Nonasymptotic Convergence Rate of Quasi-Monte Carlo: Applications to Linear Elliptic PDEs with Lognormal Coefficients and Importance Samplings
King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学）；RWTH Aachen University（亚琛工业大学）
本研究通过准蒙特卡罗方法与重要性采样，改进了对具有对数正态系数的线性椭圆PDE的非渐近收敛速度分析。
2024-08-17 cs.NA math.NA
Generalization Error Analysis of Deep Backward Dynamic Programming for Solving Nonlinear PDEs
本研究分析深度反向动态规划求解非线性偏微分方程的泛化误差，证明拟蒙特卡洛方法比蒙特卡洛方法具有更高收敛阶，数值实验验证其更精确稳定。
2024-07-19 cs.NA math.NA
A fully adaptive multilevel stochastic collocation strategy for solving elliptic PDEs with random data
我们提出并分析了一个完全自适应的策略，解决椭圆型偏微分方程的随机数据在这项工作中。一个层次序列的自适应网格细化的空间近似相结合的自适应各向异性稀疏的Scorpak网格在随机空间中的方式，以尽量减少计算成本。我们的策略的新颖之处在于，空间近似的层次结构是样本相关的，因此每个配置点的计算工作量可以单独优化。我们概述了一个严格的分析的自适应多级算法的收敛性和计算复杂性，我们提供了最佳的选择，在每个级别的误差容限。两个数值例子证明了差错控制的可靠性和显着降低的复杂性时，出现相比，单级算法和多级算法，采用自适应性只在空间离散化或配置过程。
2019-12-04 cs.NA math.NA
Further analysis of multilevel Monte Carlo methods for elliptic PDEs with random coefficients
University of Bath（巴斯大学）；University of Oxford（牛津大学）
针对缺乏一致椭圆性和有界性的随机系数椭圆PDE，扩展有限元误差分析至非光滑域和系数不连续情形，证明多层蒙特卡罗算法对解的有界线性泛函和连续Fréchet可微非线性泛函的收敛性，并通过引入层级依赖的Karhunen-Loève展开截断改进性能。
2012-04-16 cs.NA math.NA
MDFEM: Multivariate decomposition finite element method for elliptic PDEs with uniform random diffusion coefficients using higher-order QMC and FEM
介绍了求解均匀随机扩散系数椭圆型偏微分方程的多元分解有限元法。我们表明，MDFEM可以用来减少估计的期望值的一个线性泛函的解决方案的偏微分方程的计算复杂性。该算法结合了多元分解法（MDM），计算无穷维积分，与有限元法（FEM），以解决不同的情况下的偏微分方程。MDFEM的策略是将无限维问题分解为多个有限维问题，这比解决单个大维问题更容易并行化。我们的第一个结果调整了多元分解方法的分析，以纳入通常出现在多元正交误差界中的对数因子，即，cubature，方法;并且我们注意到$n$需要的点数，例如，在2的幂次上进行高阶近似。为了进一步的分析，我们将体积法具体化为两种类型的拟蒙特卡罗方法（QMC）规则，即数字移位多项式格规则和交错多项式格规则。第二和主要贡献，然后提出了一个边界的MDFEM的错误，并显示高阶收敛w.r.t.在交错多项式格点规则与高阶有限元法相结合的情况下的总计算成本。
2021-07-08 cs.NA math.NA
Multilevel lattice-based kernel approximation for elliptic PDEs with random coefficients
UNSW Sydney（新南威尔士大学）；University of Oxford（牛津大学）
本文针对带周期随机系数的椭圆型偏微分方程，基于QMC格点集核插值研究提出多层核近似方法，可在保持精度的同时降低计算成本，经数值实验验证了其有效性。
2026-09-01 cs.NA math.NA
A non-nested unstructured mesh perspective on highly parallel multilevel smoothed Schwarz preconditioner for linear parametric PDEs
针对非结构网格下多级Schwarz预处理器因网格非嵌套难以并行的问题，提出含并行粗化与非嵌套插值的高并行非嵌套预处理器，在千核处理器上验证了良好收敛性与并行效率，可广泛用于线性参数PDE求解。
2024-12-12 cs.NA math.NA
Multilevel Sparse Tensor Approximation for High-Dimensional Parametric PDEs
本文研究了多级稀疏张量近似方法在高维仿射参数扩散方程中的效率。通过结合稀疏交替最小二乘算法与多级伽辽金离散化策略，利用解的正则性降低计算成本。理论分析表明，多级方法的工作开销与离散化级别无关，优于单级方法的指数增长。
