Porosity of the Free Boundary in the Singular p-Parabolic Obstacle Problem
Abdeslem Lyaghfouri
本文建立了奇异拟线性p-抛物障碍问题在自由边界附近解的精确增长性，并由此导出了它的多孔性。
In this paper we establish the exact growth of the solution of the singular quasilinear p-parabolic obstacle problem near the free boundary from which we deduce its porosity.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Porosity of the free boundary for p-parabolic type equations in non-divergence form
本文建立了非散度型奇异拟线性p-抛物自由边界问题解在自由边界附近的精确增长性，由此导出了该问题的孔隙度。
Parabolic weak porosity and parabolic Muckenhoupt distance functions
本文研究了抛物弱孔隙度与抛物Muckenhoupt A₁权重的关系，通过时间滞后距离函数的性质，建立了非空闭集的抛物弱孔隙度与A₁类权重的等价条件。
Lorentz estimates for obstacle parabolic problems
我们证明了p-Laplacian型抛物障碍问题（变分）解的空间梯度在Lorentz空间尺度上具有与障碍的导数和数据相同的规律性。
Regularity of the obstacle problem for the parabolic biharmonic equation
研究抛物型双调和方程障碍问题解的正则性。我们通过一个隐式时间离散化的问题进行分析，我们证明了一些规律性的解决方案。
The two obstacle problem for the parabolic biharmonic equation
考虑有界区域上抛物型双调和方程的两障碍问题。通过一个隐式时间离散格式证明了解的长时间存在性，并研究了解的正则性。
Regularity for obstacle problems to anisotropic parabolic equations
本文沿用Dibenedetto的内在标度法，在障碍仅满足Hölder连续性的条件下，证明了部分各向异性抛物方程障碍问题弱解的局部Hölder连续性。
Parabolic Obstacle Problems. Quasi-convexity and Regularity
在广泛的一类所谓的抛物型障碍问题，它是如何提高最佳的正则性的解决方案，并因此如何获得相应的自由边界的时空正则性。
Nondivergence elliptic and parabolic problems with irregular obstacles
我们证明了自然加权Calderón和Zygmund估计的椭圆和抛物障碍问题的解的非发散形式的不连续系数和不规则的障碍。我们还获得了Morrey正则性结果的Hessian的解决方案和Hölder连续的梯度的解决方案。
Regularity of solutions to the parabolic fractional obstacle problem
在本文中，我们研究了一个抛物型版本的分数障碍问题，证明了几乎最优的正则性的解决方案。这个问题是由Menton提出的美式期权模型所激发的，该模型将股票价格动态中的不连续路径引入期权评估理论。
Obstacle problem for a class of parabolic equations of generalized $p$-Laplacian type
我们研究了具有Orlicz型增长条件的非线性抛物型偏微分方程。主要结果给出了与这些方程有关的障碍问题的唯一解的存在性。为了实现这一点，我们证明了弱解的有界性和一致有界序列的弱上解收敛到一个弱上解。此外，我们证明了，如果障碍是连续的，所以是解决方案。
On $L^p$-viscosity solutions of parabolic bilateral obstacle problems with unbounded ingredients
当障碍物仅为连续时，建立了具有无界成分的抛物双边障碍物问题$L^p$ -黏性解的整体等连续估计。通过对给定数据的近似，证明了$L^p$ -黏性解的存在性.当障碍物为$C^{1, β}$和$p>n+2$时，给出了$L^p$ -黏性解空间导数的局部Hölder连续性估计.
