Algebraic Multilevel Preconditioning in Isogeometric Analysis: Construction and Numerical Studies
Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics, Austrian Academy of Sciences（奥地利科学院约翰·拉顿计算与应用数学研究所）
针对标量二阶椭圆问题的等几何离散化，提出代数多重网格迭代（AMLI）方法，构造粗网格算子和层次互补算子，并给出均匀网格下B样条基函数的显式表示，实现h和几乎p无关的收敛速度。
2013-10-06 cs.NA math.NA
Robust Algebraic multilevel preconditioning in $H(\mathrm{curl})$ and $H(\mathrm{div})$
Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics, Austrian Academy of Sciences（奥地利科学院约翰·拉东计算与应用数学研究所）
提出一种基于最低阶 Nedelec 和 Raviart-Thomas-Nedelec 单元的代数多层迭代方法，通过局部广义特征值推导递归公式，实现参数鲁棒且最优阶复杂度的求解。
2013-07-08 cs.NA math.NA
A Note on Parallel Preconditioning for All-At-Once Evolutionary PDEs
Mathematical Institute, Oxford University（牛津大学数学研究所）
本文研究提出了一种并行预条件方法，用于解决所有一次演化PDEs的预条件问题，并通过Neumann级数方法扩展了预条件器，实现了高效的并行执行。
2018-10-01 cs.NA math.NA
Local Refinement and Multilevel Preconditioning: Implementation and Numerical Experiments
California Institute of Technology（加州理工学院）；University of California at San Diego（加利福尼亚大学圣地亚哥分校）
本文研究二维局部网格细化下的加性和乘性多层迭代方法与预处理器，重点实现BPX风格及稳定化层次基方法，并展示其最优存储与计算复杂度。
2010-01-08 cs.NA math.NA
Combining sparse grids, multilevel MC and QMC for elliptic PDEs with random coefficients
Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）；School of Mathematics and Statistics, University of New South Wales（新南威尔士大学数学与统计学院）
本文结合稀疏网格、多级MC和QMC方法，解决具有有限维不确定性的椭圆PDE，证明计算成本可达到O(ε^{-r})，r<2，与空间维度无关。
2017-11-07 cs.NA math.NA
Robust Preconditioning of mixed-dimensional PDEs on 3d-1d domains coupled with Lagrange multipliers
针对微循环中拓扑降维产生的 3d-1d 耦合 PDE 离散系统，本文采用算子预处理技术构建鲁棒预条件器，并揭示血管半径对适定性与预处理效果的关键影响。
2023-07-17 cs.NA math.NA
A fully adaptive multilevel stochastic collocation strategy for solving elliptic PDEs with random data
我们提出并分析了一个完全自适应的策略，解决椭圆型偏微分方程的随机数据在这项工作中。一个层次序列的自适应网格细化的空间近似相结合的自适应各向异性稀疏的Scorpak网格在随机空间中的方式，以尽量减少计算成本。我们的策略的新颖之处在于，空间近似的层次结构是样本相关的，因此每个配置点的计算工作量可以单独优化。我们概述了一个严格的分析的自适应多级算法的收敛性和计算复杂性，我们提供了最佳的选择，在每个级别的误差容限。两个数值例子证明了差错控制的可靠性和显着降低的复杂性时，出现相比，单级算法和多级算法，采用自适应性只在空间离散化或配置过程。
2019-12-04 cs.NA math.NA
Further analysis of multilevel Monte Carlo methods for elliptic PDEs with random coefficients
University of Bath（巴斯大学）；University of Oxford（牛津大学）
针对缺乏一致椭圆性和有界性的随机系数椭圆PDE，扩展有限元误差分析至非光滑域和系数不连续情形，证明多层蒙特卡罗算法对解的有界线性泛函和连续Fréchet可微非线性泛函的收敛性，并通过引入层级依赖的Karhunen-Loève展开截断改进性能。
