Nodal Representations for Kernel-Based Multilevel Interpolation
University of Bayreuth（拜罗伊特大学）
针对散乱数据逼近，提出核方法多层插值的节点表示，显式依赖目标函数值，证明基函数指数衰减，并分析计算成本。
2026-06-16 cs.NA math.NA
Multilevel Monte Carlo estimation of the expected value of sample information
本文研究了样本信息期望值的蒙特卡罗估计，它衡量了在不确定性条件下获得额外信息对决策的预期效益。EVSI被定义为嵌套期望，其中外部期望是关于一个随机变量$Y$的，内部条件期望是关于另一个随机变量$θ$的。尽管嵌套（马尔可夫链）蒙特卡罗估计器经常用于此背景下，但众所周知，$\varepsilon$的均方根精度是以$O(\varepsilon^{-2-1/α})$为代价实现的，其中$α$表示偏差的收敛阶数，通常介于$1/2$和$1$之间。在这篇文章中，我们提出了一种新的有效的蒙特卡罗估计EVSI应用多级蒙特卡罗（MLMC）方法。而不是固定的内部样本的数量$θ$在嵌套蒙特卡罗估计，我们认为内部样本的数量上的几何级数，这产生了一个层次的内部条件期望的估计，随着近似水平的增加。基于一个初等的伸缩和，我们的MLMC估计是由内部条件期望上逐次逼近水平差的Monte Carlo估计之和给出的。我们表明，在一组假设的决策和信息模型，逐次逼近水平是紧密耦合的，这直接证明了我们的MLMC估计提高了必要的计算成本，以最佳的$O(\varepsilon^{-2})$。数值实验证实了相当大的计算节省相比，嵌套蒙特卡罗估计。
2020-08-18 cs.NA math.NA
Space-time multilevel quadrature methods and their application for cardiac electrophysiology
我们提出了一种新的方法，旨在高性能的心脏电生理模拟的不确定性量化。采用单域方程来模拟心脏细胞内的跨膜电位，我们评估了心脏纤维的空间相关扰动对所产生的感兴趣的量的统计的影响。我们的方法依赖于多层次的积分方法，并行迭代求解器和时空有限元离散的紧密结合，允许在空间，时间和随机的完全并行化的框架。广泛的数值研究，以评估收敛速度和比较经典的蒙特卡罗方法，如标准蒙特卡罗（MC）和拟蒙特卡罗方法（QMC），以及多级策略，即多级蒙特卡罗（MLMC）和多级拟蒙特卡罗方法（MLQMC）的嵌套网格层次的性能。最后，我们采用了最近提出的非嵌套网格的多层次方法的变体来处理一个现实的心脏几何形状。
2021-05-05 cs.CE cs.NA math.NA
Nested Multilevel Monte Carlo with Biased and Antithetic Sampling
针对嵌套期望估计问题，本文提出结合有偏多层近似与对偶采样的嵌套 MLMC 方法，在不同假设下实现 $\varepsilon^{-2}$ 及 $\varepsilon^{-2}|\log\varepsilon|^3$ 阶计算成本。
2023-08-15 cs.NA math.NA q-fin.CP
Chebyshev smoothing with adaptive block-FSAI preconditioners for the multilevel solution of higher-order problems
本文针对高阶问题多层求解，提出基于单位分解法块结构的自适应稀疏近似逆构造算法，并给出第四类切比雪夫迭代的更简表述，评估其作为多层V-cycle平滑器的性能。
2025-09-24 cs.NA math.NA
Multilevel Monte Carlo estimation of expected information gains