2026-03-16 cs.NA math.NA
Constructing QMC finite element methods for elliptic PDEs with random coefficients by a reduced CBC construction
本文研究了通过减少的CBC构造来构建QMC有限元方法，以解决具有随机扩散系数的椭圆PDE的期望问题，通过使用POD权重减少计算成本，并提供了总误差估计。
2019-02-28 cs.NA math.NA
Multilevel Methods for Uncertainty Quantification of Elliptic PDEs with Random Anisotropic Diffusion
Universität Basel（巴塞尔大学）
本文研究了具有随机各向异性扩散系数的椭圆扩散问题，通过Karhunen-Loève展开参数化随机矢量场及解，并证明多级格点和多级求积方法可降低计算复杂度，保持收敛速率。
2018-02-12 cs.NA math.NA
Numerical simulations for full history recursive multilevel Picard approximations for systems of high-dimensional partial differential equations
高维非线性偏微分方程（PDE）的求解是应用数学中最具挑战性的问题之一。特别地，很难开发出不受维数灾难影响的近似算法，因为算法计算精度近似$ε> 0$所需的计算操作的数量在所需精度的倒数$1/ε$和PDE的维数$d \in \mathbb{N}$中最多多项式增长。最近，一种新的近似方法，所谓的全历史递归多层次Picard（MLP）近似方法，已被引入，直到今天，这种近似方案是唯一的近似方法在科学文献中已被证明克服灾难的维数在一般时间范围的半线性偏微分方程的数值逼近。本文的一个重要贡献是将MLP近似方法推广到半线性偏微分方程系统，并在几个例子上进行了数值测试。更具体地说，我们建议的MLP近似方法的情况下，艾伦-卡恩偏微分方程，正弦戈登型偏微分方程，耦合半线性热偏微分方程系统，半线性布莱克-斯科尔斯偏微分方程在多达1000个维度。所呈现的数值模拟结果表明，在这些示例PDE中的每一个的情况下，所提出的MLP近似方法在短运行时间内产生非常准确的结果，并且特别地，所呈现的数值模拟结果表明，所提出的MLP近似方案显著优于用于高维半线性PDE的某些基于深度学习的近似方法。
2020-05-25 cs.NA math.NA
Multilevel tensor approximation of PDEs with random data
École Polytechnique Fédérale de Lausanne（洛桑联邦理工学院）；University of Basel（巴塞尔大学）
本文提出一种新的低秩多级策略，用于求解随机扩散问题，通过自适应低秩张量技术近似高维差分，实现误差平衡和低秩张量格式的解表示。
2016-06-17 cs.NA math.NA
Multilevel Monte Carlo estimators for elliptic PDEs with Lévy-type diffusion coefficient
扩散系数在空间上不连续的一般椭圆型方程可作为非均质或裂隙多孔介质中地下渗流的简化模型。在这样的模型中，数据稀疏性和测量误差经常被考虑到的随机化的扩散系数的椭圆型方程，揭示了灵活的，空间不连续的随机场的建设的必要性。从属高斯随机场是高维参数域上的随机函数，具有样本路径不连续和分布灵活性。本文考虑一类随机椭圆型偏微分方程，其中扩散系数中存在间断的从属高斯随机场。构造了求解随机椭圆型偏微分方程的多层蒙特卡罗（MLMC）有限元法。我们证明了一个标准的MLMC估计和一个修改的MLMC -控制变量估计的先验收敛性，并验证了我们的结果在各种数值例子。
2021-08-12 cs.NA math.NA
Multilevel quasi Monte Carlo methods for elliptic PDEs with random field coefficients via fast white noise sampling
在求解以随机场为系数的偏微分方程时，对随机场实现的有效采样是一个挑战。在本文中，我们专注于在有限元和多级拟蒙特卡罗方法（MLQMC）设置使用准随机点的高斯场的快速采样。我们的方法使用Lindgren等人的SPDE方法。结合一种新的白噪声快速采样算法，该算法与（ML）QMC相结合。我们将白噪声表示为小波级数展开，并将其分为两部分。第一部分使用准随机点进行采样，并包含有限数量的项，以确保良好的QMC收敛性。第二部分是使用标准伪随机数采样的校正项。我们展示了如何采样的两个术语可以在线性时间和内存复杂性的网格单元的数量通过一个超网格的建设，产生一个整体的线性成本。此外，我们的技术可以用来执行MLQMC耦合，即使在非嵌套网格层次结构的情况下。我们证明了我们的方法与数值实验的有效性。
2021-06-01 cs.NA math.NA
A Multilevel Monte Carlo Ensemble Scheme for Solving Random Parabolic PDEs