Dimension of the singular set in the parabolic obstacle problem
本文研究了抛物型障碍问题中奇异性集合的维数，证明其抛物Hausdorff维数至多为n-1，并结合频公式和单调性估计给出了关键证明方法。
Regularity of almost minimizers for the parabolic thin obstacle problem
本文研究了具有零障碍的抛物薄障碍（或Signorini）问题的几乎极小元。对于每个$0<σ<1$，我们建立了它们的$H^{σ,σ/2}$ -正则性，对于某些$0<β<1$，我们建立了它们在薄空间两侧的空间梯度的$H^{β,β/2}$ -正则性.对于具有可变Hölder系数的Signorini问题的几乎极小解也得到了类似的结果。
On the one-dimensional parabolic obstacle problem with variable coefficients
本文讨论了一维变系数抛物障碍问题解的时间导数的连续性结果。它适用于数值分析和金融数学中的光滑拟合原理。它依赖于各种工具的研究自由边界问题：爆破方法，单调性公式，刘维的结果。
Regularity for the fully nonlinear parabolic thin obstacle problem
证明了一类内部为完全非线性抛物型方程的边界障碍问题的黏性解的$C^{1, α}$正则性（抛物意义下）.本文采用L. Caffarelli在1979年的文章中，推广了I. Athanasopoulos（1982）研究了线性抛物情形，E. Milakis和L. Silvestre（2008），他处理了完全非线性椭圆情形。
Systems of semilinear parabolic variational inequalities with time-dependent convex obstacles
考虑一类带不定常凸障碍的非线性抛物型变分不等式。证明了其解的存在唯一性。我们还提供了一个随机表示的解决方案，并表明它可以近似的惩罚方法。我们的证明是基于马尔可夫过程理论和后向随机微分方程理论的概率方法。
On the regularity of the Non-dynamic Parabolic Fractional Obstacle Problem
在所谓的非动态抛物型分数阶障碍问题中，给出了如何获得解的空间导数的更高正则性和最佳正则性。进一步证明了在正抛物密度的自由边界点上，解的时间导数是Hölder连续的.最后，在正则自由边界点处，对任意分数$s\in(0,1)$，得到了相应自由边界的时空正则性。
Regularity theory for fully nonlinear parabolic obstacle problems
本文研究了具有完全非线性扩散的抛物障碍问题解的自由边界。我们表明，自由边界分裂成一个定期和奇异的部分：附近的正则点的自由边界是$C^\infty$在空间和时间。此外，我们证明了奇点集是局部覆盖的Lipschitz流形的尺寸$n-1$也是$\varepsilon$ -平坦的空间中，任何$\varepsilon>0$。
The structure of the singular set in the thin obstacle problem for degenerate parabolic equations
研究了带权退化抛物型方程薄障碍问题的奇异集。这样的问题作为分数阶热算子$(\partial_t - Δ_x)^s$对$s \in (0,1)$的障碍问题的局部扩展而出现。我们的主要结果建立了自由边界奇异集的完备结构和正则性。为了实现这一点，我们证明了Almart-Poon，Weiss和Monneau型单调性公式推广的情况下的热方程（$a=0$）。
Pointwise regularity of the free boundary for the parabolic obstacle problem
研究抛物型障碍问题$$\lap u-u_t=fχ_{\{u>0\}}, \quad u\geq 0,\quad f\in L^p \quad \mbox{with}\quad f(0)=1$$，得到了两个单调性公式，一个适用于一般自由边界点，一个适用于奇异自由边界点.这些被用来证明二阶泰勒展开在奇点（逐点Dini条件下），估计的错误（逐点双Dini条件下）。在$f$是Dini连续的假设下，证明了正则点集局部是（抛物）$C^1$ -曲面，奇点集局部包含在（抛物）$C^1$流形的并中.
