A local and parallel algorithm based on the multilevel discretization is proposed in this paper to solve the eigenvalue problem by the finite element method. With this new scheme, solving the eigenvalue problem in the finest grid is transferred to solutions of the eigenvalue problems on the coarsest mesh and a series of solutions of boundary value problems by using the local and parallel algorithm. The computational work in each processor can reach the optimal order. Therefore, this type of multilevel local and parallel method improves the overall efficiency of solving the eigenvalue problem. Some numerical experiments are presented to validate the efficiency of the new method.
Adaptive Multilevel Methods for the Maxwell Eigenvalue Problem
School of Mathematical Sciences, Tongji University（同济大学数学科学学院）；Key Laboratory of Intelligent Computing and Applications (Tongji University), Ministry of Education（教育部智能计算与应用重点实验室（同济大学））
Local Multilevel Preconditioned Jacobi-Davidson Method for Elliptic Eigenvalue Problems on Adaptive Meshes
School of Mathematical Science, Tongji University（同济大学数学科学学院）；Key Laboratory of Intelligent Computing and Applications, Tongji University, Ministry of Education（同济大学教育部智能计算与应用重点实验室）
A Multilevel Newton Iteration Method for Eigenvalue Problems
Memorial University of Newfoundland（纽芬兰纪念大学）；Tianjin University of Finance and Economics（天津财经大学）；Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）
A Multilevel Correction Scheme for Nonsymmetric Eigenvalue Problems by Finite Element Methods
Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）；Beijing Computational Science Research Center（北京计算科学研究中心）；Department of Mathematics, Wayne State University（韦恩州立大学数学系）
Multilevel quasi-Monte Carlo for random elliptic eigenvalue problems II: Efficient algorithms and numerical results
随机偏微分方程本征值问题经常出现在不确定性量化领域，人们试图量化本征值或其本征函数中的不确定性。本文提出了一种计算随机系数椭圆本征值问题最小特征值期望的高效多层拟蒙特卡罗方法（MLQMC）。每个样本评估都需要求解PDE本征值问题，因此在实践中解决这个问题在计算上是非常困难的。我们从四个方面加快了这个期望值的逼近速度：我们使用一个多层次的方差缩减方案，将工作分散到一个层次的有限元网格和截断维上;我们使用QMC方法，有效地计算每一层上的期望值;我们利用参数空间的光滑性，并重用附近QMC点的特征向量，以减少特征值求解器的迭代次数;我们利用两个网格离散计划，以获得一个单一的线性求解的细网格上的特征值。一个基本的MLQMC算法的完整误差分析在配套文件[Gilbert and Scheichl，2022]中给出，因此本文中，我们专注于如何进一步提高效率，并提供理论上的理由，使用附近的QMC点和两个网格的方法。数值结果表明，我们的算法的效率，也表明，我们采用的四种策略是互补的。
Optimization of mesh hierarchies in Multilevel Monte Carlo samplers
KAUST（阿卜杜拉国王科技大学）；Applied Mathematics and Computational Sciences, KAUST（应用数学与计算科学，阿卜杜拉国王科技大学）；MATHICSE-CSQI, EPF de Lausanne（洛桑联邦理工学院）；Department of Mathematical Sciences, University of Delaware（特拉华大学）
Fast multilevel solvers for a class of discrete fourth order parabolic problems
Pacific Northwest National Laboratory（太平洋西北国家实验室）；Southwest Jiaotong University（西南交通大学）；Tufts University（塔夫茨大学）；University of California, Irvine（加州大学尔湾分校）；University of Maryland（马里兰大学）；Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）
Computation of Electromagnetic Fields Scattered From Objects With Uncertain Shapes Using Multilevel Monte Carlo Method
King Abdullah University of Science and Technology (KAUST)（阿卜杜拉国王科技大学）；Nanyang Technological University（南洋理工大学）；KTH Royal Institute of Technology（皇家理工学院）；University of Michigan（密歇根大学）
Oak Ridge National Lab, Climate Change Science Institute (CCSI), Environmental Sciences Division（橡树岭国家实验室气候变化科学研究所环境科学分部）；MATHICSE-CSQI, EPF de Lausanne（洛桑联邦理工学院数学与应用数学中心-复杂系统与量化不确定性研究中心）
Multilevel Sequential Importance Sampling for Rare Event Estimation
稀有事件发生概率的估计是可靠性和风险评估中的一项重要任务。我们考虑的故障事件表示的极限状态函数，这取决于一个偏微分方程（PDE）的解决方案。由于偏微分方程的数值计算是昂贵的，估计这样的概率的失败，蒙特卡罗抽样是棘手的。可靠性分析中更有效的抽样方法，如子集模拟，很受欢迎，但如果PDE评估成本很高，则仍然不可行。在这篇文章中，我们开发了一种新的，高效的估计罕见事件的概率。我们的方法是基于序贯重要性采样器使用离散化的PDE为基础的极限状态函数具有不同的精度。一个双重的自适应算法，确保我们得到一个估计的基础上所需的离散化精度。与[Ullmann，Papaioannou 2015; SIAM/ASA J. Uncertain.数量。3（1）：922-953]，我们的估计克服了嵌套问题。在顺序重要性采样算法中，特别重要的是正确选择MCMC内核。而不是流行的自适应条件采样方法，我们提出了一种新的算法，使用独立的建议，从自适应构造的冯Mises-Fischer-Nakagami分布。该算法分别应用于1D和2D空间中的测试问题，并与多级子集模拟估计量和单级版本的序贯重要性抽样和子集模拟进行比较。
Postprocessing and Higher Order Convergence of Stabilized Finite Element Discretizations of the Stokes Eigenvalue Problem
LSEC, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院计算数学与科学工程计算实验室）；Institute for Analysis and Computational Mathematics, Otto-von-Guericke-University Magdeburg（马格德堡奥托·冯·格里克大学分析与计算数学研究所）
A Symmetry-based Decomposition Approach to Eigenvalue Problems: Formulation, Discretization, and Implementation
Institute of Computational Mathematics and Scientific/Engineering Computing, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院计算数学与科学工程计算研究所）；Graduate University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学）；Institute of Applied Physics and Computational Mathematics（应用物理与计算数学研究所）
