Ricci Curvature and Gauss Maps of Minimal Submanifolds
Richard Atkins
当高斯映射是有界嵌入时，给出了欧几里得空间中完备定向极小子流形以及标准单位球面的里奇曲率的条件.
We present conditions on the Ricci curvature for complete, oriented, minimal submanifolds of Euclidean space, as well as the standard unit sphere, when the Gauss maps are bounded embeddings.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Some Inequalities Related to Ricci Curvatures for Lagrangian Submanifolds of Kahler QCH-manifolds
通过建立两个一般的二次不等式，得到了$\ddot{\mathrm{a}}$ QCH-流形的拉格朗日子流形的里奇曲率不等式，推广了复空间型的拉格朗日子流形的一些结果.
Ricci curvature for submanifolds of Bochner Kahler manifold
B. Y. Chen建立了黎曼空间型中任意余维子流形的里奇曲率与平方中曲率之间的关系。本文推广了Bochner-Kahler流形的子流形的里奇曲率与中曲率向量的平方范数之间的关系。
Chen and Casorati curvature inequalities for the submanifolds of Quaternionic Kaehler manifolds endowed with Ricci quarter-symmetric metric connection
本文建立了四元数Kaehler流形中具有Ricci四分之一对称度量联络的子流形的Chen不等式。除了这些不等式，我们还得到了相同子流形的广义正规化Casorati曲率不等式。
Approximating coarse Ricci curvature on submanifolds of Euclidean space
对于嵌入子流形$Σ\subset\mathbb{R}^{N}$，Belkin和Niyogi证明了可以使用热核来近似拉普拉斯算子。利用由Laplacian迭代得到的粗里奇曲率的定义，我们用同样的方法近似子流形$Σ$的粗里奇曲率.为此，我们推导出[AW 19]中提出的里奇曲率的近似的渐近性。具体来说，我们在[AW19]中证明了命题3.2。
Kahler-Ricci flow on blowups along submanifolds
本文研究了Kahler流形上收缩因子为光滑子流形的Kaher-里奇流的性质。我们证明了Kahler势是Holder连续的，并且流在Gromov-Hausdorff拓扑中顺序收敛到与基流形同胚的紧致度量空间。
Ricci pinched compact submanifolds in spheres
本文研究圆球紧子流形在仅依赖平均曲率向量长度的 Ricci 曲率下界条件下的拓扑，并指出该条件仅在特殊情形可推出外在几何的强结论。
Ricci solitons as submanifolds of complex hyperbolic spaces
本文针对对称空间为复双曲空间的情况，对具有Ricci孤立子诱导度量的、非紧型对称空间Iwasawa分解可解部分的李子群开展分类与几何性质分析。
On cylindricity of submanifolds of nonnegative Ricci curvature in a Minkowski space
考虑Minkowski空间$\mathbb{M}^{n+p}$中含有直线或相对零度指数为正的非负里奇曲率的Finsler子流形$M^n$.对于超曲面、余维子流形和二维子流形，证明了在一定条件下，在第二基本型束的惯性作用下，子流形是圆柱形的.本文给出了三维Minkowski空间中非局部凸的正旗曲率曲面的一个例子。
Ricci Solitons on submanifolds of $(LCS)_n$-Manifolds
本文研究了$(LCS)_n$ -流形中关于黎曼联络和四分之一对称度量联络的不变子流形和反不变子流形上的Ricci孤子。
The Log-Sobolev inequality for a submanifold in manifolds with asymptotic non-negative intermediate Ricci curvature
本文在具有渐近非负中间里奇曲率和欧氏体积增长的完备非紧黎曼流形上，证明了子流形的尖锐对数-Sobolev不等式，推广了Dong-Lin-Lu等人的已有结果。
Volume growth of complete submanifolds in gradient Ricci Solitons with bounded weighted mean curvature
本文研究了加权平均曲率向量在范数上有界的完备收缩梯度Ricci孤子中的适当浸入完备非紧子流形。在对势函数作适当假设的情况下，证明了这样的子流形一定具有多项式体积增长。另一方面，如果周围的流形是有界几何，我们证明了这样的子流形必须有至少线性体积增长。特别地，我们证明了欧几里得空间中具有有界高斯加权平均曲率的适当浸入完备非紧超曲面必须具有多项式体积增长，并且至少是线性体积增长.
