A Superconvergent HDG Method for Distributed Control of Convection Diffusion PDEs
Oklahoma State University（俄克拉荷马州立大学）；University of Minnesota（明尼苏达大学）；Missouri University of Science and Technology（密苏里科技大学）；Sichuan University（四川大学）
本文提出了一种用于对流扩散PDE分布式最优控制问题的超收敛HDG方法，通过使用高阶多项式逼近状态、共轭状态及其通量，并证明了当k>0时所有变量的最优先验误差估计，同时当k≥1时，该方法在全局耦合未知数的自由度数量上实现了状态、共轭状态和控制的超收敛。
2017-12-04 cs.NA math.NA
Residual estimates for post-processors in elliptic problems
在这项工作中，我们研究后处理近似椭圆边值问题的后验差错控制。我们引入了一类后处理算子，“调整”各种现有的后处理技术，使有效和可靠的后验界被证明。这最终导致对所有方式的重建算子（包括超收敛的那些）的最佳差错控制。我们展示我们的结果，将它们应用到两个类非常流行的重建算子，平滑度增加精度增强过滤器和超收敛补丁恢复。进行了大量的数值试验，证实了我们的分析结果。
2020-11-29 cs.NA math.NA
Generalised Soft Finite Element Method for Elliptic Eigenvalue Problems
本文提出两种广义软有限元方法：在质量双线性形式中加入最小二乘项以及应用混合高斯型求积，实现了椭圆特征值问题中刚度的进一步降低和最高$h^8$阶超收敛精度。
2024-02-25 cs.NA math.NA
Gradient recovery for elliptic interface problem: I. body-fitted mesh
University of California Santa Barbara（加州大学圣塔芭芭拉分校）
本文提出一种新的梯度恢复方法，用于二维椭圆界面问题，通过设计浸入梯度恢复算子克服了标准方法在界面处正则性不足导致的超收敛失败问题，验证了其在非结构化网格和自适应网格中的超收敛性和鲁棒性。
2016-07-20 cs.NA math.NA
A weak Galerkin method and its two-grid algorithm for the quasi-linear elliptic problems of non-monotone type
本文首次提出并分析了非单调型拟线性椭圆问题的弱Galerkin方法。利用Brouwer的不动点技巧，在能量范数和$L^2$范数下得到了WG解的存在性和误差估计.在此基础上，提出了一种有效的两重网格WG方法，以提高计算效率。在类能量范数下分析了两重网格WG方法的收敛误差。数值实验验证了我们的理论研究结果。
2022-07-06 cs.NA math.NA
Combining sparse grids, multilevel MC and QMC for elliptic PDEs with random coefficients
Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）；School of Mathematics and Statistics, University of New South Wales（新南威尔士大学数学与统计学院）
本文结合稀疏网格、多级MC和QMC方法，解决具有有限维不确定性的椭圆PDE，证明计算成本可达到O(ε^{-r})，r<2，与空间维度无关。
2017-11-07 cs.NA math.NA
Two-grid $hp$-version discontinuous Galerkin finite element methods for quasilinear elliptic PDEs on agglomerated coarse meshes
本文考虑扩展的两个网格$hp$版本的间断伽辽金有限元法的数值逼近的二阶拟线性椭圆边值问题的情况下，凝聚多边形/多面体网格的粗网格近似。我们记得，在两个网格设置，而它是必要的，以解决一个非线性问题的粗略近似空间，只有一个线性问题必须计算在原来的罚款有限元空间。在本文中，粗空间将通过聚集原始细网格的元素来构造。在这里，我们扩展了现有的先验和后验误差分析的两个网格$hp$版本的不连续伽辽金有限元法从10.1007/s10915-012-9644-1的粗网格组成的标准元形状，包括任意凝聚的粗网格。此外，我们开发了一个$hp$自适应两个网格算法，自适应设计的精细和粗糙的有限元空间，我们强调，这是在一个全自动的方式进行，因此可以被视为黑箱求解器。数值实验的二维和三维问题，以证明所提出的$hp$自适应两个网格方法的计算性能。
2021-12-08 cs.NA math.NA
