Nonasymptotic Convergence Rate of Quasi-Monte Carlo: Applications to Linear Elliptic PDEs with Lognormal Coefficients and Importance Samplings
King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学）；RWTH Aachen University（亚琛工业大学）
本研究通过准蒙特卡罗方法与重要性采样，改进了对具有对数正态系数的线性椭圆PDE的非渐近收敛速度分析。
2024-08-17 cs.NA math.NA
A Multilevel Monte Carlo Estimator for Matrix Multiplication
受多层蒙特卡罗（MLMC）方法和线性代数问题的随机草图绘制的最新发展的启发，我们提出了一种用于矩阵结构随机数据实时处理的MLMC估计器。我们的算法是特别有效的，在处理高维内积和矩阵乘法，在图像分析和大规模监督学习的应用。
2020-04-29 cs.NA math.NA
Multilevel Monte Carlo theta EM scheme for SDDEs with small noise
Jiangxi University of Finance and Economics（江西财经大学）；Swansea University（斯旺西大学）
本文提出了一种用于小噪声随机微分延迟方程的多级蒙特卡洛θEM方案，在全局利普希茨条件下推导了两个耦合路径的方差，随后通过单侧利普希茨条件保证数值方案的矩有限性，并提出改进的多级蒙特卡洛θEM方案估计两个耦合路径的二阶矩。
2019-04-16 cs.NA math.NA
Multilevel Monte-Carlo for measure valued solutions
ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）
本文提出多级蒙特卡洛方法用于求解双曲守恒律的熵测度值解，推导了窄收敛的精确界，并展示了MLMC在效率上的表现。
2016-11-23 cs.NA math.NA
Multilevel Monte Carlo methods for highly heterogeneous media
University of Bath（巴斯大学）
研究多层蒙特卡罗方法在随机系数椭圆偏微分方程中的应用，扩展分析至张量值系数和点评估，并涵盖对数正态随机系数。
2012-06-07 cs.NA math.NA
An adaptive multilevel Monte Carlo algorithm for the stochastic drift-diffusion-Poisson system
提出了一种求解具有非零复合率的随机漂移-扩散-Poisson系统的自适应多层Monte Carlo算法。估计后验误差以使得能够针对空间维度进行面向目标的自适应网格细化，而估计先验误差以保证$H^1$误差的\red{linear}收敛。在自适应网格细化中，误差指示符的有效估计产生更好的差错控制。对于随机维数，我们使用多层蒙特卡罗方法来解决这个系统的随机偏微分方程。最后，这里开发的技术相比，均匀网格细化的优势进行了讨论，使用一个现实的数值例子。
2020-05-22 cs.NA math.NA
Goal-Oriented Adaptive Finite Element Multilevel Monte Carlo with Convergence Rates
我们提出了一个自适应多级蒙特卡罗（AMLMC）算法近似确定性，实值，有界线性泛函，依赖于线性椭圆PDE的解决方案与对数正态扩散系数和几何奇点在有界域的$\mathbb{R}^d$。我们的AMLMC算法建立在工作中弱收敛速度的结果之上[Moon等人，BIT编号数学、46（2006），367-407]，用于使用等参d线性四边形有限元逼近和确定性设置中的双加权残差误差表示的自适应算法。为了适应解决方案中的奇点的几何性质，我们的AMLMC算法使用一系列确定性的，非均匀的辅助网格作为构建块。确定性自适应算法生成这些网格，对应于公差的几何递减序列。对于一个给定的实现的扩散系数和精度水平，AMLMC构造其近似样本使用的层次结构中的第一个网格，满足相应的偏差精度约束。这种自适应的方法是特别有用的对数正态的情况下，这里处理，缺乏统一的双折射率，从而产生的功能输出，不同的数量级时，采样。我们讨论迭代求解器，并比较其效率与直接的。为了减少计算工作，我们提出了一个停止标准的迭代求解器的数量的利益，实现的扩散系数，和所需的AMLMC近似水平。从数值实验中，基于傅立叶展开的系数场，我们观察到改进的效率相比，标准的蒙特卡罗和标准MLMC的一个问题与奇异性类似的尖端的狭缝建模裂纹。
2022-08-17 cs.NA math.NA
Adaptive Multilevel Monte Carlo Methods for Stochastic Variational Inequalities
Freie Universität Berlin（柏林自由大学）
本文提出基于确定性自适应网格细化的自适应多级蒙特卡罗有限元方法，用于求解路径问题，并通过数值实验验证了方法的理论和效率。
2017-12-19 cs.NA math.NA
