-Mattila可求正性判据和Chousionis-Magnani-Tyson的结果的直接结果，我们得到了第一海森堡群$\mathbb H^1$中的一维Preiss定理。更精确地说，我们证明了$\mathbb H^1$上的Radon测度$ϕ$关于Koranyi距离具有正的和有限的单密度，关于一维Hausdorff测度$\mathcal{H}^1$是绝对连续的，并且它在Federer意义下支持在一个可求长集上，即，它在从$A\subseteq \mathbb R$到$\mathbb H^1$的Lipschitz映射的图像的可数…
2022-02-19 math.MG
Differentiating maps into L^1 and the geometry of BV functions
这是一个系列的文件审查之间的相互作用微分理论的Lipschitz地图，X->V，和双Lipschitz nonembeddability，其中X是一个度量测度空间和V是一个巴拿赫空间。在这里，我们考虑V=L^1的情况，其中可微性失败。我们建立了X的另一种可微性，包括R^n和H，海森堡群及其Carnot-Cartheodory度量。由此可见，H并不像J. Lee和A. Naor.当与他们的工作相结合时，这为理论计算机科学中的Goemans-Linial猜想提供了一个自然的反例;第一个这样的反例是由Khot-Vishnoi发现的。证明我们的主要定理的一个关键因素是到L^1的Lipschitz映射与有界变差函数之间的新联系，这使我们能够利用最近关于海森堡群上BV函数结构的工作。
2006-12-12 math.DG math.FA math.GR
Existence of length minimizers in homotopy classes of Lipschitz paths in $\mathbb{H}^1$
本文证明纯 2-不可求积度量空间（如 Carnot-Carathéodory 度量下的 $\mathbb{H}^1$）中每个 Lipschitz 路径同伦类都有重参数化唯一的长度最小化核心代表，并刻画基点邻域闭环路对应的同伦类。
2024-05-21 math.MG
Regularity of sets with constant horizontal normal in the Engel group
在具有Carnot群结构的Engel群中，研究了局部有限的次黎曼周长的子集和具有常次黎曼法线的子集。我们证明了这些集合的可求正性：更确切地说，我们表明，在某些特定的坐标，它们是整个Lipschitz函数的上图（相对于欧几里德距离）。然而，我们发现，当它们被写为关于法线方向的内在上图时，定义集合的函数甚至可能不连续。然而，我们可以证明，人们总是可以找到其他水平方向，使集合是函数的上图，该函数对于内在距离是Lipschitz连续的（特别是对于欧氏距离是Hölder连续的）。进一步讨论了具有常水平法线的集合类的PDE刻画。最后，我们表明，我们的整流论证延伸到第一类丝状群的情况下。
2012-01-30 math.AP math.DG math.GR
Cone-equivalent nilpotent groups with different Dehn functions
本研究构造了一族k步幂零李群，其与对应Carnot分次群渐近锥双李普希茨等价但Dehn函数增长阶不同，揭示了三类新现象并回答了相关领域的公开问题。
2023-08-23 math.DG math.GR math.GT
