Multilevel Methods for Uncertainty Quantification of Elliptic PDEs with Random Anisotropic Diffusion
Universität Basel（巴塞尔大学）
本文研究了具有随机各向异性扩散系数的椭圆扩散问题，通过Karhunen-Loève展开参数化随机矢量场及解，并证明多级格点和多级求积方法可降低计算复杂度，保持收敛速率。
2018-02-12 cs.NA math.NA
Numerical simulations for full history recursive multilevel Picard approximations for systems of high-dimensional partial differential equations
高维非线性偏微分方程（PDE）的求解是应用数学中最具挑战性的问题之一。特别地，很难开发出不受维数灾难影响的近似算法，因为算法计算精度近似$ε> 0$所需的计算操作的数量在所需精度的倒数$1/ε$和PDE的维数$d \in \mathbb{N}$中最多多项式增长。最近，一种新的近似方法，所谓的全历史递归多层次Picard（MLP）近似方法，已被引入，直到今天，这种近似方案是唯一的近似方法在科学文献中已被证明克服灾难的维数在一般时间范围的半线性偏微分方程的数值逼近。本文的一个重要贡献是将MLP近似方法推广到半线性偏微分方程系统，并在几个例子上进行了数值测试。更具体地说，我们建议的MLP近似方法的情况下，艾伦-卡恩偏微分方程，正弦戈登型偏微分方程，耦合半线性热偏微分方程系统，半线性布莱克-斯科尔斯偏微分方程在多达1000个维度。所呈现的数值模拟结果表明，在这些示例PDE中的每一个的情况下，所提出的MLP近似方法在短运行时间内产生非常准确的结果，并且特别地，所呈现的数值模拟结果表明，所提出的MLP近似方案显著优于用于高维半线性PDE的某些基于深度学习的近似方法。
2020-05-25 cs.NA math.NA
Multilevel tensor approximation of PDEs with random data
École Polytechnique Fédérale de Lausanne（洛桑联邦理工学院）；University of Basel（巴塞尔大学）
本文提出一种新的低秩多级策略，用于求解随机扩散问题，通过自适应低秩张量技术近似高维差分，实现误差平衡和低秩张量格式的解表示。
2016-06-17 cs.NA math.NA
A Multilevel Monte Carlo Ensemble Scheme for Solving Random Parabolic PDEs
University of Electronic Science and Technology of China（电子科技大学）；Sichuan University（四川大学）；University of South Carolina（南卡罗来纳大学）
本文提出一种高阶时间精度的多级蒙特卡洛集合方法，用于求解随机抛物偏微分方程，通过多级蒙特卡洛方法降低计算成本并验证了方法的收敛性。
2018-02-15 cs.NA math.NA
Smoothed Circulant Embedding with Applications to Multilevel Monte Carlo Methods for PDEs with Random Coefficients
针对带随机系数偏微分方程的MLMC方法在高振荡随机场下计算复杂度高的问题，提出集成于循环嵌入的平滑技术，可独立于随机场相关长度选择最粗网格，实际精度下计算成本降低5-10倍。
2024-12-11 cs.NA math.NA
Multilevel sparse grids collocation for linear partial differential equations, with tensor product smooth basis functions
University of Leicester（莱斯特大学）
本文提出利用多级稀疏插值算法求解线性偏微分方程，采用张量积光滑基函数，实现高精度计算。
2017-10-19 cs.NA math.NA
A Robust Algebraic Multilevel Domain Decomposition Preconditioner For Sparse Symmetric Positive Definite Matrices
区域分解（DD）方法被广泛用作预处理技术。它们的有效性依赖于局部构造的粗糙空间的选择。到目前为止，这种构造主要是使用来自离散偏微分方程（PDE）的非组装矩阵来实现的。因此，DD方法主要是成功地解决系统源于偏微分方程。本文提出了一种完全代数的多级DD方法，该方法可以在不需要除系数矩阵外的任何信息的情况下局部有效地构造粗空间。预处理矩阵的条件数可以由用户指定的数来限定。数值实验说明了预条件子对不同应用中出现的一系列问题的有效性。
2021-09-13 cs.NA math.NA
Multilevel quadrature formulae for the optimal control of random PDEs