Totally geodesic submanifolds of Damek-Ricci spaces and Einstein hypersurfaces of the Cayley projective plane
我们对Damek-Ricci空间的全测地子流形进行了分类，并证明了它们要么是齐性的（这样的子流形被认为是“较小的”Damek-Ricci空间），要么等距于负曲率的秩1对称空间.作为副产品，我们得到了任何已知调和流形的全测地子流形本身是调和的。我们证明了Cayley双曲平面上不存在Einstein超曲面，并且Cayley射影平面上唯一的Einstein超曲面是具有特定半径的测地球面，从而完成了秩一对称空间中Einstein超曲面的分类.我们还证明了，如果一个$2$ -stein空间允许一个$2$ -stein超曲面，那么在某些附加条件下，这两个超曲面都是常曲率的.
The flavour of intermediate Ricci and homotopy when studying submanifolds of symmetric spaces
我们介绍了一种新的技术的研究和识别的紧致型单连通对称空间的子流形的基础上的方法计算$k$ -积极的里奇曲率的环境流形，并使用此信息，以确定如何高度连接的嵌入。这提供了余维范围，其中满足某些条件的Cartan型子流形推广为全测地的子流形必然等于周围流形的子流形。使用结果Guijarro-威廉我们的方法部分概括了最近的工作Berndt-Olmos的指数猜想。
Examples of Curvature Inhomogeneous Submanifolds with Constant Ricci Eigenvalues
该研究构造了两类具有常Ricci特征值的曲率非齐次黎曼流形，分别源自Einstein扭曲积和黎曼Schwarzschild-Tangherlini流形，明确了其特征值数量及等距浸入/嵌入的最小余维数。
Fenchel-Willmore inequality for submanifolds in manifolds with non-negative $k$-Ricci curvature
本文在具有非负中间Ricci曲率和欧氏体积增长的完备黎曼流形中，建立了任意维数和余维数闭子流形的尖锐Fenchel-Willmore不等式，并刻画了等号成立情形，推广了近期及经典的相关结果。
Hyperbolic solitons on trans-Sasakian space forms and its submanifolds
引入双曲$*-$Ricci孤子和双曲Ricci-Yamabe孤子概念，研究跨Sasakian空间形式及其子流形上孤子的性质。
Rigidity Results for Compact Submanifolds with Pinched Ricci Curvature in Euclidean and Spherical Space Forms
本文研究了在欧几里得和球面空间形式中具有受限曲率的紧致子流形，证明其要么是爱因斯坦克利福德 тор斯，要么是拓扑球体，或具有部分同调群消失，扩展了多项经典刚性结果。
Improved Chen-Ricci inequality for curvature-like tensors and its applications
给出了类曲率张量的Chen-Ricci不等式和改进的Chen-Ricci不等式。应用我们改进的Chen-Ricci不等式研究了复空间型的Lagrange和Kaehler斜子流形以及Sasakian空间型的C-全实子流形。
Ricci pinched compact submanifolds in space forms
本文研究非负曲率空间形式中 Ricci 曲率受平均曲率向量长度控制的紧子流形，证明无需平均曲率向量平行即可肯定 Xu–Gu 猜想。
Attached Submanifolds Beyond Symmetric Spaces
本文研究了非对称空间中的附着子流形，扩展了Tamaru的工作，通过放宽假设并引入根空间定义，证明了附着子流形的Ricci曲率限制性质与Jacobi Star条件相关，并给出了非对称空间的示例。
Gradient Ricci Solitons on PTR-Submanifolds of Complex Space Forms
