High-order Adaptive Rank Integrators for Multi-scale Linear Kinetic Transport Equations in the Hierarchical Tucker Format
本文提出一种基于宏观-微观分解和分层Tucker分解的自适应秩积分器，结合高阶时间与空间离散及高阶奇异值分解，用于高效求解高维线性动理学输运方程，并在基准问题中验证了其精度与压缩优势。
2025-09-08 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Estimates for the quantized tensor train ranks for the power functions
本文给出QTT格式下幂函数及其推广形式的秩的理论估计，并用TTSVD方法验证数值结果与解析结果一致，为聚集-碎裂动力学方程渐近解研究提供支撑。
2024-04-18 cs.NA math.NA
A randomized Newton's method for solving differential equations based on the neural network discretization
我们开发了一个随机牛顿法求解微分方程，基于一个完全连接的神经网络离散化。特别地，随机牛顿法从由神经网络离散化产生的超定非线性系统中随机选择方程，并自适应地求解非线性系统。从理论上证明了随机牛顿法具有局部平方收敛。我们也将此新方法应用于各种数值例子，从一维到高维微分方程，以验证其可行性和效率。此外，随机化牛顿法可以允许神经网络“学习”微分方程的非线性系统的多个解，例如模式形成问题，并提供了一种从整体上研究非线性微分方程的解结构的替代方法。
2019-12-06 cs.NA math.NA math.OC
$\mathcal{H}$-matrix based second moment analysis for rough random fields and finite element discretizations
Universität Basel（巴塞尔大学）
本文提出利用$\mathcal{H}$-矩阵高效求解强椭圆偏微分方程，通过二阶矩分析处理随机载荷，验证了非光滑或短相关数据下的计算效率。
2017-03-18 cs.NA math.NA
Stability of an upwind Petrov Galerkin discretization of convection diffusion equations
University of Oslo（奥斯陆大学）
本文研究了小粘性条件下对流扩散方程的数值方法，提出一种指数拟合的 conforming Petrov-Galerkin 方法，并证明了在特定条件下该方法的稳定性和连续性。
2016-02-22 cs.NA math.NA
An adaptive stochastic Galerkin tensor train discretization for randomly perturbed domains
Weierstrass Institute（韦伊尔斯特拉斯研究所）；Università della Svizzera italiana（瑞士意大利语大学）
本文提出了一种自适应随机伽辽金张量列车离散化方法，用于处理随机扰动领域的线性偏微分方程问题，通过张量列车格式实现隐式压缩，并利用后验误差估计器进行迭代细化和误差评估。
2019-02-20 cs.NA math.NA
Quantized-CP Approximation and Sparse Tensor Interpolation of Function Generated Data
Max-Planck-Institute for Mathematics in the Sciences（马克斯·普朗克科学促进部数学研究所）；Birla Institute of Technology and Science Pilani, Hyderabad Campus（比拉理工学院皮拉尼分校海德拉巴校区）；Westsächsische Hochschule Zwickau（茨维考西萨克森应用技术大学）
本文研究了通过迭代方案计算函数离散化数据的CP近似方法，提出了一种稀疏张量插值方法，通过减少存储参数实现高效计算，展示了指数收敛性。
2017-07-14 cs.NA math.NA
Low-rank tensor structure preservation in fractional operators by means of exponential sums
分数阶微分方程的使用是模拟非局部现象的关键工具。通常，求解涉及分数算子离散化的线性系统的有效方案是计算矩阵函数$x = \mathcal A^{-α} c$，其中$\mathcal A$是经典拉普拉斯算子的离散化，而$α$是$0$和$1$之间的分数指数。在这项工作中，我们推导出一个指数和近似的$f(z) =z^{-α}$，是准确的$[1, \infty)$，并允许有效地近似行动的有界和无界运营商的这种张量存储在各种低秩格式（CP，TT，塔克）。结果是相关的，从理论的角度来看，以及，因为它们预测的低秩张量格式的这些线性系的解决方案的低秩逼近。