Adaptive Learning on the Grids for Elliptic Hemivariational Inequalities
本文介绍了一种求解椭圆半变分不等式（HVI）的深度学习方法。在该方法中，期望值最小化问题的基础上制定的基础HVI的变分原理，这是解决随机最优化算法使用三种不同的训练策略更新网络参数。应用该方法求解了接触力学中的两个实际问题，一个是有摩擦的双边接触问题，另一个是无摩擦的法向柔度接触问题。数值实验结果表明，深度学习方法能够有效地求解HVIs，自适应无网格多重网格算法能够提供三种学习方法中最精确的解。
2021-04-11 cs.NA math.NA
Lowest-degree robust finite element scheme for a fourth-order elliptic singular perturbation problem on rectangular grids
本文提出了一种求解四阶椭圆型奇异扰动问题的矩形网格分片二次有限元法。该方法对扰动参数是鲁棒收敛的。数值结果验证了理论研究结果。新的方法使用分段二次多项式，是最低程度的可能。利用新构造的局部平均插值算子证明了有限元空间的最优阶逼近性质。然而，这并不是一个预测。事实上，我们建立了一个一般的理论，并表明，没有本地定义的插值与本地支持的基函数可以投影的有限元空间中使用。特别地，一般理论给出了在[Demko，J. Approx.理论，$\bf{43}$（2）：151- 156，1985]。
2020-06-29 cs.NA math.NA
A High Order Cartesian Grid, Finite Volume Method for Elliptic Interface Problems
本文提出一种二维笛卡尔网格上求解椭圆界面问题的高阶有限体积法，通过泰勒展开截断误差分析和格林定理精确几何矩计算，实现二阶至六阶精度并保持守恒性。
2023-02-17 cs.NA math.NA
A correction adaptive two-grid finite element method for nonselfadjoint or indefinite elliptic problems
Lingnan Normal University（岭南师范学院）；Missouri University of Science and Technology（密苏里科技大学）；Guangzhou University（广州大学）；South China Normal University（华南师范大学）
本文提出并分析了一种校正自适应双网格有限元方法，用于非自伴随或不定椭圆问题，通过引入校正步骤提高解的精度和鲁棒性。
2026-04-27 cs.NA math.NA
Local Multilevel Preconditioners for Elliptic Equations with Jump Coefficients on Bisection Grids
University of California at Irvine（加州大学尔湾分校）；University of California at San Diego（加州大学圣地亚哥分校）；Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）
针对二分网格上具有分片常数系数的二阶线性椭圆问题，设计基于最新顶点及其邻域局部光滑的局部多重网格和BPX预条件子，分析表明仅固定数量的特征值受大跳跃影响，其余特征值一致有界，从而预条件共轭梯度法收敛速度与系数无关，且关于网格尺寸呈对数依赖，整体计算复杂度接近最优。
2012-02-10 cs.NA math.NA
A greedy MOR method for the tracking of eigensolutions to parametric elliptic PDEs
本文介绍了一种基于稀疏网格自适应加密的椭圆型偏微分方程参数问题特征解的近似算法。特别是，我们感兴趣的是检测交叉的超曲面描述的特征值作为参数的函数。先验匹配之后是后验验证，由适当定义的错误指示器驱动。在给定的细化级别上，通过使用后验指示符给出的标记，采用稀疏网格方法来构建下一级别的网格。各种数值试验证实了该方案的良好性能。
2022-10-18 cs.NA math.NA
Computation of eigenvalues by numerical upscaling
Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn（波恩大学）；Institute for Numerical Simulation（数值模拟研究所）；Department of Mathematical Sciences, Chalmers University of Technology and University of Gothenburg（查尔姆斯理工大学和哥德堡大学数学科学系）
针对一类线性二阶自伴椭圆偏微分算子，提出数值粗化技术，通过构造低维广义有限元空间超收敛地保持最小特征值，并求解相应代数特征值问题。