Functional a posteriori error estimates for parabolic obstacle problems
研究一类带障碍的抛物型偏微分方程初边值问题的泛函型后验估计。我们推导出一个保证和可计算的界限之间的距离的确切极小和任何功能从容许（能量）类的功能。讨论了该方法在数据隐含引起的建模误差分析中的应用。特别研究了时间增量近似的一个重要情况。最后一节给出的数值例子显示了估计在实践中是如何工作的。
$C^{2,α}$ regularity of free boundaries in parabolic non-local obstacle problems
研究了分数阶Laplacian $(-Δ)^s$（以及更一般的积分微分算子）在$s>\frac{1}{2}$区域中抛物障碍问题自由边界的正则性。我们证明，一旦自由边界是$C^1$，它实际上是$C^{2,α}$。为此，我们在$C^1$和$C^{1,α}$（移动）域中建立了一个边界Harnack不等式，条件是线性方程在边界上消失的两个解的商与边界一样光滑.由于我们的结果，我们还建立了第一次最佳的正则性，这种解决方案的非局部抛物型方程在移动的区域。
On the asymptotic behavior of the solutions to parabolic variational inequalities
我们考虑了各种形式的障碍和薄障碍问题，将它们解释为带有非光滑约束的变分不等式，并证明了它们满足一个新的约束Lojasiewicz不等式.困难在于，由于约束是非解析的，L。Simon（Ann.of Math.118（3），1983）并不适用，我们必须更好地理解约束本身。然后，我们将这个不等式应用到两个相关的问题。首先结合抛物型变分不等式的一个抽象结果，证明了抛物型障碍问题和薄障碍问题的强整体解在无穷远处收敛到唯一的具有速率的平稳解.其次，我们给出了一个抽象的证明，基于抛物线的方法，上界不等式，然后我们应用到奇点的障碍和薄障碍问题。
Optimal Regularity for the parabolic No-Sign Obstacle Problem
研究了障碍型抛物自由边界问题$$ \lap u-\frac{\partial u}{\partial t}= fχ_{u\ne 0}. $$在满足$f=Hv$的条件下，对某个函数$v$具有有界的二阶空间导数和有界的一阶时间导数，建立了解$u$的同样的正则性.规则性和假设都是最优的。利用这一结果并假设$f$是Dini连续的，我们证明了自由边界在所谓的低能点附近是一个$C^1$图。我们的结果完成了这类问题的热算子的理论。
$H^{1+α}$ estimates for the fully nonlinear parabolic thin obstacle problem
研究了完全非线性抛物薄障碍物问题的黏性解的正则性。特别地，我们证明了对于一些小的$α>0.$，解在光滑障碍物的每一侧都是局部的$H^{1+α}$。我们的结果还以两种方式扩展了Chatzigeorgiou（2019）的结果。首先，我们不假设解或算子是对称的。其次，我们的估计是局部的，在这个意义上说，不依赖于边界数据。
Lipschitz regularity for the parabolic $(s,p)-$obstacle problem
研究退化范围2 < p < 2/(1 - s)内抛物型分数阶p - 拉普拉斯方程的障碍问题，证明粘性解在空间上局部Lipschitz连续、时间上Hölder连续，p > 1/(1 - s)时时间正则性提升为Lipschitz连续。
The double obstacle problem on non divergence form
研究了完全非线性抛物型和椭圆型算子双障碍问题解的正则性。我们表明，当障碍物是足够经常的解决方案是$C^{1,α}$在内部的抛物和椭圆的情况下。
Regularity in the Obstacle Problem for Parabolic Non-divergence Operators of Hörmander type
本文继续了[FGN]中关于构造在向量场X = {X_1，.，X_q}在R^n中，C^1-系数满足Hörmander有限秩条件，即，Lie{X_1，...，X_q}在R^n中的每一点都等于n。在[FGN]中，我们在对算子和障碍的适当假设下，证明了一般障碍问题的强解的存在唯一性.本文的主要结果是进一步建立了强解在初态和内部的正则性。与[FGN]相比，本文还假设存在齐次李群G =（R^n，\circ，δ_λ）使得{X_1，.，X_q}在G上是左平移不变的，并且使得{X_1，.，X_q}是一次δ_λ-齐次的。
An entropy approach to doubly nonlinear parabolic obstacle problems
