Multilevel Monte-Carlo for measure valued solutions
ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）
本文提出多级蒙特卡洛方法用于求解双曲守恒律的熵测度值解，推导了窄收敛的精确界，并展示了MLMC在效率上的表现。
2016-11-23 cs.NA math.NA
Nested Multilevel Monte Carlo with Preintegration for Efficient Risk Estimation
Tsinghua University（清华大学）
本文提出结合预积分的嵌套多级蒙特卡洛方法，通过预积分消除指示函数的不连续性并降低计算成本，理论分析证明其收敛速率达-1，优于标准多级蒙特卡洛的-1/2，且能处理高峰度现象。
2026-04-03 cs.NA math.NA
Gradient-based optimisation of the conditional-value-at-risk using the multi-level Monte Carlo method
本文提出结合多层级蒙特卡洛与梯度下降算法优化条件风险价值，并证明指数收敛，数值实验显示与标准MLMC相同的渐近成本-容差性能。
2023-10-13 cs.NA math.NA
Multilevel Monte Carlo methods for the Dean-Kawasaki equation from Fluctuating Hydrodynamics
本文为高度奇异的 Dean–Kawasaki 方程提出基于分布律的 MLMC 格式，在二维数值实验中验证其相对标准蒙特卡洛可显著降低计算成本。
2024-05-08 cs.NA math.AP math.NA
Unbiased MLMC stochastic gradient-based optimization of Bayesian experimental designs
在本文中，我们提出了一个有效的随机最优化算法搜索贝叶斯试验设计，使预期的信息增益最大化。预期信息增益相对于试验设计参数的梯度由嵌套期望给出，对于该嵌套期望，使用固定数量的内部样本的标准蒙特卡罗方法产生有偏估计量。本文应用随机多层蒙特卡罗（MLMC）方法的思想，在有限的期望平方$\ell_2$ -范数和有限的期望计算代价下，给出了期望信息增益梯度的无偏蒙特卡罗估计.我们的无偏估计量可以很好地结合随机梯度下降算法，这导致我们的建议的优化算法来搜索最佳贝叶斯试验设计。数值实验表明，我们提出的算法不仅适用于简单的测试问题，而且适用于更现实的药代动力学问题。
2021-07-28 cs.NA math.NA stat.CO
Efficient risk estimation via nested multilevel quasi-Monte Carlo simulation
我们考虑的问题估计的概率从一个金融投资组合，未来的损失表示为一个条件期望的大损失。由于条件期望在大多数情况下是难以处理的，因此可以求助于嵌套模拟。为了降低嵌套模拟的复杂度，本文提出了一种结合多层蒙特卡罗（MLMC）和拟蒙特卡罗方法（QMC）的方法。在外部模拟中，我们使用蒙特卡罗来生成金融场景。在内部模拟中，我们使用QMC来估计每种情景下的投资组合损失。我们证明了在粗嵌套模拟和多层嵌套模拟中，使用QMC可以加快收敛速度。在一定条件下，通过引入QMC，MLMC的复杂度可以降低到$O(ε^{-2}(\log ε)^2)$。另一方面，由于指示函数的存在，MLMC遇到了灾难性的耦合问题。为了弥补这一点，我们提出了一个平滑MLMC方法，它使用逻辑S形函数近似指示函数。数值结果表明，当使用QMC方法在MLMC和光滑MLMC，即使在中等高的维度几乎达到最佳的复杂性$O(ε^{-2})$。
2020-11-24 cs.NA math.NA
Construction of a Mean Square Error Adaptive Euler--Maruyama Method with Applications in Multilevel Monte Carlo
King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学）；University of Oslo（奥斯陆大学）
本文基于均方误差展开构造了自适应欧拉-马尔可夫方法，并将其应用于多级蒙特卡洛方法中，以高效解决低正则性问题，实验证明该方法在低正则性问题中性能显著优于均匀时间步长方法。
2015-07-15 cs.NA math.NA
Unbiased Multilevel Monte Carlo methods for intractable distributions: MLMC meets MCMC