2022-08-10 cs.NA math.NA
Asymmetry and condition number of an elliptic-parabolic system for biological network formation
针对生物网络形成的张量值椭圆-抛物 PDE，本文用非线性有限差分与 ADI 离散研究数值解对称性，发现对称 ADI 更优，但背景渗透率降低使条件数增大并导致对称性丧失。
2023-07-07 cs.NA math.NA
A finite element discretization with semi-implicit nonlinear multistep scheme for a two-dimensional competition-diffusion system of three competing species with different mobility rates
College of Integrative Sciences and Arts, Arizona State University（亚利桑那州立大学综合科学与艺术学院）；Department of Mathematics, Jimma University（吉马大学数学系）；Department of Mathematics and Applied Mathematics, University of the Western Cape（西开普大学数学与应用数学系）
本文提出一种结合第二阶半隐式非线性多步方案的有限元方法，用于求解二维三个物种竞争-扩散系统，通过隐式处理扩散项和分阶段线性化非线性反应项，实现线性求解，保持渐近稳定性并捕捉复杂时空模式。
2026-04-14 cs.NA math.NA
Energy and implicit discretization of the Fokker-Planck and Keller-Segel type equations
本文提出两种有限体积方案，旨在保持解的基本性质，如能量耗散、稳态、正性和总质量守恒，以区分离散稳态、Turing不稳定的暂态、数值伪影或简单迎风法得到的近似稳态。这些方案通过遵循梯度流结构或受Scharfetter-Gummel离散化启发的适当指数重写获得，迎风法对于在半离散水平上保持所有预期性质也是必要的。这些方案扩展到完全离散水平，并根据显式或隐式离散化精确调整术语。利用一些适当的单调性性质（类似于最大原理），我们证明了该方案的良定性以及所有其他要求。数值实现和模拟展示了所比较的三种方法各自的优点。
2018-10-29 cs.NA math.NA
A Highly Scalable Quantized Tensor-Train FDTD Framework for the Simulation of Three-Dimensional Electromagnetic Scattering Problems
Ghent University（根特大学）
本文提出一种基于量化张量列的三维FDTD框架，使内存和计算复杂度随系统规模对数增长，在保持高精度的同时大幅降低资源消耗，适用于大型多尺度电磁散射仿真。
2026-09-17 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Solving non-linear Kolmogorov equations in large dimensions by using deep learning: a numerical comparison of discretization schemes
Sapienza Università di Roma（罗马大学）；École Polytechnique Fédérale de Lausanne（洛桑联邦理工学院）
非线性偏微分Kolmogorov方程被成功地用于描述自然科学、工程甚至金融领域中广泛的不定常现象。例如，在物理系统中，艾伦-卡恩方程描述了与相变相关的图案形成。相反，在金融领域，布莱克-斯科尔斯方程描述了衍生投资工具价格的演变。这些现代应用程序往往需要解决这些方程在高维制度中，经典的方法是无效的。最近，E，Han和Jentzen介绍了一种基于深度学习的有趣的新方法[1][2]。其主要思想是构建一个深度网络，该网络由Kolmogorov方程下的离散随机微分方程的样本进行训练。该网络能够近似，至少在数值上，多项式复杂度在整个空间域的柯尔莫哥洛夫方程的解决方案。在这篇文章中，我们通过使用随机微分方程的不同离散方案来研究深度网络的变体。我们比较了相关网络的性能，基准的例子，并表明，对于一些离散化方案，在不影响所观察到的计算复杂性的情况下，提高精度是可能的。
2022-09-11 cs.LG cs.NA math.NA
