The double obstacle problem on non divergence form
Luis Duque
研究了完全非线性抛物型和椭圆型算子双障碍问题解的正则性。我们表明，当障碍物是足够经常的解决方案是$C^{1,α}$在内部的抛物和椭圆的情况下。
We study the regularity of the solution of the double obstacle problem form for fully non linear parabolic and elliptic operators. We show that when the obstacles are sufficiently regular the solution is $C^{1,α}$ in the interior for both the parabolic and the elliptic cases.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Reflected BSDEs and obstacle problem for semilinear PDEs in divergence form
考虑带障碍物的散度型半线性抛物型方程的Cauchy问题。我们表明，在自然条件下的右手边的方程和温和的条件下的障碍物的问题有一个唯一的解决方案，我们提供了它的随机表示反映落后的随机微分方程。我们还证明了正则性和逼近结果的解决方案的问题。
The Mean Value Theorem and Basic Properties of the Obstacle Problem for Divergence Form Elliptic Operators
在1963年，Littman，Stampacchia和Weinberger证明了一个椭圆型算子的中值定理，该算子具有有界可测系数。在1998年的费米讲座中，卡法雷利对同样的情况提出了一个简单得多的中值定理，但没有包括证明的细节。我们展示了证明Caffarelli公式所需的所有非平凡细节，在展示这些细节的过程中，我们建立了关于一般椭圆发散型算子障碍问题的一些基本事实，特别是，我们展示了一个基本的二次非退化性质。
Regularity in the Obstacle Problem for Parabolic Non-divergence Operators of Hörmander type
本文继续了[FGN]中关于构造在向量场X = {X_1，.，X_q}在R^n中，C^1-系数满足Hörmander有限秩条件，即，Lie{X_1，...，X_q}在R^n中的每一点都等于n。在[FGN]中，我们在对算子和障碍的适当假设下，证明了一般障碍问题的强解的存在唯一性.本文的主要结果是进一步建立了强解在初态和内部的正则性。与[FGN]相比，本文还假设存在齐次李群G =（R^n，\circ，δ_λ）使得{X_1，.，X_q}在G上是左平移不变的，并且使得{X_1，.，X_q}是一次δ_λ-齐次的。
The obstacle problem for subelliptic non-divergence form operators on homogeneous groups
主要结果是一类非散度型次椭圆算子障碍问题强解的存在唯一性。所考虑的算子构造在R^n中的一组光滑向量场上; X = \{X_0，X_1，.，X_q\}，q \le n，满足Hörmanders有限秩条件.在该设置中，X_0是低阶项，而{X1，...，X_q}是算子的次椭圆部分的构造块。为了证明这一点，我们在假设集合{X_0，X_1，...，X_q}生成齐次李群。此外，我们证明了任何强解都属于一个合适的Hölder连续函数类.
Reflected BSDEs and continuous solutions of parabolic obstacle problem for semilinear PDEs in divergence form
考虑带障碍物的散度型半线性抛物型方程的Cauchy问题。我们表明，在自然条件下的右手边的方程和温和的条件下的障碍，一个唯一的连续的解决方案的问题承认一个随机表示的反射向后随机微分方程。我们还得到了解的一些正则性，并证明了一些有用的逼近结果。
Partial regularity for Double Phase obstacle problems
本文研究了在满足适当拓扑性质的向量障碍型约束下，双相泛函的向量值局部极小子的部分正则性。
Nonlinear gradient estimates for elliptic double obstacle problems with measure data
研究了右端为测度时变指数增长的拟线性椭圆型双障碍问题。一个整体的Calderón-Zygmund估计的梯度的一个近似解决方案获得的相关的双重障碍和一个给定的措施，确定最低要求的正则性估计。
Nonlocal fully nonlinear double obstacle problems
证明了非局部完全非线性椭圆型双障碍问题解的存在性和$C^{1,α}$正则性。我们还得到了这些问题的边界正则性。假设障碍物是Lipschitz半凹/半凸函数，并且我们不要求它们是$C^1$。我们的方法是适应惩罚方法适用于设置的非局部方程及其黏性解。
Convergence results for the solutions of $(p,q)$-Laplacian double obstacle problems on irregular domains
本文研究 $(p,q)$-Laplace 型算子双障碍问题，并分析分形及预分形边界域上解的渐近收敛性。
The Regularity Theory for the Double Obstacle Problem
本文证明了具有上障碍$ψ$的双障碍问题自由边界的局部$C^{1}$正则性，其中\begin{align*} Δu &=fχ_{Ω(u) \cap\{ u< ψ\} }+ Δψχ_{Ω(u)\cap \{u=ψ\}}, \qquad u\le ψ\quad \text { in } B_1, \end{align*}在$u$和$ψ$的厚度假设下，是$Ω(u)=B_1 \setminus \left( \{u=0\} \cap \{ \nabla u =0\}\right)$.