本文针对双非线性抛物型障碍问题，引入重正化熵公式，结合有序惩罚程序等方法，证明了不同扩散情形下解的存在、唯一性与$L^1$稳定性，明确了极限反应的构成。
Free boundary regularity in the parabolic fractional obstacle problem
当资产价格由纯跳跃Lévy过程驱动时，美式期权模型中的分数拉普拉斯算子自然会出现抛物障碍问题。本文研究了自由边界的正则性。我们的主要结果建立了，当$s>\frac12$，自由边界是$C^{1,α}$图在$x$和$t$附近的任何正规自由边界点$(x_0,t_0)\in \partial\{u>φ\}$。此外，我们还证明了解决方案$u$是$C^{1+s}$在$x$和$t$在这些点附近，与精确的扩展形式\[u(x,t)-φ(x)=c_0\bigl((x-x_0)\cdot e+a(t-t_0)\bigr)_+^{1+s}+o\bigl(|x-x_0|^{1+s+α}+ |t-t_0|^{1+s+α}\bigr),\]与$c_0>0$，$e\in \mathbb{S}^{n-1}$，和$a>0$。
The regular free boundary in the thin obstacle problem for degenerate parabolic equations
在本文中，我们研究的存在性，最佳的正则性，和附近的自由边界的正则性的所谓\emph{regular points}在薄障碍问题，出现的障碍问题的局部扩展的分数热算子$(\partial_t - Δ_x)^s$的$s \in (0,1)$。我们的正则性估计在本质上是完全局部的。这方面是至关重要的，在我们即将进行的工作爆破分析的自由边界，包括研究的奇异集。我们的方法是基于首先建立的时间导数的解决方案的有界性。这允许在每个固定的时间水平上减少到椭圆问题。利用椭圆理论的一些结果，包括上围不等式，我们建立了解的最优正则性以及正则点附近自由边界的$H^{1+γ,\frac{1+γ}{2}}$正则性.
Systems of fully nonlinear parabolic obstacle problems with Neumann boundary conditions
在Neumann边界条件下，证明了一类带连通障碍物的完全非线性抛物型偏微分方程方程组黏性解的存在性.证明的方法建立在经典的黏性解技术，适用于设置相互关联的障碍和建设明确的粘性子和上解作为Perron的方法的界限。我们的动机源于所谓的最优切换问题的有界域。
Reflected BSDEs and continuous solutions of parabolic obstacle problem for semilinear PDEs in divergence form
考虑带障碍物的散度型半线性抛物型方程的Cauchy问题。我们表明，在自然条件下的右手边的方程和温和的条件下的障碍，一个唯一的连续的解决方案的问题承认一个随机表示的反射向后随机微分方程。我们还得到了解的一些正则性，并证明了一些有用的逼近结果。
Regularity theory for nonlocal obstacle problems with critical and subcritical scaling
本文提出了一种新颖且统一的方法，解决了具有临界与次临界缩放的非局部障碍问题中的正则性理论开放难题，并恢复了大多数已知结果。
Viscosity method for Homogenization of Parabolic Nonlinear Equations in Perforated Domains
本文发展了一种粘性方法，用于求解多孔区域中受高振荡障碍物或Dirichlet数据约束的非线性抛物型方程的均匀化问题。有孔域上的Dirichlet数据可以看作是一个约束或障碍。本文还考虑了非线性特征值问题的均匀化，以控制多孔介质方程在开孔区域的退化。为了简单起见，我们考虑的障碍，包括圆柱列周期性分布和穿孔域穿孔球。当柱容量或穿孔球容量的衰减率过大或过小时，可解性极限将收敛于平凡解。通过构造势垒，得到了具有非平凡解的临界衰减率。我们还证明了粘性极限满足一个均匀化方程，其中一项表示了高振荡障碍物或穿孔域在粘性意义下的影响。
Obstacle problem for semilinear parabolic equations with measure data
本文考虑半线性抛物型方程的Cauchy-狄利克雷问题的具有两个不规则反射壁的障碍问题。我们证明了该问题重整化解的存在唯一性，并给出了用罚函数法逼近解的结果。在证明中，我们使用了马尔可夫过程理论和倒向随机微分方程理论的概率方法。
On the Hölder regularity for obstacle problems to porous medium type equations
我们证明了具有多孔介质型结构的抛物障碍问题的符号弱解是局部Hölder连续的，只要障碍是Hölder连续的.
