Multilevel Sparse Tensor Approximation for High-Dimensional Parametric PDEs
本文研究了多级稀疏张量近似方法在高维仿射参数扩散方程中的效率。通过结合稀疏交替最小二乘算法与多级伽辽金离散化策略，利用解的正则性降低计算成本。理论分析表明，多级方法的工作开销与离散化级别无关，优于单级方法的指数增长。
2026-03-16 cs.NA math.NA
A Hierarchical Multilevel Markov Chain Monte Carlo Algorithm with Applications to Uncertainty Quantification in Subsurface Flow
Lawrence Livermore National Laboratory（劳伦斯利弗莫尔国家实验室）
针对高维参数空间大规模应用中马尔可夫链蒙特卡洛方法计算成本过高的问题，提出一种新的多级Metropolis-Hastings算法，通过理论分析和数值实验证明其相比标准算法可降低一个数量级以上的计算成本。
2015-08-10 cs.NA math.NA
Numerical simulations for full history recursive multilevel Picard approximations for systems of high-dimensional partial differential equations
高维非线性偏微分方程（PDE）的求解是应用数学中最具挑战性的问题之一。特别地，很难开发出不受维数灾难影响的近似算法，因为算法计算精度近似$ε> 0$所需的计算操作的数量在所需精度的倒数$1/ε$和PDE的维数$d \in \mathbb{N}$中最多多项式增长。最近，一种新的近似方法，所谓的全历史递归多层次Picard（MLP）近似方法，已被引入，直到今天，这种近似方案是唯一的近似方法在科学文献中已被证明克服灾难的维数在一般时间范围的半线性偏微分方程的数值逼近。本文的一个重要贡献是将MLP近似方法推广到半线性偏微分方程系统，并在几个例子上进行了数值测试。更具体地说，我们建议的MLP近似方法的情况下，艾伦-卡恩偏微分方程，正弦戈登型偏微分方程，耦合半线性热偏微分方程系统，半线性布莱克-斯科尔斯偏微分方程在多达1000个维度。所呈现的数值模拟结果表明，在这些示例PDE中的每一个的情况下，所提出的MLP近似方法在短运行时间内产生非常准确的结果，并且特别地，所呈现的数值模拟结果表明，所提出的MLP近似方案显著优于用于高维半线性PDE的某些基于深度学习的近似方法。
2020-05-25 cs.NA math.NA
Multilevel tensor approximation of PDEs with random data
École Polytechnique Fédérale de Lausanne（洛桑联邦理工学院）；University of Basel（巴塞尔大学）
本文提出一种新的低秩多级策略，用于求解随机扩散问题，通过自适应低秩张量技术近似高维差分，实现误差平衡和低秩张量格式的解表示。
2016-06-17 cs.NA math.NA
Multilevel Monte Carlo estimators for elliptic PDEs with Lévy-type diffusion coefficient
扩散系数在空间上不连续的一般椭圆型方程可作为非均质或裂隙多孔介质中地下渗流的简化模型。在这样的模型中，数据稀疏性和测量误差经常被考虑到的随机化的扩散系数的椭圆型方程，揭示了灵活的，空间不连续的随机场的建设的必要性。从属高斯随机场是高维参数域上的随机函数，具有样本路径不连续和分布灵活性。本文考虑一类随机椭圆型偏微分方程，其中扩散系数中存在间断的从属高斯随机场。构造了求解随机椭圆型偏微分方程的多层蒙特卡罗（MLMC）有限元法。我们证明了一个标准的MLMC估计和一个修改的MLMC -控制变量估计的先验收敛性，并验证了我们的结果在各种数值例子。
2021-08-12 cs.NA math.NA
A Multilevel Monte Carlo Ensemble Scheme for Solving Random Parabolic PDEs
University of Electronic Science and Technology of China（电子科技大学）；Sichuan University（四川大学）；University of South Carolina（南卡罗来纳大学）
本文提出一种高阶时间精度的多级蒙特卡洛集合方法，用于求解随机抛物偏微分方程，通过多级蒙特卡洛方法降低计算成本并验证了方法的收敛性。
2018-02-15 cs.NA math.NA
Smoothed Circulant Embedding with Applications to Multilevel Monte Carlo Methods for PDEs with Random Coefficients
针对带随机系数偏微分方程的MLMC方法在高振荡随机场下计算复杂度高的问题，提出集成于循环嵌入的平滑技术，可独立于随机场相关长度选择最粗网格，实际精度下计算成本降低5-10倍。
2024-12-11 cs.NA math.NA
$hp$-Multilevel Monte Carlo Methods for Uncertainty Quantification of Compressible Flows
