Lipschitz non-extension theorems into jet space Carnot groups
我们证明了Lipschitz映射的非可拓性结果，目标空间是配备左不变黎曼距离的喷气空间，以及配备左不变子黎曼Carnot-Caratheodory距离的喷气空间。喷流空间给出了一类卡诺群的模型，特别是包括所有海森堡群。
2009-07-29 math.MG
Rigidity of fiber-preserving quasisymmetric maps
我们证明了保纤维拟对称映射是双Lipschitz映射。作为应用，我们证明了具有可约第一层的卡诺群上的拟对称映射是双Lipschitz的。
2015-01-10 math.CV math.GR math.MG
Large-scale sublinearly Lipschitz geometry of hyperbolic spaces
Yves Cornulier为了精确地阐述他关于李群的渐近锥面的定理，引入了大尺度次线性Lipschitz映射.特别地，次线性双Lipschitz等价（SBE）是拟等距的一个弱变体，唯一的要求是仍然在渐近锥面的水平上诱导双Lipschitz映射。在这里，我们专注于双曲度量空间和研究其边界扩张的性质，让人想起quasiM{<$}bius映射。我们给一个维不变的边界上，允许区分双曲对称空间的SBE，回答一个问题Druelu。
2018-04-04 math.MG
A Lipschitz curve in a Carnot group that is purely unrectifiable by smooth horizontal curves
University of Cincinnati（辛辛那提大学）；The Ohio State University（俄亥俄州立大学）
本文构造了一条在自由Carnot群中的Lipschitz曲线，该曲线与所有C^1水平曲线相交于测度为零的集合，揭示了C^1_H-Lusin性质在此群中失效，且此类曲线必须为纯C^1_H 1-不可测，表明Carnot群中的1-可测性与欧几里得空间有显著差异。
2026-04-17 math.MG
Lipschitz equivalence of subsets of self-conformal sets
本文给出了充分条件，证明了如果两个自共形集E和F有Lipschitz等价的正测度子集，则存在E到F的Bilipschitz映射。
2009-09-10 math.MG
Characterizing rectifiability via biLipschitz pieces of Lipschitz mappings on the space
本文给出了可求长度量空间的新刻画：通过Lipschitz映射的biLipschitz片段及完全biLipschitz分解，并利用独立Alberti表示构造方法，将不可求长空间刻画为存在与低维映射定量横截的曲线片段上$\cH^1$-零测集的空间。
2025-10-15 math.CA math.MG
Unextendable intrinsic Lipschitz curves
在卡诺群的设置中，我们展示了正$\mathcal{H}^1$ -测度的内在Lipschitz曲线的例子，这些内在Lipschitz曲线与$\mathcal{H}^1$ -可忽略集合中的每个连通的内在Lipschitz曲线相交。因此，这样的曲线不能扩展到连通的内在Lipschitz曲线。这些例子是在恩格尔群和步骤3和秩2的自由卡诺群中构造的。虽然失败的Lipschitz扩展属性已经知道一些对卡诺集团，我们是第一个例子的类似现象的内在Lipschitz图。这与欧几里德的情况形成鲜明对比。
2021-05-28 math.MG
Carnot rectifiability of sub-Riemannian manifolds with constant tangent
证明了如果$M$是一个次黎曼流形，$N$是一个Carnot群，使得$M$在几乎每一点的幂零化都同构于$N$，则存在正测度的$N$子集通过bilipschitz映射嵌入到$M$中.此外，$M$是可数的$N$ -可校正的，即，除了零集之外的所有$M$可以被可数个这样的映射覆盖。
2019-01-31 math.CA math.DG math.MG
Exceptional families of measures on Carnot groups
研究了卡诺群上$p$ -模为零的测度族，称之为$p$ -例外族.我们找到了一族通过公共点的内禀Lipschitz曲面是$p$ -例外于$p\geq 1$的充要条件。我们描述了一类广泛的$p$ -例外的内在Lipschitz曲面的$p\in(0,\infty)$。
2022-09-18 math.MG
Invertible Carnot Groups
本文将允许1-拟共形度量反演的卡诺群刻画为李代数满足$J^2$ -条件的Heisenberg型李群，从而刻画了反演不变双Lipschitz齐性的一种特殊情况.对某些非分形度量空间，给出了反演不变双Lipschitz齐性的一个更一般的刻画.