2014-09-10 cs.NA math.NA
Streamline integration as a method for two-dimensional elliptic grid generation
Universität Innsbruck（因斯布鲁克大学）
本文提出一种构造双连通域结构化椭圆网格的新数值算法，通过二维函数的两条等值线定义边界，生成正交于边界的网格，且能高效计算网格点和雅可比矩阵元素，通过权重函数和监控度量控制网格分布，算法易于实现且可并行化。
2017-01-27 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Tweed and wireframe: accelerated relaxation algorithms for multigrid solution of elliptic PDEs on stretched structured grids
提出了两种新的松弛格式，用于二维和三维拉伸结构网格上偏微分方程几何多重网格解的光滑化步骤。新的计划的特点是有效的行松弛的分支集的线交替的颜色，其中的线被构造成无处不在的最大网格聚类的局部方向正交。粗花呢松弛最适合计算域边界附近的网格聚类，而线框松弛最适合计算域中心附近的网格聚类。在这些类型的强拉伸网格，多重网格利用这些新的平滑计划显着优于多重网格的基础上其他领先的松弛计划，如棋盘和交替方向斑马松弛，数值解的大型线性系所产生的离散椭圆偏微分方程。
2021-10-15 cs.NA math.NA physics.comp-ph
An iterative two-grid method for strongly nonlinear elliptic boundary value problems
针对强非线性椭圆边值问题的有限元离散，提出先粗空间解非线性问题、再细空间解对称正定问题的迭代两网格算法，给出首个需同步估计四个关联误差的收敛性分析，并通过数值实验验证其效率。
2023-05-03 cs.NA math.AP math.NA
Efficient and Fast Tensor-Product Multinode Shepard Collocation for Elliptic PDEs on Cartesian Grids
SMMADCSN Laboratory, FPL（SMMADCSN实验室，FPL）；Abdelmalek Essaadi University（阿卜杜勒马利克·埃萨迪大学）；Laboratory of Engineering Sciences（工程科学实验室）；Ibn Zohr University（伊本·佐赫尔大学）
提出基于网格的多节点Shepard配置法，结合张量积Lagrange插值，用于矩形域上的二维椭圆边值问题，具有稀疏矩阵和良好条件数，数值实验验证了高精度和优于RBF方法的条件性。
2026-09-04 cs.NA math.NA
Iterative two-level algorithm for nonsymmetric or indefinite elliptic problems
本文提出了一种新的求解非对称或不定椭圆型问题的有限元离散的两层迭代算法。迭代两层算法使用与传统两层网格算法相同的粗网格空间，但其“细网格”使用粗网格下的高阶有限元空间。因此，迭代两层算法只需要一个网格，计算成本远低于传统的迭代两层网格算法。最后，通过数值实验，与传统的两重网格算法相比，该算法在达到相同收敛阶数的前提下，计算量更小。
2023-01-04 cs.NA math.AP math.NA
Solving Elliptic Interface Problems with Jump Conditions on Cartesian Grids
本文提出一种在笛卡尔网格上求解带不规则界面跳跃条件的椭圆方程的简单数值算法，可获得二阶精确解和一阶精确梯度，且条件数有界，并通过二维和三维算例验证。
2019-12-18 cs.NA math.NA physics.comp-ph
On Expansions and Nodes for Sparse Grid Collocation of Lognormal Elliptic PDEs
这项工作是一个后续行动，我们以前的贡献（“收敛的稀疏配置函数可数许多高斯随机变量（与应用椭圆偏微分方程）"，SIAM J。肛门，2018），并包含使用稀疏网格求解对数正态扩散系数的椭圆偏微分方程的某些方面的进一步见解。具体地，我们首先关注单变量插值规则的选择，提倡使用由Narayan和Jakeman引入的高斯Leja点（“Adaptive Leja sparse grid constructions for stochastic collocation and high-dimensional approximation”，SIAM J. Sci.计算：2014），然后讨论用Lévy-Ciesielski展开代替扩散系数的标准Karhunen-Loève展开的可能的计算优势，其动机是Bachmayr、Cohen、DeVore和Migliorati的理论工作（“参数椭圆偏微分方程的稀疏多项式逼近.第二部分：对数正态系数”，ESAIM：M2 AN，2016）。我们的数值结果表明，对于所考虑的问题，高斯Leja配置点优于高斯-埃尔米特和Genz-Keister节点的稀疏网格近似和对数扩散系数的Karhunen-Loève展开比其Lévy-Ciesielski展开的稀疏网格配置的目的更合适。