从马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）输出构造无偏估计量是一个困难的问题，最近在统计学和机器学习界受到了很多关注。然而，目前的无偏MCMC框架仅适用于兴趣量是期望的情况，这排除了许多实际应用。本文提出了一种构造期望函数无偏估计量的一般方法，并将其推广到构造套期望的无偏估计量。我们的方法结合和推广了无偏MCMC和多层蒙特卡罗（MLMC）方法。与传统的顺序方法相比，我们的估计器可以在并行处理器上实现。我们表明，我们的估计有一个有限的方差和计算复杂性，并可以实现$\varepsilon$ -在温和的条件下，在最佳的$O(1/\varepsilon^2)$计算成本的准确性。我们的数值实验证实了我们的理论研究结果，并证明了无偏估计量在大规模并行制度的好处。
2022-12-23 cs.NA math.NA stat.CO
Multilevel Monte Carlo with Numerical Smoothing for Robust and Efficient Computation of Probabilities and Densities
本文将数值平滑技术扩展到多层蒙特卡洛方法中，通过求根与一维数值积分相结合，显著改善了低正则性泛函下的强收敛性、复杂度与稳健性，并成功应用于概率计算、不连续收益期权定价及密度估计。
2023-10-02 cs.NA math.NA q-fin.CP
Analysis of sparse grid multilevel estimators for multi-dimensional Zakai equations
Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）
本文研究了多维Zakai方程解的期望函数的估计器的精度和计算复杂性，采用Milstein方案进行时间积分，结合交替方向隐式（ADI）分解的空间有限差分离散化，结合稀疏网格组合技术与多级蒙特卡洛采样（MLMC）。在二维情况下，通过详细的傅里叶分析发现，对于根均方误差（RMSE）ε，MLMC在稀疏网格上的最优复杂度为O(ε^{-2})，而MLMC在正则网格上为O(ε^{-2}(logε)^2)，标准MC在稀疏网格上为O(ε^{-7/2}(|logε|)^{5/2})，而MC在正则网格上为O(ε^{-4})。数值测试验证了这些发现。我们讨论了高维情况，但未给出详细证明，表明MLMC在稀疏网格上始终具有最优复杂度，标准MC在稀疏网格上具有与维度无关的固定复杂度（除了对数项），而MLMC和MC在正则网格上的成本随维度呈指数增长。
2019-04-17 cs.NA math.NA
Convergence of Multi-Level Hybrid Monte Carlo Methods for 1-D Particle Transport Problems
本文提出一种混合多层级蒙特卡洛方法求解中性粒子输运方程，通过粗网格基础解与修正因子降低方差和成本，并在1D平板模型中验证了弱收敛性。
2025-01-13 cs.NA math.NA
Optimization of mesh hierarchies in Multilevel Monte Carlo samplers
KAUST（阿卜杜拉国王科技大学）；Applied Mathematics and Computational Sciences, KAUST（应用数学与计算科学，阿卜杜拉国王科技大学）；MATHICSE-CSQI, EPF de Lausanne（洛桑联邦理工学院）；Department of Mathematical Sciences, University of Delaware（特拉华大学）
本文研究了多级蒙特卡洛采样器中网格层次参数的优化方法，探讨了几何和非几何序列网格大小对计算复杂度的影响，并分析了约束条件对最优性的影响。
2015-03-25 cs.NA math.NA
Multi-Level Monte Carlo Training of Neural Operators
Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics, University of Cambridge（应用数学与理论物理系，剑桥大学）；Department of Mechanical Engineering, University of Washington（机械工程系，华盛顿大学）；Department of Computer Science and Technology, University of Cambridge（计算机科学与技术系，剑桥大学）；Department of Mathematics, Imperial College London（数学系，伦敦帝国学院）
本文提出了一种基于多级蒙特卡洛方法的神经算子训练框架，通过多分辨率数据减少计算成本并提高训练效率。
2026-02-03 cs.LG cs.NA math.NA
Multi-Level Hybrid Monte Carlo / Deterministic Methods for Particle Transport Problems