The Regularity Theory for the Double Obstacle Problem for Fully Nonlinear Operator
本文证明了具有$C^{1,1}$障碍函数的双障碍问题的$W^{2,p}$（$n<p<\infty$）解的存在唯一性.此外，我们还证明了解的最优正则性和自由边界的局部$C^1$正则性。在自由边界正则性的研究中，我们讨论了一个一般问题，即具有上障碍$ψ$的无符号约化双障碍问题，$F(D^2 u,x) =fχ_{Ω(u) \cap\{ u< ψ\} } + F(D^2ψ,x) χ_{Ω(u)\cap \{u=ψ\}}, u\le ψ\text { in } B_1$，其中$Ω(u)=B_1 \setminus \left( \{u=0\} \cap \{ \nabla u =0\}\right)$ .
Double Obstacle Problems with obstacles given by non-$C^2$ Hamilton-Jacobi equations
我们证明了双障碍问题的最佳正则性时的障碍是由解决方案的Hamilton-Jacobi方程，不是$C^2$。当Hamilton-Jacobi方程不是$C^2$时，则标准Bernstein技术失败，并且我们失去通常的半半周期估计。利用非齐次标度（在不同方向上的不同速度），我们开发了一个新的点态正则性理论的Hamilton-Jacobi方程的解决方案接触的障碍。我们的结果的一个结果是，$C^1$ -解的Hamilton-Jacobi方程$$ \pm |\nabla h-a(x)|^2=\pm 1 \textrm{in} B_1, \qquad h=f \textrm{on} \partial B_1, $$实际上是$C^{1,α/2}$提供$a \in C^α$。这一结果是最佳的，据作者所知是新的。
Lorentz estimates for quasi-linear elliptic double obstacle problems involving a Schrödinger term
本文主要研究非光滑区域上含薛定谔项的$p$双障碍问题：带界约束$ψ_1 \le u \le ψ_2$的$-Δ_p u + \mathbb{V}|u|^{p-2}u$弱解梯度的整体Lorentz估计.这个问题在数学、工程学、物理学和其他科学分支中都有自己的兴趣。我们的方法使得非线性薛定谔型方程的Calderón-Zygmund理论的研究和双障碍问题的变分不等式之间的一个新的连接。
Discrete approximations to the double-obstacle prtoblem, and optimal stopping of tug-of-war games
研究了p-Laplace算子p2 [2;1]的双障碍问题.我们证明了对于Lipschitz边界数据和Lipschitz障碍，黏性解是唯一的，并且与变分解一致。它们也是离散最小-最大问题的解的统一极限，可以解释为适当的有噪声的拔河游戏的动态规划原则。在这些博弈中，双方参与人除了选择自己的策略外，还可以选择停时。双障碍问题的解决方案是这些游戏的值的限制，当控制令牌的位置的单次移动的步长收敛到0。我们提出了一个数值方案的基础上观察，并显示它是如何工作的障碍和边界数据的一些例子。
Global Weighted Gradient Estimates for Double Obstacle Problems with Orlicz Growth
针对有界非光滑区域上具有Orlicz增长的不规则双障碍问题，建立了基于非齐次数据、障碍梯度及边界数据的弱解梯度的全局加权Orlicz估计。
Analysis of blow-ups for the double obstacle problem in dimension two
本文研究了一类具有多项式障碍的规范化双障碍问题$ p^1\leq p^2$，并假设$ p^1(x)=p^2(x)$当且仅当$ x=0$ .在二维情形下，我们给出了爆破解依赖于多项式$p^1, p^2$系数的完整刻画。特别地，我们看到存在一种新的爆破类型，我们称之为双锥解，因为重合集$\{u=p^1\}$和$\{u=p^2\}$是具有公共顶点的锥。证明了爆破极限的唯一性，分析了二维自由边界的正则性。特别是，我们表明，如果双障碍问题的解决方案有一个双锥爆破极限在原点，然后本地的自由边界由四个$C^{1,γ}$ -曲线，满足在原点。最后给出了一个三维双锥解的例子。
Double phase implicit obstacle problems with convection and multivalued mixed boundary value conditions