2020-04-09 cs.NA math.NA math.PR
Sparse Grid Discontinuous Galerkin Methods for High-Dimensional Elliptic Equations
Michigan State University（密歇根州立大学）；Rensselaer Polytechnic Institute（伦斯勒理工学院）
本文提出稀疏网格不连续伽辽金方法以解决高维椭圆方程的 curse of dimensionality 问题，通过构造稀疏有限元逼近空间，将自由度从 O(h^{-d}) 降低至 O(h^{-1}|log₂h|^{d-1})，并提供误差估计和数值验证。
2015-08-31 cs.NA math.NA
An Algorithm on Multivariate Interpolation for Cartesian Grid Complex Boundary Problems
本文提出一种简单算法用于Cartesian网格上的多变量插值样条选择，通过嵌入边界方法解决椭圆界面问题验证了其有效性。
2013-08-02 cs.NA math.NA
Overview of solution methods for elliptic partial differential equations on cartesian and hierarchical grids
椭圆型偏微分方程（PDE）出现在计算科学的许多领域，如计算流体动力学，生物物理学，工程，物理学等。由于它们的全局性质和有时病态算子，它们很难求解。我们回顾常见的椭圆偏微分方程的离散化方法，如有限差分，有限体积，有限元，谱方法和线性系统，他们形成。我们还提供了一个概述的经典的现代解决方案的方法，这些离散化方法形成的线性系统。这些方法包括分裂和Krylov方法，直接方法和分层方法。最后，我们将受益于椭圆偏微分方程的快速，高效的求解器，包括投影方法的不可压缩Navier-Stokes方程和浅水波方程的色散校正的应用。
2022-05-06 cs.CE cs.NA math.NA
Multilevel Sparse Grid Methods for Elliptic Partial Differential Equations with Random Coefficients
Florida State University（佛罗里达州立大学）
本文提出多级稀疏网格方法，用于高效处理具有随机系数的椭圆偏微分方程，通过减少计算成本实现高精度模拟。
2014-04-08 cs.NA math.NA
Cluster-based Generalized Multiscale Finite Element Method for elliptic PDEs with random coefficients
The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）；Texas A&M University（德克萨斯农工大学）；The University of Hong Kong（香港大学）
本文提出一种基于聚类算法的广义多尺度有限元方法，用于求解具有随机系数的椭圆PDE，在多查询设置中实现高效求解，通过离线和在线阶段构造减少基函数并提升计算效率。
2017-11-06 cs.NA math.NA
Sparse-grid polynomial interpolation approximation and integration for parametric and stochastic elliptic PDEs with lognormal inputs
本文提出稀疏网格多项式插值方法用于参数和随机椭圆偏微分方程的lognormal输入，改进了非全离散收敛率。
2026-01-03 cs.NA math.NA
A posteriori error estimates for hierarchical mixed-dimensional elliptic equations
具有层次结构的混合维椭圆型方程通常用于模拟具有高纵横比夹杂物的问题，例如裂缝多孔介质中的流动。基于泛函后验误差估计理论，我们得到了一般的抽象估计，并得到了原始变量和对偶变量的上界以及原始-对偶对的双边界.我们通过提出基于近似解具有守恒性质的程度来估计残差的四种不同方法来改进用泛函方法获得的抽象结果，即：(1)不守恒，（2）子域守恒，（3）网格级守恒，（4）精确守恒。这种处理的结果在更清晰和完全可计算的估计时，质量是保守的，无论是在网格级别或确切地，具有可比的结构，从基于网格的后验技术。我们证明了我们的理论结果的实际有效性，通过数值实验，使用四种不同的离散化方法的合成问题和应用程序的基础上在裂缝性多孔介质中的流动的基准。