North Carolina State University（北卡罗来纳州立大学）
本文提出多级混合输运方法解决中性粒子Boltzmann输运方程，结合多级蒙特卡洛方法和准扩散法，通过空间网格序列递归估计解功能值，实现高效计算。
2026-04-09 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Multilevel Path Branching for Digital Options
本文提出一种基于重复路径分裂的数字期权蒙特卡洛估计器，利用共享布朗路径的相关性，并与多层蒙特卡洛结合，使计算复杂度达到与Lipschitz收益期权MLMC相近的水平。
2024-06-18 cs.NA math.NA q-fin.CP
Optimal fidelity multi-level Monte Carlo for quantification of uncertainty in simulations of cloud cavitation collapse
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；Eawag, Swiss Federal Institute of Aquatic Science and Technology（瑞士联邦水科学与技术研究所以）
本文提出一种最优保真多级蒙特卡洛方法，用于量化云腔崩溃模拟中极端压力斑点位置和强度的不确定性，通过引入新的最优控制变量化系数显著提高方差减少效率，实现比传统蒙特卡洛方法快两个数量级的计算速度。
2017-05-11 cs.CE cs.DC cs.NA
Multi-Index Monte Carlo: When Sparsity Meets Sampling
King Abdullah University of Science and Technology (KAUST)（阿卜杜拉国王科技大学）；Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne（洛桑联邦理工学院）
本文提出并分析了一种新的多索引蒙特卡洛方法，用于弱逼近由随机测度或随机系数驱动的微分方程模型。通过使用高阶混合差分减少方差，改进了收敛性结果，并在高维问题中实现了更精确的解。
2015-03-25 cs.NA math.NA
Importance sampling for a robust and efficient multilevel Monte Carlo estimator for stochastic reaction networks
连续时间马尔可夫链的多层蒙特卡罗（MLMC）方法，首先由Anderson和Higham（SIAM多尺度模型）提出。你好10（1），2012）是一种高效的模拟技术，可用于估计随机反应网络（SRN）的各种统计量，特别是随机生物系统。不幸的是，多层方法的鲁棒性和性能会受到高峰度的影响，高峰度是在MLMC的深层观察到的现象，这导致对样本方差的不准确估计。在这项工作中，我们解决的情况下，高峰度现象是由于\textit {灾难性的耦合（纯跳跃过程的特性，耦合连续路径是相同的，在大多数的模拟，而差异只出现在一个很小的比例），并引入了一个路径依赖的重要性采样（IS）技术，提高了鲁棒性和效率的多层方法。我们的理论结果，以及进行的数值实验表明，我们提出的方法显着降低了峰度的MLMC的深层次，也提高了强收敛速度从$β=1$的标准情况下（没有IS），$β=1+δ$，其中$0<δ<1$是用户选择的参数，在我们的IS算法。由于MLMC的复杂性定理，并且给定预先选择的容差$\text{TOL}$，这导致复杂性从标准情况下的$\mathcal{O}\left(\text{TOL}^{-2} \log(\text{TOL})^2\right)$改进为$\mathcal{O}\left(\text{TOL}^{-2}\right)$，这是MLMC估计器的最佳复杂性。我们实现了所有这些改进，可以忽略不计的额外成本，因为…
2020-06-24 cs.NA math.NA stat.CO
Multilevel Monte Carlo estimation of expected information gains
期望信息增益是贝叶斯试验设计的一个重要质量准则，它衡量了通过收集相关数据$Y$，关于不确定感兴趣量$θ$的信息熵平均减少了多少。然而，估计预期信息增益被认为是计算上具有挑战性的，因为它被定义为具有关于$Y$的外部期望和关于$θ$的内部期望的嵌套期望。事实上，标准的嵌套蒙特卡罗方法需要$O(\varepsilon^{-3})$的总计算成本来实现$\varepsilon$的均方根精度。在本文中，我们开发了一个有效的算法来估计预期的信息增益，应用多级蒙特卡罗（MLMC）方法。为了更准确地说，我们引入了一个对立的MLMC估计的预期信息增益，并提供了一个充分条件下的数据模型，MLMC估计的对立属性得到很好的利用，从而实现最佳的复杂性$O(\varepsilon^{-2})$。此外，我们讨论了如何将重要性抽样技术内MLMC估计，以避免算术下溢。数值实验表明，相当大的计算成本节省相比，嵌套蒙特卡罗方法的一个简单的测试用例和更现实的药代动力学模型。