University of Electronic Science and Technology of China（电子科技大学）；Sichuan University（四川大学）；University of South Carolina（南卡罗来纳大学）
本文提出一种高阶时间精度的多级蒙特卡洛集合方法，用于求解随机抛物偏微分方程，通过多级蒙特卡洛方法降低计算成本并验证了方法的收敛性。
2018-02-15 cs.NA math.NA
MDFEM: Multivariate decomposition finite element method for elliptic PDEs with lognormal diffusion coefficients using higher-order QMC and FEM
本文介绍了扩散系数为对数正态分布的椭圆型偏微分方程的多元分解有限元法，其中$Z$是由无穷级数展开式$Z(\boldsymbol{y}) = \sum_{j\ge1} y_j\,ϕ_j$定义的高斯随机场，展开式中含有$y_j\sim\mathcal{N}(0,1)$和给定的函数序列$\{ϕ_j\}_{j\ge1}$ .我们使用MDFEM来近似PDE的解的线性泛函的期望值，PDE是参数空间上的无限维积分。该算法使用多元分解方法（MDM）计算的无限维积分分解成有限维积分，我们解决使用准蒙特卡罗（QMC）方法，我们使用有限元法（FEM）来解决不同的情况下的PDE。我们开发了高阶拟蒙特卡罗规则的积分在有限维欧几里德空间相对于高斯分布通过使用截断策略。通过线性变换的交错多项式格规则从单位立方体的欧氏空间的多变量盒，我们实现高阶收敛速度属于一类锚定高斯Sobolev空间的功能，考虑到截断误差。在适当的条件下，MDFEM在误差与成本的关系方面实现了高阶收敛率，即，为了实现$O(ε)$的精确度，计算成本是$O(ε^{-1/λ-d'/λ}) = O(ε^{-(p^*+d'/τ)/(1-p^*)})$，其中$ε^{-1/λ}$和$ε^{-d'/λ}$分别是准蒙特卡罗体积和有限元近似的成本，对于某些$δ' \ge 0$和$d$，$d' = d \, (1+δ')$是物理尺寸，而$0 < p^* \le (…
2021-09-27 cs.NA math.NA
Smoothed Circulant Embedding with Applications to Multilevel Monte Carlo Methods for PDEs with Random Coefficients
针对带随机系数偏微分方程的MLMC方法在高振荡随机场下计算复杂度高的问题，提出集成于循环嵌入的平滑技术，可独立于随机场相关长度选择最粗网格，实际精度下计算成本降低5-10倍。
2024-12-11 cs.NA math.NA
Multilevel sparse grids collocation for linear partial differential equations, with tensor product smooth basis functions
University of Leicester（莱斯特大学）
本文提出利用多级稀疏插值算法求解线性偏微分方程，采用张量积光滑基函数，实现高精度计算。
2017-10-19 cs.NA math.NA
A Robust Algebraic Multilevel Domain Decomposition Preconditioner For Sparse Symmetric Positive Definite Matrices
区域分解（DD）方法被广泛用作预处理技术。它们的有效性依赖于局部构造的粗糙空间的选择。到目前为止，这种构造主要是使用来自离散偏微分方程（PDE）的非组装矩阵来实现的。因此，DD方法主要是成功地解决系统源于偏微分方程。本文提出了一种完全代数的多级DD方法，该方法可以在不需要除系数矩阵外的任何信息的情况下局部有效地构造粗空间。预处理矩阵的条件数可以由用户指定的数来限定。数值实验说明了预条件子对不同应用中出现的一系列问题的有效性。
2021-09-13 cs.NA math.NA
Quasi-Monte Carlo integration with product weights for elliptic PDEs with log-normal coefficients
本文研究了具有对数正态系数的扩散问题的准蒙特卡洛积分，提出基于不同假设的乘积权重构造方法，实现更高效的积分算法，并应用于小波随机模型。
2017-01-21 cs.NA math.NA
Quasi-Monte Carlo for Bayesian design of experiment problems governed by parametric PDEs
LUT University（拉彭兰塔-拉赫蒂理工大学）；Freie Universität Berlin（柏林自由大学）
本文研究了由偏微分方程 governed 的贝叶斯反问题最优实验设计，通过全张量积和稀疏张量积组合的拟蒙特卡洛方法分析参数双积分问题，验证了稀疏方法在收敛率上的优势。
2026-07-17 cs.NA math.NA
Multilevel quadrature formulae for the optimal control of random PDEs
本文提出用多层求积公式求解随机PDE约束最优控制问题，通过组合各层伴随变量得到控制近似，并以MLMC验证其相较标准Monte Carlo具有更优计算复杂度。
2025-05-16 cs.NA math.NA math.OC