本文提出了一种新的$hp$ -多层蒙特卡罗方法，用于可压缩Navier-斯托克斯方程中不确定性的量化，并采用间断Galerkin方法作为确定性求解器。多级方法利用均匀加细网格的层次结构，同时增加反空间的多项式次数。它允许在物理空间中有非常大的分辨率范围，从而有效地减少统计误差。我们证明了整体复杂性的$hp$ -多级蒙特卡罗方法计算的平均场与规定的精度，在最好的情况下，二次秩序的准确性。我们还提出了一种新颖而简单的方法来估计每个水平的最佳样本个数的置信下限，这有助于防止高估这些数量。该方法特别地被设计用于基于并行计算的计算系统上的应用，其中期望在一次迭代期间计算大量的样本样本个数，而不高估样本的最佳样本个数。我们的理论结果通过二维可压缩Navier-斯托克斯方程的数值实验得到了验证。特别是，我们认为从计算声学空腔流问题，证明该方法是适合于处理复杂的工程问题。
2020-08-21 cs.NA math.NA
Multilevel Domain Uncertainty Quantification in Computational Electromagnetics
我们继续我们的研究[计算电磁学中的域不确定性量化，JUQ（2020），8：301--341]的时间谐波电磁场的数值逼近的麦克斯韦损耗腔问题的不确定几何形状。我们采用相同的仿射参数形状参数化框架，将物理域映射到具有分段光滑映射的名义多边形域。在分段索伯列夫空间中刻画了回调解在名义域上的正则性。我们证明了错误的收敛速度和优化的算法转向的参数在名义域结合：（a）多级蒙特卡洛采样，和（b）多级，稀疏网格正交计算的解决方案的期望值不确定域合奏。此外，我们分析了稀疏网格插值计算代理域的解决方案的映射。所有计算都在多面体名义域上进行，这使得能够使用标准的单纯有限元网格。我们提供了一个严格的全离散误差分析，并显示，在所有情况下，实现了与维数无关的代数收敛。对于多层次稀疏网格求积方法，我们证明了高阶收敛速度，这是免费的所谓的灾难的维数，即独立的参数的数量用于参数化的容许形状。数值实验证实了我们的理论结果和验证稀疏网格方法的优越性。
2022-12-14 cs.NA math.NA
A Multilevel Monte Carlo Virtual Element Method for Uncertainty Quantification of Elliptic Partial Differential Equations
Politecnico di Milano（米兰理工大学）；University of Vienna（维也纳大学）
本文提出一种基于虚拟元离散化的多级蒙特卡洛虚拟元方法，用于求解具有随机扩散系数的椭圆偏微分方程，通过减少最细层级所需样本数来降低计算成本，验证了方法的收敛性和效率。
2026-04-15 cs.NA math.NA
Multilevel sparse grids collocation for linear partial differential equations, with tensor product smooth basis functions
University of Leicester（莱斯特大学）
本文提出利用多级稀疏插值算法求解线性偏微分方程，采用张量积光滑基函数，实现高精度计算。
2017-10-19 cs.NA math.NA
Optimized Multilevel Sampling Methods under Resource Constraints
Heidelberg University（海德堡大学）
针对高维问题和高性能计算环境下多级采样方法扩展的挑战，提出预算约束的MLMC方法和MLSGD方法，在HPC系统上验证了其在不确定性量化和最优控制应用中的有效性。
2026-08-27 cs.NA math.NA
A Robust Algebraic Multilevel Domain Decomposition Preconditioner For Sparse Symmetric Positive Definite Matrices
区域分解（DD）方法被广泛用作预处理技术。它们的有效性依赖于局部构造的粗糙空间的选择。到目前为止，这种构造主要是使用来自离散偏微分方程（PDE）的非组装矩阵来实现的。因此，DD方法主要是成功地解决系统源于偏微分方程。本文提出了一种完全代数的多级DD方法，该方法可以在不需要除系数矩阵外的任何信息的情况下局部有效地构造粗空间。预处理矩阵的条件数可以由用户指定的数来限定。数值实验说明了预条件子对不同应用中出现的一系列问题的有效性。
2021-09-13 cs.NA math.NA
Multilevel quadrature formulae for the optimal control of random PDEs
本文提出用多层求积公式求解随机PDE约束最优控制问题，通过组合各层伴随变量得到控制近似，并以MLMC验证其相较标准Monte Carlo具有更优计算复杂度。
2025-05-16 cs.NA math.NA math.OC
Multilevel quasi Monte Carlo methods for elliptic PDEs with random field coefficients via fast white noise sampling