Multilevel Monte Carlo Finite Volume Methods for Random Conservation Laws with Discontinuous Flux
我们考虑具有不连续通量的守恒律，其中初始数据、通量函数和不连续空间依赖系数都是随机的。我们建立了一个随机适应熵解的概念，这些方程，并证明了适定性，提供的空间依赖系数是分段常数与许多不连续。特别是，所考虑的设置允许通量在空间中的许多位置不确定的点上变化。我们提出了一个单一的和多级的蒙特卡罗方法的基础上，每个样品的有限体积近似。我们的分析包括收敛速度估计所产生的Monte Carlo和多级Monte Carlo有限体积法，以及错误与工作率表明，多级变量优于单级方法的效率。我们提出了数值实验的动机，两相油藏模拟油藏不同的地质性质。
2020-08-21 cs.NA math.NA
Quasi-Monte Carlo and Multilevel Monte Carlo Methods for Computing Posterior Expectations in Elliptic Inverse Problems
本文研究了在椭圆逆问题中利用准蒙特卡洛和多级蒙特卡洛方法计算后验期望的收敛性和复杂度分析，通过数值模拟验证了方法的有效性。
2017-03-02 cs.NA math.NA
A Multilevel Monte Carlo Virtual Element Method for Uncertainty Quantification of Elliptic Partial Differential Equations
Politecnico di Milano（米兰理工大学）；University of Vienna（维也纳大学）
本文提出一种基于虚拟元离散化的多级蒙特卡洛虚拟元方法，用于求解具有随机扩散系数的椭圆偏微分方程，通过减少最细层级所需样本数来降低计算成本，验证了方法的收敛性和效率。
2026-04-15 cs.NA math.NA
Estimation of distributions via multilevel Monte Carlo with stratified sampling
我们设计并实现了一种新的算法，用于计算一个多层次的蒙特卡罗（MLMC）估计的累积分布函数的数量的兴趣与随机输入参数或初始条件的问题。我们的方法结合了一个标准的MLMC方法与分层抽样取代标准的Monte Carlo在每一个水平与分层Monte Carlo比例分配。我们表明，分层MLMC算法是更有效的比其标准MLMC对应，由于在每个级别的随机参数的域的分层提供的方差减少。基于核密度估计的指示函数的平滑近似与通常使用的多项式平滑相比产生更有效的算法。平滑方法之间的计算成本差异取决于所需的误差容限。
2019-06-12 cs.NA math.NA
Further analysis of multilevel Monte Carlo methods for elliptic PDEs with random coefficients
University of Bath（巴斯大学）；University of Oxford（牛津大学）
针对缺乏一致椭圆性和有界性的随机系数椭圆PDE，扩展有限元误差分析至非光滑域和系数不连续情形，证明多层蒙特卡罗算法对解的有界线性泛函和连续Fréchet可微非线性泛函的收敛性，并通过引入层级依赖的Karhunen-Loève展开截断改进性能。
2012-04-16 cs.NA math.NA
Analysis of nested multilevel Monte Carlo using approximate Normal random variables
多层蒙特卡罗（MLMC）方法已被用于各种各样的随机应用。在本文中，我们考虑它的使用的情况下，输入随机变量可以被替换为类似的近似随机变量，可以更便宜地计算。采用嵌套MLMC方法，其中近似随机变量的两级处理嵌入在标准MLMC应用程序中。我们分析所得到的嵌套MLMC方差在特定的上下文中，正常的随机变量可以被替换为近似正常的随机变量的离散化，并提供数值结果来支持分析。
2021-02-16 cs.NA math.NA
Multilevel Asymptotic-Preserving Monte Carlo for Particle Simulations
发展了一种新的多层渐近保持蒙特卡罗方法，称为多层动力学扩散蒙特卡罗（ML-KDMC），用于模拟动力学Boltzmann输运方程和Bhatnagar-Gross-Krook（BGK）碰撞算子.例如，这个方程出现在核聚变反应堆等离子体边缘中性粒子的数学模型中。在这种情况下，动力学扩散蒙特卡罗方法是已知的，以保持在低碰撞和高碰撞限制的准确性，而没有爆炸的模拟成本在后者。我们表明，通过将这种方法置于多级蒙特卡罗（MLMC）框架内，使用更大的时间步长的层次结构，仿真成本进一步降低。在我们的ML-KDMC方法的不同水平连接通过一个新的和改进的配方相关的粒子轨迹与不同的时间步长。此外，一个新的和更一般的水平选择策略。我们说明了我们的ML-KDMC方法的效率，将其应用到一个一维的测试用例与非均匀和各向异性等离子体背景。我们的方法产生显着的加速比单级KDMC计划，无论是在低碰撞和高碰撞制度。在高碰撞的情况下，我们的ML-KDMC优于单级KDMC方法的几个数量级。