Goal-oriented adaptivity for multilevel stochastic Galerkin FEM with nonlinear goal functionals
本文提出一种目标导向自适应算法，结合多层随机Galerkin有限元方法，用于高效逼近参数化椭圆PDEs解的非线性目标泛函，并证明误差估计收敛到零。
2025-10-07 cs.NA math.NA
Multilevel Picard approximations of high-dimensional semilinear partial differential equations with locally monotone coefficient functions
半线性抛物型偏微分方程（PDE）的全历史递推多层Picard逼近方法是唯一能证明克服维数灾难的方法，如果系数函数和非线性项是全局Lipschitz连续的，且非线性项是梯度无关的.本文将这一结果推广到局部单调系数函数。我们的结果涵盖了一系列的多项式系数函数的半线性偏微分方程。
2022-04-28 cs.NA math.NA math.PR
Overcoming the curse of dimensionality in the numerical approximation of Allen-Cahn partial differential equations via truncated full-history recursive multilevel Picard approximations
高维非线性偏微分方程的近似解是应用数学中最具挑战性的问题之一。像有限差分或有限元这样的标准确定性近似方法在计算工作量在维度上呈指数增长的意义上遭受维度灾难。在这项工作中，我们克服了这一困难的情况下，反应扩散型偏微分方程的局部Lipschitz连续coervice非线性（如艾伦-卡恩偏微分方程），通过引入和分析截断变量最近推出的全历史递归多级皮卡德近似计划。
2019-07-15 cs.NA math.AP math.NA
On multilevel Picard numerical approximations for high-dimensional nonlinear parabolic partial differential equations and high-dimensional nonlinear backward stochastic differential equations
Princeton University（普林斯顿大学）；Peking University（北京大学）；University of Duisburg-Essen（杜伊斯堡-埃森大学）；ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）
本文研究了高维非线性抛物型偏微分方程和高维非线性反向随机微分方程的数值近似方法，提出了一种基于皮卡近似和多级蒙特卡洛方法的算法，并通过数值模拟验证了其在100维问题中的准确性和效率。
2017-08-10 cs.NA math.NA
Multilevel CNNs for Parametric PDEs
Technical University of Berlin（柏林工业大学）；Weierstraß Institute（魏尔斯特拉斯研究所）
结合多层求解器与深度学习提出高效求解高维参数化偏微分方程的新方法，理论上能逼近多重网格V循环且权重仅对数依赖最细网格分辨率，实验表明其性能显著优于现有深度学习求解器。
2023-04-04 cs.LG cs.NA math.AP
Multilevel Picard approximations for high-dimensional semilinear second-order PDEs with Lipschitz nonlinearities
最近提出的全历史递归多层Picard（MLP）逼近方法在高维非线性偏微分方程解的数值逼近方面取得了很大的成功。特别是，在文献中有数学收敛的结果证明，MLP近似方法确实克服了非线性二阶偏微分方程的数值逼近中的维数灾难，在这个意义上，所提出的MLP近似方法的计算操作的数量在规定的近似精度$ε>0$的倒数$1/ε$和偏微分方程维数$d\in \mathbb{N}=\{1,2,3, \ldots\}$中最多多项式地增长。然而，在文献中的MLP逼近方法的收敛性结果中，假定二阶微分算子前面的系数函数是仿射线性的。特别地，直到今天，在科学文献中还没有结果证明任何具有一般时域和二阶微分算子前面的非仿射线性系数函数的半线性二阶偏微分方程可以被近似而没有维数灾难。本文的主要贡献是克服这一障碍，提出并分析了一类二阶微分算子前系数函数可能为非线性的半线性二阶偏微分方程的MLP逼近方法.特别地，本文的主要结果证明了这种新的MLP逼近方法确实克服了半线性二阶偏微分方程数值逼近中的维数灾难。
2020-10-09 cs.NA math.NA math.PR
Multilevel Picard algorithm for general semilinear parabolic PDEs with gradient-dependent nonlinearities
针对系数非常数且非线性依赖梯度的一般半线性抛物型 PDE，提出多层 Picard 逼近算法，并借助 SFPE 证明解与梯度的表示、收敛性及复杂度，辅以 300 维数值验证。
2025-02-18 cs.NA math.AP math.NA