在求解以随机场为系数的偏微分方程时，对随机场实现的有效采样是一个挑战。在本文中，我们专注于在有限元和多级拟蒙特卡罗方法（MLQMC）设置使用准随机点的高斯场的快速采样。我们的方法使用Lindgren等人的SPDE方法。结合一种新的白噪声快速采样算法，该算法与（ML）QMC相结合。我们将白噪声表示为小波级数展开，并将其分为两部分。第一部分使用准随机点进行采样，并包含有限数量的项，以确保良好的QMC收敛性。第二部分是使用标准伪随机数采样的校正项。我们展示了如何采样的两个术语可以在线性时间和内存复杂性的网格单元的数量通过一个超网格的建设，产生一个整体的线性成本。此外，我们的技术可以用来执行MLQMC耦合，即使在非嵌套网格层次结构的情况下。我们证明了我们的方法与数值实验的有效性。
2021-06-01 cs.NA math.NA
Goal-oriented adaptivity for multilevel stochastic Galerkin FEM with nonlinear goal functionals
本文提出一种目标导向自适应算法，结合多层随机Galerkin有限元方法，用于高效逼近参数化椭圆PDEs解的非线性目标泛函，并证明误差估计收敛到零。
2025-10-07 cs.NA math.NA
Multilevel Picard approximations of high-dimensional semilinear partial differential equations with locally monotone coefficient functions
半线性抛物型偏微分方程（PDE）的全历史递推多层Picard逼近方法是唯一能证明克服维数灾难的方法，如果系数函数和非线性项是全局Lipschitz连续的，且非线性项是梯度无关的.本文将这一结果推广到局部单调系数函数。我们的结果涵盖了一系列的多项式系数函数的半线性偏微分方程。
2022-04-28 cs.NA math.NA math.PR
Overcoming the curse of dimensionality in the numerical approximation of Allen-Cahn partial differential equations via truncated full-history recursive multilevel Picard approximations
高维非线性偏微分方程的近似解是应用数学中最具挑战性的问题之一。像有限差分或有限元这样的标准确定性近似方法在计算工作量在维度上呈指数增长的意义上遭受维度灾难。在这项工作中，我们克服了这一困难的情况下，反应扩散型偏微分方程的局部Lipschitz连续coervice非线性（如艾伦-卡恩偏微分方程），通过引入和分析截断变量最近推出的全历史递归多级皮卡德近似计划。
2019-07-15 cs.NA math.AP math.NA
Multilevel CNNs for Parametric PDEs
Technical University of Berlin（柏林工业大学）；Weierstraß Institute（魏尔斯特拉斯研究所）
结合多层求解器与深度学习提出高效求解高维参数化偏微分方程的新方法，理论上能逼近多重网格V循环且权重仅对数依赖最细网格分辨率，实验表明其性能显著优于现有深度学习求解器。
2023-04-04 cs.LG cs.NA math.AP
On multilevel Picard numerical approximations for high-dimensional nonlinear parabolic partial differential equations and high-dimensional nonlinear backward stochastic differential equations
Princeton University（普林斯顿大学）；Peking University（北京大学）；University of Duisburg-Essen（杜伊斯堡-埃森大学）；ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）
本文研究了高维非线性抛物型偏微分方程和高维非线性反向随机微分方程的数值近似方法，提出了一种基于皮卡近似和多级蒙特卡洛方法的算法，并通过数值模拟验证了其在100维问题中的准确性和效率。
2017-08-10 cs.NA math.NA
Multilevel Picard algorithm for general semilinear parabolic PDEs with gradient-dependent nonlinearities
针对系数非常数且非线性依赖梯度的一般半线性抛物型 PDE，提出多层 Picard 逼近算法，并借助 SFPE 证明解与梯度的表示、收敛性及复杂度，辅以 300 维数值验证。
2025-02-18 cs.NA math.AP math.NA
Multilevel Picard approximations for high-dimensional semilinear second-order PDEs with Lipschitz nonlinearities