期望信息增益是贝叶斯试验设计的一个重要质量准则，它衡量了通过收集相关数据$Y$，关于不确定感兴趣量$θ$的信息熵平均减少了多少。然而，估计预期信息增益被认为是计算上具有挑战性的，因为它被定义为具有关于$Y$的外部期望和关于$θ$的内部期望的嵌套期望。事实上，标准的嵌套蒙特卡罗方法需要$O(\varepsilon^{-3})$的总计算成本来实现$\varepsilon$的均方根精度。在本文中，我们开发了一个有效的算法来估计预期的信息增益，应用多级蒙特卡罗（MLMC）方法。为了更准确地说，我们引入了一个对立的MLMC估计的预期信息增益，并提供了一个充分条件下的数据模型，MLMC估计的对立属性得到很好的利用，从而实现最佳的复杂性$O(\varepsilon^{-2})$。此外，我们讨论了如何将重要性抽样技术内MLMC估计，以避免算术下溢。数值实验表明，相当大的计算成本节省相比，嵌套蒙特卡罗方法的一个简单的测试用例和更现实的药代动力学模型。
2019-12-06 cs.NA math.NA stat.CO
Data sparse multilevel covariance estimation in optimal complexity
Institute for Numerical Simulation, University of Bonn（波恩大学数值模拟研究所）
本文提出一种数据稀疏的多级蒙特卡洛协方差估计器，利用变阶H²逼近压缩协方差，以线性复杂度实现二次最优复杂度，并处理非嵌套层级，数值示例验证了数百亿条目矩阵的估计。
2026-09-09 cs.NA math.NA
An efficient estimation of nested expectations without conditional sampling
针对嵌套期望估计，本文提出基于事后分层的新型 Monte Carlo 方法，无需内层条件采样，仅用联合分布成对数据即可估计，并给出均方误差上界，实验显示其在效率与适用性上优于现有方法。
2022-06-21 cs.NA math.NA
Multilevel Double Loop Monte Carlo and Stochastic Collocation Methods with Importance Sampling for Bayesian Optimal Experimental Design
一个最佳的实验设置最大限度地提高数据的价值，统计推断和预测。寻找最佳实验设置的策略的效率对于耗时或昂贵的实验尤为重要。例如，在实验由偏微分方程（PDE）建模的情况下，多层方法已被证明在估计期望值时显著降低其单级对应物的计算复杂性。对于偏微分方程可以模拟实验的设置，我们提出了两个多层方法来估计一个流行的设计标准，称为预期的信息增益在基于模拟的贝叶斯最优试验设计。期望信息增益准则是一种嵌套的期望形式，只有少数多层方法已被提出用于这种形式的问题。我们提出了一个多级双环蒙特卡罗（MLDLMC），这是一个多层次的策略与双环蒙特卡罗（DLMC），和一个多级双环随机配置（MLDLSC），它执行一个高维的积分稀疏网格上的确定性求积。对于这两种方法，拉普拉斯近似用于重要性抽样，大大减少了估计内部期望的计算工作。方法参数的最优值通过最小化平均计算工作来确定，服从于满足期望的误差容限。的计算效率的方法证明，通过估计预期的信息增益贝叶斯推断的纤维取向的复合材料层压材料从电阻抗断层扫描实验。MLDLSC表现优于MLDLMC时，感兴趣的量的规律性，相对于加性噪声和未知参数，可以利用。
2020-02-03 cs.NA math.NA
A Multilevel Block Preconditioner for the HDG Trace System Applied to Incompressible Resistive MHD
针对不可压缩电阻磁流体动力学（MHD）高阶杂交间断Galerkin（HDG）离散化后的迹系统，提出了一种可扩展的块预处理策略。我们构建了块预条件与最小二乘换向器（BFBT）近似的舒尔补的逆隔离出的压力未知的跟踪系统。剩余的速度，磁场，和拉格朗日乘子未知数形成一个耦合的节点未知块（上块），系统代数多重网格（AMG）用于近似逆。MHD方程的复杂性以及静态凝聚HDG跟踪系统的代数性质使得系统AMG部分中平滑器的选择对于块预条件子的收敛性和性能至关重要。我们的数值实验表明，GMRES预处理的ILU（0）重叠零作为一个平滑内部系统AMG表现最好的鲁棒性，每次非线性迭代的时间和内存需求。通过几个二维和三维瞬态测试案例，包括高Lundquist数下的孤岛合并问题，我们证明了块预处理器的鲁棒性和并行可扩展性。此外，对于上层块的交替节点块系统求解器的多层近似嵌套剖分的基础上进行了初步研究。在一个2D的岛屿合并问题的多级近似嵌套解剖预处理显示出更好的可扩展性，相对于网格细化比系统AMG，但相对较弱的鲁棒性Lundquist数缩放。