2019-12-06 cs.NA math.NA stat.CO
Quantifying uncertain system outputs via the multi-level Monte Carlo method -- distribution and robustness measures
本文研究利用多层蒙特卡洛方法估计复杂随机微分模型输出的分布、分位数及条件风险价值，提出新型可计算误差估计器并结合延续型自适应算法优化MLMC层级，数值实验验证了其高效性与稳健性。
2023-05-22 cs.NA math.NA math.PR
Multilevel Monte Carlo methods for positivity-preserving approximations of the Heston 3/2-model
本文针对金融领域Heston 3/2模型的期望逼近问题，提出显式无条件保正的Milstein型离散格式，证明其非全局利普希茨下的一阶均方收敛性，验证了多层蒙特卡洛方法的$\mathcal{O}(\varepsilon^{-2})$最优复杂度，数值结果与理论一致。
2024-03-09 cs.NA math.NA
Multilevel Hybrid Chernoff Tau-leap
King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学）
本文将混合Chernoff Tau跃方法扩展到多级蒙特卡洛框架，提出一种能耦合不同级别的混合Chernoff Tau跃路径的新型算法，通过双加权残差扩展技术估计方差和偏差，从而在保证误差精度的同时降低计算成本。
2014-11-21 cs.NA math.NA
Efficient white noise sampling and coupling for multilevel Monte Carlo with non-nested meshes
University of Oxford（牛津大学）；Simula Research Laboratory（西穆拉研究实验室）
本文提出了一种高效的白噪声采样方法，用于有限元方法和多级蒙特卡洛方法中，通过利用有限元矩阵装配过程和独立因子化每个局部质量矩阵，避免了大矩阵的因子化，并在非嵌套网格层次中实现了白噪声样本的耦合，展示了在二维和三维椭圆SPDE中的最优收敛率和采样场协方差的收敛性。
2018-09-14 cs.NA math.NA
Antithetic multilevel Monte Carlo method for approximations of SDEs with non-globally Lipschitz continuous coefficients
针对系数非全局Lipschitz连续的SDE，提出无Lévy面积的改进Milstein型格式，证明半阶强收敛性，建立对偶MLMC的最优计算成本理论，并通过数值实验验证结论。
2024-09-11 cs.NA math.NA math.PR
Recursive rounding of sample size estimation for multi-fidelity Monte Carlo
本研究针对多保真蒙特卡洛样本分配的标准舍入法无法充分利用预算的问题，通过重新表述问题并结合贝尔曼最优性原理提出递归舍入策略，该策略高效满足方差容差且计算开销更低，还可扩展至多级蒙特卡洛。
2026-08-03 cs.NA math.NA
A Primal-dual hybrid gradient method for solving optimal control problems and the corresponding Hamilton-Jacobi PDEs
本文利用 Lagrange 乘子将最优控制与 HJ PDE 重构为鞍点问题，提出基于预条件 PDHG 的一阶、无条件稳定且可并行的求解框架。
2024-03-04 cs.NA math.NA math.OC
From PDEs constrained optimization to controllability problems via time domain decomposition
Université de Pau et des Pays de l’Adour（波尔多大学）；Lund University（隆德大学）
本文通过时域分解方法解决偏微分方程约束优化和可控性问题，证明两者在应用时域分解后具有相同的收敛行为，并通过数值实验验证了理论结果。
2026-05-21 cs.NA math.NA math.OC
A Seamless Multilevel Ensemble Transform Particle Filter
Imperial College London（伦敦帝国理工学院）