本文考虑了一个含有非齐次非线性微分算子（称为双相算子）、非线性对流项（依赖于梯度的反应项）、三个多值项和一个隐式障碍约束的混合边值问题.在非常一般的数据假设下，我们证明了这种隐障碍问题的解集是非空的（因此至少有一个解）和弱紧的。我们的主要结果的证明使用Kakutani-Ky Fan多值算子的不动点定理以及伪单调算子的非光滑分析理论和变分方法。
Riesz potential estimates for double obstacle problems with Orlicz growth
本文研究了涉及测度数据的具有 Orlicz 增长的非齐次双障碍问题，在 Orlicz-Sobolev 空间中证明了解的存在性，并通过 Riesz 位势推导出解的逐点梯度估计，进而得出了 $C^1$ 正则性准则。
Double obstacle problems and fully nonlinear PDE with non-strictly convex gradient constraints
证明了带凸梯度约束的完全非线性椭圆型方程的最优$W^{2, \infty }$正则性。我们不假设约束的任何规律性，因此约束不需要是$C^1$或严格凸的。我们还表明，最佳的正则性举行了边界。我们的方法是证明这些具有梯度约束的椭圆型方程与一些完全非线性双障碍问题有关。然后证明了双障碍问题的最优$W^{2, \infty }$正则性。在这个过程中，我们还采用了单调性的障碍物，我们已经在以前的工作中获得的二阶导数。
Gradient potential estimates for elliptic double obstacle problems with Orlicz growth
该研究针对含测度数据的 Orlicz 增长椭圆型双障碍问题，利用分数次极大算子与非线性 Wolff 位势建立解及其梯度的逐点和振荡估计，证明解具有 $C^{1,α}$ 正则性。
Higher differentiability results in the scale of Besov spaces to a class of double-phase obstacle problems
研究了变分障碍问题解的梯度的高阶分数阶可微性，变分障碍问题的形式为\begin{gather*} \min \biggl\{ \int_Ω F(x,w,Dw) d x \ : \ w \in \mathcal{K}_ψ(Ω) \biggr\}, \end{gather*}，$F$的双相泛函的形式为\begin{equation*} F(x,w,z)=b(x,w)(|z|^p+a(x)|z|^q), \end{equation*}，其中$Ω$是$\mathbb{R}^n$的有界开子集，$ψ\in W^{1,p}(Ω)$是固定函数，称为\textit{obstacle}，$\mathcal{K}_ψ(Ω)= \{ w \in W^{1,p}(Ω) : w \geq ψ\ \text{a.e. in} \ Ω\}$是容许函数类.假设障碍物的梯度属于适当的Besov空间，我们能够证明解的梯度保持某些分数阶可微性。
Recent progress on second-order elliptic and parabolic equations in double divergence form
本文综述双散度形式二阶椭圆与抛物方程的最新进展，涵盖理论发展与补充研究。
Homogenization of an obstacle problem with highly oscillating coefficients and obstacles
本文发展粘性方法研究具有高度振荡系数与障碍的障碍问题的均匀化，构造校正子捕捉解在临界尺寸周期孔洞附近的奇异行为，并证明了编码系数与障碍振荡耦合效应的临界值的唯一性。
An Optimization Problem in Heat Conduction With Volume Constraint and Double Obstacles
本文考虑了双障碍$ϕ\leq u\leqψ$最小化$\int_{\mathbb{R}^n}|\nabla u|^2\,\mathrm{d}x$的最优化问题。以及对$D$的体积的约束，其中$D\subset\mathbb{R}^n$是有界域。通过研究一个惩罚问题，当惩罚参数取小值时，达到约束体积，我们证明了每个极小元在$D$中是$C^{1,1}$局部的，在$\mathbb{R}^n$中是Lipschitz连续的，并且自由边界$\partial\{u>0\}\setminus\overline{D}$是光滑的.此外，当$D$的边界有一个平面部分，我们证明了极小是$C^{1,\frac{1}{2}}$的平面部分。
Weighted distribution approach to gradient estimates for quasilinear elliptic double-obstacle problems in Orlicz spaces