2012-04-16 cs.NA math.NA
Efficient additive Schwarz preconditioning for hypersingular integral equations on locally refined triangulations
本文提出一种新的局部多级预条件处理方法，用于解决超奇异积分方程，该方法在元素数量、局部网格尺寸和细化层次上均保持预条件系统条件数不变。
2013-09-11 cs.NA math.NA
A Novel Preconditioning Framework for Solving Nonlinear PDEs based on Fenchel-Rockafellar Duality and Transformed Primal-Dual Techniques
本文提出DualTPD方法求解非线性偏微分方程，利用Fenchel-Rockafellar对偶解耦、变换原始-对偶动力学加速收敛及高效预处理器，实验显示网格无关的全局收敛和显著效率提升。
2025-10-17 cs.NA math.NA
Goal-Oriented Adaptivity and Multilevel Preconditioning for the Poisson-Boltzmann Equation
TOBB University of Economics and Technology（TOBB经济与技术大学）；Louisiana State University（路易斯安那州立大学）；Sandia National Laboratories（桑迪亚国家实验室）；University of California San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
针对泊松-玻尔兹曼方程，提出结合目标导向误差指示与问题特定标记策略的自适应细化算法，并采用多层预处理保持最优计算复杂度，在溶剂化自由能线性泛函上优于基于能量的误差指示方法。
2011-09-19 cs.NA math-ph math.MP
parGeMSLR: A Parallel Multilevel Schur Complement Low-Rank Preconditioning and Solution Package for General Sparse Matrices
本文讨论了parGeMSLR，一个C++/MPI软件库，用于在分布式存储计算环境下通过预条件Krylov子空间方法求解稀疏线性代数方程组。parGeMSLR中实现的预条件子是基于代数区域分解和分区的对称邻接图递归到几个不重叠的分区通过一个p路顶点分离器，其中p是整数倍的MPI进程的总数。从数值的角度来看，parGeMSLR建立了一个舒尔补近似逆预条件子之间的总和界面耦合矩阵的矩阵逆和低秩校正项。为了减少与近似逆矩阵的计算相关联的成本，parGeMSLR利用代数域的多级划分。parGeMSLR库是在消息传递接口之上实现的，可以求解实数和复杂的线性系统。此外，parGeMSLR可以利用具有对一个或多个图形处理单元的节点内访问的混合计算环境。最后，parGeMSLR的并行效率（弱和强标度）上所产生的三维偏微分方程的离散化的几个模型问题证明。
2022-05-04 cs.MS cs.NA math.NA
Multilevel lattice-based kernel approximation for elliptic PDEs with random coefficients
UNSW Sydney（新南威尔士大学）；University of Oxford（牛津大学）
本文针对带周期随机系数的椭圆型偏微分方程，基于QMC格点集核插值研究提出多层核近似方法，可在保持精度的同时降低计算成本，经数值实验验证了其有效性。
2026-09-01 cs.NA math.NA
Multilevel Preconditioning of Discontinuous-Galerkin Spectral Element Methods, Part I: Geometrically Conforming Meshes
RWTH Aachen（亚琛工业大学）；CNRS, UMR 7598, Laboratoire Jacques-Louis Lions（法国国家科学研究中心，联合研究单位7598，雅克-路易·利翁斯实验室）；UPMC Univ Paris 06, UMR 7598, Laboratoire Jacques-Louis Lions（巴黎第六大学，联合研究单位7598，雅克-路易·利翁斯实验室）；Politecnico di Torino（都灵理工大学）
针对椭圆边值问题的谱间断Galerkin离散，提出基于辅助空间方法的鲁棒预处理技术，通过Legendre-Gauss-Lobatto网格和各向异性嵌套二进网格实现条件数关于网格尺寸和可变多项式阶数的均匀有界。
2014-05-13 cs.NA math.NA
A non-nested unstructured mesh perspective on highly parallel multilevel smoothed Schwarz preconditioner for linear parametric PDEs
