arXiv 1407.52802014-07math.DG

空间形式中极小子流形的密度与谱

Density and spectrum of minimal submanifolds in space forms

Barnabé Pessoa Lima, José Fabio Montenegro, Luciano Mari, Franciane B. Vieira

备注：: 28 pages. Minor corrections. Final Version
发表信息：: Mathematische Annalen 364 (2016), 1-32
DOI：: 10.1007/s00208-016-1360-y

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AI总结：

本文研究了空间形式中极小子流形的密度函数与Laplace-Beltrami算子谱的关系，证明了在特定密度增长条件下子流形谱与环境空间形式相同，并给出了有限密度的判定条件。

摘要：

设 $M^m$ 为极小正则浸入子流形，其环境空间在适当意义下接近曲率为 $-k\le 0$ 的空间形式 $\mathbb{N}^n_k$。本文研究 $M^m$ 的密度函数 $Θ(r)$ 与 Laplace-Beltrami 算子谱之间的关系。特别地，我们证明若 $Θ(r)$ 沿某序列具次指数增长（当 $k<0$）或次多项式增长（当 $k=0$），则 $M^m$ 的谱与空间形式 $\mathbb{N}^m_k$ 相同。值得注意的是，该结果适用于双曲空间 $\mathbb{H}^n$ 上无穷远 Plateau 问题的 Anderson（光滑）解，不依赖于其边界正则性。我们还给出第二基本形式的一个简单条件，以确保 $M$ 具有有限密度。特别地，我们证明 $\mathbb{H}^n$ 中具有限全曲率的极小子流形具有限密度。

英文摘要：

Let $M^m$ be a minimal properly immersed submanifold in an ambient space close, in a suitable sense, to the space form $\mathbb{N}^n_k$ of curvature $-k\le 0$. In this paper, we are interested in the relation between the density function $Θ(r)$ of $M^m$ and the spectrum of the Laplace-Beltrami operator. In particular, we prove that if $Θ(r)$ has subexponential growth (when $k<0$) or sub-polynomial growth ($k=0$) along a sequence, then the spectrum of $M^m$ is the same as that of the space form $\mathbb{N}^m_k$. Notably, the result applies to Anderson's (smooth) solutions of Plateau's problem at infinity on the hyperbolic space $\mathbb{H}^n$, independently of their boundary regularity. We also give a simple condition on the second fundamental form that ensures $M$ to have finite density. In particular, we show that minimal submanifolds of $\mathbb{H}^n$ with finite total curvature have finite density.

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AI总结：

摘要：

英文摘要：

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