在Lorentz空间和Orlicz空间中构造了一类椭圆型双障碍问题的全局正则性估计的有效方法。本文的动机来自于从分数阶极大分布的角度对一个抽象结果的研究，并且利用加权分数阶极大分布（WFMD）推广了\cite{PN_dist}中证明的一些正则性结果.利用分数阶极大算子和数据的里斯位势进一步研究了弱解梯度的逐点估计。此外，在本文的背景下，我们被引导到研究的问题与非线性假设是部分弱BMO条件（是可测量的一个固定的变量，并只满足局部小BMO范数的其余变量）。
Two-phase free boundary problems for a class of fully nonlinear double-divergence systems
本文研究带自由边界的完全非线性双散度系统，利用依赖黑塞矩阵的泛函变分结构证明极小化子及系统解的存在性，建立双散度方程可积性增益并改进其在索伯列夫与赫尔德空间的正则性。
The Dirichlet problem for double divergence form elliptic equations with measures as boundary conditions
研究低正则系数双散度型椭圆方程以一般Borel测度为边界条件的Dirichlet问题，证明可解性并应用于平稳Fokker-Planck-Kolmogorov方程解的性质。
Optimality conditions for an extended tumor growth model with double obstacle potential via deep quench approach
在这项工作中，我们研究了一个分布式最优控制问题的Cahn-Hilliard型扩展相场系统的物理背景是肿瘤生长动力学。在以前的一篇文章中，作者已经研究了对数势的相应问题。在这里，我们试图通过考虑一个非光滑奇异非线性，即双障碍潜在的分析。由于其非光滑行为，无法执行表征最优性的必要条件的标准程序。因此，我们遵循不同的策略，在文献中被称为“深度淬火”的方法，以获得一些最优性条件，必须在一个更一般的框架解释。我们建立了最优控制的存在性，并通过采用适当的逼近方案得到了系统的一些一阶最优性条件。
A variational approach to Ornstein-Uhlenbeck evolution equations and obstacle problems
本文提出基于高斯散度结构的变分方法，统一处理Ornstein-Uhlenbeck演化方程及障碍问题，证明解的存在唯一性，并推广至非线性梯度流和Fokker-Planck方程。
Hopf-Oleinik lemma for elliptic equations in double divergence form
本文首次为双重散度形式的均匀椭圆方程建立了Zaremba-Hopf-Oleinik型边界点引理，并据此在$C^{1,α}$区域中得到了非散度形式二阶椭圆方程Green函数的精确双边估计。
Existence and regularity results for the penalized thin obstacle problem with variable coefficients
在本文中，我们给出了一个全面的处理双罚边界障碍问题的散度型椭圆算子，应用到流体力学和热学的动机。具体地，我们证明了解的存在性、唯一性和最优正则性，并建立了自由边界的结构性质。证明是基于量身定制的单调性公式的Almgren，Weiss和Monneau型，结合斜导数问题的经典理论。
Reifenberg Flatness of Free Boundaries in Obstacle Problems with VMO Ingredients
本文研究了具有散度型椭圆算子的障碍问题。我们发展了解的存在性、唯一性、最优正则性和非退化性的所有基本理论。这些结果，反过来，使我们能够开始研究的规则性的自由边界的情况下，系数是在VMO。
Geometric regularity for elliptic equations in double-divergence form
本文研究了双散度方程解的正则性。我们建立改进的Hölder连续性的解决方案接近其零水平集。事实上，我们证明$α$ -Hölder连续系数导致解决方案的类$\mathcal{C}^{1^-}$，本地。在Sobolev可微系数的假设下，建立了类$\mathcal{C}^{1,1^-}$的正则性.我们的结果揭示了改进的连续性沿非物理自由边界，弱制定的问题消失。我们认为，通过一组几何技术，实现近似方法。这些方法将我们感兴趣的问题与目标配置文件连接起来。一个迭代过程进口信息从这个限制配置的双发散方程的解决方案。
A Uniqueness Theorem for Mean Value Sets for Elliptic Divergence Form Operators