本文提出一种无缝算法，将多级蒙特卡洛方法应用于集合变换粒子滤波器，通过优化粗细集合间的耦合变换减少方差，提升多级方法的计算效率与一致性。
2017-06-14 cs.NA math.NA
Three Improvements to Multi-Level Monte Carlo Simulation of SDE Systems
University of California at Los Angeles（加州大学洛杉矶分校）
本文提出三种改进多级蒙特卡洛方法用于求解随机微分方程系统，包括Ito线性化技术、改进的反向方法及任意细化因子下的反向方法，通过数值实验比较了不同方法的性能。
2013-09-08 cs.NA math.NA
Multilevel Monte Carlo estimation of the expected value of sample information
本文研究了样本信息期望值的蒙特卡罗估计，它衡量了在不确定性条件下获得额外信息对决策的预期效益。EVSI被定义为嵌套期望，其中外部期望是关于一个随机变量$Y$的，内部条件期望是关于另一个随机变量$θ$的。尽管嵌套（马尔可夫链）蒙特卡罗估计器经常用于此背景下，但众所周知，$\varepsilon$的均方根精度是以$O(\varepsilon^{-2-1/α})$为代价实现的，其中$α$表示偏差的收敛阶数，通常介于$1/2$和$1$之间。在这篇文章中，我们提出了一种新的有效的蒙特卡罗估计EVSI应用多级蒙特卡罗（MLMC）方法。而不是固定的内部样本的数量$θ$在嵌套蒙特卡罗估计，我们认为内部样本的数量上的几何级数，这产生了一个层次的内部条件期望的估计，随着近似水平的增加。基于一个初等的伸缩和，我们的MLMC估计是由内部条件期望上逐次逼近水平差的Monte Carlo估计之和给出的。我们表明，在一组假设的决策和信息模型，逐次逼近水平是紧密耦合的，这直接证明了我们的MLMC估计提高了必要的计算成本，以最佳的$O(\varepsilon^{-2})$。数值实验证实了相当大的计算节省相比，嵌套蒙特卡罗估计。
2020-08-18 cs.NA math.NA
Nitsche-XFEM for optimal control problems governed by elliptic PDEs with interfaces
School of Mathematics, Sichuan University（四川大学数学学院）
本文提出基于Hansbo的Nitsche-XFEM方法，用于求解具有界面的椭圆PDE最优控制问题，推导了状态、共轭状态和控制的最优误差估计，并验证了非均质界面条件的适用性。
2018-05-10 cs.NA math.NA math.OC
Reliable Error Estimates for Optimal Control of Linear Elliptic PDEs with Random Inputs
针对带随机输入的线性椭圆型偏微分方程风险中性最优控制问题，提出蒙特卡洛采样结合有限元的离散化方法，建立了解的指数尾界，证明有限维解可可靠估计原问题解，并通过数值模拟验证理论。
2023-08-01 cs.NA math.NA math.OC
Nested Multilevel Monte Carlo with Biased and Antithetic Sampling
针对嵌套期望估计问题，本文提出结合有偏多层近似与对偶采样的嵌套 MLMC 方法，在不同假设下实现 $\varepsilon^{-2}$ 及 $\varepsilon^{-2}|\log\varepsilon|^3$ 阶计算成本。
2023-08-15 cs.NA math.NA q-fin.CP
A Galerkin FE method for elliptic optimal control problem governed by 2D space-fractional PDEs
本文对二维区域上的Riesz空间分数阶偏微分方程所控制的椭圆型最优控制问题提出了一种Galerkin有限元法，其中控制变量采用变分离散技术离散。推导了系统的最优性条件，并成功地建立了控制量、协状态量和状态变量的先验误差估计。数值试验表明了该方法的准确性。
2022-02-19 cs.NA math.NA
Robust feedback control of nonlinear PDEs by numerical approximation of high-dimensional Hamilton-Jacobi-Isaacs equations
Imperial College London（帝国理工学院）；University of Graz（格拉茨大学）；Radon Institute for Computational and Applied Mathematics (RICAM)（拉德诺计算与应用数学研究所）
本文提出了一种合成非线性PDEs鲁棒和最优反馈控制器的方法，通过伪谱摄动法将无限维控制系统近似为高维非线性动力学，利用H∞控制方法构造鲁棒反馈控制，解决高维Hamilton-Jacobi-Isaacs非线性PDE，通过分离表示和多项式近似实现高维问题的求解，并在非线性抛物型PDEs中验证了鲁棒性和最优性。
