Numerically Solving Parametric Families of High-Dimensional Kolmogorov Partial Differential Equations via Deep Learning
University of Vienna（维也纳大学）；University of Oxford（牛津大学）；Austrian Academy of Sciences（奥地利科学院）
提出了一种求解高维线性Kolmogorov偏微分方程参数族的深度学习算法。我们的方法是基于重新制定的数值逼近的整个家庭的Kolmogorov偏微分方程作为一个单一的统计学习问题，使用费曼-卡茨公式。成功的数值实验，实证证实了我们所提出的算法的功能和效率的情况下，热方程和Black-Scholes期权定价模型参数化的仿射线性系数函数。我们证明了在模拟数据上训练的单个深度神经网络能够在整个时空区域上学习整个偏微分方程族的解函数。最值得注意的是，我们的数值观测和理论结果也表明，所提出的方法不受维数灾难，区别于几乎所有的标准数值方法偏微分方程。
2020-11-09 cs.LG cs.NA math.NA
A machine learning solver for high-dimensional integrals: Solving Kolmogorov PDEs by stochastic weighted minimization and stochastic gradient descent through a high-order weak approximation scheme of SDEs with Malliavin weights
本文介绍了一种非常简单、快速的高维积分计算方法，用于求解高维Kolmogorov偏微分方程。新的基于机器学习的方法是通过求解一个随机加权最小化与随机梯度下降，这是受启发的高阶弱近似计划的随机微分方程（SDES）与Malliavin权重。然后，解决方案，高维Kolmogorov偏微分方程或期望的泛函的解决方案，高维偏微分方程的准确近似，而不会遭受灾难的维度。通过使用二阶和三阶离散格式，以证明我们的方法的有效性，PDES和SDES高达100维的数值例子。
2021-02-11 cs.NA math.NA q-fin.CP
KANtrol: A Physics-Informed Kolmogorov-Arnold Network Framework for Solving Multi-Dimensional and Fractional Optimal Control Problems
organization= Independent Researcher , state= Isfahan , country= Iran
提出物理信息 KANtrol 框架，结合高斯求积、自动微分与分数阶矩阵-向量积离散化，求解连续时间、多维及分数阶最优控制问题，并在精度和效率上优于 MLP。
2024-09-10 cs.LG cs.NA math.NA
Solving the Kolmogorov PDE by means of deep learning
ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）；ZENAI AG；University of Vienna（维也纳大学）
随机微分方程及其相关的Kolmogorov偏微分方程已广泛应用于工程、金融和自然科学等领域的模型中。特别是，SDES和Kolmogorov偏微分方程，分别是高度采用的金融衍生品的近似定价模型。Kolmogorov偏微分方程和偏微分方程，分别，通常不能明确地解决，它一直是和仍然是一个积极的研究课题，设计和分析数值方法，能够近似解决Kolmogorov偏微分方程和偏微分方程，分别。文献中几乎所有的Kolmogorov偏微分方程的近似方法都受到维数灾难的影响，或者只提供在单个固定时空点的偏微分方程解的近似。在本文中，我们推导并提出了一种数值逼近方法，其目的是克服上述两个缺点，并打算提供一个数值逼近的Kolmogorov偏微分方程的整个区域$[a,b]^d$，而不遭受灾难的维数。对热方程、Black-Scholes模型、随机Lorenz方程和Heston模型的数值结果表明，所提出的近似算法在高维情况下无论是精度还是速度都是非常有效的.