最近提出的全历史递归多层Picard（MLP）逼近方法在高维非线性偏微分方程解的数值逼近方面取得了很大的成功。特别是，在文献中有数学收敛的结果证明，MLP近似方法确实克服了非线性二阶偏微分方程的数值逼近中的维数灾难，在这个意义上，所提出的MLP近似方法的计算操作的数量在规定的近似精度$ε>0$的倒数$1/ε$和偏微分方程维数$d\in \mathbb{N}=\{1,2,3, \ldots\}$中最多多项式地增长。然而，在文献中的MLP逼近方法的收敛性结果中，假定二阶微分算子前面的系数函数是仿射线性的。特别地，直到今天，在科学文献中还没有结果证明任何具有一般时域和二阶微分算子前面的非仿射线性系数函数的半线性二阶偏微分方程可以被近似而没有维数灾难。本文的主要贡献是克服这一障碍，提出并分析了一类二阶微分算子前系数函数可能为非线性的半线性二阶偏微分方程的MLP逼近方法.特别地，本文的主要结果证明了这种新的MLP逼近方法确实克服了半线性二阶偏微分方程数值逼近中的维数灾难。
2020-10-09 cs.NA math.NA math.PR
High Performance Uncertainty Quantification with Parallelized Multilevel Markov Chain Monte Carlo
复杂现实世界现象的数值模型通常需要高性能计算（HPC）。不确定性进一步增加了问题的维度，并提出了更大的挑战。我们提出了一个并行化策略的多级马尔可夫链蒙特卡罗，一个国家的最先进的，算法可扩展的不确定性量化（UQ）算法的贝叶斯逆问题，和一个新的软件框架，允许大规模的并行跨前向模型评估和UQ算法本身。主要的可扩展性挑战以MLMCMC方法引入的强数据依赖性的形式出现，禁止琐碎的并行化。我们的软件是作为模块化和开源的MIT UQ库（MUQ）的一部分发布的，可以很容易地与任意用户代码耦合。我们使用DUNE和ExaHyPE引擎进行演示。后者提供了一个现实的，大规模的海啸模型，其中确定海啸的来源，从海拔高度的数据。
2021-07-30 cs.MS cs.NA math.NA
Multilevel CNNs for Parametric PDEs based on Adaptive Finite Elements
提出一种基于自适应有限元的多层CNN架构，高效逼近参数化PDE的参数到解映射，兼具精度与复杂度优势，并通过后验误差估计实现误差控制。
2024-08-20 cs.LG cs.NA math.NA
Multilevel Monte Carlo FEM for Elliptic PDEs with Besov Random Tree Priors
本文提出了一种求解多面体区域上线性椭圆扩散问题的多层Monte Carlo（MLMC）-FEM算法，该算法具有Besov树随机系数，求解区域为$\mathcal D\subset \mathbb R^d$.也就是说，扩散系数的矩阵是从所谓的Besov树先验中采样的，Besov树先验最近被提出来对科学和工程中的分形现象的数据进行建模。椭圆型偏微分方程的全离散有限元的数值分析包括求积近似，并且必须考虑a）非均匀路径上和下系数边界，以及b）Besov树系数的低路径正则性。容许的非参数随机系数对应于随机函数在分形维数可调的随机分形上表现出奇异性，但不涉及样本路径奇异支撑的分形几何的先验规范。最佳的复杂性和收敛速度估计的兴趣量和他们的二阶矩的证明。MLMC-FEM的收敛性分析，产生的算法转向参数的选择，有效的实施。提供了MLMC-FEM近似的复杂性（"误差与工作“）分析。
2023-02-01 cs.NA math.NA math.PR
HILUCSI: Simple, Robust, and Fast Multilevel ILU for Large-Scale Saddle-Point Problems from PDEs
不完全因子分解是Krylov子空间方法求解大型稀疏线性系的一种广泛使用的预处理技术。它的多级变体，如ILUPACK，对于许多对称或非对称线性系比传统的单级不完全LU（或ILU）技术更鲁棒。然而，以前的多层ILU技术仍然缺乏鲁棒性和效率的一些大规模的鞍点问题，这往往会出现在系统的偏微分方程（PDE）。我们介绍HILUCSI，或分层不完整的LU-Crout与可扩展性为导向和反向为基础的下降。作为一个多级预处理器，HILUCSI静态和动态地将单个行和列排列到下一级以进行延迟因子分解。与ILUPACK不同，HILUCSI在顶层应用对称预处理技术，但在较粗的层次总是使用非对称预处理和非对称因子分解。延迟与混合预处理相结合，使几乎或部分对称系统的统一处理，并简化了实现，避免混合$1\times 1$和$2\times 2$枢轴对称不确定系统。我们表明，这种组合提高了不确定系统的鲁棒性，而不影响效率。此外，为了使具有数百万或更多未知数的大规模系统具有更高的效率，HILUCSI引入了面向可扩展性的丢弃，并结合了基于逆的丢弃的变体。我们证明了HILUCSI的有效性，几十个基准问题，包括那些从混合制定的泊松方程，斯托克斯方程，和Navier-斯托克斯方程。我们还比较了它的性能与ILUPACK，超级节点ILUTP在SuperLU，多线程直接求解器在PARDISO和MUMPS。
2021-05-28 cs.MS cs.NA math.NA
Embedded multilevel Monte Carlo for uncertainty quantification in random domains
多水平蒙特卡罗（MLMC）方法已被证明是一种有效的方差缩减统计方法，在偏微分方程模型的不确定性量化。它以类似于多重网格的方式使用网格层次结构将不同精度级别的近似值组合在一起。贴体网格层次结构的生成仅适用于简单的几何形状。最重要的是，随机域的MLMC涉及为每个样本生成网格。相反，在这里，我们考虑使用嵌入式方法，利用简单的背景网格的人工域（边界框），它很容易定义一个网格层次，从而消除了需要的贴体非结构化网格，但可以产生病态的离散问题。为了避免这种复杂性，我们考虑最近的聚合有限元法（AgFEM）。特别是，我们设计了一个嵌入式MLMC框架（几何和拓扑）的随机域隐式定义通过随机水平集函数，它利用了一组层次背景网格和AgFEM。从现有的理论性能预测进行了验证统计在三个数值实验，即随机半径的圆形域上的泊松方程的解决方案，解决方案的泊松方程的拓扑结构相同，但更复杂的域，和解决方案的传热问题的域中，具有几何和拓扑的不确定性。最后，使用AgFE的统计证明是至关重要的复杂和不确定的几何形状的鲁棒性和计算成本。