针对非结构网格下多级Schwarz预处理器因网格非嵌套难以并行的问题，提出含并行粗化与非嵌套插值的高并行非嵌套预处理器，在千核处理器上验证了良好收敛性与并行效率，可广泛用于线性参数PDE求解。
2024-12-12 cs.NA math.NA
Multilevel Sparse Tensor Approximation for High-Dimensional Parametric PDEs
本文研究了多级稀疏张量近似方法在高维仿射参数扩散方程中的效率。通过结合稀疏交替最小二乘算法与多级伽辽金离散化策略，利用解的正则性降低计算成本。理论分析表明，多级方法的工作开销与离散化级别无关，优于单级方法的指数增长。
2026-03-16 cs.NA math.NA
Robust and effective eSIF preconditioning for general SPD matrices
针对一般对称正定矩阵，基于结构不完全分解（SIF）提出了一种无条件鲁棒的高效预条件子，称为增强SIF（eSIF）预条件子.最近提出的原始SIF策略通过对矩阵进行块对角预处理，然后压缩适当缩放的非对角块来导出结构化预处理器。在这里，我们使用增强的缩放和压缩策略来设计新的eSIF预处理器。一些微妙的修改，如使用双边块三角形预处理。然后设计了一个实用的多级eSIF方案。我们对增强的缩放和压缩策略和多级eSIF预条件子进行了严格的分析。新的eSIF框架具有一些显著的优势，并克服了SIF策略的一些主要局限性。(i)在压缩非对角块的相同容限的情况下，eSIF预处理器可以以高得多的精度近似原始矩阵。(ii)新的预条件子导致更显着的减少条件数由于加速放大效应的衰减的奇异值的缩放非对角块。(iii)使用新的预处理器，预处理矩阵的特征值更好地聚集在$1$周围。(iv)多级eSIF预条件子是进一步无条件鲁棒的，或者保证是正定的，而不需要额外的稳定化，而多级SIF预条件子有严格的要求，以保持正定性。综合的数值试验显示了eSIF预条件子在加速迭代解收敛方面的优势。
2020-07-07 cs.NA math.NA
Dense cell-by-cell systems of PDEs: approximation, spectral analysis, and preconditioning
本研究针对可兴奋组织的EMI模型，分析其PDE系统的Galerkin逼近的谱性质，提出并验证了高效稳健的整体多层预处理器求解器，适用于大规模细胞模拟。
2024-09-20 cs.NA math.NA
Multilevel Methods for Uncertainty Quantification of Elliptic PDEs with Random Anisotropic Diffusion
Universität Basel（巴塞尔大学）
本文研究了具有随机各向异性扩散系数的椭圆扩散问题，通过Karhunen-Loève展开参数化随机矢量场及解，并证明多级格点和多级求积方法可降低计算复杂度，保持收敛速率。
2018-02-12 cs.NA math.NA
Numerical simulations for full history recursive multilevel Picard approximations for systems of high-dimensional partial differential equations
高维非线性偏微分方程（PDE）的求解是应用数学中最具挑战性的问题之一。特别地，很难开发出不受维数灾难影响的近似算法，因为算法计算精度近似$ε> 0$所需的计算操作的数量在所需精度的倒数$1/ε$和PDE的维数$d \in \mathbb{N}$中最多多项式增长。最近，一种新的近似方法，所谓的全历史递归多层次Picard（MLP）近似方法，已被引入，直到今天，这种近似方案是唯一的近似方法在科学文献中已被证明克服灾难的维数在一般时间范围的半线性偏微分方程的数值逼近。本文的一个重要贡献是将MLP近似方法推广到半线性偏微分方程系统，并在几个例子上进行了数值测试。更具体地说，我们建议的MLP近似方法的情况下，艾伦-卡恩偏微分方程，正弦戈登型偏微分方程，耦合半线性热偏微分方程系统，半线性布莱克-斯科尔斯偏微分方程在多达1000个维度。所呈现的数值模拟结果表明，在这些示例PDE中的每一个的情况下，所提出的MLP近似方法在短运行时间内产生非常准确的结果，并且特别地，所呈现的数值模拟结果表明，所提出的MLP近似方案显著优于用于高维半线性PDE的某些基于深度学习的近似方法。
2020-05-25 cs.NA math.NA
Multilevel tensor approximation of PDEs with random data
École Polytechnique Fédérale de Lausanne（洛桑联邦理工学院）；University of Basel（巴塞尔大学）
本文提出一种新的低秩多级策略，用于求解随机扩散问题，通过自适应低秩张量技术近似高维差分，实现误差平衡和低秩张量格式的解表示。
2016-06-17 cs.NA math.NA
Multilevel Monte Carlo estimators for elliptic PDEs with Lévy-type diffusion coefficient