2021-07-14 cs.LG cs.NA math.NA
Solving the fully nonlinear Monge-Ampère equation using the Legendre-Kolmogorov-Arnold Network method
本文提出Legendre-KAN神经网络方法求解完全非线性Monge-Ampère方程，利用Legendre多项式正交性提升收敛速度与精度，并通过数值算例验证其在光滑解、奇异解及图像最优传输问题中的有效性。
2025-04-07 cs.NA math.NA
Solving High Dimensional Partial Differential Equations Using Tensor Type Discretization and Optimization Process
本文提出了一种张量型的离散化和优化方法来求解高维偏微分方程。首先，我们设计了高维偏微分方程的张量型试探函数。利用测试函数的张量结构，可以直接对近似解进行数值积分，而不需要借助蒙特卡罗方法。然后结合Ritz或Galerkin方法，将求解高维偏微分方程转化为求解有关的最优化问题。数值试验验证了所提出的数值方法的有效性。
2022-11-29 cs.NA math.NA
CT-PIKAN: Coordinate-Transformed Physics-Informed Kolmogorov-Arnold Network with Autograd-Based Metric Evaluation for Solving PDEs in Curvilinear Domains
Department of Aerospace Engineering, Sharif University of Technology（谢里夫理工大学航空航天工程系）
本研究提出CT-PIKAN框架，通过坐标变换结合自动微分，解决曲线域偏微分方程求解的几何适配问题，在多类基准问题上实现高效准确的求解。
2026-08-10 cs.NA math.NA
A second-order generalized BDF method for the two-dimensional (modified) Fisher-Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov equation
Sichuan Normal University（四川师范大学）
本文提出了一种用于二维修正菲舍尔-KPP方程的二阶广义BDF方法，通过移位BDF2方法实现，证明了均匀离散化方案的稳定性，并通过数值实验验证了其鲁棒性和准确性。
2025-11-27 cs.NA math.NA
Sinc Kolmogorov-Arnold network and its application for solving PDEs with singularities
Skolkovo Institute of Science and Technology（斯克洛夫科学与技术研究所）；Southern University of Science and Technology（南方科技大学）；International Center for Mathematics（国际数学中心）；National Center for Applied Mathematics Shenzhen (NCAMS)（深圳应用数学中心）
本文提出在 Kolmogorov-Arnold 网络中使用 Sinc 插值作为可学习激活函数，以有效逼近光滑函数和含奇异性的函数，并在物理信息神经网络求解偏微分方程中取得更好效果。
2026-05-27 cs.AI cs.LG cs.NA
Weak convergence rates for an explicit full-discretization of stochastic Allen-Cahn equation with additive noise
在空间上采用谱Galerkin方法离散带加性噪声的随机Allen-Cahn方程，在时间上采用改进的指数欧拉法。在强和弱两种意义下，时空全离散化的误差界进行了分析。与现有的工作不同，我们开发了一种新的和直接的方法，弱误差分析，它不依赖于使用相关的Kolmogorov方程或伊藤公式，因此是非马尔可夫的性质。因此，这种方法有可能被应用到非马尔可夫方程，如随机Volterra方程或其他类型的分数阶随机偏微分方程，其中缺乏柯尔莫哥洛夫方程。结果表明，所得到的弱收敛速度，在空间和时间方向上，基本上是两倍的强收敛速度。此外，它揭示了如何弱收敛速度依赖于噪声的规律性。最后通过数值实验验证了理论分析的正确性。
2021-01-19 cs.NA math.NA math.PR
PINN-Based Kolmogorov-Arnold Networks with RAR-D Adaptive Sampling for Solving Elliptic Interface Problems
College of Science, Harbin Institute of Technology（哈尔滨理工学院理学院）；Department of Mathematics, Hong Kong Baptist University（香港浸会大学数学系）