2016-08-18 math.MG
Rickman rugs and intrinsic bilipschitz graphs
本文研究了Bilipschitz映射$f \colon \mathbb{W} \to \mathbb{H}$的几何，其中$\mathbb{H}$是第一海森堡群，$\mathbb{W} \subset \mathbb{H}$是余维$1$的垂直子群.这种映射的像$f(\mathbb{W})$在海森堡群中被称为里克曼地毯。主要定理指出，海森堡群中的一个Rickman地毯允许由内禀Bilipschitz图进行电晕分解。作为一个推论，Rickman地毯是可数可求正的内在bilipschitz图。在这里，一个内在的bilipschitz图是一个内在的Lipschitz图，它同时是一个Rickman地毯。一般的内在Lipschitz图不需要是Rickman地毯，即使是局部的，Bigolin和Vittone的例子。
2020-11-16 math.CA math.DG math.MG
Lipschitz and bi-Lipschitz maps from PI spaces to Carnot groups
本文研究了度量测度空间之间的非退化Lipschitz映射的双Lipschitz性。具体来说，我们研究地图（子集）Ahlfors定期PI空间到子黎曼卡诺群。我们证明了这样的地图有许多bi-Lipschitz切线，验证了塞姆斯的猜想。作为一个更强有力的结论，人们想知道这样的地图是否分解成可数多个bi-Lipschitz片。我们表明，这是真实的卡诺集团是欧几里德。对于一般的卡诺目标，我们证明了双Lipschitz分解的存在性等价于图像集的几何条件。
2017-11-09 math.CA math.MG
Quasisymmetric maps of boundaries of amenable hyperbolic groups
本文证明了：如果$Y=N \times \mathbb{Q}_m$是度量空间，其中$N$是赋有Carnot-Caratheodory度量的Carnot群，则$Y$的任何拟对称映射实际上是bilipschitz映射.关键的观察是，$Y$是一个混合型局部紧顺从双曲群的抛物可视边界。同样的结果也适用于更大类的幂零李群$N$。作为证明的一部分，我们还获得了混合型局部紧顺从双曲群的部分拟等距刚性结果。最后证明了在$N= \mathbb{R}^n$情形下$Y$的Bilipschitz映射的一致子群的刚性结果.
2014-04-21 math.GR math.MG
The coarea formula for projections of Lipschitz mappings on Carnot groups
本文证明了Carnot群上内在Lipschitz映射沿水平投影的余面积不等式，并在有限余畸变映射及Heisenberg群情形下取得等式。
2024-05-24 math.FA math.MG
Carnot rectifiability and Alberti representations
本文通过阿尔贝蒂表示与取值于卡诺群的李普希茨映射可微性，刻画了卡诺可整流性，并提出潘苏可微性空间（PDS）作为切格尔可微性空间的卡诺群类比。
2024-10-19 math.CA math.MG
On sublinear bilipschitz equivalence of groups
我们讨论的概念，次线性bilipschitz等价（SBE），推广准等距，允许一些额外的条款，行为次线性相对于从原点的距离。这样的映射最初的动机是它们在渐近锥面之间诱导bilipschitz同胚。我们在这里证明，对于双曲群，它们也诱导边界之间的Hölder同胚。这产生了许多双曲群的基本例子，它们是成对非SBE的。此外，我们检查，次指数增长是一个SBE不变。论文的中心部分讨论了幂零群。虽然分类到次线性bilipschitz等价是已知的，在这种情况下，作为一个后果潘苏定理，其定量版本是没有。我们为每个这样的群$G$引入一个可计算的代数不变式$e=e_G<1$，并检查$G$是$O(r^e)$ -bilipschitz等价于它的相关卡诺群。这里$r\mapsto r^e$是一个定量的次线性界。最后，我们定义了大尺度可压缩和大尺度位似度量空间的概念。我们检查，这些概念意味着多项式增长下的一般假设，并制定这些属性的群的代数。
2018-03-31 math.GR math.MG
Boundary at infinity of symmetric rank one spaces
我们证明了定义在非紧型秩为1的对称空间无穷远边界上的标准Carnot-Caratheodory球面度量和准球面度量是可视的，即，它们分别在无穷远处的空间上和边界上与Gromov乘积的逆指数具有泛bilipschitz常数的bilipschitz等价.
2009-09-18 math.DG math.MG
Intrinsic Lipschitz maps vs. Lagrangian type solutions in Carnot groups of step 2
我们把我们的注意力集中在内在Lipschitz图的概念，在一个子类的卡诺集团的步骤2，其中包括一个corank 1卡诺集团（因此海森堡集团），自由群的步骤2和复杂的海森堡集团。更精确地说，我们证明了一个适当的非线性一阶偏微分方程组的内在Lipschitz映射与一个弱解之间的等价性，从而推广了Heisenberg群背景下的Lagrange解.