A game-theoretic approach to the parabolic normalized p-Laplacian obstacle problem
该研究采用博弈论方法，通过带噪声的零和随机拔河博弈为抛物型正规化p-Laplacian障碍问题的解建立概率表示，证明值函数的存在性、动态规划原理及向唯一粘性解的一致收敛性。
High-frequency bounds for the Helmholtz equation under parabolic trapping and applications in numerical analysis
本文研究了当障碍物为陷阱时，在Dirichlet边界条件下，Helmholtz方程在有界障碍物外的实轴上的预解式估计。目前在文献中有两种针对这种情况的预解估计：（i）在椭圆捕获的情况下，适用指数增长性的一般“最坏情况”界限，并且实例表明，这种增长可以通过某些波数序列来实现，（ii）在双曲线俘获的典型情况下，其中亥姆霍兹方程被置于两个严格凸障碍物的外部（或具有附加约束的几个障碍）非捕获预解估计保持对数损失。本文证明了抛物型陷阱的第一预解估计障碍，研究一类障碍的原型例子是两个正方形（在二维），或两个立方体（在三维），其侧面是平行的外部。我们表明，通过发展的向量场/乘数的论点Morawetz和第一次应用这种方法来捕获配置，一个预解估计持有多项式损失的nontrapping估计。我们使用这个界，以及其他捕获预解估计，证明结果的积分方程配方的边值问题的情况下，捕获。将这些边界送入现有的有限元和边界元方法分析框架，我们得到了第一波数显式证明的收敛性数值方法求解Helmholtz方程在外部的一个陷阱障碍。
The elastic flow with obstacles: small obstacle results
本文考虑了一类具有固定端点的图的欧拉弹性能的抛物障碍问题。我们证明了整体存在性，适定性和次收敛提供的障碍和初始数据是适当的“小”。对于对称锥障碍，我们可以将次收敛改进为收敛。定性方面，如能量耗散，符合障碍物和时间规律性进行了研究。
Pointwise estimates for the heat equation. Application to the free boundary of the obstacle problem with Dini coefficients
研究了抛物型方程解的点态正则性。作为第一个结果，我们证明了，如果平均振荡的模$Δu -u_t$在原点是Dini（在$L^p$平均），那么原点是一个勒贝格连续点（仍然在$L^p$平均）的$D^2 u$和$\dd_t u$。我们将这一点态正则性结果推广到Dini右手边的抛物障碍问题。特别是，我们证明了障碍物问题的解决方案，在正则点的自由边界，泰勒扩展到两个空间和一个时间（在$L^p$平均）。此外，我们还得到了泰勒展开式误差的定量估计。我们的方法是基于衰变估计矛盾，使用爆破参数和刘维尔型定理。作为我们的方法的一个副产品，我们推导出的规则点的自由边界局部包含在$C^1$超曲面的抛物线距离$\sqrt{x^2 +|t|}$。
Higher regularity of the free boundary in the parabolic Signorini problem
我们证明了在$H^{k+ α}$规则狭缝的一部分上为零的两个热函数的商在狭缝处为$H^{k+ α}$，对于$k \geq 2$。在$k=1$情形下，我们证明了如果狭缝是时空$C^{1, α}$正则的，则商在$H^{1+α}$中。这可以被认为是最近在[DSS 14a]中的一个重要结果的抛物线模拟，其想法启发了我们。作为应用，我们证明了[DGPT]中研究的抛物薄障碍问题在正则点附近的自由边界在空间和时间上都是$C^{\infty}$正则的.