Multilevel CNNs for Parametric PDEs based on Adaptive Finite Elements
提出一种基于自适应有限元的多层CNN架构，高效逼近参数化PDE的参数到解映射，兼具精度与复杂度优势，并通过后验误差估计实现误差控制。
2024-08-20 cs.LG cs.NA math.NA
Multilevel Monte Carlo FEM for Elliptic PDEs with Besov Random Tree Priors
本文提出了一种求解多面体区域上线性椭圆扩散问题的多层Monte Carlo（MLMC）-FEM算法，该算法具有Besov树随机系数，求解区域为$\mathcal D\subset \mathbb R^d$.也就是说，扩散系数的矩阵是从所谓的Besov树先验中采样的，Besov树先验最近被提出来对科学和工程中的分形现象的数据进行建模。椭圆型偏微分方程的全离散有限元的数值分析包括求积近似，并且必须考虑a）非均匀路径上和下系数边界，以及b）Besov树系数的低路径正则性。容许的非参数随机系数对应于随机函数在分形维数可调的随机分形上表现出奇异性，但不涉及样本路径奇异支撑的分形几何的先验规范。最佳的复杂性和收敛速度估计的兴趣量和他们的二阶矩的证明。MLMC-FEM的收敛性分析，产生的算法转向参数的选择，有效的实施。提供了MLMC-FEM近似的复杂性（"误差与工作“）分析。
2023-02-01 cs.NA math.NA math.PR
HILUCSI: Simple, Robust, and Fast Multilevel ILU for Large-Scale Saddle-Point Problems from PDEs
不完全因子分解是Krylov子空间方法求解大型稀疏线性系的一种广泛使用的预处理技术。它的多级变体，如ILUPACK，对于许多对称或非对称线性系比传统的单级不完全LU（或ILU）技术更鲁棒。然而，以前的多层ILU技术仍然缺乏鲁棒性和效率的一些大规模的鞍点问题，这往往会出现在系统的偏微分方程（PDE）。我们介绍HILUCSI，或分层不完整的LU-Crout与可扩展性为导向和反向为基础的下降。作为一个多级预处理器，HILUCSI静态和动态地将单个行和列排列到下一级以进行延迟因子分解。与ILUPACK不同，HILUCSI在顶层应用对称预处理技术，但在较粗的层次总是使用非对称预处理和非对称因子分解。延迟与混合预处理相结合，使几乎或部分对称系统的统一处理，并简化了实现，避免混合$1\times 1$和$2\times 2$枢轴对称不确定系统。我们表明，这种组合提高了不确定系统的鲁棒性，而不影响效率。此外，为了使具有数百万或更多未知数的大规模系统具有更高的效率，HILUCSI引入了面向可扩展性的丢弃，并结合了基于逆的丢弃的变体。我们证明了HILUCSI的有效性，几十个基准问题，包括那些从混合制定的泊松方程，斯托克斯方程，和Navier-斯托克斯方程。我们还比较了它的性能与ILUPACK，超级节点ILUTP在SuperLU，多线程直接求解器在PARDISO和MUMPS。
2021-05-28 cs.MS cs.NA math.NA
Stability of Low-Rank Tensor Representations and Structured Multilevel Preconditioning for Elliptic PDEs
将大小为$2^L$的网格值向量折叠成模式大小为$2\times \cdots\times 2$的$L$阶张量，与张量训练格式的低秩表示相结合，已被证明可以导致各种类型的函数的高效近似。这些问题包括非光滑域上的椭圆型偏微分方程的解或具有振荡数据的偏微分方程的解。这种张量结构的方法是有吸引力的，因为它导致高度压缩，自适应近似基于简单的离散化。基本基的标准选择，如均匀张量积网格上的分段多线性有限元，必然导致离散算子的众所周知的矩阵病态。我们证明，对于低秩表示，张量结构本身的使用还引入了表示病态，这是张量网络中计算特有的一种新效应。我们分析了二阶线性椭圆算子BPX预处理器的张量结构，并构造了预处理器的显式张量结构表示，其秩与离散化水平的数量$L$无关。直接应用的预条件产生离散算子的矩阵条件是统一的离散化参数，但在分解表示病态。通过另外消除某些冗余的预处理离散算子的表示，我们得到的降秩分解是免费的矩阵和表示病态。对于低秩张量的软阈值的基础上的迭代求解器，我们得到的收敛性和复杂性的估计，并证明其可靠性和效率的离散化与$2^{50}$节点在每个维度。
2019-11-17 cs.NA math.NA
Convergence analysis of a quasi-Monte Carlo-based deep learning algorithm for solving partial differential equations
Tsinghua University（清华大学）
深度学习方法在求解偏微分方程（PDE）方面取得了巨大成功，其中损失通常被定义为积分。这些算法的精度和效率在很大程度上取决于求积方法。本文提出将拟蒙特卡罗方法（QMC）应用于求解泊松方程和静态薛定谔方程的Neumann问题的Deep Ritz方法（DRM）。对于误差估计，我们将使用深度学习算法求解偏微分方程的误差分解为泛化误差、近似误差和训练误差。我们建立了上界，并证明了基于QMC的DRM实现了比DRM渐近更小的误差界。数值实验表明，该方法在所有情况下收敛速度都更快，且基于随机QMC的DRM的梯度估计方差比DRM的梯度估计方差小小于，说明了QMC在深度学习方面优于MC.