2021-10-11 math.DG math.MG
Geodesic manifolds with a transitive subset of smooth biLipschitz maps
本文讨论了与流形同胚且双Lipschitz齐次的路度量空间的描述问题，即，其双Lipschitz同胚群作用传递。我们的主要结果如下。设$X = G/H$是李群$G$的齐次流形，$d$是$X$上的测地距离，它具有相同的拓扑.假设存在$G$的子群$G_S$传递地作用在$X$上，使得每个元素$g \in G_S$诱导度量空间$(X,d)$的局部双Lipschitz同胚。则该度量局部双Lipschitz等价于一个次黎曼度量。任何这样的度量都由生成切丛的$G_S$不变子丛的括号定义。结果是一个更一般的事实，需要一个传递家庭的一致biLipschitz同构与控制其微分的后果。与此相关的是，在空间上传递作用的群是李群，因此它是局部紧的，因为一般来说，整个biLipschitz映射群（不太可能是等距群）不是局部紧的。我们的方法也给出了以下事实的一个初等证明。给定Finsler流形切丛的Lipschitz子丛，则与该子丛相切的分段可微曲线类和与该子丛几乎处处几乎处处相切的Lipschitz曲线类都产生相同的Finsler-Carnot-Carathéodory度量，条件是由这些距离诱导的拓扑与流形拓扑重合。
2016-02-15 math.DG math.MG
Estimates on the Markov Convexity of Carnot Groups and Quantitative Nonembeddability
我们表明，每一个分次幂零李群$G$的步骤$r$，配备了一个左不变度量均匀的膨胀引起的分级，（这包括所有的卡诺集团与Carnot-Caratheodory度量）是马尔可夫$p$ -凸的所有$p \in [2r,\infty)$。我们还表明，这是尖锐的，当$G$是一个卡诺群与$r \leq 3$，一个自由卡诺群，或喷射空间群，这样的群体是不是马尔可夫$p$凸的任何$p \in (0,2r)$。这延续了一系列的研究开始李谁证明了这一尖锐的结果时，$G$是海森堡集团。作为推论，我们得到了某些非双Lipschitz生成的幂零群在低阶幂零李群中的非双Lipschitz嵌入性的新估计.当定义域是海森堡群，目标是一致凸Banach空间或$L^1$时，这种类型的精确估计是已知的，但当目标是非交换幂零群时则不是。
2019-12-07 math.FA math.MG
Intrinsically Lipschitz functions with normal target in Carnot groups
本文给出了固有Lipschitz函数$ϕ:U\subseteq \mathbb W\to \mathbb L$的Rademacher定理，其中$U$是博雷尔集，$\mathbb W$和$\mathbb L$是卡诺群的补子群，这里要求$\mathbb L$是正规子群.例如，当$\mathbb W$是水平子群时，我们的假设得到满足。此外，我们提供了这类内在Lipschitz函数的面积公式。
2020-09-29 math.CA math.FA math.MG
Monotone sets and local minimizers for the perimeter in Carnot groups
单调集已经介绍了约十年前Cheeger和Kleiner谁减少证明非biLipschitz嵌入海森堡群到$L^1$的分类单调子集。后来，单调集发挥了重要作用，在几个工程有关的几何测度论问题的海森堡设置。在本文中，我们工作在任意卡诺群，并证明其单调子集是具有局部有限周长的局部极小周长。在环境Carnot群的一个附加条件下，证明了它们的测度论内部和支撑精确单调。我们还证明了拓扑和测度论性质的局部极小的周边，其兴趣是独立的单调集的研究。作为我们的结果的组合，我们得到特别是一个充分条件下，任何单调集承认测度理论的代表，正是单调的。
2022-06-23 math.CA math.MG
Nilpotent groups and biLipschitz embeddings into $L^1$
证明了如果一个单连通幂零李群拟等距嵌入到一个$L^1$空间中，则它是阿贝尔的。通过证明biLipschitz嵌入到$L^1$中的每个卡诺群都是阿贝尔群，我们得到了这个结论。我们的证明遵循Cheeger和Kleiner的工作，通过考虑Lipschitz映入$L^1$的拉回距离并使用切割测度表示它。我们表明，这样的切割措施，和诱导的距离，可以炸毁和爆破切割措施的支持上的“通用”的原始集的切线。通过重复这样一个爆破过程，得到一个支撑在半空间上的割测度。然后利用微分的结果证明了在非阿贝尔情形下双Lipschitz嵌入不存在。
2021-12-21 math.AP math.DG math.FA
A variant of Gromov's problem on Hölder equivalence of Carnot groups