Boundary pointwise regularity for fully nonlinear parabolic equations and an application to regularity of free boundaries
本文证明了完全非线性抛物型方程的任意$k\geq 1$的边界点态$C^{k,α}$正则性。作为应用，我们给出了障碍型问题中自由边界的高正则性的一个直接而简短的证明。
Existence, uniqueness, and regularity of solutions to nonlinear and non-smooth parabolic obstacle problems
研究非线性抛物障碍问题解的存在性、唯一性及$W^{1,2,p}$正则性，适用于凸障碍，为停止问题提供决策者不选择凸角的条件。
Optimal regularity for supercritical parabolic obstacle problems
本文研究超临界区域 $s \in (0,1/2)$ 下由 $\partial_t + L$ 驱动的抛物型障碍问题，首次证明解在时空上具有最优的 $C^{1,1}$ 正则性，并得到自由边界正则性及边界点展开式。
Stochastic representation of solutions to degenerate elliptic and parabolic boundary value and obstacle problems with Dirichlet boundary conditions
证明了退化Markov扩散过程的椭圆和抛物边值问题及障碍问题解的随机表示的存在唯一性。特别是，我们的文章集中在赫斯顿随机波动率过程，这是广泛使用的数学金融中的资产价格模型和退化的扩散过程的一个范例，其中退化的扩散系数是成比例的平方根的距离的半平面的边界。这个过程的生成器与杀戮，称为椭圆赫斯顿算子，是一个二阶，退化，椭圆部分微分算子的系数有线性增长的空间变量和退化的运营商符号是成比例的距离半平面的边界。在数学金融学中，抛物赫斯顿算子的终值/边值或障碍问题的解对应于标的资产的美式期权的价值函数。
An inverse free boundary problem
该研究针对椭圆型与抛物型障碍问题的逆问题，证明了椭圆型障碍问题的Dirichlet-to-Neumann映射的单侧线性化可唯一确定非接触集与障碍，并将抛物型障碍逆问题归约为椭圆型逆问题求解。
Uniform estimates near the initial state for solutions to the two-phase parabolic problem
本文证明了两阶段抛物障碍问题的弱解在初态附近的最优正则性。这里使用的方法足够通用，允许我们考虑属于$C^{1,1}$类的初始数据。
Reflected BSDEs and obstacle problem for semilinear PDEs in divergence form
考虑带障碍物的散度型半线性抛物型方程的Cauchy问题。我们表明，在自然条件下的右手边的方程和温和的条件下的障碍物的问题有一个唯一的解决方案，我们提供了它的随机表示反映落后的随机微分方程。我们还证明了正则性和逼近结果的解决方案的问题。
Continuity up to the boundary for obstacle problems to porous medium type equations
本文证明多孔介质型方程障碍问题在边界数据连续时，带符号弱解连续到抛物边界，该结果对奇异方程亦为新。
Positive speed of propagation in a semilinear parabolic interface model with unbounded random coefficients
我们考虑一个模型的传播驱动接口通过随机场的障碍。发展方程，通常被称为淬火爱德华-威尔金森模型，是一个半线性抛物型方程与常数驱动项和随机非线性模型的障碍场的影响。对于孤立的障碍物为中心的格点和承认一个随机强度与指数尾巴的情况下，我们表明，界面传播的有限速度足够大的驱动力。证明包括离散化的发展方程和一个上鞅估计类似于分支随机游动的研究。
Higher order parabolic boundary Harnack inequality in $C^1$ and $C^{k,α}$ domains
研究了二阶抛物型线性方程在移动区域中解的边界行为。本文的主要结果是在$C^1$和$C^{k,α}$域上的一个高阶边界Harnack不等式，条件是两个解在域的边界上消失的商与边界一样光滑.作为结果的一个结果，我们提供了抛物障碍问题中自由边界的高阶正则性的一个新的证明。