2022-10-28 cs.LG cs.NA math.NA
Space-time multilevel quadrature methods and their application for cardiac electrophysiology
我们提出了一种新的方法，旨在高性能的心脏电生理模拟的不确定性量化。采用单域方程来模拟心脏细胞内的跨膜电位，我们评估了心脏纤维的空间相关扰动对所产生的感兴趣的量的统计的影响。我们的方法依赖于多层次的积分方法，并行迭代求解器和时空有限元离散的紧密结合，允许在空间，时间和随机的完全并行化的框架。广泛的数值研究，以评估收敛速度和比较经典的蒙特卡罗方法，如标准蒙特卡罗（MC）和拟蒙特卡罗方法（QMC），以及多级策略，即多级蒙特卡罗（MLMC）和多级拟蒙特卡罗方法（MLQMC）的嵌套网格层次的性能。最后，我们采用了最近提出的非嵌套网格的多层次方法的变体来处理一个现实的心脏几何形状。
2021-05-05 cs.CE cs.NA math.NA
Uncertainty quantification for electrical impedance tomography using quasi-Monte Carlo methods
该研究针对电阻抗断层成像这一逆问题，采用贝叶斯统计反演范式，运用随机移位秩-1格点规则的准蒙特卡洛方法进行不确定性量化，证明其收敛速度快于蒙特卡洛且与维度无关，并通过模拟数据验证了方法有效性。
2025-03-25 cs.NA math.NA
MGM: A meshfree geometric multilevel method for systems arising from elliptic equations on point cloud surfaces
我们开发了一种新的无网格几何多层（MGM）方法来求解由点云表示的曲面上的椭圆偏微分方程离散化所产生的线性系。该方法使用泊松磁盘采样型技术粗化点云和新的无网格约束/插值算子的基础上多调和样条之间的粗化点云的信息传输。然后将这些与标准平滑和算子粗化方法在V循环迭代中相结合。MGM适用于基于各种局部无网格方法的椭圆偏微分方程的离散，包括径向基函数有限差分（RBF-FD）和广义有限差分（GFD）。我们测试MGM作为一个独立的求解器和Krylov子空间方法的预处理几个测试问题，使用RBF-FD和GFD，并数值分析收敛速度，效率和缩放随着点云大小的增加。我们还执行并排比较代数多重网格（AMG）方法解决相同的系统。最后，我们进一步证明了MGM的有效性，将其应用到三个具有挑战性的应用程序在复杂的表面：图案形成，表面谐波，测地线距离。
2022-04-13 cs.NA math.NA
Multilevel Picard approximations overcome the curse of dimensionality in the numerical approximation of general semilinear PDEs with gradient-dependent nonlinearities
本文证明了Neufeld与Wu提出的用于求解含梯度依赖非线性项的一般半线性抛物型PDE的多级Picard（MLP）算法可克服维数灾难，其计算复杂度仅随维度和精度倒数呈多项式增长。
2025-03-20 cs.NA math.AP math.NA
Multilevel Monte Carlo methods for stochastic convection-diffusion eigenvalue problems
本文提出多层蒙特卡洛方法高效估计随机对流扩散特征值问题的最小特征值期望，结合有限元离散、RQ/IRA求解器及网格层次加速，并通过流线迎风Petrov-Galerkin和同伦法增强稳定性，数值实验验证其复杂度优于普通蒙特卡洛。
2024-02-12 cs.NA math.NA
Multilevel Double Loop Monte Carlo and Stochastic Collocation Methods with Importance Sampling for Bayesian Optimal Experimental Design
一个最佳的实验设置最大限度地提高数据的价值，统计推断和预测。寻找最佳实验设置的策略的效率对于耗时或昂贵的实验尤为重要。例如，在实验由偏微分方程（PDE）建模的情况下，多层方法已被证明在估计期望值时显著降低其单级对应物的计算复杂性。对于偏微分方程可以模拟实验的设置，我们提出了两个多层方法来估计一个流行的设计标准，称为预期的信息增益在基于模拟的贝叶斯最优试验设计。期望信息增益准则是一种嵌套的期望形式，只有少数多层方法已被提出用于这种形式的问题。我们提出了一个多级双环蒙特卡罗（MLDLMC），这是一个多层次的策略与双环蒙特卡罗（DLMC），和一个多级双环随机配置（MLDLSC），它执行一个高维的积分稀疏网格上的确定性求积。对于这两种方法，拉普拉斯近似用于重要性抽样，大大减少了估计内部期望的计算工作。方法参数的最优值通过最小化平均计算工作来确定，服从于满足期望的误差容限。的计算效率的方法证明，通过估计预期的信息增益贝叶斯推断的纤维取向的复合材料层压材料从电阻抗断层扫描实验。MLDLSC表现优于MLDLMC时，感兴趣的量的规律性，相对于加性噪声和未知参数，可以利用。