对于任何$\frac{1}{2}< α\le \frac{2}{3}$，是否存在局部$α$ -Hölder同胚$f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{H}^1$是未知的，尽管恒等映射$\mathbb{R}^3\to \mathbb{H}^1$是局部$\frac{1}{2}$ -Hölder。更一般地说，格罗莫夫问道：给定$k$和卡诺群$G$，对于哪个$α$存在局部$α$-Hölder同胚$f:\mathbb{R}^k\to G$？在这里，我们配备了卡诺群$G$与卡诺-Carathéodory度量。在2014年，Balogh，Hajlasz和Wildrick考虑了这个问题的一个变体。这些作者证明，如果$k>n$，不存在一个内射，$(\frac{1}{2}+)$ -Hölder映射$f:\mathbb{R}^k\to \mathbb{H}^n$，也是局部Lipschitz作为映射到$\mathbb{R}^{2n+1}$。对于他们的证明，他们使用了$\mathbb{H}^n$是纯粹的$k$的事实-对于$k>n$是不可纠正的。本文将他们的结果从Heisenberg群推广到阶数至多为3的Filiform群和Carnot群。我们现在要求卡诺群是纯粹的PDMATHAMR-不可纠正的。我们证明的主要关键是证明局部Lipschitz到欧氏空间的$(\frac{1}{2}+)$ -Höl…
2017-07-04 math.MG
Transitive bi-Lipschitz group actions and bi-Lipschitz parameterizations
证明了欧氏平面的Ahlfors 2-正则拟对称象是平面的双Lipschitz象当且仅当它们关于群是一致双Lipschitz齐次的.我们还证明了某些测地空间是卡诺群的双Lipschitz象，如果它们是关于群的反演不变双Lipschitz齐性的.
2022-07-08 math.MG
Gâteaux differentiability on infinite-dimensional Carnot groups
本文推广了Rademacher关于Lipschitz函数的可微性结果，当区域是无穷维的且具有非交换群结构时。我们引入度量可扩展群的概念，这是我们的无限维卡诺群的类似物。我们最感兴趣的群是那些允许有限维卡诺子群的稠密递增序列的群。事实上，在这些空间中，我们证明了每个Lipschitz函数都有一个Gâteaux可微点。我们提供的例子和标准时，这样的卡诺子群存在。主要定理的证明遵循Aronszajn和Pansu的工作。
2018-12-18 math.FA math.MG
Intrinsically Lipschitz graphs on semidirect products of groups
在度量空间中，给出了Franchi，Serapioni和Serra Cassano在次Riemannian Carnot群中引入的固有Lipschitz映射的一些等价条件.与卡诺群不同的是，在我们的上下文中，内禀膨胀不存在，但我们可以使用投影映射的Lipschitz性质证明相同的结果。
2022-05-05 math.DG math.GR math.MG
Lipschitz Homotopy Groups of Contact 3-Manifolds
利用次黎曼几何和几何测度论研究了切触三维流形，特别是建立了切触三维流形的Lipschitz同伦群的性质。本文证明了达布定理的一个双Lipschitz版本：一个具有次黎曼结构的接触$(2n+1)$ -流形局部双Lipschitz等价于具有\cc度量的Heisenberg群$\mathbb{H}^n$.则每个赋予子黎曼结构的接触$(2n+1)$ -流形对于$k>n$是纯$k$ -不可求长的。然后，我们将Dejarnette等人（arXiv：1109.4641 [math.FA]）以及Wenger和Young（arXiv：1210.6943 [math.GT]）关于$\mathbb{H}^1$的Lipschitz同伦群的结果扩展到赋予\cc度量的任意接触3-流形，即对于任何接触3-流形，第一Lipschitz同伦群是不可数生成的，并且所有更高的Lipschitz同伦群都是平凡的。因此，在Lipschitz同伦群的意义下，切触3-流形是具有不可数生成的第一同伦群的$K(π,1)$ -空间。在此过程中，我们证明了纯2-不可求长的次黎曼流形之间的每个开分布嵌入在相关的第一Lipschitz同伦群上诱导一个内射映射。因此，切触3-流形的每个开子集确定切触3-流形的第一Lipschitz同伦群的不可数子群。
2021-02-26 math.GT math.MG
Lipschitz Carnot-Carathéodory structures and their limits
本文讨论了光滑流形上Lipschitz向量场的收敛结构和连续变范数的距离的收敛性。我们证明了，在一个温和的可控性假设下的极限向量场结构，与equi-Lipschitz向量场结构的距离一致收敛于紧子集，并规范一致收敛于紧子集，局部一致收敛到极限卡诺-Carathéodory距离。在极限距离是有界紧的情况下，我们证明了在紧集上距离的一致收敛性。我们给出了一个例子，其中的极限距离不是有界紧的，收敛是不一致的紧集。我们讨论了几个例子中，我们的收敛结果可以应用。其中，我们证明了一个范数连续变化的次Finsler Mitchell定理，以及连通李群的李代数上与子空间和范数相关的Carnot-Carathéodory距离的一般收敛结果.