本文提出基于Kolmogorov-Arnold网络的PINN架构，结合RAR-D自适应采样策略，解决椭圆界面问题，实现更小网络规模和更快收敛的高精度解法。
2026-02-02 cs.NA math.NA
Discretization of learned NETT regularization for solving inverse problems
基于深度学习的重建方法为解决逆问题提供了出色的结果，因此变得越来越重要。最近发明的一类基于学习的重建方法是所谓的NETT（网络吉洪诺夫正则化），它包含一个经过训练的神经网络作为广义吉洪诺夫正则化中的正则化器。现有的NETT分析考虑了固定算子和固定正则化，并分析了当数据中的噪声水平接近零时的收敛性。在本文中，我们大大扩展了框架和分析，以反映各种实际方面，并考虑到离散化的数据空间，解决方案空间，前向算子和神经网络定义的正则化。我们证明了离散化NETT方法的渐近收敛，以降低噪声水平和离散化误差。此外，我们推导出收敛速度，并提出了一个有限的数据问题的光声层析的数值结果。
2021-11-14 cs.NA math.NA
HWF-PIKAN: A Multi-Resolution Hybrid Wavelet-Fourier Physics-Informed Kolmogorov-Arnold Network for solving Collisionless Boltzmann Equation
Sharif University of Technology（谢里夫理工大学）
HWF-PIKAN通过融合小波与傅里叶方法，提升求解无碰撞玻尔兹曼方程的精度和效率，适用于高维相空间中的输运问题。
2025-12-12 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Deep Learning Based on Randomized Quasi-Monte Carlo Method for Solving Linear Kolmogorov Partial Differential Equation
针对高维线性Kolmogorov偏微分方程求解，提出用随机拟蒙特卡洛方法替代蒙特卡洛计算深度学习损失函数，理论证明其泛化误差收敛阶更优、总误差渐近更小，数值实验验证其相对L²误差更低。
2024-06-23 cs.NA math.NA
A randomized Newton's method for solving differential equations based on the neural network discretization
我们开发了一个随机牛顿法求解微分方程，基于一个完全连接的神经网络离散化。特别地，随机牛顿法从由神经网络离散化产生的超定非线性系统中随机选择方程，并自适应地求解非线性系统。从理论上证明了随机牛顿法具有局部平方收敛。我们也将此新方法应用于各种数值例子，从一维到高维微分方程，以验证其可行性和效率。此外，随机化牛顿法可以允许神经网络“学习”微分方程的非线性系统的多个解，例如模式形成问题，并提供了一种从整体上研究非线性微分方程的解结构的替代方法。
2019-12-06 cs.NA math.NA math.OC
SPIKANs: Separable Physics-Informed Kolmogorov-Arnold Networks
Pacific Northwest National Laboratory（西北太平洋国家实验室）
本文提出SPIKANs，通过将变量分离原理应用于PIKANs，使每个维度由独立KAN处理，降低高维PDE训练复杂度，在保持精度的同时提升可扩展性。
2024-11-09 cs.LG cs.NA math.NA
PG-KINN: A Physics-Informed Petrov-Galerkin Kolmogorov-Arnold Network for Solving Forward and Inverse PDEs
Shahid Beheshti University（沙希德·贝赫什提大学）；Institute for Research in Fundamental Sciences (IPM)（基础科学研究所（IPM））；Cyberspace Research Institute, Shahid Beheshti University（沙希德·贝赫什提大学网络空间研究所）；University of Hertfordshire（赫特福德大学）
研究提出PG-KINN，一种基于Petrov-Galerkin公式的物理信息KAN，用于求解正向和反向偏微分方程。其试验空间是KAN，测试空间是分段多项式空间，通过分部积分等降低微分阶数，在多基准测试中优于传统方法，为计算力学提供准确途径。
2026-07-23 cs.LG cs.NA math.NA
A fully discretization, unconditionally energy stable finite element method solving the thermodynamically consistent diffuse interface model for incompressible two-phase MHD flows with large density ratios