2020-02-03 cs.NA math.NA
Uncertainty quantification for stationary and time-dependent PDEs subject to Gevrey regular random domain deformations
University of Oxford（牛津大学）；LUT University（拉彭兰塔-拉赫蒂理工大学）；Free University of Berlin（柏林自由大学）
本文研究了在 Gevrey 正则随机域变形下 PDE 的不确定性量化，设计了随机移位格点 quasi-Monte Carlo (QMC) 立方体规则，并证明了其在维度独立的线性收敛率。
2026-05-08 cs.NA math.NA
Algorithms for Solving High Dimensional PDEs: From Nonlinear Monte Carlo to Machine Learning
近年来，利用非线性（多级）蒙特卡罗或深度学习的思想，在求解高维偏微分方程（PDE）的数值算法方面取得了巨大进展。对于许多不同的应用，它们可能没有维数灾难，并且在一些非线性抛物型偏微分方程的非线性蒙特卡罗方法的情况下已经被证明是这样。在本文中，我们回顾这些数值和理论的进展。除了基于原始问题的随机重构的算法，如多层Picard迭代和Deep Bracket方法，我们还讨论了基于更传统的Ritz，Galerkin和最小二乘公式的算法。我们希望向读者证明，研究偏微分方程以及控制和变分问题在非常高的维度很可能是最有前途的新方向在数学和科学计算在不久的将来。
2020-09-11 cs.NA math.NA math.OC
Quasi-Monte Carlo and discontinuous Galerkin
本研究针对含随机系数的椭圆型偏微分方程的非协调间断伽辽金近似，开发定制化准蒙特卡洛求积法，证明其收敛速率与连续有限元情形一致，推导的参数正则性界可用于其他方法，数值结果验证了理论结论。
2024-12-11 cs.NA math.NA
MG/OPT and MLMC for Robust Optimization of PDEs
基于MG/OPT框架，提出了一种求解不确定系数偏微分方程约束鲁棒控制问题的算法。这个MG/OPT层次结构中的级别通常对应于PDE的离散化级别。对于随机问题，相关的量（如梯度）包含这些水平上的每一个期望值算子。使用多水平蒙特卡罗方法估计，具体取决于MG/OPT水平。然后，每个优化级别包含多个底层多级蒙特卡罗级别。MG/OPT层次结构允许算法利用PDE中固有的结构，加速收敛到最优。相比之下，多级蒙特卡洛层次结构的存在，利用结构中存在的随机尺寸的问题。证明了算法的收敛速率，并讨论了算法的一些性质。该算法的性能进行了数值研究的三个测试用例。可以观察到在昂贵的水平上所需的样本的样本个数的减少以及因此在计算时间上的减少。
2021-07-19 cs.NA math.NA math.OC
Quasi-Monte Carlo for SDE Simulation: Error Analysis and Dimensionality Reduction
Tsinghua University（清华大学）；Zhejiang University（浙江大学）；South China University of Technology（华南理工大学）
研究拟蒙特卡洛方法加速随机微分方程模拟，提出基于精确模拟的多层随机时间网格方法，实现超指数衰减的截断误差并大幅降维。
2026-06-24 cs.NA math.NA
A full multigrid multilevel Monte Carlo method for the single phase subsurface flow with random coefficients
地下渗流通常受到不确定的多孔介质结构的影响。然而，在大多数情况下，我们对多孔介质的性质只有部分的了解。一种常用的方法是将多孔介质的不确定性参数建模为随机场，然后用蒙特卡罗方法计算感兴趣量（QoI）的统计矩（如期望）。在这项研究中，我们开发了一个完整的多重网格多级蒙特卡罗（FMG-MLMC）方法，以加快随机参数对单相多孔流的影响的评估。一般而言，MLMC方法应用一系列分辨率递增的离散化，并计算每个离散化的QoI。有效的方差缩减是该方法的成功之处。我们利用MLMC和多重网格方法的类似层次，并获得粗网格$Q^c_l$上的解决方案作为副产品的细网格$Q^f_l$上的每个级别$l$的完整的多重网格解决方案。在这项工作中考虑的情况下，由于粗网格样本保存的计算节省是渐进的$20\%$。此外，蒙特卡罗和拟蒙特卡罗方法（QMC）的比较表明，在本研究中，后者的估计方差较小，收敛速度较快。