2020-10-22 cs.NA math.NA
Improved Multilevel Monte Carlo Methods for Finite Volume Discretisations of Darcy Flow in Randomly Layered Media
University of Nottingham（诺丁汉大学）；University of Warwick（华威大学）
本文研究了多级蒙特卡罗方法在随机多孔介质中稳态达西流的应用，通过有限体积离散化方法和新的收敛性结果，提出了一种基于代数多网格方法和Coarse Grid Variates变方差技术的最优实现。
2015-06-15 cs.NA math.NA
Nested Multilevel Monte Carlo with Preintegration for Efficient Risk Estimation
Tsinghua University（清华大学）
本文提出结合预积分的嵌套多级蒙特卡洛方法，通过预积分消除指示函数的不连续性并降低计算成本，理论分析证明其收敛速率达-1，优于标准多级蒙特卡洛的-1/2，且能处理高峰度现象。
2026-04-03 cs.NA math.NA
A Multilevel Monte Carlo Ensemble Scheme for Solving Random Parabolic PDEs
University of Electronic Science and Technology of China（电子科技大学）；Sichuan University（四川大学）；University of South Carolina（南卡罗来纳大学）
本文提出一种高阶时间精度的多级蒙特卡洛集合方法，用于求解随机抛物偏微分方程，通过多级蒙特卡洛方法降低计算成本并验证了方法的收敛性。
2018-02-15 cs.NA math.NA
A Hierarchical Multilevel Markov Chain Monte Carlo Algorithm with Applications to Uncertainty Quantification in Subsurface Flow
Lawrence Livermore National Laboratory（劳伦斯利弗莫尔国家实验室）
针对高维参数空间大规模应用中马尔可夫链蒙特卡洛方法计算成本过高的问题，提出一种新的多级Metropolis-Hastings算法，通过理论分析和数值实验证明其相比标准算法可降低一个数量级以上的计算成本。
2015-08-10 cs.NA math.NA
Multilevel Quasi-Monte Carlo for Optimization under Uncertainty
研究了具有不确定对数正态扩散系数的椭圆型偏微分方程的平均跟踪误差的优化问题。特别地，研究了多层拟蒙特卡罗方法（MLQMC）在梯度估计中的应用，并采用循环嵌入方法对随机场进行采样。伴随变量的一种新的规律性分析是必不可少的MLQMC估计的梯度结合使用CE方法产生的样本。严格的成本和误差分析表明，随机移位拟蒙特卡罗方法方法导致比普通蒙特卡罗方法更快的梯度均方根误差衰减速率，同时考虑多个水平大大减少了计算工作量。数值实验证实了改进的收敛速率，并表明MLQMC方法优于多层蒙特卡罗方法和单层拟蒙特卡罗方法方法。
2021-09-29 cs.NA math.NA math.OC
Single-ensemble multilevel Monte Carlo for discrete ensemble Kalman methods
本文将 Hoel 等人用于集合卡尔曼滤波的单集合 MLMC 估计推广到更广泛的离散集合卡尔曼方法，以降低高精度计算成本。
2025-02-17 cs.NA math.NA
On the effective dimension and multilevel Monte Carlo
我考虑在$d$维单位立方体上积分函数$f$的问题。我描述了一个多层次的蒙特卡罗方法，估计在最多$ε^{2}$在$O(d+\ln(d)d_{t}ε^{-2})$时间，为$ε>0$，其中$d_{t}$是截断维数的$f$的积分方差。相比之下，标准蒙特卡罗方法通常在$O(dε^{-2})$时间内实现这种变化。给出了一类多层蒙特卡罗方法$d+d_{t}ε^{-2}$阶数下界。
2021-11-05 cs.NA math.NA stat.CO
Multilevel Markov Chain Monte Carlo with likelihood scaling for Bayesian inversion with high-resolution observations
本文提出一种结合似然缩放的多层MCMC方法，用于高分辨率数据下PDE随机场参数的贝叶斯反演，在保持与层级无关方法相同收敛速率的同时显著降低计算成本，并通过二维平面应力问题验证了有效性。
2025-01-09 cs.NA math.NA
Efficient risk estimation via nested multilevel quasi-Monte Carlo simulation