2020-12-14 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Multilevel quasi Monte Carlo methods for elliptic PDEs with random field coefficients via fast white noise sampling
在求解以随机场为系数的偏微分方程时，对随机场实现的有效采样是一个挑战。在本文中，我们专注于在有限元和多级拟蒙特卡罗方法（MLQMC）设置使用准随机点的高斯场的快速采样。我们的方法使用Lindgren等人的SPDE方法。结合一种新的白噪声快速采样算法，该算法与（ML）QMC相结合。我们将白噪声表示为小波级数展开，并将其分为两部分。第一部分使用准随机点进行采样，并包含有限数量的项，以确保良好的QMC收敛性。第二部分是使用标准伪随机数采样的校正项。我们展示了如何采样的两个术语可以在线性时间和内存复杂性的网格单元的数量通过一个超网格的建设，产生一个整体的线性成本。此外，我们的技术可以用来执行MLQMC耦合，即使在非嵌套网格层次结构的情况下。我们证明了我们的方法与数值实验的有效性。
2021-06-01 cs.NA math.NA
Adaptive Multilevel Monte Carlo for Probabilities
我们考虑$\mathbb{P}[G\in Ω]$的数值逼近，其中$d$维随机变量$G$不能直接采样，但有一个层次的越来越准确的近似$\{G_\ell\}_{\ell\in\mathbb{N}}$可以采样。标准蒙特卡罗估计的成本与此设置中的准确性不成比例，因为它使近似和采样成本复合。多层蒙特卡罗的直接应用稍微改进了这种成本缩放，但是返回次优的计算复杂性，因为概率的估计涉及$G_\ell$的不连续泛函。我们提出了一个通用的自适应框架，这是能够返回MLMC复杂性光滑或Lipschitz泛函的$G_\ell$。我们的假设和数值分析保持一般允许的方法被用于广泛的一类问题。我们提出了嵌套模拟的风险估计，其中$G = \mathbb{E}[X|Y]$近似的内部蒙特卡罗估计的数值实验。进一步的实验给出了数字期权定价，涉及一个近似的$d$维的价格。
2021-07-19 cs.NA math.NA q-fin.CP
Rapid covariance-based sampling of linear SPDE approximations in the multilevel Monte Carlo method
考虑了在加性高斯噪声下线性随机偏微分方程解的非线性泛函均值的有效模拟。采用Galerkin有限元法和隐式Euler格式，得到了该方程温和解的完全离散逼近。提出了一种计算这种近似的协方差的方案，该方案允许在蒙特卡罗方法中快速采样。然后，这是一个多层次的蒙特卡罗方法，其中一个计划来计算在不同的水平近似之间的互协方差。与传统的基于路径的方法相比，它不假设在这些层次上的Galerkin子空间是嵌套的。所提出的方案的计算复杂性相比，传统的方法和模拟证实，在适当的假设下，新的计划的成本显着降低。
2019-07-24 cs.NA math.NA math.PR
Multilevel tensor approximation of PDEs with random data
École Polytechnique Fédérale de Lausanne（洛桑联邦理工学院）；University of Basel（巴塞尔大学）
本文提出一种新的低秩多级策略，用于求解随机扩散问题，通过自适应低秩张量技术近似高维差分，实现误差平衡和低秩张量格式的解表示。
2016-06-17 cs.NA math.NA
Unbiased Multilevel Monte Carlo methods for intractable distributions: MLMC meets MCMC