2019-10-10 cs.NA math.NA
Efficient adaptive multilevel stochastic Galerkin approximation using implicit a posteriori error estimation
University of Manchester（曼彻斯特大学）；University of Birmingham（伯明翰大学）
本文提出一种高效自适应多级随机伽辽金有限元方法，通过隐式后验误差估计策略，快速且有效地解决具有参数依赖系数的椭圆偏微分方程，无需调参即可实现误差估计能量衰减。
2018-06-15 cs.NA math.NA
Multilevel Representations of Isotropic Gaussian Random Fields on the Sphere
构造了各向同性高斯随机场在$\mathbb{S}^2$上具有独立高斯系数和局部基函数的级数展开式。这样的表示与多级局部结构提供了一种替代的标准Karhunen-Loève展开的各向同性随机场的球谐函数。通过将协方差算子的平方根应用于球形针状体来获得基函数。所得到的协方差相关的多级基础上的角随机场的功率谱的衰减条件下示出的本地化。此外，给出了数值例子，并分析了其在球面上随机椭圆偏微分方程中的应用。
2022-06-24 cs.NA math.NA math.PR
Quasi continuous level Monte Carlo for random elliptic PDEs
本文提出拟连续水平蒙特卡洛方法，用拟蒙特卡洛序列生成指数分布随机变量，显著降低方差，在随机椭圆偏微分方程示例中明显优于多水平和连续水平蒙特卡洛。
2023-10-12 cs.NA math.NA math.PR
Multilevel Markov Chain Monte Carlo with likelihood scaling for Bayesian inversion with high-resolution observations
本文提出一种结合似然缩放的多层MCMC方法，用于高分辨率数据下PDE随机场参数的贝叶斯反演，在保持与层级无关方法相同收敛速率的同时显著降低计算成本，并通过二维平面应力问题验证了有效性。
2025-01-09 cs.NA math.NA
Multilevel estimation of expected exit times and other functionals of stopped diffusions
本文提出并分析了一种新的多级蒙特卡洛方法，用于估计多维布朗扩散的预期退出时间及相关函数，这些函数对应于高维抛物型PDE的解。证明了达到ε均方误差的复杂度为O(ε^{-2} |log ε|^3)。
2018-09-01 cs.NA math.NA q-fin.CP
Robust Optimization of PDEs with Random Coefficients Using a Multilevel Monte Carlo Method
KU Leuven（荷语鲁汶大学）
本文研究了受不确定系数约束的偏微分方程优化问题，提出利用多级蒙特卡洛方法计算梯度和Hessian，通过动态决定样本数量以降低计算成本，测试了非线性共轭梯度法和牛顿法在椭圆扩散问题中的有效性。
2017-11-07 cs.NA math.NA math.OC
Adaptive Multilevel Neural Networks for Parametric PDEs with Error Estimation
Weierstraß-Institut für Angewandte Analysis und Stochastik (WIAS)（魏尔斯特拉斯应用分析与随机学研究所）
针对高维参数化偏微分方程求解问题，提出模仿自适应有限元方法的多级CNN架构，结合分层基与后验误差估计实现误差可控的高效近似，给出了架构设计与初步数值验证。
2024-03-19 cs.LG cs.NA math.NA
A quantum-inspired multi-level tensor-train monolithic space-time method for nonlinear PDEs
Khalifa University of Science and Technology（哈利法科学技术大学）；Technology Innovation Institute（技术创新研究所）；Emirates Nuclear Energy Company（阿联酋核能公司）；Emirates Nuclear Technology Center（阿联酋核技术中心）
本文提出了一种受量子启发的多级张量列车方法，用于高效求解非线性偏微分方程，通过多级策略提升收敛性和计算效率。
2026-02-08 cs.NA cs.PF math.NA