我们考虑的问题估计的概率从一个金融投资组合，未来的损失表示为一个条件期望的大损失。由于条件期望在大多数情况下是难以处理的，因此可以求助于嵌套模拟。为了降低嵌套模拟的复杂度，本文提出了一种结合多层蒙特卡罗（MLMC）和拟蒙特卡罗方法（QMC）的方法。在外部模拟中，我们使用蒙特卡罗来生成金融场景。在内部模拟中，我们使用QMC来估计每种情景下的投资组合损失。我们证明了在粗嵌套模拟和多层嵌套模拟中，使用QMC可以加快收敛速度。在一定条件下，通过引入QMC，MLMC的复杂度可以降低到$O(ε^{-2}(\log ε)^2)$。另一方面，由于指示函数的存在，MLMC遇到了灾难性的耦合问题。为了弥补这一点，我们提出了一个平滑MLMC方法，它使用逻辑S形函数近似指示函数。数值结果表明，当使用QMC方法在MLMC和光滑MLMC，即使在中等高的维度几乎达到最佳的复杂性$O(ε^{-2})$。
2020-11-24 cs.NA math.NA
Recycling Samples in the Multigrid Multilevel (Quasi-)Monte Carlo Method
KU Leuven（荷语鲁汶大学）
本文探讨了利用准蒙特卡洛点加速收敛的方法，并改进了方差估计，通过椭圆PDE与对数正态扩散系数的例子展示了样本回收在非光滑随机场中的高效性。
2018-06-14 cs.NA math.NA
A Multilevel Monte Carlo Asymptotic-Preserving Particle Method for Kinetic Equations in the Diffusion Limit
本文提出了一种基于粒子的动力学方程渐近保持格式的多层蒙特卡罗方法。动力学方程模拟粒子在位置-速度相空间中的传输和碰撞。在扩散标度下，动力学方程在零平均自由程极限下收敛为平流-扩散方程，经典的粒子技术在此极限下受到严格的时间步长限制.渐近保持方案提供了一个解决方案，这个时间步长的限制，但引入一阶误差的时间步长。我们演示了如何多层次的蒙特卡罗方法可以被用来作为一个偏差减少技术进行准确的模拟扩散制度，同时利用降低模拟成本的渐近保持计划。我们描述了如何实现必要的相关性，在不同的级别的模拟路径，并通过数值实验证明该方法的潜力。
2020-05-20 cs.NA math.NA
Multilevel Double Loop Monte Carlo and Stochastic Collocation Methods with Importance Sampling for Bayesian Optimal Experimental Design
一个最佳的实验设置最大限度地提高数据的价值，统计推断和预测。寻找最佳实验设置的策略的效率对于耗时或昂贵的实验尤为重要。例如，在实验由偏微分方程（PDE）建模的情况下，多层方法已被证明在估计期望值时显著降低其单级对应物的计算复杂性。对于偏微分方程可以模拟实验的设置，我们提出了两个多层方法来估计一个流行的设计标准，称为预期的信息增益在基于模拟的贝叶斯最优试验设计。期望信息增益准则是一种嵌套的期望形式，只有少数多层方法已被提出用于这种形式的问题。我们提出了一个多级双环蒙特卡罗（MLDLMC），这是一个多层次的策略与双环蒙特卡罗（DLMC），和一个多级双环随机配置（MLDLSC），它执行一个高维的积分稀疏网格上的确定性求积。对于这两种方法，拉普拉斯近似用于重要性抽样，大大减少了估计内部期望的计算工作。方法参数的最优值通过最小化平均计算工作来确定，服从于满足期望的误差容限。的计算效率的方法证明，通过估计预期的信息增益贝叶斯推断的纤维取向的复合材料层压材料从电阻抗断层扫描实验。MLDLSC表现优于MLDLMC时，感兴趣的量的规律性，相对于加性噪声和未知参数，可以利用。
2020-02-03 cs.NA math.NA
$hp$-Multilevel Monte Carlo Methods for Uncertainty Quantification of Compressible Flows
本文提出了一种新的$hp$ -多层蒙特卡罗方法，用于可压缩Navier-斯托克斯方程中不确定性的量化，并采用间断Galerkin方法作为确定性求解器。多级方法利用均匀加细网格的层次结构，同时增加反空间的多项式次数。它允许在物理空间中有非常大的分辨率范围，从而有效地减少统计误差。我们证明了整体复杂性的$hp$ -多级蒙特卡罗方法计算的平均场与规定的精度，在最好的情况下，二次秩序的准确性。我们还提出了一种新颖而简单的方法来估计每个水平的最佳样本个数的置信下限，这有助于防止高估这些数量。该方法特别地被设计用于基于并行计算的计算系统上的应用，其中期望在一次迭代期间计算大量的样本样本个数，而不高估样本的最佳样本个数。我们的理论结果通过二维可压缩Navier-斯托克斯方程的数值实验得到了验证。特别是，我们认为从计算声学空腔流问题，证明该方法是适合于处理复杂的工程问题。
2020-08-21 cs.NA math.NA
Multilevel quasi-Monte Carlo for random elliptic eigenvalue problems I: Regularity and error analysis