从马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）输出构造无偏估计量是一个困难的问题，最近在统计学和机器学习界受到了很多关注。然而，目前的无偏MCMC框架仅适用于兴趣量是期望的情况，这排除了许多实际应用。本文提出了一种构造期望函数无偏估计量的一般方法，并将其推广到构造套期望的无偏估计量。我们的方法结合和推广了无偏MCMC和多层蒙特卡罗（MLMC）方法。与传统的顺序方法相比，我们的估计器可以在并行处理器上实现。我们表明，我们的估计有一个有限的方差和计算复杂性，并可以实现$\varepsilon$ -在温和的条件下，在最佳的$O(1/\varepsilon^2)$计算成本的准确性。我们的数值实验证实了我们的理论研究结果，并证明了无偏估计量在大规模并行制度的好处。
2022-12-23 cs.NA math.NA stat.CO
On the Selection of Random Field Evaluation Points in the p-MLQMC Method
工程问题的特点往往是其材料参数的显著不确定性。岩土工程中的一个典型例子是边坡稳定性问题，其中土壤的粘聚力被建模为随机场。一种有效的方式来解释这种不确定性是新的采样方法称为p-细化多级拟蒙特卡罗方法（p-MLQMC）。p-MLQMC方法使用与确定性拟蒙特卡罗方法采样规则相结合的p-细化有限元网格层次。这种组合产生了显着的计算成本降低相对于经典的多级蒙特卡罗。然而，在以前的工作中，没有足够的考虑如何将不确定性，建模为一个随机场，在有限元模型与p-MLQMC方法。在目前的工作中，我们调查如何可以充分实现通过积分点法。因此，我们研究如何选择的随机场的评价点，以获得一个方差减少的水平。我们考虑三种不同的方法。这些方法将在计算运行时间方面对边坡稳定性问题进行基准测试。我们发现，对于一个给定的公差的本地嵌套的方法产生一个加速到一个因素五，相对于非嵌套的方法。
2021-09-29 cs.NA math.NA
Nonlinear Monte Carlo methods with polynomial runtime for high-dimensional iterated nested expectations
迭代嵌套期望的近似计算是应用中经常遇到的难题。例如，嵌套期望出现在后向随机微分方程（BSDEs）解的数值逼近中，出现在半线性抛物偏微分方程（PDE）解的数值逼近中，出现在统计物理学中，出现在最优停止问题（如美式或丹麦期权的近似定价）中，出现在数学金融学中的风险度量估计中，或出现在不确定性下的决策中。在上述应用中出现的嵌套期望通常由大量的嵌套组成。然而，标准的嵌套蒙特卡罗近似迭代嵌套期望的计算工作量呈指数增长的嵌套的数量，它仍然是一个悬而未决的问题，是否有可能近似计算乘法迭代高维嵌套期望在多项式时间。在这篇文章中，我们解决这个问题，提出并研究了一类新的全历史递归多层皮卡德（MLP）迭代嵌套期望近似计划。特别是，我们证明在适当的假设下，这些MLP近似方案可以近似计算多重迭代嵌套的期望与计算工作量增长最多项式的嵌套数量$ K \in \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots \} $，在问题的尺寸$ d \in \mathbb{N} $，并在所需的近似精度$ \varepsilon \in (0, \infty) $的倒数$\frac{1}{\varepsilon}$。
2020-09-29 cs.CC cs.NA math.NA
A nested MLMC framework for efficient simulations on FPGAs
本文提出一种嵌套MLMC框架，通过在FPGA上使用低精度计算（近似随机变量、定点运算及优化精度）生成SDE路径，结合舍入误差模型优化变量位宽，实现比现有混合精度MLMC框架更高的计算成本节省。
2025-02-10 cs.NA math.NA q-fin.CP
Median randomized quasi-Monte Carlo for nested integration