该论文研究了复空间形式中PTR子流形上的梯度Ricci孤子，通过Gauss-孤子方程重构切向Kähler算子，获得了曲率上界、平凡性准则和刚性结果，并用模型验证了公式。
Ricci curvature, the convexity of volume and minimal Lagrangian submanifolds
我们表明，在复曲面Kaehler几何中，里奇曲率的符号正好对应于体积泛函的凸性。我们还讨论了类似的关系，在更一般的情况下，拟齐次流形，最小的拉格朗日子流形的存在性结果。
Sharp scalar and Ricci curvature pinching theorems for Lagrangian submanifolds in the homogeneous nearly Kähler Six-sphere
本文针对齐性近凯勒六球面中的闭拉格朗日子流形，建立新的积分不等式，并证明数量曲率与里奇曲率的锐利夹逼定理，刻画全测地子流形与Berger球面的特征。
Volume estimates for tubes around submanifolds using integral curvature bounds
推广了E. Heintze和H. Karcher [8]将极小子流形周围管的体积推广到一个基于$k$ -里奇曲率的积分界的不等式.即使在逐点界的情况下，这也通过用$k$ -Ricci界代替截面曲率界来推广经典不等式。这项工作的动机是Petersen-Shteingold-Wei对测地线周围管体积的估计[12]，并推广了他们的结果。利用类似的思想，我们还证明了一个海森比较定理的$k$ -里奇曲率，推广了通常的海森和拉普拉斯比较距离函数从一个点，并给出了几个应用。
Chen's inequality for C-totally real submanifolds in a generalized $(κ,μ)$-space form
本文得到了广义$(κ,μ)$ -切触空间型中C-全实子流形的一个基本Chen不等式，该不等式涉及左边的子流形的数量曲率和截面曲率的内禀不变量和右边的主要外禀不变量的平方中曲率.得到了平方中曲率与Ricci曲率、平方中曲率与$k$ -里奇曲率之间的不等式.
Ricci pinched compact hypersurfaces in spheres
本文研究球面中 Ricci 曲率受平均曲率约束的紧致超曲面的拓扑，利用 Bochner 技巧获得比任意余维情形更强的结果。
Restrictions on Submanifolds via Focal Radius Bounds
给出了任意子流形的第二基本型的范数关于其焦半径和周围流形的截面曲率下界的最优估计。这是一个特殊的情况下，类似定理的中间里奇曲率，并导致一个$C^{1,α}$紧性结果的子流形，以及“灵魂型”结构定理的流形与非负$k^{th}$ -中间里奇曲率，有一个闭子流形的维数为$\geq k$和无限焦半径。为了证明这些结果，我们使用arXiv：1603.04050中的Jacobi场的比较引理，该引理利用了Wilking的横向Jacobi方程。比较引理还产生新的信息群作用，黎曼淹没，submetries，包括推广到中间里奇曲率的结果陈和格罗夫。
Extremities for statistical submanifolds in Kenmotsu statistical manifolds
Kenmotsu几何是接触几何的一个重要组成部分，在理论物理等领域有着广泛的应用。本文研究了Kenmotsu流形的统计对应流形，即Kenmotsu统计流形，并给出了相关的例子。研究了Kenmotsu统计流形的统计曲率性质。通过一个例子证明了Kenmotsu统计流形不是Ricci平坦的统计流形。最后，利用子流形优化技术证明了常$ϕ-$截面曲率的Kenmotsu统计流形中统计子流形的一个著名的Chen-Ricci不等式.本文最后提出一些结论性意见。
Gauss maps of the Ricci-mean curvature flow