2019-11-27 cs.NA math.NA
Stability of Low-Rank Tensor Representations and Structured Multilevel Preconditioning for Elliptic PDEs
将大小为$2^L$的网格值向量折叠成模式大小为$2\times \cdots\times 2$的$L$阶张量，与张量训练格式的低秩表示相结合，已被证明可以导致各种类型的函数的高效近似。这些问题包括非光滑域上的椭圆型偏微分方程的解或具有振荡数据的偏微分方程的解。这种张量结构的方法是有吸引力的，因为它导致高度压缩，自适应近似基于简单的离散化。基本基的标准选择，如均匀张量积网格上的分段多线性有限元，必然导致离散算子的众所周知的矩阵病态。我们证明，对于低秩表示，张量结构本身的使用还引入了表示病态，这是张量网络中计算特有的一种新效应。我们分析了二阶线性椭圆算子BPX预处理器的张量结构，并构造了预处理器的显式张量结构表示，其秩与离散化水平的数量$L$无关。直接应用的预条件产生离散算子的矩阵条件是统一的离散化参数，但在分解表示病态。通过另外消除某些冗余的预处理离散算子的表示，我们得到的降秩分解是免费的矩阵和表示病态。对于低秩张量的软阈值的基础上的迭代求解器，我们得到的收敛性和复杂性的估计，并证明其可靠性和效率的离散化与$2^{50}$节点在每个维度。
2019-11-17 cs.NA math.NA
Reliable Uncertainty Quantification for Fiber Orientation in Composite Molding Processes using Multilevel Polynomial Surrogates
本文提出多层多项式代理模型及新型统计误差界，用于量化注塑成型中材料参数不确定性对纤维取向的影响，并验证其优于 Monte Carlo 估计。
2025-03-17 cs.CE cs.NA math.NA
h- and p-refined Multilevel Monte Carlo Methods for Uncertainty Quantification in Structural Engineering
实际的结构工程问题往往具有显著的不确定性。历史上，解释这种不确定性的流行方法之一是标准蒙特卡罗（MC）方法。最近，改进的采样方法已被提出，基于方差减少的想法，通过采用网格细化的层次。我们结合了h-和p-细化层次与多级蒙特卡罗（MLMC）和多级拟蒙特卡罗（MLQMC）方法。我们调查这些新的组合方法的适用性上的三个结构工程问题，其中的不确定性驻留在杨氏模量：静态响应的悬臂梁的弹性材料的行为，其静态响应与弹塑性行为，其动态响应与弹性行为。该不确定性通过从单变量Gamma分布采样的一个随机变量或从Gamma随机场采样的多个随机变量来建模。这个随机场的结果从截断Karhunen-Loève（KL）展开。在本文中，我们比较了这些蒙特卡罗方法的计算成本。我们证明，MQLMC和MLMC有一个显着的加速MC，无论使用的网格细化层次结构。我们的经验表明，MLQMC成本是最佳比例的1/1/2，在某些条件下，其中1/2是对均方根误差（RMSE）的公差。此外，我们表明，当不确定性被建模为一个随机场，与p-细化相结合的多级方法有一个显着的计算成本比他们的同行基于h-细化。我们还说明了效果的不确定性模型上的不确定性界的解决方案。
2019-06-25 cs.NA math.NA
Surrogate-based multilevel Monte Carlo methods for uncertainty quantification in the Grad-Shafranov free boundary problem
University of Maryland（马里兰大学）；Rice University（莱斯大学）；The University of Arizona（亚利桑那大学）
本文提出基于代理模型的多级蒙特卡洛方法，用于高效量化等离子体边界问题的不确定性，显著降低计算成本并验证方法有效性。
2026-03-01 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Operator-Based Uncertainty Quantification of Stochastic Fractional PDEs
Michigan State University（密歇根州立大学）
本文提出一种基于算子的不确定性量化方法，用于处理带有加性随机噪声的随机分数阶偏微分方程，通过概率性列主元方法传播不确定性，并采用快速稳定的Petrov-Galerkin谱方法求解。
2018-05-31 cs.NA math.NA
Fast uncertainty quantification of tracer distribution in the brain interstitial fluid with multilevel and quasi Monte Carlo