2019-05-15 cs.NA math.NA math.OC
Optimal complexity of adaptive FEM for second-order linear elliptic PDEs driven by non-residual estimators, Part I: Symmetric PDEs
TU Wien（维也纳工业大学）；University of Twente（特温特大学）
研究对称二阶线性椭圆型偏微分方程的自适应有限元方法，在特定假设下证明算法能无条件全R线性收敛，对足够小参数保证最优复杂度，重点分析如基于平均的非残差估计器。
2026-07-17 cs.NA math.NA
Computational stability analysis of PDEs with integral terms using the PIE framework
偏积分方程（Partial Integral Equation，PIE）框架被开发用于计算分析线性偏微分方程（Linear Partial Differential Equations，PDE），其中PDE首先被转换为PIE，然后通过求解算子值最优化问题来解决分析问题。PIE框架上以前的工作集中在空间导数高达$2^{nd}$阶的偏微分方程的分析。在本文中，我们扩展类的偏微分方程，包括积分项和使用PIE框架进行稳定性分析。更具体地说，我们表明，与积分项的积分是相对于空间变量和核心的积分算子是矩阵值多项式的偏微分方程可以转换为PIEs，如果边界条件满足一定的标准。通过使用变量的变量变换来执行转换，其中每个PDE状态根据其最高导数和边界值被替换，以在不具有任何连续性要求的变量中获得新方程（PIE）。后来，我们表明，这种变量变换可以表示使用显式映射的参数的PDE的PIE和稳定性测试的参数可以构成为一个最优化问题，涉及这些参数。最后，我们给出了数值例子来证明这种方法的简单性和应用。
2022-04-01 cs.NA math.NA math.OC
Optimal Control of Fractional Elliptic PDEs with State Constraints and Characterization of the dual of Fractional Order Sobolev Spaces
George Mason University（乔治梅森大学）；University of Puerto Rico, Rio Piedras Campus（波多黎各大学里奥彼德拉斯校区）
本文研究了由分数阶椭圆PDEs支配的最优控制问题中的状态约束，开发了多种数学工具，如分数阶Sobolev空间的对偶空间刻画和分数PDEs的测度值数据的适定性，推导了最优控制问题的适定性并得到一阶最优性条件，强调了经典情况（s=1）已被E.Casas研究，但现有结果难以直接应用于分数阶情况。
2019-05-31 cs.NA math.AP math.NA
A model reduction method for multiscale elliptic PDEs with random coefficients using an optimization approach
California Institute of Technology（加州理工学院）；The University of Hong Kong（香港大学）
本文提出了一种基于优化方法的多尺度椭圆PDEs模型降阶方法，通过构造局部多尺度数据驱动随机基函数，实现高效求解具有随机系数的多尺度问题，具有较高的计算效率和收敛性分析。
2018-07-06 cs.NA math.NA
Learning to Control: The iUzawa-Net for Nonsmooth Optimal Control of Linear PDEs
Division of Mathematical Sciences, School of Physical and Mathematical Sciences, Nanyang Technological University（南洋理工大学数学科学系）；Department of Mathematics, The University of Hong Kong（香港大学数学系）；School of Mathematical Sciences, Nankai University（南开大学数学学院）
iUzawa-Net是一种用于非光滑最优控制的深度学习方法，结合了模型优化和数据驱动技术，实现线性PDE的实时求解。
2026-10-28 cs.LG cs.NA math.NA
Optimal parameters for numerical solvers of PDEs