本文研究Ricci-中曲率流的Gauss映射. Ricci-中曲率流是环境流形上的中曲率流和里奇流的耦合方程。Ruh和Vilms证明了欧氏空间中极小子流形的Gauss映射是调和映射，Wang通过证明其Gauss映射满足调和映射热流方程，将这一结果推广到欧几里得空间中的中曲率流.本文导出了Ricci-中曲率流的Gauss映射的发展方程，作为直接推论，证明了当子流形的余维数为1时，Ricci-中曲率流的Gauss映射满足垂直调和映射热流方程。
Cylindricity of complete Euclidean submanifolds with relative nullity
证明了具有最小相对零度指数$ν_0>0$和里奇曲率的完备欧氏子流形必是$ν_0$ -圆柱.这是经典哈特曼圆柱度定理的推广。
A topological sphere theorem for submanifolds of the hyperbolic space
本文证明，双曲空间中满足里奇曲率下界（仅依赖平均曲率向量长度）的完备子流形必为拓扑球面。
New examples of non-symmetric Einstein solvmanifolds of negative Ricci curvature
我们通过结合两种技术得到了非对称爱因斯坦解流形的新例子。在\cite{T2}中，H. Tamaru构造了新的{ \em attached} solvmanifold，它们是对应于非紧对称空间的solvmanifold的子流形，赋予了自然度量.扩展这种结构，我们将其应用到{ \em关联} solvmanifold，描述在\cite{GK}，通过修改相应的非紧对称空间的可解李代数的代数结构。我们的新例子是具有高幂零性的幂零根的爱因斯坦解流形，它在几何上不同于非紧对称空间及其子流形。
Rigidity of minimal submanifolds in space forms
本文研究了空间形式${\mathbb M}^{n+p}_c$中具有平行平均曲率的$n(\geq 4)$维子流形$M^n$的刚性，当$M$的积分Ricci曲率有界时.证明了如果$c+H^2>0$和$λ$的$\|\mathrm{Ric}_{-}^λ\|_{n/2}< ε(n,c, λ, H)$满足$ \frac{n-2}{n-1} (c+H^2) < λ\le c+H^2$，则$M$是全脐球面$\mathbb{S}^n(\tfrac{1}{\sqrt{c+H^2}})$ .这里，$H$是$M$的平行平均曲率的范数，并且$ε(n,c,λ, H)$是仅取决于$n, c,λ$和$H$的正常数。这推广了文[15]的某些工作，从点态Ricci曲率下界推广到积分Ricci曲率下界.
Ricci flow and the metric completion of the space of Kahler metrics
我们把Kahler度量空间看作是黎曼度量空间的一个黎曼子流形，并研究了相应的子流形几何。特别是，我们表明，内在和外在的距离函数是等价的。我们还确定了度量完成的空间的Kahler度量，使联系最近的推广的Calabi-丘定理由于Dinew，Guedj-Zeriahi，和Kolodziej。作为应用，我们利用里奇流和距离函数得到了Fano流形上Kahler-Einstein度规存在的一个新的解析稳定性判据.我们还证明了Kahler-里奇流在度量意义下收敛时也收敛。
On biharmonic submanifolds in non-positively curved manifolds
在双调和子流形理论中有一个推广的Chen猜想，它指出具有非正截面曲率的黎曼流形中的双调和子流形必是极小的。这个猜想被Y的反例证明是错误的。L. Ou和L.唐在\cite{Ou-Ta}。然而，它仍然有趣的是找到充分的条件，保证这一猜想是真实的。本文证明了：1.任何完备的双调和子流形（或超曲面）$(M, g)$在具有非正截面曲率的黎曼流形$(N, h)$中（分别Ricci曲率），它满足一个积分条件：对于某些$p\in (0, +\infty)$，$\int_{M}|\vec{H}|^{p}du_g<+\infty,$，其中$\vec{H}$是$M\hookrightarrow N$的平均曲率向量场，必须是最小的。这推广了N. Nakauchi和H. \cite{Na-Ur1}和\cite{Na-Ur2}中的Urakawa。2.任何完备的双调和子流形（或超曲面），其截面曲率（分别为Ricci曲率）非正必须最小。3.任何完备的双调和子流形（或超曲面）中的非正弯曲流形，其截面曲率（分别为Ricci曲率）小于$-ε$，对于满足$\int_{B_ρ(x_0)}|\vec{H}|^{p+2}dμ_g(p\geq0)$至多是$ρ$的多项式增长的某些$ε>0$，必须是最小的。我们还考虑了G. Wheeler和证明了$\varepsilon$ -超双调和子流形的类似结果，推广了\cite{Wh}中的结果…