我们给背景显示的中值定理和障碍问题之间的连接，然后我们证明了一个集合是一个椭圆算子的形式$Lu := \partial_i (a^{ij}(x) \partial_j u(x))$的中值集当且仅当它出现的非接触集的障碍问题，涉及格林函数的运营商。
Double phase obstacle problems with multivalued convection and mixed boundary value conditions
本文考虑了一个带有双相偏微分算子、障碍效应和多值反应对流项的混合边值问题。在非常一般的假设下，利用多值伪单调算子的满射性定理和Moreau-Yosida的逼近方法，证明了所考虑的混合边值问题的一个存在性定理.然后，我们引入了一族相应于混合边值问题的无约束逼近问题。用$\mathcal S$表示混合边值问题的解集，用$\mathcal S_n$表示逼近问题的解集，建立了如下的收敛关系式\begin{align*} \emptyset\neq w\text{-}\limsup\limits_{n\to\infty}{\mathcal S}_n=s\text{-}\limsup\limits_{n\to\infty}{\mathcal S}_n\subset \mathcal S, \end{align*}其中$w$ - $\limsup_{n\to\infty}\mathcal S_n$和$s$ - $\limsup_{n\to\infty}\mathcal S_n$分别表示$\mathcal S_n$的弱Kuratowski上限和强Kuratowski上极限.
Regular boundary points and the Dirichlet problem for elliptic equations in double divergence form
研究双散度形式椭圆算子的Dirichlet问题，通过Perron方法构造解，证明边界点正则性等价于Laplacian的Wiener准则。
Hölder continuity of the minimizer of an obstacle problem with generalized Orlicz growth
我们证明了局部$C^{0,α}$ -和$C^{1,α}$ -正则性的局部解的非标准增长的障碍问题。这些结果涵盖了标准、变指数、双相和Orlicz增长等特殊情况。
The classical obstacle problem with Hölder continuous coefficients
该研究针对不同连续性条件的二次能量建立两类拟单调性公式，推导了Hölder连续系数下经典障碍问题的自由边界正则性，丰富了障碍问题的正则性理论。
Stable determination of the initial data in an IBVP for the wave equation outside a non-trapping obstacle
本文研究了非俘获障碍物外波动方程初边值问题中初始数据的确定问题，通过两次局部测量建立了一个双对数稳定性不等式。
Cahn--Hilliard inpainting with the double obstacle potential
受损图像的修复有着广泛的应用，人们提出了许多不同的数学方法来解决这个问题。在Cahn-Hilliard模型的帮助下进行的修复特别成功，事实证明，与使用平滑双阱势进行的修复相比，使用双障碍势进行的Cahn-Hilliard修复可以获得更好的结果。然而，这种方法的数学分析是失踪至今。在本文中，我们给出了第一个分析结果的Cahn-Hilliard双障碍修复模型的存在性的全局解的时间相关的问题和固定的解决方案的时间无关的问题没有约束的参数。数值结果的帮助下，我们表明了该方法的有效性，二进制和灰度图像。
The properties of the solution for the Cauchy problem of a double nonlinear time-dependent parabolic equation in non-divergence form with a source or absorption
本文研究带源或吸收项的非散度型双重非线性抛物方程柯西问题，证明弱解存在性、正则性、正性及渐近行为，并建立比较原理和最大值原理。
Global continuity and higher integrability of a minimizer of an obstacle problem under generalized Orlicz growth conditions
证明了在广义Orlicz增长下，障碍问题的最小值的边界是连续的，并且其梯度具有更高的可积性。所得结果恢复了多项式增长、变指数增长等特殊情况下的类似结果，并对Orlicz和双相增长给出了新的结果.