随机PDE本征值问题是用于量化来自物理科学和工程的若干应用中的不确定性的有用模型，例如，结构振动分析，核反应堆或光子晶体结构的临界性。本文提出了一种多层拟蒙特卡罗方法（MLQMC）来逼近系数为可数个随机参数的级数展开式的椭圆型本征值问题的最小特征值的期望. MLQMC算法是基于空间域的离散化和随机参数域的维度截断的层次结构。为了近似的期望，随机移位的晶格规则。本文主要致力于对该算法的误差进行严格的分析。误差分析的一个关键步骤是同时确定特征函数关于随机变量和空间变量的混合导数的界。在更强的光滑性假设下，我们的分析也扩展到多级高阶拟蒙特卡罗方法规则。一个附带的文件[吉尔伯特和Scheichl，2022年]，侧重于MLQMC算法的实际扩展，以提高效率，并提出了数值结果。
2022-10-06 cs.NA math.NA
Multilevel Hierarchical Decomposition of Finite Element White Noise with Application to Multilevel Markov Chain Monte Carlo
在这项工作中，我们开发了一种新的分层多级方法来生成高斯随机场实现的算法可扩展的方式，非常适合纳入多级马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）算法。这种方法建立在用于生成高斯随机场实现的其他偏微分方程（PDE）方法的基础上;特别地，可以通过求解具有空间白噪声源函数作为右侧的反应扩散PDE来形成单个场实现。虽然已经探索了这些方法来加速前向不确定性量化任务，例如多级蒙特卡罗，但是先前的构造不直接适用于多级MCMC框架，该框架以分级方式从粗尺度随机场构建细尺度随机场。我们的新的分层多层方法依赖于$L^2$中的白噪声源函数的分层分解，这使得我们能够以适合多级MCMC算法框架的方式在多个离散化级别上形成高斯随机场实现。在给出我们的主要理论结果和数值缩放结果以展示这种新的分层PDE方法用于生成高斯随机场实现的效用之后，该方法在四层MCMC算法上进行测试以探索其可行性。
2021-03-03 cs.NA math.NA stat.CO
A highly parallel algorithm for computing the action of a matrix exponential on a vector based on a multilevel Monte Carlo method
提出了一种计算矩阵指数在向量上作用量的新算法。该算法是基于多级蒙特卡罗方法，和向量的解决方案计算概率生成合适的随机路径，通过矩阵的指数，根据一个合适的概率定律演变。计算复杂性在本文中被证明是显着优于经典的蒙特卡罗方法，它允许计算更精确的解决方案。此外，在实践中，利用该算法在并行性方面的积极特点，开发出一个高度可扩展的实现，能够非常有效地解决一些测试问题，使用高性能超级计算机配备了大量的核心。对于共享内存架构的特定情况下，该算法的性能进行了比较，使用现有的Krylov为基础的算法，优于后者在所有的基准测试分析到目前为止。
2019-07-04 cs.NA math.NA
Multilevel Monte Carlo learning
在这项工作中，我们研究了函数量的期望值对随机微分方程（ESDs）的解的近似，其中我们用深度神经网络的评估代替Monte Carlo估计。一旦完成神经网络训练，对所得到的逼近函数的评估在计算上是高效的，使得使用深度神经网络来代替昂贵的蒙特卡罗积分是有吸引力的，例如，用于定量金融中的近实时计算。然而，这些如今广泛传播的想法的缺点在于训练合适的神经网络在计算成本方面可能是令人望而却步的。我们在这里通过引入一种多级方法来训练深度神经网络来解决这个缺点。更准确地说，我们将Beck等人介绍的深度学习算法与Giles的多级Monte Carlo路径模拟的思想相结合。这个想法是训练几个神经网络，每个神经网络都有一定的近似质量和计算复杂性，训练数据从所谓的水平估计器计算，由Giles介绍。我们表明，在某些假设下，训练过程中的方差可以通过将大部分计算工作量转移到粗层次的神经网络训练来减少，其中产生训练数据集是非常便宜的，而训练对应于细层次的神经网络只需要有限数量的训练数据集。我们制定的复杂性定理表明，多级的想法确实可以降低计算复杂性。
2021-02-17 cs.NA math.NA
A multilevel Monte Carlo method for asymptotic-preserving particle schemes in the diffusive limit
粒子在位置-速度相空间中分布的动力学方程。通常，人们对研究高碰撞区域中粒子的长时间行为感兴趣，其中近似（平流）扩散模型成立。在本文中，我们考虑扩散标度。经典的基于粒子的技术在这个限制中受到严格的时间步长限制，以保持稳定性。渐近保持方案避免了这个问题，但是引入了额外的时间离散化误差，可能导致对于较大的时间步长的不可接受的大偏差。在这里，我们提出并分析了一个多层次的蒙特卡罗计划，减少这种偏见相结合的估计，使用不同的时间步长的层次结构。我们演示了如何从这个计划相关的轨迹，使用不同的时间步长。我们还提出了一个策略，选择在多层格式的水平。我们的方法显着减少了所需的计算进行精确的模拟所考虑的动力学方程，相比经典的蒙特卡罗方法。
2021-05-14 cs.NA math.NA
A multilevel Monte Carlo method for computing failure probabilities
Uppsala University（乌普萨拉大学）；Chalmers University of Technology and University of Gothenburg（查尔摩斯理工大学和哥德堡大学）