本文提出用多层求积公式求解随机PDE约束最优控制问题，通过组合各层伴随变量得到控制近似，并以MLMC验证其相较标准Monte Carlo具有更优计算复杂度。
2025-05-16 cs.NA math.NA math.OC
Multilevel quasi Monte Carlo methods for elliptic PDEs with random field coefficients via fast white noise sampling
在求解以随机场为系数的偏微分方程时，对随机场实现的有效采样是一个挑战。在本文中，我们专注于在有限元和多级拟蒙特卡罗方法（MLQMC）设置使用准随机点的高斯场的快速采样。我们的方法使用Lindgren等人的SPDE方法。结合一种新的白噪声快速采样算法，该算法与（ML）QMC相结合。我们将白噪声表示为小波级数展开，并将其分为两部分。第一部分使用准随机点进行采样，并包含有限数量的项，以确保良好的QMC收敛性。第二部分是使用标准伪随机数采样的校正项。我们展示了如何采样的两个术语可以在线性时间和内存复杂性的网格单元的数量通过一个超网格的建设，产生一个整体的线性成本。此外，我们的技术可以用来执行MLQMC耦合，即使在非嵌套网格层次结构的情况下。我们证明了我们的方法与数值实验的有效性。
2021-06-01 cs.NA math.NA
Goal-oriented adaptivity for multilevel stochastic Galerkin FEM with nonlinear goal functionals
本文提出一种目标导向自适应算法，结合多层随机Galerkin有限元方法，用于高效逼近参数化椭圆PDEs解的非线性目标泛函，并证明误差估计收敛到零。
2025-10-07 cs.NA math.NA
Multilevel Picard approximations of high-dimensional semilinear partial differential equations with locally monotone coefficient functions
半线性抛物型偏微分方程（PDE）的全历史递推多层Picard逼近方法是唯一能证明克服维数灾难的方法，如果系数函数和非线性项是全局Lipschitz连续的，且非线性项是梯度无关的.本文将这一结果推广到局部单调系数函数。我们的结果涵盖了一系列的多项式系数函数的半线性偏微分方程。
2022-04-28 cs.NA math.NA math.PR
Overcoming the curse of dimensionality in the numerical approximation of Allen-Cahn partial differential equations via truncated full-history recursive multilevel Picard approximations
高维非线性偏微分方程的近似解是应用数学中最具挑战性的问题之一。像有限差分或有限元这样的标准确定性近似方法在计算工作量在维度上呈指数增长的意义上遭受维度灾难。在这项工作中，我们克服了这一困难的情况下，反应扩散型偏微分方程的局部Lipschitz连续coervice非线性（如艾伦-卡恩偏微分方程），通过引入和分析截断变量最近推出的全历史递归多级皮卡德近似计划。
2019-07-15 cs.NA math.AP math.NA
Multilevel CNNs for Parametric PDEs
Technical University of Berlin（柏林工业大学）；Weierstraß Institute（魏尔斯特拉斯研究所）
结合多层求解器与深度学习提出高效求解高维参数化偏微分方程的新方法，理论上能逼近多重网格V循环且权重仅对数依赖最细网格分辨率，实验表明其性能显著优于现有深度学习求解器。
2023-04-04 cs.LG cs.NA math.AP
On multilevel Picard numerical approximations for high-dimensional nonlinear parabolic partial differential equations and high-dimensional nonlinear backward stochastic differential equations
Princeton University（普林斯顿大学）；Peking University（北京大学）；University of Duisburg-Essen（杜伊斯堡-埃森大学）；ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）
本文研究了高维非线性抛物型偏微分方程和高维非线性反向随机微分方程的数值近似方法，提出了一种基于皮卡近似和多级蒙特卡洛方法的算法，并通过数值模拟验证了其在100维问题中的准确性和效率。
2017-08-10 cs.NA math.NA
Multilevel Picard algorithm for general semilinear parabolic PDEs with gradient-dependent nonlinearities