On Einstein submanifolds of Euclidean space
设黎曼流形的翘曲积$M^n=L^m\times_φF^{n-m}$，$n\geq m+3\geq 8$是一个具有Ricci曲率$ρ$的爱因斯坦流形，它允许等距浸入余维为2的欧几里得空间.在假设$L^m$也是爱因斯坦，但不是常截面曲率的情况下，证明了$ρ=0$和子流形是局部的圆柱，其欧氏因子的维数至少为$n-m$ .因此$L^m$也是Ricci平坦的。如果$M^n$是完备的，那么如果用更弱的条件代替对$L^m$的假设，即它的标量曲率$S_L$是常数或者$S_L\leq (2m-n)ρ$是常数，那么同样的结论在全局上成立。
Rigidity of $k$-extremal submanifolds in a sphere
本文研究球面中$k(\ge 1)$-极值子流形的刚性，并在逐点和积分意义上的截面与Ricci曲率等不同条件下证明了多种夹挤定理。
Some relationships between intrinsic and extrinsic invariants of submanifolds in generalized S-space-forms
本文建立了广义S-空间形式的结构向量场相切子流形的某些内在不变量（包括截面曲率、Ricci曲率和数量曲率）与平方中曲率之间的Chen型不等式，并讨论了它们相等的情形.我们将所得结果应用于斜子流形。
On the geometry of lightlike submanifolds of indefinite statistical manifolds
研究不定统计流形的类光子流形。与统计流形的子流形的经典理论相反，不定统计流形的类光子流形不必是统计子流形。因此，我们得到了不定统计流形的类光子流形是类光统计子流形的一些条件。我们导出了统计截面曲率的表达式，最后得到了不定统计流形的类光子流形上的诱导统计Ricci张量对称的条件.
Extrinsic Ricci Flow on Surfaces of Revolution
可微n维流形M上的里奇流的外在表示是一族子流形S（t），每个子流形光滑地嵌入R^{n+k}中，作为时间t的函数演化，使得由周围欧氏度量在子流形S（t）上导出的度量产生M上的里奇流。什么时候有这样的代表？我们精确地阐述了这个问题，并描述了一种新的、全面的方法来解决R^3中的旋转曲面的问题。特别令人感兴趣的是环形旋转曲面上的里奇流，即，其轮廓曲线是不与旋转轴线相交的浸没曲线的旋转曲面。在这种情况下，S的黎曼覆盖上的里奇流的外在表示是永恒的。这个流也可以被实现为环面到R^3中的非光滑但等距嵌入的紧致族。
Pluri-subharmonic functions on complex tori, Ricci curvature and convexity
我们表明，在环面流形，可以表征的里奇曲率的体积泛函的凸性方面的迹象。更一般地，我们讨论之间的关系（i）里奇曲率和体积，（ii）全实和拉格朗日子流形，（iii）pluri-下调和函数和凸。
On focal submanifolds of isoparametric hypersurfaces and Simons formula
球面中等参超曲面的焦点子流形都是极小Willmore子流形，大多数是A.Gray意义下的$\mathcal{A}$ -流形，但很少是Ricci-平行的（\cite{QTY}，\cite{LY}，\cite{TY3}）.本文利用Simons公式研究了焦点子流形的几何性质。通过对正规数量曲率的估计，证明了所有具有$g\geq3$的焦点子流形都不是正规平坦的。此外，我们还给出了焦点子流形中半平行子流形的一个完全分类。
Invariant submanifolds of generalized Sasakian-space-forms