本文提出并分析了一种计算由数值确定性模型（如PDE）建模系统失效概率的方法，结合了分位数估计和多级蒙特卡罗方法，减少计算成本而不损失精度。
2014-08-28 cs.NA math.NA
Multilevel higher order Quasi-Monte Carlo Bayesian Estimation
本文提出并分析了多级确定性方法，用于求解具有不确定分布参数的算子方程的贝叶斯反演问题，通过高阶拟蒙特卡洛方法和Petrov-Galerkin方法提高计算效率。
2016-11-24 cs.NA math.NA
Scale-invariant Monte Carlo and multilevel Monte Carlo estimation of mean and variance: An application to simulation of linear elastic bone tissue
Technische Universität Braunschweig（布伦瑞克工业大学）；University of Twente（特温特大学）
本文提出了一种标量不变的误差估计方法，用于高效估计线性弹性骨组织模拟中的均值和方差，通过归一化误差估计优化多级蒙特卡洛计算成本。
2025-12-08 cs.CE cs.NA math.NA
Multilevel Monte Carlo Simulations of Composite Structures with Uncertain Manufacturing Defects
通过采用多级蒙特卡罗（MLMC）框架，我们表明，只有少数昂贵的细尺度计算需要准确地估计统计的复合结构的故障，而不是在经典的蒙特卡罗分析通常需要数千。我们介绍了MLMC方法，比较其理论复杂性与经典的Monte Carlo，并给出了一个简单的实现算法，其中包括一个单扩张称为MLMC与选择性细化有效地计算结构失效概率。为了证明巨大的计算收益，我们提出了两个基准问题的复合材料：（1）纤维波度对复合材料的压缩强度的影响，（2）不确定的铺层方向的复合材料面板的不确定屈曲性能。对于我们最具挑战性的测试用例，估计复合材料板屈曲失效的罕见（$\sim 1/150$）概率，我们看到了加速因子$> 1000$。我们的方法分布在$1024$处理器上，将计算时间从$218$天减少到仅$4.5$小时。这种水平的加速使随机模拟，否则将是不可想象的，现在可能。
2019-07-24 cs.NA math.NA
Smoothed Circulant Embedding with Applications to Multilevel Monte Carlo Methods for PDEs with Random Coefficients
针对带随机系数偏微分方程的MLMC方法在高振荡随机场下计算复杂度高的问题，提出集成于循环嵌入的平滑技术，可独立于随机场相关长度选择最粗网格，实际精度下计算成本降低5-10倍。
2024-12-11 cs.NA math.NA
Numerical analysis of lognormal diffusions on the sphere
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；Chalmers University of Technology（查尔姆斯理工大学）；University of Gothenburg（哥德堡大学）
本文研究了单位球面上静止扩散方程的数值解，通过获得各向同性高斯随机场的Hölder正则性，将其与驱动的对数正态系数的正则性联系起来，从而在Sobolev空间中获得解的L^p正则性。随后推导了多级蒙特卡洛有限元和谱元离散化方法的收敛率估计，并通过数值实验验证了理论结果。
2016-11-01 cs.NA math.NA math.PR
h- and p-refined Multilevel Monte Carlo Methods for Uncertainty Quantification in Structural Engineering
实际的结构工程问题往往具有显著的不确定性。历史上，解释这种不确定性的流行方法之一是标准蒙特卡罗（MC）方法。最近，改进的采样方法已被提出，基于方差减少的想法，通过采用网格细化的层次。我们结合了h-和p-细化层次与多级蒙特卡罗（MLMC）和多级拟蒙特卡罗（MLQMC）方法。我们调查这些新的组合方法的适用性上的三个结构工程问题，其中的不确定性驻留在杨氏模量：静态响应的悬臂梁的弹性材料的行为，其静态响应与弹塑性行为，其动态响应与弹性行为。该不确定性通过从单变量Gamma分布采样的一个随机变量或从Gamma随机场采样的多个随机变量来建模。这个随机场的结果从截断Karhunen-Loève（KL）展开。在本文中，我们比较了这些蒙特卡罗方法的计算成本。我们证明，MQLMC和MLMC有一个显着的加速MC，无论使用的网格细化层次结构。我们的经验表明，MLQMC成本是最佳比例的1/1/2，在某些条件下，其中1/2是对均方根误差（RMSE）的公差。此外，我们表明，当不确定性被建模为一个随机场，与p-细化相结合的多级方法有一个显着的计算成本比他们的同行基于h-细化。我们还说明了效果的不确定性模型上的不确定性界的解决方案。
2019-06-25 cs.NA math.NA