2021-11-12 math.CA math.DG math.FA
Porosity, Differentiability and Pansu's Theorem
利用孔隙度研究了卡诺群上Lipschitz映射的可微性。我们的第一个结果指出，Lipschitz函数的方向导数线性作用在$σ$ -多孔集之外。第二个结果说明Lipschitz函数的不规则点形成$σ$ -多孔集。利用这些观测结果给出了从一般卡诺群到欧几里得空间的Lipschitz映射的Pansu定理的一个新的证明。
2016-12-05 math.FA math.MG
Metric rectifiability of $\mathbb{H}$-regular surfaces with Hölder continuous horizontal normal
给出了Heisenberg群$\mathbb{H}^n$中超曲面的两种可直性定义：一种是基于$\mathbb{H}$ -正则曲面，另一种是基于余维- $1$垂直子群子集的Lipschitz象.这些概念之间的等同性仍然是一个悬而未决的问题。最近的部分结果是由Cole-Pauls，Bigolin-Vittone和Antonelli-Le Donne得出的。本文在$\mathbb{H}$ -正则曲面的度量Lipschitz可求直性方面取得了进展。证明了具有$α$ -Hölder连续水平法线的$\mathbb{H}^{n}$中的$\mathbb{H}$ -正则曲面$α> 0$是度量Bilipschitz可求长的.这改进了Antonelli-Le Donne的工作，其中对$C^{\infty}$ -曲面得到了相同的结论。在$\mathbb{H}^{1}$中，我们证明了一个稍强的结果：任何在垂直方向上具有额外正则性的$ε$的余维- $1$内禀Lipschitz图都是度量Bilipschitz可求长的.本文的所有证明都是基于一个新的一般性准则来寻找度量空间的“大块”之间的bilipschitz映射。
2021-07-08 math.CA math.DG math.MG
On rectifiable measures in Carnot groups: representation
本文讨论任意卡诺群的可求正性理论，特别是对$\mathscr{P}$-可求正测度概念的研究。首先，我们证明了在任意卡诺群中，可求积测度的自然\textit{infinitesimal}定义，即，根据\textit{flat}正切测度的存在性给出的定义等价于根据具有内在可微图的覆盖给出的全局定义，即，具有\textit{flat} Hausdorff切线的图。在一般情况下，我们没有后者的等价性，如果我们要求覆盖的内在Lipschitz图。其次，我们给出了任意卡诺群中的固有可微图的中心Hausdorff测度的几何面积公式。后一个公式扩展和加强了文献中卡诺群的情况下得到的其他面积公式。作为应用，我们的分析使我们能够证明的内在$C^1$-可求直的几乎所有的原像的一大类Lipschitz函数之间的卡诺群。特别地，从后一个结果，我们得到，任何测地球的卡诺群配备了一个任意的左不变齐次距离是内在的$C^1$-可求长。
2021-04-01 math.DG math.MG
Marstrand-Mattila rectifiability criterion for $1$-codimensional measures in Carnot Groups
本文证明了卡诺群中$1$ -余维测度的切线的平坦性蕴含着$C^1_\mathbb{G}$ -可求正性.作为应用，我们证明了Heisenberg群$\mathbb{H}^n$中具有$(2n+1)$ -密度的测度是$C^1_{\mathbb{H}^n}$ -可求正的，给出了Preiss可求正定理的第一个非欧推广，并给出了一般Carnot群中有限周长集的内禀Lipschitz可求正的一个判据.