King Abdullah University of Science & Technology（阿卜杜拉国王科技大学）；RWTH Aachen University（亚琛工业大学）
该研究将中位数随机拟蒙特卡洛（mRQMC）扩展至嵌套积分，提出双循环mRQMC估计量，针对EIG应用设计重要性采样正则化方案，在多项式示例和EIG估计中均实现收敛性能提升。
2026-10-12 cs.NA math.NA
Multilevel quasi-Monte Carlo for random elliptic eigenvalue problems I: Regularity and error analysis
随机PDE本征值问题是用于量化来自物理科学和工程的若干应用中的不确定性的有用模型，例如，结构振动分析，核反应堆或光子晶体结构的临界性。本文提出了一种多层拟蒙特卡罗方法（MLQMC）来逼近系数为可数个随机参数的级数展开式的椭圆型本征值问题的最小特征值的期望. MLQMC算法是基于空间域的离散化和随机参数域的维度截断的层次结构。为了近似的期望，随机移位的晶格规则。本文主要致力于对该算法的误差进行严格的分析。误差分析的一个关键步骤是同时确定特征函数关于随机变量和空间变量的混合导数的界。在更强的光滑性假设下，我们的分析也扩展到多级高阶拟蒙特卡罗方法规则。一个附带的文件[吉尔伯特和Scheichl，2022年]，侧重于MLQMC算法的实际扩展，以提高效率，并提出了数值结果。
2022-10-06 cs.NA math.NA
Multilevel Monte Carlo estimators for elliptic PDEs with Lévy-type diffusion coefficient
扩散系数在空间上不连续的一般椭圆型方程可作为非均质或裂隙多孔介质中地下渗流的简化模型。在这样的模型中，数据稀疏性和测量误差经常被考虑到的随机化的扩散系数的椭圆型方程，揭示了灵活的，空间不连续的随机场的建设的必要性。从属高斯随机场是高维参数域上的随机函数，具有样本路径不连续和分布灵活性。本文考虑一类随机椭圆型偏微分方程，其中扩散系数中存在间断的从属高斯随机场。构造了求解随机椭圆型偏微分方程的多层蒙特卡罗（MLMC）有限元法。我们证明了一个标准的MLMC估计和一个修改的MLMC -控制变量估计的先验收敛性，并验证了我们的结果在各种数值例子。
2021-08-12 cs.NA math.NA
A multilevel Monte Carlo method for asymptotic-preserving particle schemes in the diffusive limit
粒子在位置-速度相空间中分布的动力学方程。通常，人们对研究高碰撞区域中粒子的长时间行为感兴趣，其中近似（平流）扩散模型成立。在本文中，我们考虑扩散标度。经典的基于粒子的技术在这个限制中受到严格的时间步长限制，以保持稳定性。渐近保持方案避免了这个问题，但是引入了额外的时间离散化误差，可能导致对于较大的时间步长的不可接受的大偏差。在这里，我们提出并分析了一个多层次的蒙特卡罗计划，减少这种偏见相结合的估计，使用不同的时间步长的层次结构。我们演示了如何从这个计划相关的轨迹，使用不同的时间步长。我们还提出了一个策略，选择在多层格式的水平。我们的方法显着减少了所需的计算进行精确的模拟所考虑的动力学方程，相比经典的蒙特卡罗方法。
2021-05-14 cs.NA math.NA
Constructing unbiased gradient estimators with finite variance for conditional stochastic optimization
针对条件随机优化中嵌套期望梯度难以无偏估计的问题，论文证明 multilevel Monte Carlo 梯度估计器可在一定条件下实现无偏、有限方差与有限期望成本，并给出另一特殊构造。
2022-09-13 cs.NA math.NA stat.ME
Rounding error using low precision approximate random variables