2022-04-19 cs.NA math.NA
On the algebraic construction of sparse multilevel approximations of elliptic tensor product problems
Unversität Basel（巴塞尔大学）
本文提出用代数多网格方法构造稀疏网格组合技术，解决复杂几何和非结构化网格上的椭圆问题，与传统几何方法具有相同收敛性。
2018-01-31 cs.NA math.NA
Convergent Finite Difference Methods for Fully Nonlinear Elliptic Equations in Three Dimensions
介绍了一种求解三维大范围完全非线性椭圆型偏微分方程的广义有限差分法。方法是基于笛卡尔网格，增加了额外的点仔细放置在高分辨率沿边界。我们介绍并分析了一个最小二乘方法来建立一致的，单调近似的第二方向导数在这些网格上。然后，我们展示了如何有效地近似函数的Hessian的特征值，通过多级离散正交坐标系中的$\mathbb{R}^3$。由此产生的计划是单调的，并适合在许多最近开发的收敛框架，完全非线性椭圆方程，包括非经典狄利克雷问题，承认间断解，蒙格-安培型方程的最优输运，和本征值问题涉及非线性椭圆算子。计算实例证明了该方法在广泛的具有挑战性的例子上的成功。
2021-03-17 cs.NA math.NA
A high-order staggered meshless method for elliptic problems
Brown University（布朗大学）；Sandia National Laboratories（桑迪亚国家实验室）
本文提出一种新的无网格方法，用于标量扩散方程，结合拓扑梯度算子和广义移动最小二乘法，实现高阶精度的无网格求解。
2016-10-19 cs.NA math.NA
The Smooth Forcing Extension Method: A High-Order Technique for Solving Elliptic Equations on Complex Domains
求解任意区域上的椭圆型方程的高阶数值方法通常需要专门的机器，例如用于有限元方法的高质量协调网格和用于边界积分法的求积规则。这些工具使得将这些技术应用于更高维度变得困难。相比之下，固定笛卡尔网格方法，如浸没边界（IB）方法，易于应用和推广，但通常是低阶精度。在这项研究中，我们介绍了光滑力迫扩张（SFE）方法，一个固定的笛卡尔网格技术，建立在IB方法的见解，并允许一个获得任意数量级的精度。我们的方法依赖于一种新的傅立叶延拓方法来计算扩展的非齐次项的任何所需的规律性。这与用于插值操作的高精度非均匀快速傅里叶变换相结合，以产生快速且鲁棒的方法。数值试验证实，该技术精确地执行一维测试问题的预期。在更高的维度，性能甚至更好，在某些情况下产生子几何收敛。我们还演示了如何将这种技术可以应用于解决抛物问题和计算椭圆算子的特征值一般域，在说明其稳定性和顺应性的推广过程。
2021-05-12 cs.NA math.NA
A nodal ghost method based on variational formulation and regular square grid for elliptic problems on arbitrary domains in two space dimensions
本文提出一种结合有限元与有限差分优点的节点对称幽灵方法，用于求解任意域上的椭圆问题，并通过数值实验验证了收敛率。
2024-11-08 cs.NA math.AP math.NA
Discontinuous Galerkin scheme for elliptic equations on extremely stretched grids
针对数值相对论中极端拉伸网格上的椭圆方程，本文提出一种兼容穿刺与XCTS表述的原始DG格式，可拉伸网格约10^9倍并实现指数收敛。
2024-10-24 cs.NA gr-qc math.NA
VAGO method for the solution of elliptic second-order boundary value problems
Nuclear Safety Institute（核安全研究所）；Keldysh Institute of Applied Mathematics（凯尔迪什应用数学研究所）
本文基于向量分析网格算子（VAGO）方法，利用Delaunay三角剖分和Voronoi图构造差分算子，近似求解一般二阶椭圆方程（包括对流-扩散-反应方程）的边值问题。
2010-04-27 cs.NA math.NA
A Practical Phase Field Method for an Elliptic Surface PDE
本文考虑一种求解给定闭超曲面上椭圆偏微分方程的扩散界面方法。该方法是基于（散装）有限元计划采用数值积分的相场函数，因此是非常容易实现的其他方法相比。我们估计的空间网格的大小，接口的宽度和基本的正交规则的顺序方面的自然规范的错误。数值试验计算证实了误差界的形式。