2020-08-23 math.CA math.MG
Intrinsic Lipschitz sections of no-linear quotient maps
Le Donne和作者在度量空间的背景下引入了固定商映射$π$的所谓内在Lipschitz截面。当商映射也是线性映射时，引入了内禀Cheeger能量的概念.本文研究了$π$的非线性问题。特别地，当$π$满足一个较弱的条件时，我们发现了一个内禀斜率的莱布尼茨公式.然后，我们将注意力集中在卡诺群上，并利用内禀膨胀的性质证明了Lipschitz截面的膨胀也是如此。最后，在第二步的卡诺群中，我们给出了一个适当的附加条件，使得两个固有Lipschitz截面的和也是如此。
2022-06-15 math.DG math.MG
Structure of Porous Sets in Carnot Groups
我们证明了任何卡诺群包含一个闭疏集，它的测度为零，但不是$σ$ -多孔的Carnot-Carathéodory（CC）距离。在第一海森堡群中，我们观察到存在关于CC距离而不是欧几里得距离是多孔的集合，反之亦然。在Carnot群中，我们构造了一个Lipschitz函数，它在给定的$σ$ -多孔集的任何点处都是Pansu可微的，并证明了开集在水平梯度下的原像远不是多孔的.
2017-07-23 math.FA math.MG
Euclidean rectifiability of sub-Finsler spheres in free-Carnot groups of step 2
本文证明二步自由-Carnot 群中子-Finsler 度量球面在欧几里得意义下是余维数一的可整流集，方法是通过分析异常测地线附近距离函数的 Lipschitz 常数。
2024-03-15 math.MG math.OC
Thick Families of Geodesics and Differentiation
在具有Radon-Nikodým性质（RNP）的Banach空间中取值的Lipschitz函数的微分理论最初由Cheeger-Kleiner开发，已被证明是证明度量空间可嵌入到这些巴拿赫空间中的非双Lipschitz嵌入性的有力工具。这个理论适用的度量空间的重要例子包括非交换卡诺群和拉克索空间。在寻找RNP的度量特征时，奥斯特洛夫斯基发现了另一类不嵌入到RNP空间的空间，即包含厚测地线族的空间。我们的第一个结果是，任何度量空间包含一个厚族测地线也包含一个子集和一个概率测度，该子集满足一个减弱形式的RNP Lipschitz可微性。一个推论是一个新的不可嵌入性结果。我们的第二个主要结果是，如果度量空间是一个nonRNP巴拿赫空间，一个子集组成的厚族测地线可以构造满足真正的RNP可微。一个有趣的问题是，这个微分准则，或它的一些减弱形式，如我们在第一个结果中证明的，实际上刻画了一般度量空间非双Lipschitz嵌入到RNP巴拿赫空间。
2019-06-02 math.FA math.MG
Radon-Nikodym property and area formula for Banach homogeneous group targets
证明了从Carnot群的子集到Banach齐次群的Lipschitz映射的Rademacher型定理，并适当地削弱了Radon-Nikodym性质.我们提供了一个度量面积公式，适用于这些映射，更一般地说，所有的几乎处处度量可微Lipschitz映射定义在卡诺群。
2012-01-16 math.FA math.MG
A C^k Lusin Approximation Theorem For Real-Valued Functions on Carnot Groups
研究了Carnot群上实值可测函数的Lusin逼近问题。我们证明了几乎处处k-近似可微等价于$C^{k}_{\mathbb{G}}$映射的Lusin逼近。我们还证明了几乎处处存在一个近似（k-1）-Taylor多项式等价于在适当的Lipschitz函数空间中允许映射的Lusin逼近.
2022-06-03 math.FA math.MG
Nowhere differentiable intrinsic Lipschitz graphs
我们构造了卡诺群中的内禀Lipschitz图，其性质是，在每一点上，存在无穷多个不同的爆破极限，其中没有一个是齐次子群。这为内在Lipschitz图的Rademacher定理提供了反例。
2021-01-08 math.CA math.MG
Space of signatures as inverse limits of Carnot groups