有效的不确定性量化算法是理解不确定性传播的关键--从不确定的输入参数到不确定的输出量--在脑生理学的高分辨率数学模型中。先进的蒙特卡罗方法，如准蒙特卡罗（QMC）和多级蒙特卡罗（MLMC）有可能显着改善标准蒙特卡罗（MC）方法，但其在生物医学应用中的适用性和性能还有待探索。在本文中，我们设计和应用QMC和MLMC方法来量化的对流-扩散模型的示踪剂在大脑内的运输的不确定性。我们表明，QMC优于标准MC模拟时，随机输入的数量是小的。MLMC大大优于QMC和标准MC方法，因此应首选脑运输模型。
2020-11-02 cs.CE cs.NA math.NA
Multilevel Picard approximations overcome the curse of dimensionality in the numerical approximation of general semilinear PDEs with gradient-dependent nonlinearities
本文证明了Neufeld与Wu提出的用于求解含梯度依赖非线性项的一般半线性抛物型PDE的多级Picard（MLP）算法可克服维数灾难，其计算复杂度仅随维度和精度倒数呈多项式增长。
2025-03-20 cs.NA math.AP math.NA
Uncertainty Quantification for PDEs with Anisotropic Random Diffusion
Universität Basel（巴塞尔大学）
本文研究了具有各向异性随机扩散系数的椭圆扩散问题，通过随机向量场建模显著方向，推导了解对随机参数的正则性结果，该结果决定了随机向量场的Karhunen-Loeve展开的衰减特性，从而支持高斯求积方法等高效近似解的均值和方差。
2016-07-19 cs.NA math.NA
Space and Chaos-Expansion Galerkin POD Low-order Discretization of PDEs for Uncertainty Quantification
偏微分方程中多变量不确定性的量化很容易超过任何计算能力，除非采取适当的措施降低模型的复杂性。在这项工作中，我们提出了一个多维的Galerkin正交分解，最佳地减少每一个维度的张量化积空间。我们提供的分析框架和结果，定义和量化的低维近似。我们说明了它的应用与多项式混沌扩展的不确定性建模，并显示其效率在一个数值例子。
2020-09-02 cs.NA math.DS math.NA
MGM: A meshfree geometric multilevel method for systems arising from elliptic equations on point cloud surfaces
我们开发了一种新的无网格几何多层（MGM）方法来求解由点云表示的曲面上的椭圆偏微分方程离散化所产生的线性系。该方法使用泊松磁盘采样型技术粗化点云和新的无网格约束/插值算子的基础上多调和样条之间的粗化点云的信息传输。然后将这些与标准平滑和算子粗化方法在V循环迭代中相结合。MGM适用于基于各种局部无网格方法的椭圆偏微分方程的离散，包括径向基函数有限差分（RBF-FD）和广义有限差分（GFD）。我们测试MGM作为一个独立的求解器和Krylov子空间方法的预处理几个测试问题，使用RBF-FD和GFD，并数值分析收敛速度，效率和缩放随着点云大小的增加。我们还执行并排比较代数多重网格（AMG）方法解决相同的系统。最后，我们进一步证明了MGM的有效性，将其应用到三个具有挑战性的应用程序在复杂的表面：图案形成，表面谐波，测地线距离。
2022-04-13 cs.NA math.NA
Spline-Based Stochastic Collocation Methods for Uncertainty Quantification in Nonlinear Hyperbolic PDEs
针对基于广义多项式混沌的随机配置方法难以捕捉非线性双曲PDE不连续解、易产生吉布斯振荡的问题，提出采用保形样条插值的替代方法，通过数值算例验证其在准确量化不确定性同时抑制振荡的优势。
2024-08-21 cs.NA math.NA
Uncertainty Quantification by MLMC and Local Time-stepping For Wave Propagation
蒙特卡罗方法由于其鲁棒性、高效性和非侵入性，可能是不确定性量化中最流行的方法，用于计算感兴趣的量（QoIs）的期望值。多层蒙特卡罗（MLMC）方法通过将采样分布在离散化的层次结构中并将大多数样本分配到较粗的网格中来显着降低计算成本。对于不定常问题，空间粗化通常需要增加时间步长。然而，几何约束可能会阻碍均匀粗化，从而迫使一些元素在所有级别上保持较小。如果使用显式时间步长，则时间步长将由每个水平上的最小元素决定，以实现数值稳定性。因此，越来越严格的CFL条件上的时间步长上的粗糙水平显着降低了多层次的方法的优势。为了克服这一瓶颈，我们建议结合MLMC与本地时间步进（LTS）的多级方法。通过调整时间步长以适应每个层次上的局部细化元素，MLMC方法的效率即使在存在复杂几何的情况下也能恢复，而不会牺牲显式性和固有的并行性。在一个仔细的成本比较，我们量化的计算成本的减少，无论是在一个小的固定区域内，或对一个重入角的局部细化。
2022-04-11 cs.NA math.NA
Uncertainty quantification in coastal aquifers using the multilevel Monte Carlo method