A deep quench approach to the optimal control of an Allen-Cahn equation with dynamic boundary condition and double obstacle potentials
研究了具有双障碍势和Laplace-Beltrami算子的Allen-Cahn变分不等式的最优控制问题.该方法包括分布式控制和边界控制两种情况。成本函数是标准跟踪类型的，并且规定了控件的框约束。我们证明了最优控制的存在性，并导出了最优性的一阶必要条件。一般策略如下：我们使用的结果，最近建立的两个作者的情况下（可微）对数电位和执行所谓的“深淬火限制”。使用紧凑性和单调性参数，它表明，这种策略导致所需的一阶必要的最优性条件的情况下（不可微）的双障碍潜力。
Obstacle problems with double boundary condition for least gradient functions in metric measure spaces
在度量空间中具有支持$(1,1)$ -Poincaré不等式的加倍测度的情况下，研究了有界区域$Ω$中的BV-能量极小化问题，该有界区域$Ω$中的函数界于两个障碍函数之间，且其迹位于$Ω.$边界上的两个指定函数之间。我们表明，当$Ω$是一个均匀域，其边界在Lahti，Malcolm，Shanmugalingam和Speight（2019）的意义下具有正的中曲率时，连续障碍物和连续边界数据的解存在。虽然这样的解决方案是不是唯一的一般情况下，我们证明了唯一的最小解的存在性。我们的存在性结果推广了Ziemer和Zumbrun（1999）的结果，他们在具有单个障碍物和单个边界条件的欧氏环境中研究了该问题。
Regularity of elliptic equations in double divergence form and applications to Green's function estimates
本文研究了双散度形式椭圆方程的正则性，证明了解在零水平集上可微，并建立了导数的点估计，改进了Leitão等人2020年的结果。同时，建立了非发散形式二阶均匀椭圆算子在有界$C^{1,α}$域中的格林函数的全局点估计。
Asymptotics for solutions of elliptic equations in double divergence form
研究非发散型椭圆算子伴随方程的弱解及其在内点的渐近性质。我们假设系数a_{ij}是有界的、可测的、复值函数，其接近δ_{ij}，但可能以缓慢的速率。我们的主要结果是一个明确的公式的领导渐近项的解决方案，最温和的奇异性在x=0。作为结果，我们得到了解的L^p-范数的上下估计，以及当r趋于零时解在L^p-均值中有界或趋于零的充要条件.