针对现有扩散界面两相磁流体动力学模型仅适用于密度匹配场景的局限，研究基于Onsager变分原理与守恒律推导大密度比下的热力学一致模型，提出全离散有限元求解格式并证明其理论性质，通过数值实验验证了格式的有效性。
2024-03-12 cs.NA math.NA
Kolmogorov-Arnold Networks for Free-Boundary Partial Differential Equations
University of Waterloo（滑铁卢大学）
本文提出使用Kolmogorov-Arnold网络（KAN）在物理信息框架内求解自由边界偏微分方程，通过残差损失纳入障碍、互补等条件，实验证明KAN在精度和界面解析上优于PINN和残差网络基线。
2026-10-02 cs.LG cs.NA math.NA
An inverse-free fixed-time stable dynamical system and its forward-Euler discretization for solving generalized absolute value equations
School of Mathematics and Computational Science, Xiangtan University（湘潭大学数学与计算科学学院）；School of Mathematics and Statistics, Fujian Normal University（福建师范大学数学与统计学院）；Institute for Optimization and Decision Analytics, Liaoning Technical University（辽宁工业大学优化与决策分析研究所）；School of Mathematical Sciences, Beihang University（北京航空航天大学数学科学学院）
提出无逆固定时间稳定动力系统及前向欧拉离散化迭代方法求解GAVE，前者收敛时间有限且初始点一致有界，后者有限步内全局收敛到解的任意小邻域，数值结果验证有效性。
2025-11-19 cs.NA math.NA math.OC
Solving Severely Ill-Posed Linear Systems with Time Discretization Based Iterative Regularization Methods
近年来，反问题在计算数学中引起了越来越多的关注，在工程应用中也变得越来越重要。离散化后，许多反问题转化为线性系。由于反问题的病态性，降阶线性系往往是病态的，特别是当其规模很大时。这带来了很大的计算困难。特别地，在不适定的线性系的右侧的一个小扰动可能导致解的剧烈变化。因此，对于稳定解，应采用正则化方法。本文将一类新的加速迭代正则化方法应用于求解这类大型不适定线性系。迭代格式只有在迭代提前终止时才成为正则化方法。Morozov的差异原则适用于停止准则。与传统的Landweber迭代相比，新方法具有加速效果，可与著名的加速v-方法和Nesterov方法相媲美。数值结果表明，在适当的离散格式下，所提出的方法甚至比v-方法和Nesterov方法具有更好的性能.
2022-04-06 cs.NA math.NA
Least SQuares Discretizations (LSQD): a robust and versatile meshless paradigm for solving elliptic PDEs
针对不规则几何下传统数值网格方法受限、无网格方法需弱形式求积的问题，提出无需弱形式的最小二乘离散化（LSQD）无网格方法，验证了其在多场景下求解椭圆型PDE的有效性，并构建后验误差估计器，提供了鲁棒易用的数值新方案。
2024-06-19 cs.NA math.NA
Solving time-dependent PDEs with the ultraspherical spectral method
本文提出用超球面谱方法结合直线法和指数积分器求解时间依赖偏微分方程，分析稳定性与误差，并与切比雪夫伪谱法比较，证明其作为空间离散化方案的竞争力。
2023-06-22 cs.NA math.NA
A Finite Volume - Alternating Direction Implicit Approach for the Calibration of Stochastic Local Volatility Models
University of Antwerp（安特卫普大学）；Numerical Algorithms Group（数值算法集团）
本文提出一种有限体积方法用于求解前向柯莫戈罗夫方程，以提高随机局部波动率模型校准的效率和稳定性，通过交替方向隐式方案和内迭代处理非线性问题。
2016-11-09 cs.NA math.NA q-fin.CP
A parallel algorithm for solving linear parabolic evolution equations