本文研究广义Sasaki空间形式关于Levi-Civita联络和半对称度量联络的不变子流形。我们给出了这类子流形的一些例子，得到了许多新的结果，包括子流形是全测地子流形的充要条件。研究了这类子流形的Ricci孤子。
Interface Foliation Near Minimal Submanifolds in Riemannian Manifolds with Positive Ricci Curvature
设$(\MM ,{\tilde g})$是$N$维光滑紧黎曼流形.考虑奇摄动Allen-Cahn方程$$ ε^2Δ_{ {\tilde g}} {u}\,+\, (1 - {u}^2)u \,=\,0\quad \mbox{in } \MM, $$，其中$ε$是一个小参数.设$\KK\subset \MM$是将$\MM$分成两个不相交分支的$(N-1)$维光滑极小子流形.假设$\KK$在不支持非平凡Jacobi场的意义上是非退化的，并且沿着$\KK$ $|A_{\KK}|^2+\mbox{Ric}_{\tilde g}(ν_{\KK}, ν_{\KK})$是正的。然后，对于每个整数$m\geq 2$，我们建立了序列$ε= ε_j\to 0$的存在性，以及$u_ε$的解，其中$m$ -过渡层靠近$\KK$，相互距离为$O(ε|\ln ε|)$。
The submanifold compatibility equations in magnetic geometry
本文在磁几何框架下，基于磁曲率和磁第二基本形式的概念，推导了子流形理论中高斯、里奇和柯达-马因纳兼容方程的类比形式。
Austere Submanifolds in Complex Projective Space
对于任意子流形$M \subset \mathbb{C}P^n$，我们确定了它是严格子流形的条件，即，$M$的法丛是关于$T\mathbb{C}P^n$上Stenzel Ricci平坦Kähler度量的特殊Lagrange量.我们还在$\mathbb{C}P^n$中对朴素曲面进行了分类。
Sobolev inequalities in manifolds with nonnegative intermediate Ricci curvature
本文利用Alexandrov-Bakelman-Pucci方法，将Michael-Simon型Sobolev不等式推广到具有非负中间Ricci曲率的Riemannian流形中的子流形上，并由此导出极小子流形的等周不等式。
On CR-statistical submanifolds of holomorphic statistical manifolds
本文研究了CR-统计子流形定义中所涉及的分布的一些性质。给出了全纯统计流形中CR-积的刻划。利用优化技术，建立了同一环境空间中任意子流形的里奇曲率与其中曲率的平方范数之间的关系.平等的情况也在这里讨论。本文最后给出了一些相关的例子。
Hineva Inequality for Submanifolds of Real Space Forms with Semi-Symmetric Non-Metric Connection
本文针对具有半对称非度量连接的实空间形式子流形，建立了Hineva不等式，给出了Ricci曲率的下界，并应用于多类子流形。
Submanifolds With Homothetic Gauss Map In Codimension Two
本文给出了余维为2的空间型中高斯映射位似的子流形的一个完全分类。
Topological and differentiable rigidity of submanifolds in space forms
设$F^{n+p}(c)$是具有非负常曲率的$(n+p)$维单连通空间形式$c$.证明了若$M^n(n\geq4)$是$F^{n+p}(c)$中的紧致子流形，且若$Ric_M>(n-2)(c+H^2),$，其中$H$是$M$的平均曲率，则$M$同胚于球面.我们还证明了上述的箍缩条件是尖锐的。此外，我们还得到了一个新的关于正里奇曲率子流形的可微球定理.
Submanifolds with Biharmonic Gauss Map
通过用真双调和高斯映射刻画欧几里得空间中的子流形，推广了Ruh-Vilms问题，并构造了此类超曲面的例子.