针对系数非常数且非线性依赖梯度的一般半线性抛物型 PDE，提出多层 Picard 逼近算法，并借助 SFPE 证明解与梯度的表示、收敛性及复杂度，辅以 300 维数值验证。
2025-02-18 cs.NA math.AP math.NA
Multilevel Picard approximations for high-dimensional semilinear second-order PDEs with Lipschitz nonlinearities
最近提出的全历史递归多层Picard（MLP）逼近方法在高维非线性偏微分方程解的数值逼近方面取得了很大的成功。特别是，在文献中有数学收敛的结果证明，MLP近似方法确实克服了非线性二阶偏微分方程的数值逼近中的维数灾难，在这个意义上，所提出的MLP近似方法的计算操作的数量在规定的近似精度$ε>0$的倒数$1/ε$和偏微分方程维数$d\in \mathbb{N}=\{1,2,3, \ldots\}$中最多多项式地增长。然而，在文献中的MLP逼近方法的收敛性结果中，假定二阶微分算子前面的系数函数是仿射线性的。特别地，直到今天，在科学文献中还没有结果证明任何具有一般时域和二阶微分算子前面的非仿射线性系数函数的半线性二阶偏微分方程可以被近似而没有维数灾难。本文的主要贡献是克服这一障碍，提出并分析了一类二阶微分算子前系数函数可能为非线性的半线性二阶偏微分方程的MLP逼近方法.特别地，本文的主要结果证明了这种新的MLP逼近方法确实克服了半线性二阶偏微分方程数值逼近中的维数灾难。
2020-10-09 cs.NA math.NA math.PR
Multilevel CNNs for Parametric PDEs based on Adaptive Finite Elements
提出一种基于自适应有限元的多层CNN架构，高效逼近参数化PDE的参数到解映射，兼具精度与复杂度优势，并通过后验误差估计实现误差控制。
2024-08-20 cs.LG cs.NA math.NA
Multilevel Monte Carlo FEM for Elliptic PDEs with Besov Random Tree Priors
本文提出了一种求解多面体区域上线性椭圆扩散问题的多层Monte Carlo（MLMC）-FEM算法，该算法具有Besov树随机系数，求解区域为$\mathcal D\subset \mathbb R^d$.也就是说，扩散系数的矩阵是从所谓的Besov树先验中采样的，Besov树先验最近被提出来对科学和工程中的分形现象的数据进行建模。椭圆型偏微分方程的全离散有限元的数值分析包括求积近似，并且必须考虑a）非均匀路径上和下系数边界，以及b）Besov树系数的低路径正则性。容许的非参数随机系数对应于随机函数在分形维数可调的随机分形上表现出奇异性，但不涉及样本路径奇异支撑的分形几何的先验规范。最佳的复杂性和收敛速度估计的兴趣量和他们的二阶矩的证明。MLMC-FEM的收敛性分析，产生的算法转向参数的选择，有效的实施。提供了MLMC-FEM近似的复杂性（"误差与工作“）分析。
2023-02-01 cs.NA math.NA math.PR
HILUCSI: Simple, Robust, and Fast Multilevel ILU for Large-Scale Saddle-Point Problems from PDEs
不完全因子分解是Krylov子空间方法求解大型稀疏线性系的一种广泛使用的预处理技术。它的多级变体，如ILUPACK，对于许多对称或非对称线性系比传统的单级不完全LU（或ILU）技术更鲁棒。然而，以前的多层ILU技术仍然缺乏鲁棒性和效率的一些大规模的鞍点问题，这往往会出现在系统的偏微分方程（PDE）。我们介绍HILUCSI，或分层不完整的LU-Crout与可扩展性为导向和反向为基础的下降。作为一个多级预处理器，HILUCSI静态和动态地将单个行和列排列到下一级以进行延迟因子分解。与ILUPACK不同，HILUCSI在顶层应用对称预处理技术，但在较粗的层次总是使用非对称预处理和非对称因子分解。延迟与混合预处理相结合，使几乎或部分对称系统的统一处理，并简化了实现，避免混合$1\times 1$和$2\times 2$枢轴对称不确定系统。我们表明，这种组合提高了不确定系统的鲁棒性，而不影响效率。此外，为了使具有数百万或更多未知数的大规模系统具有更高的效率，HILUCSI引入了面向可扩展性的丢弃，并结合了基于逆的丢弃的变体。我们证明了HILUCSI的有效性，几十个基准问题，包括那些从混合制定的泊松方程，斯托克斯方程，和Navier-斯托克斯方程。我们还比较了它的性能与ILUPACK，超级节点ILUTP在SuperLU，多线程直接求解器在PARDISO和MUMPS。
2021-05-28 cs.MS cs.NA math.NA
Stability of Low-Rank Tensor Representations and Structured Multilevel Preconditioning for Elliptic PDEs