Optimal boundary control of a viscous Cahn-Hilliard system with dynamic boundary condition and double obstacle potentials
本文研究了具有双障碍势和Laplace-Beltrami算子的动态边界条件的Cahn-Hilliard变分不等式的最优边界控制问题.成本函数是标准跟踪类型的，并且规定了控件的框约束。我们证明了最优控制的存在性，并导出了最优性的一阶必要条件。一般的策略，遵循Colli，Farshbaf-Shaker，Sprekels最近的方法（见预印本arXiv：1308.5617）到（更简单的）Allen-Cahn情况的路线，如下：我们使用Colli，Gilardi，Sprekels最近在预印本arXiv：1407.3916 [math.AP]中建立的结果用于（可微）对数势的情况，并执行所谓的“深度淬火极限”。使用紧凑性和单调性参数，它表明，这种策略导致所需的一阶必要的最优性条件的情况下（不可微）的双障碍潜力。
Harnack inequality for parabolic equations in double-divergence form with singular lower order coefficients
本文研究了双散度型二阶抛物方程非负解的Harnack不等式，设定主系数满足Dini平均振荡条件且低阶系数属于Morrey类，推进了相关方程及Fokker-Planck-Kolmogorov方程的理论基础。
The obstacle problem for a class of degenerate fully nonlinear operators
研究了梯度上具有各向异性退化的完全非线性椭圆算子的障碍问题：\[ \min \left\{f-|Du|^γF(D^2u),u-ϕ\right\} = 0 \quad\textrm{ in }\quad Ω. \]我们得到了解的存在性，并证明了沿自由边界点的尖锐正则性估计，即$\partial\{u>ϕ\} \cap Ω$ .特别地，对于齐次情形（$f\equiv0$），我们得到解在自由边界点是$C^{1,1}$，在这个意义上，它们以二次方式从障碍物分离，从而击败了这种退化算子所允许的最佳正则性。我们也给出了解的进一步特征和关于自由边界的部分结果。这些是第一个结果的障碍问题驱动的退化型运营商在非散度型，他们是一个新颖的，即使是由运营商的形式$\mathcal{G}[u] = |Du|^γΔu$给出的更简单的情况。
Classification of irregular free boundary points for non-divergence type equations with discontinuous coefficients
对一类非发散（非变分）形式的二阶椭圆型方程$a_{ij}u_{ij}=u^p$，$u\ge 0$，$p\in[0, 1)$，给出了一个积分估计，其中有界间断系数$a_{ij}$具有小的BMO范数.我们考虑在原点的~ $x\otimes x|x|^{-2}$形式的最简单的不连续性。作为一个应用，我们证明了对应于障碍问题的自由边界在~ $p=0$的不连续点处不可能是光滑的.为了实现我们的构造，积分估计和尺度不变性将提供爆破序列的同质性，然后可以使用ODE参数进行分类。
Deep quench approximation and optimal control of general Cahn-Hilliard systems with fractional operators and double obstacle potentials
论文arXiv：1804.11290包含了具有Cahn-Hilliard系统结构的演化算子方程系统的适定性和正则性结果。出现在系统方程中的算子是一般线性算子A和B的谱意义上的分数形式，具有紧预解式，并且在光滑域中定义的函数的希尔伯特空间中是稠密定义的、无界的、自伴的和单调的。驱动由Cahn-Hilliard系统建模的相分离过程的相关双阱势可以是非常一般的类型，其包括标准的物理上有意义的情况，例如多项式、对数和双障碍物非线性。在随后的论文arXiv：1807.03218中，对这种演化系统进行了分布式最优控制问题的分析，其中仅允许某些多项式和对数双阱势的可微情况。得到了最优解的存在性和一阶最优性必要条件最优性条件。在本文中，我们补充这些结果，通过研究分布式控制问题的情况下，这样的进化系统的不可微非线性的双障碍型。对于这样的非线性，它是众所周知的，标准的约束规格不能被应用到构建适当的拉格朗日乘子。为了克服这个困难，我们在这里遵循所谓的“深度淬火”方法。我们首先给出了一个一般的收敛性分析的深淬火近似，包括一个误差估计，然后证明它的使用导致在双障碍的情况下，适当的一阶必要的最优性条件的变分不等式和相关的伴随状态系统。
Nondegenerate Motion of Singular Points in Obstacle Problems with Varying Data