2020-02-18 cs.NA math.NA
Adaptive finite difference methods for nonlinear elliptic and parabolic partial differential equations with free boundaries
本文提出自适应网格细化的单调有限差分方法，用于求解具有自由边界的偏微分方程，提升复杂边界和奇点处的精度。
2015-11-18 cs.NA math.AP math.NA
Extending a new two-grid waveform relaxation on a spatial finite element discretization
Faculty of Applied Mathematics, Shahrood University Of Technology（沙鲁德理工大学应用数学学院）
将一种新的两网格波形松弛方法从椭圆方程推广到线性抛物型方程，采用有限元空间离散和直线法，并基于谱半径分析收敛性，通过二维热方程验证效率。
2026-09-24 cs.NA math.NA
Mixed virtual volume methods for elliptic problems
在多边形/多面体网格上发展了一类求解椭圆问题的混合虚体积方法。与\cite{brezzi2014basic,da2016mixed}中引入的混合虚元方法不同，我们的方法被简化为主变量的对称正定问题，而不使用拉格朗日乘子。我们从通常的方法开始，使用达西定律，$\bu=-{\cal K} \nabla p$，将给定的方程变成混合制系统。通过整合方程组与一些明智地选择测试空间上的每个元素，我们定义了新的混合虚拟体积方法的所有订单。我们证明了这些新格式等价于原始变量为$p$的双虚元方法。一旦主变量被计算，求解对称正定系统，达西速度的所有自由度都被局部计算。此外，$L^2$ -投影到多项式空间是很容易计算的。因此，我们的工作开辟了一个简单的方法来计算达西速度的多边形/多面体网格。对于最低阶情形，给出了满足守恒律的Raviart-Thomas类空表示的计算公式.进行了最佳误差分析，并给出了支持理论的数值结果。
2021-09-17 cs.NA math.NA
A parallel domain decomposition method for solving elliptic equations on manifolds
提出一种求解紧致黎曼流形上椭圆方程的并行区域分解方法，无需全局三角剖分，具备高度并行迭代格式，并在$4$维流形上验证了有效性。
2025-01-13 cs.NA math.NA
Two-grid discretizations and a local finite element scheme for a non-selfadjoint Stekloff eigenvalue problem
School of Mathematical Science, Guizhou Normal University（贵州师范大学数学科学学院）
本文针对非自伴随且非H^1-椭圆的Stekloff特征值问题，提出并分析了两种双重网格离散化方案和局部有限元方案，推导了近似误差估计，并证明了适用于局部细化区域包含边界上奇点的局部误差估计。
2018-06-13 cs.NA math.NA
Multigrid methods for the ghost finite element approximation of elliptic problems
本文针对任意区域上的椭圆型偏微分方程，基于节点幽灵有限元方法构造了一维和二维多重网格求解器，推导了稳定化参数的显式表达式，并通过仅在切割单元上额外光滑化提升效率，数值实验验证了方法的鲁棒性与可扩展性。
2025-05-08 cs.NA math.NA
A locally conservative reduced flux reconstruction for elliptic problems
Mathematics Münster（明斯特大学数学系）
本文提出了一种在参数椭圆问题降阶建模中重建符合通量的方法，该方法在底层有限元网格上局部保守，且各组件独立于参数，适用于离线/在线分解计算，如后验误差估计或流体问题。
2019-03-21 cs.NA math.NA
Numerical solving the boundary value problem for fractional powers of elliptic operators
Nuclear Safety Institute, Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院核安全研究所）；North-Eastern Federal University（东北联邦大学）
本文研究了二阶椭圆算子分数次幂的边值问题，采用伪抛物型方程时间依赖问题进行数值求解，提出标准双层方案并研究了稳定性条件，通过二维模型问题验证了时间与空间网格对精度的影响。