本文介绍了一种在求解偏微分方程初值问题的数值格式的参数族中识别最优方法的方法。该过程通过自适应地计算最优参数来最大化精度，所述最优参数在每个时间步长处最小化基于缺陷的局部误差的估计。可行的改进，提出了减少所涉及的最优化问题的解决方案的计算开销，并保持原来的方法的守恒性质。我们应用新的战略，最近推出的家庭的Korteweg-de Vries方程和非线性热方程的保守计划。数值试验表明，与现有的方法相比，新技术的效率提高。
2021-08-07 cs.NA math.NA
Optimal control under uncertainty with joint chance state constraints: almost-everywhere bounds, variance reduction, and application to (bi-)linear elliptic PDEs
本文研究不确定性下带联合机会状态约束的PDE最优控制，证明几乎处处界存在唯一性，并利用球面-径向分解显著降低蒙特卡洛估计方差，数值验证于线性和双线性椭圆PDE。
2025-03-30 cs.NA math.NA math.OC
New Ensemble Domain Decomposition Method for the Steady-state Random Stokes-Darcy Coupled Problems with Uncertain Parameters
针对随机水力传导系数和体积力下的稳态 Stokes-Darcy 耦合问题，提出 MC/MLMC 集合域分解算法，证明其最优收敛阶并通过数值实验验证效率。
2024-08-12 cs.NA math.NA
Optimal Control, Numerics, and Applications of Fractional PDEs
本文简要介绍了两种非局部算子：分数阶拉普拉斯算子和分数阶时间导数算子的研究进展。我们首先考虑这些运算符在成像科学，电子物理学，谐波映射和深度（机器）学习中的几个应用。给出了线性分数阶椭圆型方程解的各种概念，讨论了分数阶拉普拉斯算子和分数阶时间导数的数值格式。重点讨论了以线性椭圆型方程为约束的外部最优控制问题。此外，还考虑了具有内部控制和状态约束的最优控制问题。我们还讨论了分数阶深度神经网络，这是一个以分数阶时间常微分方程为约束的最小化问题。本文最后讨论了几个开放的问题。
2021-06-24 cs.NA math.AP math.NA
Sparse polynomial approximation for optimal control problems constrained by elliptic PDEs with lognormal random coefficients
Oden Institute for Computational Engineering & Sciences, The University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校奥登计算工程与科学学院）；Department of Mechanical Engineering, and Department of Geological Sciences, The University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校机械工程系和地质科学系）
本文研究了受具有对数正态随机系数的椭圆偏微分方程约束的最优控制问题，通过稀疏多项式近似方法对最优解进行逼近，并证明了该方法在维度上具有独立的收敛率。
2019-03-13 cs.NA math.NA
An EDG Method for Distributed Optimal Control of Elliptic PDEs
College of Mathematics, Sichuan University（四川大学数学学院）；Department of Mathematics and Statistics, Missouri University of Science and Technology（密苏里科技大学数学与统计系）
本文提出EDG方法用于求解椭圆PDE的分布式最优控制问题，推导了状态、共轭状态、最优控制的最优先验误差估计，并通过数值实验验证理论结果。
2018-01-06 cs.NA math.NA
Quasi-optimal nonconforming approximation of elliptic PDEs with contrasted coefficients and minimal regularity
本文研究具有对比扩散率和极低正则性的扩散模型问题的非协调近似方法，通过弱化法向导数处理平滑性不足，实现了对扩散率对比鲁棒的误差估计，并推广至Maxwell方程。
2019-01-29 cs.NA math.NA
External optimal control of fractional parabolic PDEs