本文提出了一种求解线性抛物型发展方程时空同时离散的算法，该方程具有空间对称微分算子。在以前的工作的基础上，我们重铸这个离散成舒尔补充方程的解决方案是一个准最优逼近的弱解的方程在手。选择张量积离散化，我们得到一个非常简单的线性系。使用小波在时间和标准的有限元在空间中，我们解决了所产生的系统在一个单一的处理器上的线性复杂性，并在多对数复杂性时，在空间和时间并行。我们补充这些理论研究结果与大规模的并行计算显示的方法的有效性。
2021-09-06 cs.NA math.NA
Weak convergence and invariant measure of a full discretization for non-globally Lipschitz parabolic SPDE
Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）；University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学）
本文研究了非全局利普希茨系数的抛物型随机偏微分方程（SPDE）的不变测度和函数泛函期望的近似问题，采用谱伽辽金方法和时间隐式欧拉方案进行全离散化，通过变分方法和马尔可夫算子理论推导了数值解的先验估计和正则性估计，建立了全离散化的尖锐弱收敛率，并证明在SPDE具有唯一V-一致ergodic不变测度时，全离散化可以近似该不变测度。
2019-05-31 cs.NA math.NA
BDDC preconditioners for a space-time finite element discretization of parabolic problems
Johann Radon Institute（约翰·拉登研究所）
本文研究了利用BDDC方法求解由空间-时间有限元离散化得到的抛物型初始-边界值问题大规模线性代数方程组，将时间视为另一种空间坐标，采用不规则三角形空间-时间网格上的连续分段线性有限元，通过BDDC预处理GMRES方法求解空间-时间有限元Schur补方程，并通过数值研究展示了预处理子程序的鲁棒性。
2018-10-29 cs.NA math.NA
A local discontinuous Galerkin gradient discretization method for linear and quasilinear elliptic equations
École Polytechnique Fédérale de Lausanne（洛桑联邦理工学院）
本文提出了一种局部加权不连续伽辽金梯度离散化方法，用于求解椭圆方程，通过粗网格逐步改进解，分析了线性和准线性方程的收敛性，并展示了人工边界条件的误差分析。
2018-07-27 cs.NA math.NA
One-stage explicit trigonometric integrators for effectively solving quasilinear wave equations
本文构造并研究了求解拟线性波动方程的一阶显式三角积分器。对于波动方程，我们首先引入三角积分作为时间上的半离散，然后考虑谱Galerkin方法作为空间上的离散。我们证明了一级显式三角积分器在时间上具有二阶收敛性，并且对于完全离散格式，结果也是正确的，而不需要任何CFL型耦合的离散参数。利用能量技术证明了这些结果，能量技术在偏微分方程方法的数值分析中有着广泛的应用。
2019-08-25 cs.NA math.NA
Kolmogorov equations for evaluating the boundary hitting of degenerate diffusion with unsteady drift
Japan Advanced Institute of Science and Technology（日本科学技术高级研究院）
研究一类漂移系数受确定性过程影响的Jacobi扩散，其边界触及由Kolmogorov方程描述，并提出有限差分法求解线性和非线性方程，数值验证了平均场效应。
2026-06-02 cs.NA math.NA
The modified Physics-Informed Hybrid Parallel Kolmogorov--Arnold and Multilayer Perceptron Architecture with domain decomposition
School of Mathematics, Statistics and Mechanics, Beijing University of Technology（北京工业大学数学、统计与力学学院）
提出改进的混合并行KAN-MLP物理信息神经网络，通过可训练权重优化凸组合以捕获多频成分，并采用重叠区域分解降低全局优化难度，在求解高频多尺度问题时降低训练成本并提高计算效率。
2026-06-12 cs.NA math.NA
Solving engineering eigenvalue problems with neural networks using the Rayleigh quotient
Aerospace Engineering University of Colorado Boulder（科罗拉多大学博尔德分校航空航天工程系）
本文提出用神经网络离散化特征函数，结合瑞利商变分形式与Gram-Schmidt正交化求解连续特征值问题，并展示其在非规则区域、参数化非线性及高维特征分析中的优势。