Construction of a Mean Square Error Adaptive Euler--Maruyama Method with Applications in Multilevel Monte Carlo
King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学）；University of Oslo（奥斯陆大学）
本文基于均方误差展开构造了自适应欧拉-马尔可夫方法，并将其应用于多级蒙特卡洛方法中，以高效解决低正则性问题，实验证明该方法在低正则性问题中性能显著优于均匀时间步长方法。
2015-07-15 cs.NA math.NA
A full multigrid multilevel Monte Carlo method for the single phase subsurface flow with random coefficients
地下渗流通常受到不确定的多孔介质结构的影响。然而，在大多数情况下，我们对多孔介质的性质只有部分的了解。一种常用的方法是将多孔介质的不确定性参数建模为随机场，然后用蒙特卡罗方法计算感兴趣量（QoI）的统计矩（如期望）。在这项研究中，我们开发了一个完整的多重网格多级蒙特卡罗（FMG-MLMC）方法，以加快随机参数对单相多孔流的影响的评估。一般而言，MLMC方法应用一系列分辨率递增的离散化，并计算每个离散化的QoI。有效的方差缩减是该方法的成功之处。我们利用MLMC和多重网格方法的类似层次，并获得粗网格$Q^c_l$上的解决方案作为副产品的细网格$Q^f_l$上的每个级别$l$的完整的多重网格解决方案。在这项工作中考虑的情况下，由于粗网格样本保存的计算节省是渐进的$20\%$。此外，蒙特卡罗和拟蒙特卡罗方法（QMC）的比较表明，在本研究中，后者的估计方差较小，收敛速度较快。
2019-10-10 cs.NA math.NA
Multilevel Monte Carlo estimators for elliptic PDEs with Lévy-type diffusion coefficient
扩散系数在空间上不连续的一般椭圆型方程可作为非均质或裂隙多孔介质中地下渗流的简化模型。在这样的模型中，数据稀疏性和测量误差经常被考虑到的随机化的扩散系数的椭圆型方程，揭示了灵活的，空间不连续的随机场的建设的必要性。从属高斯随机场是高维参数域上的随机函数，具有样本路径不连续和分布灵活性。本文考虑一类随机椭圆型偏微分方程，其中扩散系数中存在间断的从属高斯随机场。构造了求解随机椭圆型偏微分方程的多层蒙特卡罗（MLMC）有限元法。我们证明了一个标准的MLMC估计和一个修改的MLMC -控制变量估计的先验收敛性，并验证了我们的结果在各种数值例子。
2021-08-12 cs.NA math.NA
Space-time multilevel quadrature methods and their application for cardiac electrophysiology
我们提出了一种新的方法，旨在高性能的心脏电生理模拟的不确定性量化。采用单域方程来模拟心脏细胞内的跨膜电位，我们评估了心脏纤维的空间相关扰动对所产生的感兴趣的量的统计的影响。我们的方法依赖于多层次的积分方法，并行迭代求解器和时空有限元离散的紧密结合，允许在空间，时间和随机的完全并行化的框架。广泛的数值研究，以评估收敛速度和比较经典的蒙特卡罗方法，如标准蒙特卡罗（MC）和拟蒙特卡罗方法（QMC），以及多级策略，即多级蒙特卡罗（MLMC）和多级拟蒙特卡罗方法（MLQMC）的嵌套网格层次的性能。最后，我们采用了最近提出的非嵌套网格的多层次方法的变体来处理一个现实的心脏几何形状。
2021-05-05 cs.CE cs.NA math.NA
Multilevel Markov Chain Monte Carlo Method for High-Contrast Single-Phase Flow Problems
Texas A&M University（德克萨斯农工大学）；University of California, Riverside（加州大学河滨分校）
本文提出了一种用于高对比单相流问题不确定性量化的新框架，结合了广义多尺度有限元方法和多级蒙特卡罗方法，通过多级采样减少计算成本并提高精度。
2014-02-20 cs.NA math.NA
Multilevel Monte Carlo on a high-dimensional parameter space for transmission problems with geometric uncertainties
Technical University of Munich（慕尼黑工业大学）
本文研究了高维参数空间中非光滑依赖量的多级蒙特卡洛方法，通过分析解的正则性，提出在L1范数下有限元离散化的收敛性结果，并确定样本在多级蒙特卡洛中的最优分布。
2017-06-25 cs.NA math.NA
Divergence of the multilevel Monte Carlo Euler method for nonlinear stochastic differential equations
University of Munich (LMU)（慕尼黑大学）；Princeton University（普林斯顿大学）；Goethe University Frankfurt am Main（法兰克福歌德大学）