本文给出了度量空间中具有无界纤维的$1$ -Lipschitz投影逆系统的极限概念。其目的是使用子黎曼群度量空间的签名的可求长路径在欧几里得空间，介绍了陈。构造性极限空间在具有1-Lipschitz映射的点度量空间范畴中具有泛性质。在一般的设置一些度量性质进行了讨论，如测地线和电梯的存在。次度量的概念将发挥至关重要的作用。该构造适用于固定秩$n$和递增步长的自由卡诺群序列。在这种情况下，这样的极限空间对应于$\mathbb R^n$中的可求长路径的签名空间。Hambly-Lyons关于签名唯一性的结果意味着这个空间是一个测地线度量树，在每个点上以无穷价分支。作为一个特殊的结果，我们推断，每一个路径在$\mathbb R^n$可以近似的投影的一些测地线在一些卡诺群的秩$n$，给出了一个证据，证明复杂的亚黎曼测地线增加的步骤。
2019-10-10 math.CA math.MG
A new class of $({\cal H}^k,1)$-rectifiable subsets of metric spaces
本文的主要动机来自于对Carnot-Carathéodory空间的研究，其中1-可求长集类不包含光滑的非水平曲线;因此需要一个包含非水平曲线的可求长集的新定义。这就是为什么我们在任何度量空间中引入一类新的曲线，称为连续度量可微度$k$，当$k>1$是Hölder连续的但不是Lipschitz连续的。用这类曲线代替Lipschitz曲线，我们定义了$({\cal H}^k,1)$ -可求长集，并给出了推广欧氏几何中相应结果的一个稠密结果.这个定理是Hausdorff测度沿曲线计算的结果，我们给出了一个积分公式。特别是，我们表明，球形和通常的Hausdorff措施沿曲线符合一类的尺寸长度和相关的插值复杂性，估计已经获得了卡诺-Carathéodory空间。
2012-05-24 math.MG
Pauls rectifiable and purely Pauls unrectifiable smooth hypersurfaces
本文讨论了在次黎曼几何中寻找一个好的可求正性概念的问题。特别地，我们研究了卡诺群中的光滑超曲面可以期望得到什么样的结果。我们的主要贡献将是以下结果的一个推论：存在一个没有特征点的$C^{\infty}$超曲面$S$，它在每个正测度子集上有无数个两两非同构的切群。这个例子是在一个拓扑维数为8的卡诺群中发现的，它的豪斯多夫维数为12，所以我们在它上面使用豪斯多夫测度$\mathcal{H}^{12}$。结果表明，对于Hausdorff维数为12的卡诺群，定义在其子集上的Lipschitz映射都有$S$-空象.特别地，我们推导出这个光滑超曲面不能由可数个映射Lipschitz参数化，每个映射定义在Hausdorff维数$12$的卡诺群的某个子集上。作为主要的结果，我们有一个概念的可求直性提出的S.Pauls是不等价的一个提出的B.Franchi，R.Serapioni和F.Serra Cassano，至少对任意卡诺群。此外，我们证明了，给定卡诺群的Hausdorff维数为$12$的齐次子群的子集$U$，每个双Lipschitz映射$f:U\to S$满足$\mathcal{H}^{12}(f(U))=0$ .最后，我们证明了这样的例子不存在于海森堡群：我们证明了所有的$C^{\infty}$ -超曲面在$\mathbb H^n$与$n\geq 2$是可数$\mathbb{H}^{n-1}…
2019-10-28 math.AP math.DG math.MG
Hypergenerated Carnot groups
本文刻画了超生成分层群，证明其等价于非特征超曲面嵌入为局部双Lipschitz，并推广至任意余维数子流形。
2025-03-31 math.DG math.GR math.MG
On rectifiable measures in Carnot groups: existence of density
本文详细研究了卡诺群中可求正性的一个新概念：对于$h\in\mathbb N$，若一个Radon测度$h$-下密度为正，$h$-上密度几乎处处为有限，且几乎在每一点上都有唯一的直到倍数的切线测度，则称它是$\mathscr{P}_h$-可求正的.首先，我们比较$\mathscr{P}_h$-可求直性与其他概念的可求直性以前已知的文献中的卡诺群的设置，我们证明，它是严格弱于他们。其次，我们证明了$\mathscr{P}_h$-可求长测度的几个结构性质。即，我们证明了$\mathscr P_h$-可求正测度的支持几乎处处被满足锥状性质的集合所覆盖，并且在具有补切线的$\mathscr P_h$-可求正测度的特定情况下，我们证明了它们在本质Lipschitz图和可微图的并集中得到支持。利用这种覆盖性质证明了本文的主要结果：证明了$\mathscr{P}_h$-可求长测度几乎处处具有正的有限$h$-稠密性，只要其切线至少允许一个补子群.
2022-02-25 math.MG
Compression bounds for Lipschitz maps from the Heisenberg group to $L_1$
本文证明了具有Carnot-Carathéodory度量的Heisenberg群的一个定量的双Lipschitz非嵌入定理，并应用它给出了Spartens-Cut问题的Goemans-Linial半定松弛的积分间隙的一个下界.