将大小为$2^L$的网格值向量折叠成模式大小为$2\times \cdots\times 2$的$L$阶张量，与张量训练格式的低秩表示相结合，已被证明可以导致各种类型的函数的高效近似。这些问题包括非光滑域上的椭圆型偏微分方程的解或具有振荡数据的偏微分方程的解。这种张量结构的方法是有吸引力的，因为它导致高度压缩，自适应近似基于简单的离散化。基本基的标准选择，如均匀张量积网格上的分段多线性有限元，必然导致离散算子的众所周知的矩阵病态。我们证明，对于低秩表示，张量结构本身的使用还引入了表示病态，这是张量网络中计算特有的一种新效应。我们分析了二阶线性椭圆算子BPX预处理器的张量结构，并构造了预处理器的显式张量结构表示，其秩与离散化水平的数量$L$无关。直接应用的预条件产生离散算子的矩阵条件是统一的离散化参数，但在分解表示病态。通过另外消除某些冗余的预处理离散算子的表示，我们得到的降秩分解是免费的矩阵和表示病态。对于低秩张量的软阈值的基础上的迭代求解器，我们得到的收敛性和复杂性的估计，并证明其可靠性和效率的离散化与$2^{50}$节点在每个维度。
2019-11-17 cs.NA math.NA
Multilevel methods for nonuniformly elliptic operators
University of California at Irvine（加州大学尔湾分校）；University of Maryland, College Park（马里兰大学帕克分校）；Institute for Physical Science and Technology, University of Maryland, College Park（马里兰大学帕克分校物理科学与技术研究所）；University of Tennessee, Knoxville（田纳西大学诺克斯维尔分校）
本文提出并分析了用于非均匀椭圆算子的多级方法，基于加权Sobolev空间中的椭圆性，利用Xu-Zikatanov恒等式获得近似均匀收敛性，并考虑α-调和扩展以局部化椭圆算子的分数次幂，通过数值实验验证了方法的有效性。
2014-03-17 cs.NA math.NA
On the algebraic construction of sparse multilevel approximations of elliptic tensor product problems
Unversität Basel（巴塞尔大学）
本文提出用代数多网格方法构造稀疏网格组合技术，解决复杂几何和非结构化网格上的椭圆问题，与传统几何方法具有相同收敛性。
2018-01-31 cs.NA math.NA
Local Multilevel Preconditioned Jacobi-Davidson Method for Elliptic Eigenvalue Problems on Adaptive Meshes
School of Mathematical Science, Tongji University（同济大学数学科学学院）；Key Laboratory of Intelligent Computing and Applications, Tongji University, Ministry of Education（同济大学教育部智能计算与应用重点实验室）
本文提出了一种高效的自适应多级预条件Jacobi-Davidson方法，用于解决具有奇异性的椭圆特征值问题，通过局部平滑策略实现最优计算复杂度O(N)并保持均匀收敛性。
2026-05-13 cs.NA math.NA
Quasi-Monte Carlo and Multilevel Monte Carlo Methods for Computing Posterior Expectations in Elliptic Inverse Problems
本文研究了在椭圆逆问题中利用准蒙特卡洛和多级蒙特卡洛方法计算后验期望的收敛性和复杂度分析，通过数值模拟验证了方法的有效性。
2017-03-02 cs.NA math.NA
Local Multilevel Preconditioners for Elliptic Equations with Jump Coefficients on Bisection Grids
University of California at Irvine（加州大学尔湾分校）；University of California at San Diego（加州大学圣地亚哥分校）；Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）
针对二分网格上具有分片常数系数的二阶线性椭圆问题，设计基于最新顶点及其邻域局部光滑的局部多重网格和BPX预条件子，分析表明仅固定数量的特征值受大跳跃影响，其余特征值一致有界，从而预条件共轭梯度法收敛速度与系数无关，且关于网格尺寸呈对数依赖，整体计算复杂度接近最优。
2012-02-10 cs.NA math.NA
Multilevel Picard approximations overcome the curse of dimensionality in the numerical approximation of general semilinear PDEs with gradient-dependent nonlinearities