2014-02-07 cs.NA math.NA
Robust discretization in quantized tensor train format for elliptic problems in two dimensions
Skolkovo Institute of Science and Technology（斯科尔科沃科学技术研究所）；Institute of Numerical Mathematics, Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院数值数学研究所）
本文提出了一种高效的黑盒求解器，用于求解二维稳态扩散方程，采用新的稳健离散化方案，通过非局部 stencil 形式构建线性方程组，并利用量化张量列车格式高效求解，实现高精度解。
2016-12-21 cs.NA math.NA
A new extrapolation cascadic multigrid method for 3D elliptic boundary value problems on rectangular domains
Central South University（中南大学）；University of North Carolina at Charlotte（北卡罗来纳大学夏洛特分校）；Tongji University（同济大学）；Hunan Normal University（湖南师范大学）
本文提出了一种新的 extrapolation cascadic 多网格（ECMG_jcg）方法，该方法能够以分钟级的时间解决具有超过1亿个未知数的三维椭圆边界值问题。通过结合Richardson外推和三二次Serendipity插值技术，引入了新的外推公式，为下一步更精细网格上的迭代求解提供良好的初始猜测，该公式是有限元（FE）解的三阶近似。然后，通过Jacobi预条件共轭梯度（JCG）方法求解由此有限元离散化得到的大型稀疏线性系统。此外，与传统的cascadic多网格（CMG）方法不同，迭代求解器使用相对残差停止准则，从而方便地获得所需的数值解精度。此外，还使用简单的Richardson外推技术，以较低的成本在整体精细网格上获得四阶近似解。测试结果表明，ECMG_jcg比经典多网格方法效率更高。由于初始猜测是对FE解的很好近似，数值结果表明，仅需少量迭代即可在ECMG_jcg上达到全二阶精度，这对于解决大规模方程组尤为重要，可以大大减少计算成本。值得注意的是，当容忍度变小时，ECMG_jcg仍只需少量迭代即可在每个网格上获得四阶外推解，除了在最精细网格上。最后，我们解释了为什么我们的ECMG算法对于解决此类问题如此高效。
2015-06-09 cs.NA math.NA
Tensor numerical method for optimal control problems constrained by an elliptic operator with general rank-structured coefficients
我们介绍张量数值技术解决椭圆算子约束的最优控制问题的$\mathbb{R}^d$，$d=2,3$，变系数，可以表示在一个低秩可分的形式。我们构造了一个预处理的迭代方法与自适应秩截断求解方程的控制函数，由椭圆算子和逆$M=A + A^{-1}$的总和，都离散在大$n^{\otimes d}$，$d=2,3$，空间网格。提出并分析了两种基本的解决方案。在第一种方法中，使用矩阵$M$迭代地求解初始线性方程组，使得通过使用用于形式为$A y=u$的方程的秩结构求解器，将与椭圆算子逆$y=A^{-1} u,$的矩阵向量乘法作为嵌入式迭代来执行。第二种数值格式通过将初始方程简化为具有$A^2 +I$形式的多项式系统矩阵的等价方程来避免嵌入式迭代。对于这两种方案，通过使用相应的矩阵值函数的各向异性拉普拉斯对角化的傅立叶基构造一个低Kronecker秩谱等价的预条件子。在二维设置控制问题的数值试验证实了线性二次复杂度缩放的单变量网格大小$n$的方法。此外，我们数值证明，对于我们的低秩的解决方案的方法，级联多重网格方法大大减少了PCG迭代的次数，但总的CPU时间仍然仅仅是相同的unigrid迭代。
2021-05-27 cs.NA math.NA
Tensor-based techniques for fast discretization and solution of 3D elliptic equations with random coefficients
本文提出并分析了随机介质中周期椭圆问题快速求解的数值算法$\mathbb{R}^d$、$d=2,3$。我们考虑的随机实现使用棋盘配置的方程系数建立在一个大的$L \times L \times L$格，其中$L$是代表体积元的大小。为了快速生成张量网格上的有限差分离散刚度矩阵，引入了Kronecker张量积格式。我们描述了张量技术的建设低克罗内克秩谱等价预条件在周期性的设置中使用的框架中的PCG迭代。在我们的构造中，傅立叶基中表示的离散拉普拉斯逆的对角矩阵被整形为3D张量，然后由低秩正则张量近似，通过多重网格塔克正则张量变换计算。详细描述了张量网格上的FDM离散方案，并举例说明了PCG迭代的3D Matlab实现的$L$方面的计算特性。本文的工作继续了[22]中的工作，其中数值研究了具有随机系数的二维椭圆型偏微分方程的均匀化矩阵的渐近收敛速度与$L$的关系。所提出的椭圆问题求解器可用于三维随机均匀化问题数值分析中长序列随机实现的计算、求解三维准周期几何均匀化问题以及动力学多体相互作用过程和多粒子静电学的数值模拟。