Serfaty和Serra最近的工作给出了障碍物问题的自由边界在正则点的速度公式[Serfaty-Serra 2018]，King，Lacey和Vazquez更早的工作给出了一个奇异自由边界点（在Hele-Shaw流中）的例子，该点在正时间内保持静止[King-Lacey-Vazquez 1995]。作者展示了如何奇异的自由边界的障碍问题，在某些设置立即移动，以响应不同的数据。给出了这个结果的三个应用，特别地，作者给出了一个唯一性结果：对于$\mathrm{I \! R}^n$中区域上的充分光滑椭圆散度型算子和光滑流形上的Laplace-Beltrami算子，不同均值集的边界（在[Blank-Hao 2015]和[Benson-Blank-LeCrone 2018]中发现的类型）以同一点为中心，不相交。
Obstacle and Dirichlet problems on arbitrary nonopen sets, and fine topology
在相当一般的度量空间中，研究了任意有界非开集E上p-调和函数的双障碍问题。Dirichlet问题和单障碍问题作为特例被包括在内。得到了单障碍问题可解性的Adams判据，并与精细位势论建立了联系。我们还研究了当一个函数的最小p-弱上梯度保持最小时，限制到一个非开子集。大多数结果对于开E（除了在这种情况下是平凡的）和R^n都是新的。
Energy-variational solutions for geodynamical two-phase flows -- From logarithmic to double-obstacle potentials by variational convergence
本文提出能量变分解法用于地质双相流，通过变分收敛从对数势到双障碍势，优于耗散解方法。
On the obstacle problem for the 1D wave equation
我们的目标是回顾已知的理论一维障碍问题的波动方程，并讨论一些扩展。我们介绍了设置由Schatzman内的存在性和唯一性的解决方案可以证明，我们证明了（在一些合适的坐标系）的Lipschitz规范碰撞后保存。因此，我们推导出的波动方程的障碍问题（包括简单的和双重的）的解决方案有界Lipschitz范数在任何时候。最后，我们讨论了一个明确的解决方案，是由班贝格和Schatzman公式的有效性。
New boundary Harnack inequalities with right hand side
本文在 Lipschitz 区域中针对带 $L^q$（$q>n$）右端项的散度型与非散度型椭圆方程建立了新的边界 Harnack 不等式，并由此得到完全非线性（薄）障碍问题自由边界的 $\mathcal{C}^{1,α}$ 正则性。
Partial regularity for steady double phase fluids
该研究针对散度型非线性椭圆方程组，探究其在双相增长条件下的部分Hölder正则性，为定常双相非牛顿流体的建模提供数学理论支撑。
Optimal regularity for the Signorini problem
我们证明了在一般假设下，薄障碍或Signorini问题的解决方案在任何空间维达到最佳的正则性$C^{1,1/2}$。这改进了已知的最优正则性的结果，允许薄障碍物被定义在一个任意的$C^{1,β}$超曲面，$β>1/2$，此外，我们的证明涵盖了任何线性椭圆算子的散度型光滑系数。证明的主要成分是一个版本的Almgren的单调性公式和全局解的最佳正则性。
General Least Gradient Problems with Obstacle
研究了障碍问题\begin{equation*} \inf_{u\in BV_f(Ω)}\int_{\mathbb{R}^n}ϕ(x,Du), \end{equation*}解的存在性、结构、唯一性和正则性，其中$BV_f(Ω)=\{u\in BV(Ω): u\geq ψ\text{ in }Ω\text{ and } u|_{\partial Ω}=f|_{\partial Ω}\}$，$f \in W^{1,1}_0(\mathbb{R}^n)$，$ψ$是障碍，$ϕ(x,ξ)$是关于$ξ$变量的凸的、连续的、一次齐次函数.我们证明了这个问题的每一个极小也是最小梯度问题\[\inf_{u\in \mathcal{A}_f(Ω)}\int_{\mathbb{R}^n}ϕ(x,Du),\]的极小，其中$\mathcal{A}_f(Ω)=\{u\in BV(Ω): u\geq ψ, \text{ and } u=f \text{ in }Ω^c\}$。此外，还存在一个向量场$T$，其中$Ω$中的$\nabla \cdot T \leq 0$决定了这两个问题的所有极小元的结构，并且对于任何极小元$u$，$T$在$\{x\in Ω: u(x)>ψ(x)\}$上是发散自由的.我们还提出了唯一性和规律性的结果，最大的原则的基础上最小的表面。由于有障碍物的最小梯度问题的极小元不能击中足够小的障碍…
Wolff potential estimates for elliptic obstacle problems with generalized Orlicz growth
研究具有广义Orlicz增长的椭圆障碍问题，通过建立解在Musielak-Orlicz空间的存在性，利用非线性Wolff势导出解的梯度估计，得到解的$C^{1,\alpha}$正则性结果。
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