本文针对Euler-Maruyama格式的随机微分方程数值近似，提出使用低精度近似随机变量，并建模舍入误差，分析不同精度下多层蒙特卡洛的方差结构，发现单精度和半精度可分别带来约7倍和10-12倍的潜在加速。
2020-12-17 cs.NA math.NA
Goal-Oriented Adaptive Finite Element Multilevel Quasi-Monte Carlo
King Fahd University of Petroleum and Minerals（国王法赫德石油矿物大学）；King Abdullah University of Science and Technology (KAUST)（阿卜杜拉国王科技大学）；RWTH Aachen University（亚琛工业大学）
研究针对含对数正态扩散系数的偏微分方程相关量逼近难题，提出多级拟蒙特卡罗框架，结合自适应网格、重要性采样及控制变量，经数值实验验证，该算法能以更低成本达规定精度。
2026-07-14 cs.NA math.NA
Multilevel Path Branching for Digital Options
本文提出一种基于重复路径分裂的数字期权蒙特卡洛估计器，利用共享布朗路径的相关性，并与多层蒙特卡洛结合，使计算复杂度达到与Lipschitz收益期权MLMC相近的水平。
2024-06-18 cs.NA math.NA q-fin.CP
Multilevel Adaptive Sparse Grid Quadrature for Monte Carlo models
Freie Universität Berlin（柏林自由大学）
本文提出了一种多级自适应稀疏网格求积方法，用于计算由蒙特卡罗模型隐式定义的积分，通过利用不同采样精度层级来降低计算成本，相比单级方法有显著提升。
2019-02-15 cs.NA math.NA stat.CO
Deflated Multigrid Multilevel Monte Carlo
在格点QCD中，离散狄拉克算符的逆的迹出现在对可观测量的不连通费米子环贡献中。随着模拟方法越来越精确，这些贡献变得越来越重要。因此，我们在这里考虑计算迹$\mathrm{tr}(D^{-1})$的问题，其中$D$是狄拉克算子。Hutchinson方法经常用于随机估计矩阵函数的迹，它将迹近似为$x^{H} D^{-1} x$形式的估计的平均值，其中矢量$x$的项遵循一定的概率分布。对于$N$样本，准确度为$\mathcal{O}(1/\sqrt{N})$。在最近的工作中，我们引入了多重网格多级蒙特卡罗：有一个多重网格层次与运营商$D_{\ell}$，$P_{\ell}$和$R_{\ell}$，为水平$\ell$，我们可以重写轨迹$\mathrm{tr}(D^{-1})$通过伸缩和不同的水平，写在上述运营商和减少方差。我们已经看到，相对于完全收缩的哈钦森，方差和总功显著减少。在这项工作中，我们将探索使用精确的通货紧缩结合多重网格多级蒙特卡罗方法，并演示如何这导致算法和计算增益。
2022-11-28 cs.NA hep-lat math.NA
Adaptive Single- and Multilevel Stochastic Collocation Methods for Uncertain Gas Transport in Large-Scale Networks
在本文中，我们关注的是量化的不确定性，所产生的一天内的振荡，通过大规模的网络输送天然气的需求。的气体流动的短期瞬态动力学建模的层次的双曲系统的平衡法的基础上的等熵欧拉方程。我们扩展了一种新的自适应策略，解决椭圆偏微分方程的随机数据，最近提出和分析郎，Scheichl，和西尔维斯特[J.计算。物理、419：109692，2020]，不确定的气体运输问题。样本相关的自适应网格和模型的细化在物理空间中的自适应各向异性稀疏Scorpak网格在随机空间相结合。一个单级的方法，平衡的物理和随机逼近和多层次的方法，另外最大限度地减少计算成本的离散化误差被认为是。取自公共气体库的两个例子证明了从感兴趣的随机量计算的期望值的差错控制的可靠性，以及随机内插的进一步使用，例如，网络出口处的最小和最大压力值的近似密度函数。
2020-12-07 cs.CE cs.NA math.NA