2020-07-15 cs.NA math.NA
Multilevel quasi-Monte Carlo for random elliptic eigenvalue problems II: Efficient algorithms and numerical results
随机偏微分方程本征值问题经常出现在不确定性量化领域，人们试图量化本征值或其本征函数中的不确定性。本文提出了一种计算随机系数椭圆本征值问题最小特征值期望的高效多层拟蒙特卡罗方法（MLQMC）。每个样本评估都需要求解PDE本征值问题，因此在实践中解决这个问题在计算上是非常困难的。我们从四个方面加快了这个期望值的逼近速度：我们使用一个多层次的方差缩减方案，将工作分散到一个层次的有限元网格和截断维上;我们使用QMC方法，有效地计算每一层上的期望值;我们利用参数空间的光滑性，并重用附近QMC点的特征向量，以减少特征值求解器的迭代次数;我们利用两个网格离散计划，以获得一个单一的线性求解的细网格上的特征值。一个基本的MLQMC算法的完整误差分析在配套文件[Gilbert and Scheichl，2022]中给出，因此本文中，我们专注于如何进一步提高效率，并提供理论上的理由，使用附近的QMC点和两个网格的方法。数值结果表明，我们的算法的效率，也表明，我们采用的四种策略是互补的。
2022-10-06 cs.NA math.NA
A Fourth-Order Cut-cell Multigrid Method for Solving Elliptic Equations on Arbitrary Domains
Zhejiang University（浙江大学）
本文提出了一种四阶切割单元多网格方法，用于在任意复杂域上高效求解椭圆方程，具备高精度、高效率和良好的鲁棒性。
2026-01-16 cs.NA math.NA
A two-level stochastic collocation method for semilinear elliptic equations with random coefficients
Southwest Jiaotong University（西南交通大学）；Pacific Northwest National Laboratory（太平洋西北国家实验室）；Purdue University（普渡大学）；Washington State University（华盛顿州立大学）
本文提出一种两级随机插值方法，用于求解具有随机系数的半线性椭圆方程，通过粗网格低阶插值与细网格高阶插值结合，实现计算效率提升，理论证明其精度与传统方法相当。
2016-11-29 cs.NA math.NA
Domain Decomposition Preconditioners for a Discontinuous Galerkin Formulation of a Multiscale Elliptic Problem
针对系数高度变化的多尺度椭圆问题，提出基于间断伽辽金格式的非重叠和重叠区域分解方法，证明预处理代数系统的条件数在特定假设下与系数无关。
2012-03-19 cs.NA math.NA
Analysis of two-level method for anisotropic diffusion equations on aligned and non-aligned grids
Sichuan University（四川大学）；Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）
本文针对各向异性扩散问题的有限元离散线性系统，分析了两层多重网格方法的收敛性，并证明了一种特殊块光滑器在能量范数下对网格对齐和非对齐情况均能实现与各向异性比和网格尺寸无关的均匀收敛。
2011-05-05 cs.NA math.NA
A PCG Implementation of an Elliptic Kernel in an Ocean Global Circulation Model Based on GPU Libraries
University of Naples “Federico II”（那不勒斯费德里科二世大学）；CMCC, Research Center（CMCC 研究中心）；ENEA-UTICT, Casaccia Research Center（ENEA-UTICT 卡萨恰研究中心）
本文提出一种逆预条件子，结合共轭梯度法高效求解全球海洋环流模型中的椭圆拉普拉斯问题，并利用科学计算库在GPU上实现，分析了求解器性能与网格分辨率及拉普拉斯系数的关系。
2012-10-05 cs.NA math.NA