我们考虑一类密度驱动流问题。我们对沿海含水层盐碱化问题特别感兴趣。我们认为亨利盐水入侵问题与不确定的孔隙度，渗透率和补给参数作为一个测试案例。存在不确定性的原因是缺乏知识、测量不准确以及无法在每个空间或时间位置测量参数。这个问题是非线性的和时间相关的。解决方案是盐的质量分数，这是不确定的，并随时间变化。利用随机场模拟孔隙度、渗透率、补给量和质量分数的不变性。这项工作研究了著名的多级蒙特卡罗（MLMC）方法对这些问题的适用性。MLMC方法可以减少总的计算和存储成本。此外，MLMC方法在不同的空间和时间网格上运行多个场景，然后估计质量分数的平均值。并行化在物理空间和随机空间中进行。为了解决每一个确定性的情况下，我们运行并行多重网格求解器ug4在一个黑盒的方式。我们使用从拟蒙特卡罗方法获得的解决方案作为参考解决方案。
2023-02-13 cs.NA math.AP math.NA
Multilevel Monte Carlo methods for highly heterogeneous media
University of Bath（巴斯大学）
研究多层蒙特卡罗方法在随机系数椭圆偏微分方程中的应用，扩展分析至张量值系数和点评估，并涵盖对数正态随机系数。
2012-06-07 cs.NA math.NA
Algorithms for Solving High Dimensional PDEs: From Nonlinear Monte Carlo to Machine Learning
近年来，利用非线性（多级）蒙特卡罗或深度学习的思想，在求解高维偏微分方程（PDE）的数值算法方面取得了巨大进展。对于许多不同的应用，它们可能没有维数灾难，并且在一些非线性抛物型偏微分方程的非线性蒙特卡罗方法的情况下已经被证明是这样。在本文中，我们回顾这些数值和理论的进展。除了基于原始问题的随机重构的算法，如多层Picard迭代和Deep Bracket方法，我们还讨论了基于更传统的Ritz，Galerkin和最小二乘公式的算法。我们希望向读者证明，研究偏微分方程以及控制和变分问题在非常高的维度很可能是最有前途的新方向在数学和科学计算在不久的将来。
2020-09-11 cs.NA math.NA math.OC
Phase-IDENT: Identification of Two-phase PDEs with Uncertainty Quantification
City University of Hong Kong（香港城市大学）
Phase-IDENT通过突变点检测技术，实现了具有相变的PDEs识别及相界面的不确定性量化。
2026-01-17 cs.NA math-ph math.MP
Approximate Bayesian Neural Operators: Uncertainty Quantification for Parametric PDEs
University of Tübingen（图宾根大学）；University of Genova（热那亚大学）；Istituto Italiano di Tecnologia（意大利技术研究院）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；Max-Planck-Institute for Intelligent Systems（马克斯·普朗克智能系统研究所）
神经运算符是一种学习求解偏微分方程（PDE）（即学习偏微分方程的非线性解运算符）的深度架构。这些模型的当前技术状态没有提供明确的不确定性量化。对于这类任务来说，这可以说比机器学习中的其他任务更是一个问题，因为通常由偏微分方程描述的动态系统通常表现出微妙的多尺度结构，使得人类很难发现错误。在这项工作中，我们首先提供了一个数学上详细的贝叶斯公式的“浅”（线性）版本的神经算子的形式主义的高斯过程。然后，我们使用贝叶斯深度学习的近似方法将这种分析处理扩展到一般的深度神经运算符。我们扩展了以前的结果，神经运营商提供他们的不确定性量化。因此，我们的方法能够识别案例，并提供结构化的不确定性估计，其中神经运算符无法很好地预测。
2022-08-02 cs.LG cs.NA math.NA
MG/OPT and MLMC for Robust Optimization of PDEs
基于MG/OPT框架，提出了一种求解不确定系数偏微分方程约束鲁棒控制问题的算法。这个MG/OPT层次结构中的级别通常对应于PDE的离散化级别。对于随机问题，相关的量（如梯度）包含这些水平上的每一个期望值算子。使用多水平蒙特卡罗方法估计，具体取决于MG/OPT水平。然后，每个优化级别包含多个底层多级蒙特卡罗级别。MG/OPT层次结构允许算法利用PDE中固有的结构，加速收敛到最优。相比之下，多级蒙特卡洛层次结构的存在，利用结构中存在的随机尺寸的问题。证明了算法的收敛速率，并讨论了算法的一些性质。该算法的性能进行了数值研究的三个测试用例。可以观察到在昂贵的水平上所需的样本的样本个数的减少以及因此在计算时间上的减少。
2021-07-19 cs.NA math.NA math.OC
Multilevel Monte Carlo for uncertainty quantification in structural engineering
KU Leuven（荷语鲁汶大学）
本文利用多级蒙特卡洛方法结合有限元求解器，研究了结构工程中材料不确定性和动态载荷下的静力位移和频率响应，展示了MLMC在计算效率上的显著优势。