2025-06-04 cs.LG cs.NA math.NA
Immersed Boundary Smooth Extension (IBSE): A high-order method for solving incompressible flows in arbitrary smooth domains
University of California, Davis（加州大学戴维斯分校）
本文提出IBSE方法，通过光滑扩展解域到更大计算域，实现高阶精度求解不可压缩Navier-Stokes方程，支持不同离散化方案。
2016-09-13 cs.NA math.NA
Energetic Variational Neural Network Discretizations of Gradient Flows
针对梯度流数值求解的长期稳定性与高维求解难题，提出基于能量耗散定律的保结构神经网络离散算法，先时间后空间离散以提升内存效率，无网格特性支持高维求解，实验验证了其准确性与能量稳定性。
2024-04-12 cs.NA math.NA
A Unified Benchmark of Physics-Informed Neural Networks and Kolmogorov-Arnold Networks for Ordinary and Partial Differential Equations
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；Universidad Complutense de Madrid（马德里康普顿斯大学）
本文比较了基于MLP的PINNs与基于KAN的PIKANs，发现后者在求解微分方程时更准确、收敛更快且梯度估计更优。
2026-02-14 cs.NA math.NA
A New Fast Direct Method For Solving Quasi-Toeplitz System of Equations
提出一种求解三对角拟Toeplitz线性方程组的新型快速直接法，适用于带Neumann边界条件的微分方程和QBD矩阵方程离散化，运行时间优于LU和PLU等经典方法。
2024-12-23 cs.NA math.NA
Design principles for stable and generalizable data-driven discretizations for solving linear hyperbolic conservation laws
Princeton University Atmospheric and Oceanic Sciences Program（普林斯顿大学大气与海洋科学计划）
研究一维线性对流方程的数据驱动有限体积离散化，通过遵循数值分析第一原理构建神经网络方案，探讨归一化、训练数据和架构选择对稳定性、精度和形状保持的影响，并提出新的数据驱动通量限制器。
2026-06-17 cs.NA math.NA
Local and Parallel Finite Element Algorithm Based On Multilevel Discretization for Eigenvalue Problem
Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）
本文提出基于多级离散化的局部并行算法求解特征值问题，通过将最细网格的特征值问题转化为最粗网格的特征值问题和一系列边值问题的解，实现每个处理器计算工作达到最优阶数，提升整体效率。
2014-01-20 cs.NA math.NA
A domain splitting strategy for solving PDEs
在这项工作中，我们开发了一种新的区域分裂策略的解决方案的偏微分方程。针对均匀离散的$d$维对流-扩散方程，我们的建议是一个两级的算法，合并的解决方案，从离散的方程在高度各向异性的子网格计算的初始近似的精细的解决方案。然后，该算法通过利用残差的结构来迭代地细化初始猜测。在各向异性子网格上执行昂贵的计算使我们能够将问题的维度减少一个，并且合并过程（涉及不相交域上的解的计算）允许并行实现。
2023-03-02 cs.NA math.NA
Inducing Point Operator Transformer: A Flexible and Scalable Architecture for Solving PDEs
Alsemy
针对偏微分方程求解中算子学习架构的灵活性与可扩展性难题，提出基于注意力的诱导点算子Transformer（IPOT），通过潜在瓶颈解耦输入输出离散化与处理器，在多类基准和真实场景中取得优异性能。
2023-12-18 cs.AI cs.LG cs.NA
Local discontinuous Galerkin methods with explicit-implicit-null time discretizations for solving nonlinear diffusion problems