George Mason University（乔治梅森大学）；University of Puerto Rico (Rio Piedras Campus), College of Natural Sciences（波多黎各大学（里奥皮埃拉斯校区）自然科学学院）
本文提出了一种新的最优控制概念，用于解决分数抛物型PDEs作为约束的反问题，允许在PDE所满足的领域外放置源或控制。本文讨论了Dirichlet、Neumann和Robin情况。对于分数椭圆型PDEs，这一概念最近由作者在文献中进行了研究。这些新最优控制概念的必要性源于经典PDE模型只能在边界或PDE所满足的内部放置源或控制，而分数算子的非局部行为现在允许在外部放置控制。本文引入了抛物型Dirichlet问题的弱解和非常弱解的概念，并提出了一种通过抛物型Robin解近似抛物型Dirichlet解的方法（并讨论了收敛速率）。对Dirichlet和Robin最优控制问题进行了完整分析。数值实验验证了我们的理论发现，并进一步展示了非局部模型相对于局部模型的潜在优势。
2019-04-11 cs.NA math.AP math.NA
Optimal experimental design under irreducible uncertainty for linear inverse problems governed by PDEs
我们提出了一种方法来计算A-最优传感器放置的无限维贝叶斯线性逆问题的偏微分方程与不可约的模型不确定性。这里，不可约不确定性是指除了反问题中的参数之外，还存在于模型中的不确定性，并且不能通过观察来减少。具体来说，给定模型不确定性的统计分布，我们计算使后验协方差迹线的期望值最小化的最优设计。期望值离散化使用蒙特卡洛导致一个目标函数组成的跟踪运营商和二进制诱导罚款的总和。这个目标的最小化需要在每一步中进行大量的PDE求解。为了使这个问题的计算容易处理，我们构建了一个复合低秩的基础上使用随机测距算法，以消除向前和伴随PDE解决方案。我们还提出了一种新的配方的A-最优设计目标，需要跟踪的操作员在观察，而不是参数空间。使用加权正则化$\ell_0$ -稀疏化方法来强制执行二进制结构。我们提出的数值结果推断的初始条件在地下流问题的固有的不确定性，在流场和初始时间。
2020-03-30 cs.NA math.NA math.OC
Inf-Sup Neural Networks for High Dimensional PDEs
Iowa State University（爱荷华州立大学）
针对高维偏微分方程求解难题，提出基于神经网络框架，将其转化为下确界-上确界优化问题，通过两个网络参数化并经迭代鞍点优化计算，证明理论等价性并推导误差估计，数值实验验证了该方法求解高维PDEs的性能。
2026-07-14 cs.NA math.AP math.NA
Optimization of Approximate Maps for Linear Systems Arising in Discretized PDEs
本文针对离散化偏微分方程产生的线性系统序列，研究稀疏近似映射（SAM）预条件子更新中的最优稀疏模式，以加速迭代求解器的收敛。
2024-06-25 cs.NA math.NA
Multilevel and Multi-index Monte Carlo methods for the McKean-Vlasov equation
本文研究了粒子系统在均场极限下的近似问题，采用多级蒙特卡洛方法和多索引蒙特卡洛方法，分别实现了误差容忍度为TOL时的工作复杂度为O(TOL^{-3})和O(TOL^{-2}log(TOL^{-1})^2)。
2017-05-01 cs.NA math.NA
Scheduling massively parallel multigrid for multilevel Monte Carlo methods
三维偏微分方程的朴素的、基于采样的不确定性量化的计算复杂性是非常高的。多级方法，如多级蒙特卡罗（MLMC），可以大大降低复杂性，但充分利用它们在并行环境中，复杂的调度策略是必要的。通常，并行执行的快速算法对于计算3D中的精细水平样本是必不可少的，而为了计算单独的粗略水平样本，只能有效地采用中等数量的处理器。我们利用多个实例的并行多重网格求解器结合先进的负载均衡技术。特别是，我们优化的并发执行的MLMC方法的三个层：跨级别，跨样本，跨空间网格的并行化。将分析这些方法的整体效率和性能。这里，多重网格求解器的可扩展性窗口被揭示为是必不可少的，即，该属性的解决方案可以计算的进程数的范围，同时保持良好的并行效率。我们评估了一系列的数值测试中的新的调度策略，并得出结论，证明大型3D缩放实验的文件。
2016-07-12 cs.CE cs.DC cs.MS
Optimal control of elliptic PDEs on surfaces of codimension 1
University of Warwick（华威大学）
本文研究了包含沿余维为1表面积分的目标泛函的椭圆最优控制问题，采用分段线性有限元方法进行离散化，并通过数值实验验证了控制的先验L²误差估计。
2014-11-18 cs.NA math.NA