本文证明了Neufeld与Wu提出的用于求解含梯度依赖非线性项的一般半线性抛物型PDE的多级Picard（MLP）算法可克服维数灾难，其计算复杂度仅随维度和精度倒数呈多项式增长。
2025-03-20 cs.NA math.AP math.NA
A Multilevel Monte Carlo Virtual Element Method for Uncertainty Quantification of Elliptic Partial Differential Equations
Politecnico di Milano（米兰理工大学）；University of Vienna（维也纳大学）
本文提出一种基于虚拟元离散化的多级蒙特卡洛虚拟元方法，用于求解具有随机扩散系数的椭圆偏微分方程，通过减少最细层级所需样本数来降低计算成本，验证了方法的收敛性和效率。
2026-04-15 cs.NA math.NA
Convergence of one-level and multilevel unsymmetric collocation for second order elliptic boundary value problems
该研究针对有界域上二阶椭圆边值问题，证明了单层与多层非对称配置法的收敛性，推导了L2误差，分析了收敛速率的影响因素，完善了基于紧支撑径向基函数核方法的理论基础。
2023-06-15 cs.NA math.NA
MGM: A meshfree geometric multilevel method for systems arising from elliptic equations on point cloud surfaces
我们开发了一种新的无网格几何多层（MGM）方法来求解由点云表示的曲面上的椭圆偏微分方程离散化所产生的线性系。该方法使用泊松磁盘采样型技术粗化点云和新的无网格约束/插值算子的基础上多调和样条之间的粗化点云的信息传输。然后将这些与标准平滑和算子粗化方法在V循环迭代中相结合。MGM适用于基于各种局部无网格方法的椭圆偏微分方程的离散，包括径向基函数有限差分（RBF-FD）和广义有限差分（GFD）。我们测试MGM作为一个独立的求解器和Krylov子空间方法的预处理几个测试问题，使用RBF-FD和GFD，并数值分析收敛速度，效率和缩放随着点云大小的增加。我们还执行并排比较代数多重网格（AMG）方法解决相同的系统。最后，我们进一步证明了MGM的有效性，将其应用到三个具有挑战性的应用程序在复杂的表面：图案形成，表面谐波，测地线距离。
2022-04-13 cs.NA math.NA
Multilevel quadrature for elliptic parametric partial differential equations in case of polygonal approximations of curved domains
Universität Bonn（波恩大学）；Fraunhofer Institute for Algorithms and Scientific Computing (SCAI)（弗劳恩霍夫算法与科学计算研究所）；Universität Basel（巴塞尔大学）；Università della Svizzera italiana（瑞士意大利语大学）
本文研究了在曲线域多边形近似情况下，利用多重级次求积方法高效求解椭圆参数偏微分方程的问题，通过稀疏张量积近似空间变量与参数之间的关系，提出了一种基于稀疏网格构造的反向多重级次求积方法，并分析了多边形近似对物理域的影响及双线性形式的数值近似。
2018-12-31 cs.NA math.NA
Multilevel Double Loop Monte Carlo and Stochastic Collocation Methods with Importance Sampling for Bayesian Optimal Experimental Design
一个最佳的实验设置最大限度地提高数据的价值，统计推断和预测。寻找最佳实验设置的策略的效率对于耗时或昂贵的实验尤为重要。例如，在实验由偏微分方程（PDE）建模的情况下，多层方法已被证明在估计期望值时显著降低其单级对应物的计算复杂性。对于偏微分方程可以模拟实验的设置，我们提出了两个多层方法来估计一个流行的设计标准，称为预期的信息增益在基于模拟的贝叶斯最优试验设计。期望信息增益准则是一种嵌套的期望形式，只有少数多层方法已被提出用于这种形式的问题。我们提出了一个多级双环蒙特卡罗（MLDLMC），这是一个多层次的策略与双环蒙特卡罗（DLMC），和一个多级双环随机配置（MLDLSC），它执行一个高维的积分稀疏网格上的确定性求积。对于这两种方法，拉普拉斯近似用于重要性抽样，大大减少了估计内部期望的计算工作。方法参数的最优值通过最小化平均计算工作来确定，服从于满足期望的误差容限。的计算效率的方法证明，通过估计预期的信息增益贝叶斯推断的纤维取向的复合材料层压材料从电阻抗断层扫描实验。MLDLSC表现优于MLDLMC时，感兴趣的量的规律性，相对于加性噪声和未知参数，可以利用。
2020-02-03 cs.NA math.NA
Multilevel quasi-Monte Carlo for random elliptic eigenvalue problems I: Regularity and error analysis