2018-08-31 cs.CE cs.NA math.NA
Full Error Analysis and Uncertainty Quantification for the Heterogeneous Transport Equation in Slab Geometry
当系数（{ \em横截面}）为非均匀随机场时，我们提出了一种多层Monte Carlo方法来分析辐射输运方程的不确定性量化的正问题.要做到这一点，我们首先给出一个新的误差分析的组合空间和角度离散化的确定性的情况下，与误差估计，这是明确的系数（并允许非常低的规律性和跳跃）。详细的误差分析是针对一维空间-一维角板几何形状的经典菱形差分进行的。在合理的假设下的统计系数，然后我们证明了一个误差估计的随机问题在适当的Bochner空间。由于问题不是自伴的，稳定性只能在路径依赖的网格分辨率条件下证明。这意味着，虽然Bochner空间误差估计对于某些$η$是$\mathcal{O}(h^η)$阶，其中$h$是（确定性地选择的）网格直径，但是对于某些实现可能需要更小的网格步长。在合理的假设下，我们表明，计算一个典型的数量的利益的预期成本仍然是相同的顺序为一个单一的样本。这导致了蒙特卡罗和多级蒙特卡罗的严格复杂性估计：对于特定的线性求解器，多级版本比蒙特卡罗给出了两个数量级的改进。我们提供了支持理论的数值结果。
2020-01-14 cs.NA math.NA
Modern Monte Carlo Variants for Uncertainty Quantification in Neutron Transport
University of Bath（巴斯大学）
本文研究了中子输运方程在离散 ordinates 方法与 diamond 差分近似下的现代蒙特卡罗方法变体，探讨了单能一维 slab 几何问题中随机截面的不确定性量化方法及多级变体的效率提升。
2017-10-17 cs.NA math.NA
Analyticity and sparsity in uncertainty quantification for PDEs with Gaussian random field inputs
该研究基于复域解析延拓的全纯性论证，证明了高斯随机场输入下线性偏微分方程解的Wiener-Hermite多项式混沌展开系数的稀疏性，推导了贝叶斯反问题后验密度的对应性质，并给出了多种高维数值方案的维度无关收敛速率。
2023-06-17 cs.NA math.NA
Efficient adaptive multilevel stochastic Galerkin approximation using implicit a posteriori error estimation
University of Manchester（曼彻斯特大学）；University of Birmingham（伯明翰大学）
本文提出一种高效自适应多级随机伽辽金有限元方法，通过隐式后验误差估计策略，快速且有效地解决具有参数依赖系数的椭圆偏微分方程，无需调参即可实现误差估计能量衰减。
2018-06-15 cs.NA math.NA
Multilevel Representations of Isotropic Gaussian Random Fields on the Sphere
构造了各向同性高斯随机场在$\mathbb{S}^2$上具有独立高斯系数和局部基函数的级数展开式。这样的表示与多级局部结构提供了一种替代的标准Karhunen-Loève展开的各向同性随机场的球谐函数。通过将协方差算子的平方根应用于球形针状体来获得基函数。所得到的协方差相关的多级基础上的角随机场的功率谱的衰减条件下示出的本地化。此外，给出了数值例子，并分析了其在球面上随机椭圆偏微分方程中的应用。
2022-06-24 cs.NA math.NA math.PR
Quasi continuous level Monte Carlo for random elliptic PDEs
本文提出拟连续水平蒙特卡洛方法，用拟蒙特卡洛序列生成指数分布随机变量，显著降低方差，在随机椭圆偏微分方程示例中明显优于多水平和连续水平蒙特卡洛。
2023-10-12 cs.NA math.NA math.PR
Uncertainty quantification for stationary and time-dependent PDEs subject to Gevrey regular random domain deformations
University of Oxford（牛津大学）；LUT University（拉彭兰塔-拉赫蒂理工大学）；Free University of Berlin（柏林自由大学）
本文研究了在 Gevrey 正则随机域变形下 PDE 的不确定性量化，设计了随机移位格点 quasi-Monte Carlo (QMC) 立方体规则，并证明了其在维度独立的线性收敛率。
2026-05-08 cs.NA math.NA
Robust Optimization of PDEs with Random Coefficients Using a Multilevel Monte Carlo Method
KU Leuven（荷语鲁汶大学）
本文研究了受不确定系数约束的偏微分方程优化问题，提出利用多级蒙特卡洛方法计算梯度和Hessian，通过动态决定样本数量以降低计算成本，测试了非线性共轭梯度法和牛顿法在椭圆扩散问题中的有效性。
2017-11-07 cs.NA math.NA math.OC