Nanjing University of Posts and Telecommunications（南京邮电大学）；Nanjing University（南京大学）；Harbin Engineering University（哈尔滨工程大学）；Brown University（布朗大学）
本文讨论了用于求解一维非线性扩散问题的局部间断Galerkin方法，结合两种显式-隐式-空时间离散化方法。核心思想是通过在偏微分方程右侧添加和减去两个相等的项 $a_0 U_{xx}$，然后将 $a_0 U_{xx}$ 隐式处理，其他项 $(a(U)U_x)_x - a_0 U_{xx}$ 显式处理。通过能量分析对简化模型进行稳定性分析，指导 $a_0$ 的选择，确保一阶和二阶方案的无条件稳定性。还推导了简化模型的最优误差估计，并通过数值实验验证了方案的稳定性、准确性和性能。
2019-03-28 cs.NA math.NA
Solving Hamilton-Jacobi equations by residual minimization of monotone finite-difference discretizations
Université Paris Cité（巴黎西岱大学）；Universidad de Alicante（阿利坎特大学）；The University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）
本文提出了一种求解哈密顿-雅可比方程的新方法，通过最小化残差来保证解的唯一性和稳定性，并扩展到椭圆和抛物型问题，同时提供了后验误差估计和多级预热策略。
2026-07-13 cs.NA math.NA math.OC
Symplectic Runge-Kutta discretization of a regularized forward-backward sweep iteration for optimal control problems
Li，Chen，Tai & E. (J. Machine Learning Research，2018）提出了一种前向-后向扫描迭代的正则化方法，用于解决最优控制问题中的庞特里亚金最大值原理。在连续时间情形下证明了迭代的整体收敛性。在这篇文章中，我们表明，他们的证明可以扩展到辛龙格库塔对数值离散的情况下。我们证明了一个简单的数值实验的收敛性。
2020-08-20 cs.NA math.NA
Prediction of Discretization of GMsFEM using Deep Learning
Texas A&M University（德克萨斯农工大学）；The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）；The University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）
本文提出了一种基于深度学习的多尺度问题求解方法，通过神经网络快速计算GMsFEM的离散化参数，以提高在高对比度多孔介质中的流体模拟效率。
2018-10-29 cs.NA math.NA
Discontinuous Galerkin Methods for Fisher-Kolmogorov Equation with Application to $α$-Synuclein Spreading in Parkinson's Disease
提出基于PolyDG空间离散与Crank–Nicolson时间推进的FK方程数值方法，证明稳定性和误差估计，并用于二维及患者MRI重建三维脑几何中的α-突触核蛋白扩散模拟。
2023-11-02 cs.NA math.NA
General local energy-preserving integrators for solving multi-symplectic Hamiltonian PDEs
在本文中，我们提出并研究了一个一般的方法来构造局部能量保持算法，可以是任意高阶的时间求解哈密顿偏微分方程。该方法基于连续Runge-Kutta型方法的时间离散和伪谱方法或Gauss-Legendre配置法的空间离散。详细分析了新格式的局部能量守恒律。通过耦合非线性薛定谔方程和具有外场的二维非线性薛定谔方程的数值计算，验证了这种新型局部保能积分器的有效性.在数值实验中，我们的新格式与一些经典的多辛和辛格式进行了比较。数值结果表明我们的新格式具有显著的\emph{long-term}特性。
2021-03-30 cs.NA math.NA
A fourth-order unfitted characteristic finite element method for solving the advection-diffusion equation on time-varying domains
提出了一种求解时变区域上对流-扩散方程的四阶非拟合特征有限元法。基于特征Galerkin公式，我们的方法结合了三次MARS方法的界面跟踪，四阶向后微分公式的时间积分，和不适合的有限元法的空间离散。我们的收敛性分析包括离散表示移动边界，跟踪边界标记，空间离散和时间积分的控制方程的错误。在旋转区域和严重变形区域上进行了数值实验，验证了我们的理论结果，并证明了所提出的方法的最佳收敛性。
2022-06-08 cs.NA math.NA