随机PDE本征值问题是用于量化来自物理科学和工程的若干应用中的不确定性的有用模型，例如，结构振动分析，核反应堆或光子晶体结构的临界性。本文提出了一种多层拟蒙特卡罗方法（MLQMC）来逼近系数为可数个随机参数的级数展开式的椭圆型本征值问题的最小特征值的期望. MLQMC算法是基于空间域的离散化和随机参数域的维度截断的层次结构。为了近似的期望，随机移位的晶格规则。本文主要致力于对该算法的误差进行严格的分析。误差分析的一个关键步骤是同时确定特征函数关于随机变量和空间变量的混合导数的界。在更强的光滑性假设下，我们的分析也扩展到多级高阶拟蒙特卡罗方法规则。一个附带的文件[吉尔伯特和Scheichl，2022年]，侧重于MLQMC算法的实际扩展，以提高效率，并提出了数值结果。
2022-10-06 cs.NA math.NA
Node Subsampling for Multilevel Meshfree Elliptic PDE Solvers
本文提出了一种针对变密度节点集的新子采样方法及两种节点集质量度量，通过多层级 RBF-FD 迭代求解 Poisson 和 Laplace 方程，实现了线性时间的高阶解和稳健收敛。
2023-05-18 cs.NA math.NA
Two-level a posteriori error estimation for adaptive multilevel stochastic Galerkin FEM
研究了一类参数椭圆型偏微分方程（PDE），其中方程的系数和右端函数依赖于无穷多个（不确定）参数.我们引入了一个两级后验估计来控制这类偏微分方程问题的多级随机伽辽金近似的能量误差。我们证明了两层估计总是为未知的逼近误差提供一个下界，而上界等价于一个饱和假设。我们提出并实证比较三种自适应算法，其中利用估计器的结构来执行空间细化以及参数富集。本文还讨论了实现方面的计算多级随机Galerkin近似。
2021-03-17 cs.NA math.NA
Multilevel Sparse Grid Methods for Elliptic Partial Differential Equations with Random Coefficients
Florida State University（佛罗里达州立大学）
本文提出多级稀疏网格方法，用于高效处理具有随机系数的椭圆偏微分方程，通过减少计算成本实现高精度模拟。
2014-04-08 cs.NA math.NA
A Galerkin FE method for elliptic optimal control problem governed by 2D space-fractional PDEs
本文对二维区域上的Riesz空间分数阶偏微分方程所控制的椭圆型最优控制问题提出了一种Galerkin有限元法，其中控制变量采用变分离散技术离散。推导了系统的最优性条件，并成功地建立了控制量、协状态量和状态变量的先验误差估计。数值试验表明了该方法的准确性。
2022-02-19 cs.NA math.NA
Algorithms for Solving High Dimensional PDEs: From Nonlinear Monte Carlo to Machine Learning
近年来，利用非线性（多级）蒙特卡罗或深度学习的思想，在求解高维偏微分方程（PDE）的数值算法方面取得了巨大进展。对于许多不同的应用，它们可能没有维数灾难，并且在一些非线性抛物型偏微分方程的非线性蒙特卡罗方法的情况下已经被证明是这样。在本文中，我们回顾这些数值和理论的进展。除了基于原始问题的随机重构的算法，如多层Picard迭代和Deep Bracket方法，我们还讨论了基于更传统的Ritz，Galerkin和最小二乘公式的算法。我们希望向读者证明，研究偏微分方程以及控制和变分问题在非常高的维度很可能是最有前途的新方向在数学和科学计算在不久的将来。
2020-09-11 cs.NA math.NA math.OC
Incorporating Local Hölder Regularity into PINNs for Solving Elliptic PDEs
本研究将局部Hölder正则化融入PINNs框架，通过构建含该正则项的改进损失函数、提出变距离离散采样策略并建立误差估计，提升了椭圆型PDEs求解的精度与鲁棒性。
2025-10-30 cs.NA math.NA
MG/OPT and MLMC for Robust Optimization of PDEs
基于MG/OPT框架，提出了一种求解不确定系数偏微分方程约束鲁棒控制问题的算法。这个MG/OPT层次结构中的级别通常对应于PDE的离散化级别。对于随机问题，相关的量（如梯度）包含这些水平上的每一个期望值算子。使用多水平蒙特卡罗方法估计，具体取决于MG/OPT水平。然后，每个优化级别包含多个底层多级蒙特卡罗级别。MG/OPT层次结构允许算法利用PDE中固有的结构，加速收敛到最优。相比之下，多级蒙特卡洛层次结构的存在，利用结构中存在的随机尺寸的问题。证明了算法的收敛速率，并讨论了算法的一些性质。该算法的性能进行了数值研究的三个测试用例。可以观察到在昂贵的水平上所需的样本的样本个数的减少以及因此在计算时间上的减少。