Existence of $\mathcal{H}$-matrix approximants to the inverse of BEM matrices: the hyper-singular integral operator
Vienna University of Technology（维也纳工业大学）
研究超奇异积分算子在闭合曲面上的离散化，证明对应系统矩阵的逆可被分块低秩矩阵以指数速率近似，涵盖$\mathcal{H}$-矩阵的数据稀疏格式，针对两种离散化方法证明近似结果。
2015-03-06 cs.NA math.NA
Approximating optimal feedback controllers of finite horizon control problems using hierarchical tensor formats
控制系统的常微分方程（ODEs）是普遍存在的科学和工程。为了找到一个最优反馈控制器，价值函数和相关的基本方程，如贝尔曼方程和哈密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程是必不可少的。由于这些方程的非线性和（可能）高维性，对它们的数值处理提出了巨大的挑战。本文考虑一个有限时域控制系统，它与Bellman方程相关联.在时间离散化之后，我们得到一系列的短时间范围的问题，我们称之为局部最优控制问题。为了解决局部最优控制问题，我们采用两种不同的方法，一种是众所周知的策略迭代，其中每个时间步都需要一个固定点迭代。另一种算法借鉴了模型预测控制（MPC）的思想，通过在短时间内用开环控制方法求解局部最优控制问题，用伴随方法代替定点迭代。对于高维系统，我们应用低秩分层张量积近似/基于树的张量格式，特别是张量列（TT张量）和多多项式，以及高维求积，例如Monte-Carlo。通过控制一个含不稳定反应项的扩散方程和一个Allen-Kahn方程，证明了误差关于时间离散的线性传播.
2021-04-13 cs.NA math.NA math.OC
Simulating linear kinematic features in viscous-plastic sea ice models on quadrilateral and triangular grids
线性运动特征（LKF）在北极海冰覆盖中随处可见。它们是强烈的局部变形，通常与铅和压力脊的形成有关。粘塑性海冰模型开始生成高空间网格分辨率的LKF，通常网格间距小于5 km。除了网格间距，数值实现的其他方面，如离散化细节，可能会影响模拟LKF的数量和定义。为了探索这些影响，海冰模式的解决方案与不同的网格间距，网格类型，和数值离散技术进行了比较，在一个理想化的配置，这也可以作为一个基准问题在未来。在四边形网格上的海冰动力学的A、B和C网格离散导致与三角形网格上的A网格近似（具有相同数目的顶点）相似数目的LKF。在结构化四边形和三角形网格上的荒川CD网格上的离散化解决了与传统荒川A网格、B网格和C网格方法相同数量的LKF，但是在两倍粗的网格上。这是由于CD网格方法具有更高的自由度来离散速度场。由于其增强的解决性能，CD网格离散是一个有吸引力的替代传统的离散。
2021-03-07 cs.CE cs.NA math.NA
Preconditioning Techniques for Hybridizable Discontinuous Galerkin Discretizations on GPU Architectures
本文提出了一种适用于GPU的HDG离散化预处理技术，结合牛顿法与GMRES求解器，通过块雅可比等预处理器提升求解效率。
2025-12-15 cs.CE cs.NA math.NA
Pricing high-dimensional Bermudan options with hierarchical tensor formats
提出了一种基于层次张量的期权定价方法的有效压缩技术。它表明，“维数灾难”可以减轻计算的最小平方的蒙特卡罗方法以及对偶鞅方法，都使用高维张量多项式展开的Escherdan期权价格。这种离散化允许一个简单的和计算成本低的评估条件的期望。复杂性估计以及张量训练格式的优化程序的描述。数值实验表明，所提出的方法的有利的精度。动态规划方法产生的结果与最近的神经网络为基础的方法。
2021-03-06 cs.CE cs.NA math.NA
Compression of the electron repulsion integral tensor in tensor hypercontraction format with cubic scaling cost
Duke University（杜克大学）；Stanford University（斯坦福大学）
本文提出一种算法，将电子排斥积分张量压缩为张量超收缩格式，计算成本为O(nN²logN)，通过选择部分空间网格点近似整个域上的轨道函数对积。
2015-06-17 cond-mat.mtrl-sci cs.NA math.NA