Parallel domain discretization algorithm for RBF-FD and other meshless numerical methods for solving PDEs
本文提出了一种新的与维数无关的并行节点定位算法，该算法能够生成密度可变的节点，适用于无网格数值分析。一个非常有效的顺序算法的基础上泊松磁盘采样并行化共享内存的计算机上使用，如现代工作站与多核处理器。该并行算法使用全局空间索引方法，其数据分为两个级别，这允许一个高效的多线程实现。自举的增加使算法能够使用任何数量的并行线程，同时保持其顺序变体的通用性。我们证明了算法的性能在六个复杂的2-和3-维域，这是非矩形形状或具有不同的节点间距或两者兼而有之。我们执行的算法的运行时分析，以证明它的能力，以达到高的加速比，无论域，并显示如何以及它的规模与16个处理器内核的实验硬件。我们还分析了算法的域形状，质量的点的位置，和各种并行化开销的影响。
2022-02-03 cs.DC cs.NA math.NA
Meshfree method for solving the elliptic Monge-Ampere equation with Dirichlet boundary
本文证明了求解带Dirichlet边界的椭圆Monge-Ampere方程的无网格方法的收敛性，基于紧支撑径向基函数核空间获得L2误差，收敛速率依赖于解正则性、域光滑性及核空间逼近性质。
2023-12-28 cs.NA math.NA
An efficient proximal-based approach for solving nonlocal Allen-Cahn equations
Oak Ridge National Laboratory（橡树岭国家实验室）；Washington University in St. Louis（圣路易斯华盛顿大学）
本文提出一种结合傅里叶配置法与近端算子的高效时空离散化方法，用于求解含非光滑障碍势的非局部Allen-Cahn方程，显著提升计算效率并保证能量稳定性。
2026-09-10 cs.NA math.NA
A Discretization-Accurate Stopping Criterion for Iterative Solvers for Finite Element Approximation
本文介绍了求解由有限元逼近得到的代数方程组的对称迭代法的离散精确停止准则。停止准则由离散化和代数误差估计的评估，这是基于各自的对偶误差估计和两个连续迭代的差异。当代数估计量与离散化估计量具有相同的量值时，终止迭代。本文给出了多重网格$V(1,1)$ -循环和对称Gauss-Seidel迭代法对泊松方程的线性有限元逼近的数值结果。与标准的基于残差的停止准则相比，观察到计算成本的大幅降低。
2019-09-18 cs.NA math.NA
Convergence analysis of neural networks for solving a free boundary system
自由边界问题处理的是偏微分方程系统，其中区域边界是先验未知的。由于这种特殊性，无论是理论上还是数值上求解自由边界问题都是一个挑战。在本文中，我们开发了一种新的方法来解决修改的Hele-Shaw问题的神经网络离散化的基础上。理论上证明了这种离散化的数值解的存在性。我们还通过计算径向对称分支附近的分叉分析所指导的破环解数值验证了这种方法。此外，我们进一步验证了这种方法的能力，通过计算一些非径向对称的解决方案，这是没有任何定理的特点。
2020-12-04 cs.NA math.AP math.NA
L1 scheme for solving an inverse problem subject to a fractional diffusion equation
研究了一类时间分数阶扩散方程反问题的时间离散化。首先，证明了具有谱角$< π/2 $的任意扇形算子的L1格式的收敛性，即对于某些$ π/2 < θ< π$，该算子的预解集包含$ \{z\in\mathbb C\setminus\{0\}:\ |\operatorname{Arg} z|< θ\}$.时间分数阶数$α\in (0, 1)$和误差估计中的常数之间的关系被精确地表征，揭示了L1方案在$ α$接近$ 1 $时是鲁棒的。然后分析了一类分数阶扩散方程的反问题，并给出了该反问题时间离散化的收敛性分析。最后，数值结果证实了理论结果。
2022-01-06 cs.NA math.NA
Geometric multigrid method for solving Poisson's equation on octree grids with irregular boundaries
提出了一种在几何多重网格求解器中包含不规则区域边界的方法。Dirichlet边界条件可以施加在由水平集函数定义的不规则边界上。我们的实现采用四叉树/八叉树网格自适应细化，细胞为中心的离散化和逐点平滑。通过执行线搜索以亚网格分辨率确定边界位置。对于界面附近的网格块，将存储考虑界面的自定义操作符模板。对于远离边界的网格块，使用标准的二阶精度离散化。用几个算例说明了该方法的收敛性、鲁棒性和计算量。
2023-01-25 cs.NA math.NA physics.comp-ph