Regularity of interfaces in phase transitions via obstacle problems
本文的目的是回顾近年来关于定常和抛物障碍问题的正则性理论的一些发展。在一个一般的概述之后，我们给出了奇异自由边界点的结构的一些最近的结果。然后，我们展示了一些选定的应用程序的通用光滑的自由边界的固定障碍问题（Schaeffer猜想），和光滑的自由边界的单相Stefan问题的几乎每一个时间。
Multiscale Hyperbolic-Parabolic Models for Nonlinear Reactive Transport in Heterogeneously Fractured Porous Media
本文提出多尺度双曲-抛物模型，用于描述异质裂隙多孔介质中非线性反应输运的均质化过程，通过分析推导了耦合非线性界面条件的双曲系统，并给出了误差估计。
Ergodicity for stochastic T-monotone parabolic obstacle problems
本文研究了由Sobolev空间上T-单调算子控制、受乘性噪声驱动的障碍问题，证明了其解定义了Markov-Feller半群，并在适当假设下确立了遍历不变测度的存在性与唯一性。
On the Regularity of the Free Boundary for Quasilinear Obstacle Problems
我们将障碍问题的自由边界的基本正则性推广到几类具有变量增长的非均质拟线性椭圆算子，特别是$p(x)$ -Laplacian算子。在幂增长阶的Lipschitz连续性假设下，利用解在自由边界附近的增长率得到解的孔隙度，这意味着$p(x)$ -Laplacian型非均匀障碍问题的自由边界是勒贝格测度零的.在对算子异质性和数据的附加假设下，我们在两种不同的情况下证明，直到零周长的可忽略奇异集，自由边界至多是$C^1$超曲面的可数族的并：i）将自由边界的$(n-1)$维Hausdorff测度的有限性直接推广到具有常数$p$的非均匀$p$ -Laplacian型算子的情形; $1<p<\infty$ ; ii）证明了非退化或非奇异变幂增长算子$p(x)>1$的重合集的特征函数是有界变差的.
Increasing powers in a degenerate parabolic logistic equation
研究了问题$$ \partial_t u-Δu=a u-b(x) u^p \text{in} Ω\times \R^+, u(0)=u_0, u(t)|_{\partial Ω}=0 $$为$p\to +\infty$的正解的渐近性态，其中$Ω$是有界区域，$b(x)$是非负函数.我们推导出极限构形解抛物障碍问题，然后我们充分描述了它的长时间行为。
Existence, uniqueness, and stabilization results for parabolic variational inequalities
本文考虑了具有依赖于时间和空间的反应和对流系数的障碍型抛物型变分不等式的反馈镇定，并证明了非平稳轨迹的指数镇定。基于Moreau-Yosida近似，建立了一个反馈算子，使用有限（和均匀的近似指数）的致动器的数量，导致指数衰减的给定速率的状态变量。几个数值例子解决光滑和非光滑障碍函数。
The obstacle-mass constraint problem for hyperbolic conservation laws. Solvability
本文介绍了多维标量双曲型守恒律的障碍-质量约束问题。我们证明了这个问题的熵解的存在性的惩罚/粘性方法。质量约束引入了一个非局部拉格朗日乘子的惩罚方程，从而产生一个非局部抛物问题。我们确定的条件，初始数据和障碍函数，以确保全球的时间存在的解决方案。这些不是平滑条件，而是与初始数据的支持的传播有关。
On the time fractional heat equation with obstacle
研究了一类Caputo时间分数阶退化扩散方程，证明了它与分数阶抛物障碍问题的等价性，证明了它的解对于任意$α\in(0,1)$都演化到与经典椭圆障碍问题的解相同的定态. $α$唯一的变化是收敛速度。我们也从数值的角度研究了这个问题，比较了一些有限的不同的方法，并给出了一些测试的结果。这些结果推广了最近在[1]中对$α=1$情形所证明的结果。
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