2021-07-19 cs.NA math.NA math.OC
Expression Rates of Neural Operators for Linear Elliptic PDEs in Polytopes
University of Pavia（帕维亚大学）
研究深度ONets在多面体中模拟椭圆PDE系数到解映射的表达率，证明了不同数据正则性下的收敛率界。
2025-12-19 cs.NA math.NA
Goal-oriented adaptive finite element method for semilinear elliptic PDEs
我们制定和分析了一个面向目标的自适应有限元法（GOAFEM）的半线性椭圆型偏微分方程和线性目标泛函。该策略涉及线性化对偶问题的有限元解，其中线性化是自适应策略的一部分。示出了线性收敛和最佳代数收敛速度。
2021-12-13 cs.NA math.NA
Multilevel quadrature for elliptic problems on random domains by the coupling of FEM and BEM
椭圆型边值问题可以映射到一个固定的标称区域上。因此，随机性被转移到扩散矩阵和负载。虽然这种域映射方法在理论和实践上都是非常有效的，但由于只需要单个域离散化，因此它还需要域映射的知识。然而，在某些应用中，随机域仅由其随机边界描述，而感兴趣的量定义在固定的确定性子域上。在这种情况下，因此有必要计算整个域上的随机域映射，使得域映射是固定子域上的恒等式，并且将所选择的固定标称域的边界映射到随机边界上。为了克服计算这样一个映射的必要性，因此，我们耦合的有限元法的固定子域上的边界元方法的随机边界。我们验证了所需的正则性的解决方案，相对于使用多级积分的随机域映射，推导出耦合制剂，并通过数值结果表明，该方法是可行的。
2019-11-15 cs.NA math.NA
Multilevel quasi-Monte Carlo for random elliptic eigenvalue problems II: Efficient algorithms and numerical results
随机偏微分方程本征值问题经常出现在不确定性量化领域，人们试图量化本征值或其本征函数中的不确定性。本文提出了一种计算随机系数椭圆本征值问题最小特征值期望的高效多层拟蒙特卡罗方法（MLQMC）。每个样本评估都需要求解PDE本征值问题，因此在实践中解决这个问题在计算上是非常困难的。我们从四个方面加快了这个期望值的逼近速度：我们使用一个多层次的方差缩减方案，将工作分散到一个层次的有限元网格和截断维上;我们使用QMC方法，有效地计算每一层上的期望值;我们利用参数空间的光滑性，并重用附近QMC点的特征向量，以减少特征值求解器的迭代次数;我们利用两个网格离散计划，以获得一个单一的线性求解的细网格上的特征值。一个基本的MLQMC算法的完整误差分析在配套文件[Gilbert and Scheichl，2022]中给出，因此本文中，我们专注于如何进一步提高效率，并提供理论上的理由，使用附近的QMC点和两个网格的方法。数值结果表明，我们的算法的效率，也表明，我们采用的四种策略是互补的。
2022-10-06 cs.NA math.NA
Priori Error Estimate of Deep Mixed Residual Method for Elliptic PDEs
在这项工作中，我们推导出一个先验误差估计的混合残差方法时，解决一些椭圆型偏微分方程。我们的工作是第一次对这种方法进行理论研究。我们证明了，如果我们增加训练样本和网络的大小没有任何限制的比例的训练样本的神经网络的解决方案将收敛。此外，我们的结果表明，混合残差方法可以恢复高阶导数比深里兹方法，这也被我们的数值实验验证。
2022-06-15 cs.NA math.NA
A deep first-order system least squares method for solving elliptic PDEs
我们提出了一种基于深度学习的一阶系统最小二乘（FOSLS）方法，用于数值求解二阶椭圆偏微分方程。我们提出的方法是能够处理变分和非变分问题，由于其无网格的性质，它也可以处理在高维域中提出的问题。我们证明了神经网络逼近连续问题解的$Γ$ -收敛性，并将收敛性证明推广到一些著名的相关方法。最后，我们提出了几个数值例子说明我们的离散化的性能。
2022-12-14 cs.NA math.NA
Dense cell-by-cell systems of PDEs: approximation, spectral analysis, and preconditioning
本研究针对可兴奋组织的EMI模型，分析其PDE系统的Galerkin逼近的谱性质，提出并验证了高效稳健的整体多层预处理器求解器，适用于大规模细胞模拟。
2024-09-20 cs.NA math.NA
A high-order accurate discretization scheme for variable coefficient elliptic PDEs in the plane with smooth solutions