2009-10-11 cs.DS math.DG math.FA
On rectifiable measures in Carnot groups: Marstrand-Mattila rectifiability criterion
本文继续研究卡诺群中的$\mathscr{P}$ -可求正性概念。我们说一个Radon测度是$\mathscr{P}_h$ -可求正的，对于$h\in\mathbb N$，如果它几乎处处有正的$h$ -下密度和有限的$h$ -上密度，并且在几乎每一点上，它都有一个唯一的直到倍数的正切测度。本文证明了任意Carnot群中$\mathscr{P}$ -可求长测度的一个Marstrand-Mattila可求长准则，其中切面允许正规补子群.也就是说，在这种共法的情况下，即使先验的切面在一个点可能不相同，在不同的尺度，后验的措施有一个唯一的切线几乎处处。由于卡诺群的每个水平子群都有一个正规补，我们的准则适用于切线是一维水平子群的特殊情况。因此，作为我们的Marstrand-Mattila可求正性判据和Chousionis-Magnani-Tyson的结果的直接结果，我们得到了第一海森堡群$\mathbb H^1$中的一维Preiss定理。更精确地说，我们证明了$\mathbb H^1$上的Radon测度$ϕ$关于Koranyi距离具有正的和有限的单密度，关于一维Hausdorff测度$\mathcal{H}^1$是绝对连续的，并且它在Federer意义下支持在一个可求长集上，即，它在从$A\subseteq \mathbb R$到$\mathbb H^1$的Lipschitz映射的图像的可数…
2022-02-19 math.MG
Embedding snowflakes of Carnot groups into bounded dimensional Euclidean spaces with optimal distortion
我们证明，对于任何卡诺群$G$，都存在一个自然数$D_G$，使得对于任何$0<\varepsilon<1/2$，度量空间$(G,d_G^{1-\varepsilon})$允许双Lipschitz嵌入到$\mathbb{R}^{D_G}$中，并带有失真$O_G(\varepsilon^{-1/2})$。这是通过建立在T. Tao（2021），他在$G$是海森堡群时，使用Nash-Moser迭代方案的新变体结合正交向量场的新扩展定理建立了上述断言。除了需要克服在卡诺群的更一般的设置中出现的几个技术问题之外，我们的证明与陶的证明不同的一个关键点是在正交向量场延拓定理的证明中，我们将Lovász局部引理和测量现象在球体上的集中代替了陶使用的定量同伦参数。
2023-03-14 math.AP math.MG
Smooth contact lifts to central extensions of Carnot groups
研究Carnot群间光滑切触映射向其中心扩张间映射的提升存在性问题，给出基于de Rham势拉回Rumin微分的充要条件及Pansu拉回的必要条件，并证明后者在特定条件下充分。
2025-08-20 math.DG math.MG
On the converse of Pansu's Theorem
我们提供了一个适当的推广潘苏的可微性定理一般Radon措施卡诺集团，我们表明，如果卡诺集团之间的Lipschitz地图潘苏可微几乎处处不在的一些Radon措施$μ$，那么$μ$必须是绝对连续的Haar措施的组。
2022-11-11 math.AP math.CA math.MG
A rectifiability result for finite-perimeter sets in Carnot groups
该研究在Carnot群框架下提出了一种可能更弱的锥性质可求长概念，证明有限周长集的约化边界可被可数个具该性质的子集覆盖，还推导了锥内含水平方向时的可数可求长性，并验证其在丝状群中成立。
2023-10-04 math.AP math.DG math.GR
Characterizations of rectifiable metric measure spaces
我们的特点$n$ -可求长度量测度空间作为那些空间，承认一个可数的Borel分解，使每一块有积极的和有限的$n$ -密度和以下之一：是一个$n$维Lipschitz可微空间;有$n$ -独立的Alberti表示;满足大卫的条件，一个$n$维图表。关键的工具是一个迭代的网格结构，它使我们能够表明，一个球的图像与高密度的曲线从阿尔贝蒂表示下的图表地图包含一个均匀的大球的大部分，因此满足大卫的条件。这使我们能够在图表上应用以前已知的“双李普希茨块”结果。
2015-01-10 math.MG
Isodiametric sets in the Heisenberg group
在配备有卡诺-卡拉西奥多利度量和哈尔测度的次黎曼海森堡群中，我们考虑等径集，即在给定直径的所有集合中最大化测度的集合。特别是，给定一个等径集，并可忽略的集，我们证明了它的边界是由两个局部Lipschitz函数的图形。此外，在旋转不变集的限制类中，我们给出了任何紧（旋转不变）等径集的一个相当完整的刻画。更具体地说，它的Steiner对称化相对于Cn-平面示出符合欧几里德凸包的CC-球。同时，我们也证明了相当意想不到的非唯一性结果。
2010-10-06 math.MG
Lipschitz images and dimensions
本文研究紧度量空间何时可由 Cantor 集或一般紧集经 Lipschitz、α-Hölder 映射得到，并利用 Hausdorff 维数与上盒维数给出存在性、等价性及刻画。
2024-04-08 math.CA math.MG