本文发现多层蒙特卡洛欧拉方法在非线性随机微分方程中发散，而经典蒙特卡洛方法收敛，并提出结合驯化欧拉方法以恢复收敛性。
2013-09-10 cs.NA math.NA math.PR
A Dynamical Low-rank Multilevel Monte Carlo Estimator for High-Dimensional Kinetic Equations
Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）；Norwegian University of Life Sciences（挪威生命科学大学）；Delft University of Technology (TU Delft)（代尔夫特理工大学）
针对高维动力学方程，提出基于概率秩自适应动力低秩时间积分器的低秩多层蒙特卡罗估计器，通过空间细化确保低秩误差低于空间离散误差，数值实验验证了有效性。
2026-06-29 cs.NA math.NA
Multilevel Ensemble Transform Particle Filtering
Imperial College London（帝国理工学院）；Universität Potsdam（波茨坦大学）；University of Reading（雷丁大学）
本文将多级蒙特卡洛方差减少技术扩展到非线性滤波，通过集合变换粒子滤波方法实现多级蒙特卡洛，利用最优传输方法恢复粗细集合间的相关性，从而降低估计方差，实验展示了该方法在集合传播中的高效性。
2016-02-23 cs.NA math.NA
Multilevel Monte Carlo methods for positivity-preserving approximations of the Heston 3/2-model
本文针对金融领域Heston 3/2模型的期望逼近问题，提出显式无条件保正的Milstein型离散格式，证明其非全局利普希茨下的一阶均方收敛性，验证了多层蒙特卡洛方法的$\mathcal{O}(\varepsilon^{-2})$最优复杂度，数值结果与理论一致。
2024-03-09 cs.NA math.NA
Multilevel Monte Carlo for the Feynman-Kac Formula for the Laplace Equation
ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）；PSI（保罗谢勒研究所）
本文探讨了利用费曼-科茨公式将偏微分方程转化为随机过程，并通过Walk on Sphere算法生成随机路径，研究多级蒙特卡洛方法在拉普拉斯方程中的应用及扩展可能性。
2014-01-16 cs.NA math.NA math.PR
Multilevel Adaptive Sparse Grid Quadrature for Monte Carlo models
Freie Universität Berlin（柏林自由大学）
本文提出了一种多级自适应稀疏网格求积方法，用于计算由蒙特卡罗模型隐式定义的积分，通过利用不同采样精度层级来降低计算成本，相比单级方法有显著提升。
2019-02-15 cs.NA math.NA stat.CO
Scalable Multilevel Monte Carlo Methods Exploiting Parallel Redistribution on Coarse Levels
Lawrence Livermore National Laboratory（劳伦斯利弗莫尔国家实验室）；Portland State University（波特兰州立大学）
本文提出了一种可扩展的多级蒙特卡洛方法，通过并行重分布技术提升粗化层次的计算效率。
2024-08-05 cs.NA math.NA
Multilevel Monte Carlo estimation of the expected value of sample information
本文研究了样本信息期望值的蒙特卡罗估计，它衡量了在不确定性条件下获得额外信息对决策的预期效益。EVSI被定义为嵌套期望，其中外部期望是关于一个随机变量$Y$的，内部条件期望是关于另一个随机变量$θ$的。尽管嵌套（马尔可夫链）蒙特卡罗估计器经常用于此背景下，但众所周知，$\varepsilon$的均方根精度是以$O(\varepsilon^{-2-1/α})$为代价实现的，其中$α$表示偏差的收敛阶数，通常介于$1/2$和$1$之间。在这篇文章中，我们提出了一种新的有效的蒙特卡罗估计EVSI应用多级蒙特卡罗（MLMC）方法。而不是固定的内部样本的数量$θ$在嵌套蒙特卡罗估计，我们认为内部样本的数量上的几何级数，这产生了一个层次的内部条件期望的估计，随着近似水平的增加。基于一个初等的伸缩和，我们的MLMC估计是由内部条件期望上逐次逼近水平差的Monte Carlo估计之和给出的。我们表明，在一组假设的决策和信息模型，逐次逼近水平是紧密耦合的，这直接证明了我们的MLMC估计提高了必要的计算成本，以最佳的$O(\varepsilon^{-2})$。数值实验证实了相当大的计算节省相比，嵌套蒙特卡罗估计。
2020-08-18 cs.NA math.NA