University of Colorado at Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）
提出一种基于高阶高斯求积的离散化格式，用于求解平面变系数椭圆偏微分方程的光滑解，特别适用于软散射体问题，所得线性方程组适合高效直接求解器。
2011-01-18 cs.NA math.NA
Multilevel Markov Chain Monte Carlo for Bayesian Elliptic Inverse Problems with Besov Random Tree Priors
提出了一种求解具有Besov随机树先验的椭圆贝叶斯反问题的多层Monte Carlo有限元算法。这些先验由具有随机系数的小波级数给出，并且根据所谓的Galton-Watson树定律，展开中的某些项随机消失。这允许在对数扩散中结合随机分形结构和大偏差，这在电子物理学或医学成像的许多应用中自然发生。这个框架需要两个主要的困难：第一，相关的扩散系数不满足一致椭圆性条件，这将导致不可积的条款，从而标准的多层估计发散。其次，参数的相关空间是波兰的，但不是赋范线性空间。我们解决了第一点，通过引入截止函数的估计，以补偿不可积项，而第二个问题是通过采用独立的Metropolis-Hastings采样器解决。由此产生的算法收敛在均方意义上基本上是最佳的渐近复杂性，和尺寸无关的接受概率。
2023-02-01 cs.NA math.NA math.PR
A spectral collocation method for elliptic PDEs in irregular domains with Fourier extension
基于Fourier延拓，提出了一种求解任意非规则区域上变系数椭圆型偏微分方程的过采样配置法.该方法只利用等距节点上的函数值，计算量小，通用性强。虽然各种数值实验来证明这种方法的有效性，它表明，逼近误差迅速达到一个平台，随着自由度的增加，由于固有的病态框架。
2022-11-11 cs.NA math.NA
$H^1$-norm error estimate for a nonstandard finite element approximation of second-order linear elliptic PDEs in non-divergence form
本文建立了逼近连续系数非散度型二阶线性椭圆型偏微分方程$H^2$强解的非标准有限元法的最优$H^1$模误差估计。为了规避这类偏微分方程缺乏一个有效的对偶参数的困难，引入了一种新的分析技术，它的关键是建立一个$H^1$ -范数的稳定性估计的有限元逼近算子模仿一个类似的估计为基础的偏微分方程运营商最近建立的作者和它的证明是基于冻结系数技术和拓扑参数。此外，线性有限元法的$H^1$范数稳定性和误差估计也成立.
2019-09-30 cs.NA math.NA
Optimal complexity of adaptive FEM for second-order linear elliptic PDEs driven by non-residual estimators, Part I: Symmetric PDEs
TU Wien（维也纳工业大学）；University of Twente（特温特大学）
研究对称二阶线性椭圆型偏微分方程的自适应有限元方法，在特定假设下证明算法能无条件全R线性收敛，对足够小参数保证最优复杂度，重点分析如基于平均的非残差估计器。
2026-07-17 cs.NA math.NA
Efficient adaptive multilevel stochastic Galerkin approximation using implicit a posteriori error estimation
University of Manchester（曼彻斯特大学）；University of Birmingham（伯明翰大学）
本文提出一种高效自适应多级随机伽辽金有限元方法，通过隐式后验误差估计策略，快速且有效地解决具有参数依赖系数的椭圆偏微分方程，无需调参即可实现误差估计能量衰减。
2018-06-15 cs.NA math.NA
Multilevel Representations of Isotropic Gaussian Random Fields on the Sphere
构造了各向同性高斯随机场在$\mathbb{S}^2$上具有独立高斯系数和局部基函数的级数展开式。这样的表示与多级局部结构提供了一种替代的标准Karhunen-Loève展开的各向同性随机场的球谐函数。通过将协方差算子的平方根应用于球形针状体来获得基函数。所得到的协方差相关的多级基础上的角随机场的功率谱的衰减条件下示出的本地化。此外，给出了数值例子，并分析了其在球面上随机椭圆偏微分方程中的应用。
2022-06-24 cs.NA math.NA math.PR
Quasi continuous level Monte Carlo for random elliptic PDEs
本文提出拟连续水平蒙特卡洛方法，用拟蒙特卡洛序列生成指数分布随机变量，显著降低方差，在随机椭圆偏微分方程示例中明显优于多水平和连续水平蒙特卡洛。
2023-10-12 cs.NA math.NA math.PR