Optimal Transport Approach to Michael-Simon-Sobolev Inequalities in Manifolds with Intermediate Ricci Curvature Lower Bounds
该研究将最优输运的McCann定理推广至子流形场景，证明了满足中间Ricci曲率下界条件的流形内子流形的Michael-Simon-Sobolev不等式，涵盖了已有相关研究结论的变体情形。
Parabolic subgroups of semisimple Lie groups and Einstein solvmanifolds
本文研究了由任意半单李代数的任意抛物子代数构造的解流形。这些解流形是非紧型对称空间的自然齐性子流形。我们证明了我们的解流形的里奇曲率与周围对称空间的里奇曲率的限制是一致的。因此，我们所有的解流形都是爱因斯坦流形，这提供了大量非紧齐次爱因斯坦流形的新例子。我们还证明了我们的解流形是极小的，但不是对称空间的全测地子流形。
Harmonic Gauss maps of submanifolds of arbitrary codimension of the Euclidean space and sphere and some applications
证明了欧几里得空间和球面中与调和高斯映射相关联的子流形的单位法截面的存在性和不存在性。同时也得到了它在球的CMC超曲面和等参子流形上的一些应用。
Jacobian estimates and geometric inequalities under intermediate Ricci curvature
本文证明了一个适用于任意余维子流形的 Jacobian 估计，无需曲率符号假设，并由此在中间 Ricci 曲率条件下推导出定量 Fenchel--Willmore、Sobolev 和等周不等式，所需条件仅与子流形维数相关。
From minimal Lagrangian to J-minimal submanifolds: persistence and uniqueness
给定一个极小的拉格朗日子流形L在一个负的Kaehler-爱因斯坦流形M，我们表明，任何小的Kaehler-爱因斯坦扰动M诱导的变形L是最小的拉格朗日关于新的结构。这提供了一个新的来源的例子，最小拉格朗日。更一般地，对于具有负定里奇曲率的Kaehler流形中的较大类全实J-极小子流形，也是如此。
Monotonicity formulae, vanishing theorems and some geometric applications
利用应力能量张量，建立了满足守恒律的向量丛值p-形式的单调性公式，条件是基黎曼（分别为. Kähler）manifold poss some real（resp.复数）p-耗尽函数。消灭定理直接从单调性公式在适当的增长条件下的能量的p-形式。作为应用，我们建立了常数量曲率的Kähler流形的Ricci形式的单调性公式，并得到了一个增长条件，从而导出了Kähler流形的Ricci平坦性.特别地，当曲率不改变符号时，Kähler流形是等距双全纯的C ^m。另一个应用是利用适当的穷竭函数导出某些外空间中极小子流形体积的单调性公式。这样，我们重新得到了欧几里得空间中极小子流形的经典体积单调性公式。我们还将消灭定理应用于具有平行中曲率的欧几里得空间中子流形的Bernstein型问题。特别地，在较弱的条件下，我们可以得到关于极小子流形，特别是极小实Kähler子流形的Bernstein型结果.
Biharmonic submanifolds in manifolds with bounded curvature
考虑截面曲率由非负常数$c$上界的黎曼流形中的完备双调和子流形$ϕ:(M,g)\rightarrow (N,h)$.假设中曲率由$\sqrt c$从下到上限定。如果（i）对于某些$0<p<\infty$，$\int_M (|{\bf H}|^2-c)^{p}dv_g<\infty$，或（ii）$M$的里奇曲率从下有界，则中曲率是$\sqrt c$。此外，如果$M$是紧的，那么我们得到相同的结果没有假设（i）或（ii）。
Volume minimization for Lagrangian submanifolds in complex manifolds with negative first Chern class
经典地知道，具有负曲率度量的紧致Riemann曲面上的闭测地线严格地使其自由同伦类中的长度最小。我们想把它推广到负里奇曲率的凯勒流形中的拉格朗日子流形。在这个方向上唯一已知的结果是关于Y. Lee对于两个常负曲率Riemann曲面的积中的某些拉格朗日子流形。我们开发了一种方法来研究这个问题在更高的维度。一路上，我们证明了一些薄弱的结果（体积最小化外的一个除数），并给出了一个反例的整体体积最小化的浸入最小拉格朗日子流形。
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