扩散系数在空间上不连续的一般椭圆型方程可作为非均质或裂隙多孔介质中地下渗流的简化模型。在这样的模型中，数据稀疏性和测量误差经常被考虑到的随机化的扩散系数的椭圆型方程，揭示了灵活的，空间不连续的随机场的建设的必要性。从属高斯随机场是高维参数域上的随机函数，具有样本路径不连续和分布灵活性。本文考虑一类随机椭圆型偏微分方程，其中扩散系数中存在间断的从属高斯随机场。构造了求解随机椭圆型偏微分方程的多层蒙特卡罗（MLMC）有限元法。我们证明了一个标准的MLMC估计和一个修改的MLMC -控制变量估计的先验收敛性，并验证了我们的结果在各种数值例子。
2021-08-12 cs.NA math.NA
A Multilevel Monte Carlo Ensemble Scheme for Solving Random Parabolic PDEs
University of Electronic Science and Technology of China（电子科技大学）；Sichuan University（四川大学）；University of South Carolina（南卡罗来纳大学）
本文提出一种高阶时间精度的多级蒙特卡洛集合方法，用于求解随机抛物偏微分方程，通过多级蒙特卡洛方法降低计算成本并验证了方法的收敛性。
2018-02-15 cs.NA math.NA
Smoothed Circulant Embedding with Applications to Multilevel Monte Carlo Methods for PDEs with Random Coefficients
针对带随机系数偏微分方程的MLMC方法在高振荡随机场下计算复杂度高的问题，提出集成于循环嵌入的平滑技术，可独立于随机场相关长度选择最粗网格，实际精度下计算成本降低5-10倍。
2024-12-11 cs.NA math.NA
Multilevel sparse grids collocation for linear partial differential equations, with tensor product smooth basis functions
University of Leicester（莱斯特大学）
本文提出利用多级稀疏插值算法求解线性偏微分方程，采用张量积光滑基函数，实现高精度计算。
2017-10-19 cs.NA math.NA
A black-box, multilevel algebraic preconditioning framework for conforming finite elements
Los Alamos National Laboratory（洛斯阿拉莫斯国家实验室）
研究为协调有限元问题应用LS-AMG-DD提供黑箱途径，阐明Gram结构出现条件并联系有限元离散化。通过数值测试展示该方法在多问题上的鲁棒性，相比现有AMG方法，其误差小2至5个数量级。
2026-07-09 cs.NA math.NA
A Robust Algebraic Multilevel Domain Decomposition Preconditioner For Sparse Symmetric Positive Definite Matrices
区域分解（DD）方法被广泛用作预处理技术。它们的有效性依赖于局部构造的粗糙空间的选择。到目前为止，这种构造主要是使用来自离散偏微分方程（PDE）的非组装矩阵来实现的。因此，DD方法主要是成功地解决系统源于偏微分方程。本文提出了一种完全代数的多级DD方法，该方法可以在不需要除系数矩阵外的任何信息的情况下局部有效地构造粗空间。预处理矩阵的条件数可以由用户指定的数来限定。数值实验说明了预条件子对不同应用中出现的一系列问题的有效性。
2021-09-13 cs.NA math.NA
A Bernoulli-barycentric rational matrix collocation method with preconditioning for a class of evolutionary PDEs
本文提出一种Bernoulli-重心有理矩阵配点法求解二维演化偏微分方程，结合时间与空间插值，证明理论精度并引入维数扩展预处理器加速线性系统求解，通过多个实际方程验证有效性。
2024-02-10 cs.NA math.NA
Multilevel quasi Monte Carlo methods for elliptic PDEs with random field coefficients via fast white noise sampling
在求解以随机场为系数的偏微分方程时，对随机场实现的有效采样是一个挑战。在本文中，我们专注于在有限元和多级拟蒙特卡罗方法（MLQMC）设置使用准随机点的高斯场的快速采样。我们的方法使用Lindgren等人的SPDE方法。结合一种新的白噪声快速采样算法，该算法与（ML）QMC相结合。我们将白噪声表示为小波级数展开，并将其分为两部分。第一部分使用准随机点进行采样，并包含有限数量的项，以确保良好的QMC收敛性。第二部分是使用标准伪随机数采样的校正项。我们展示了如何采样的两个术语可以在线性时间和内存复杂性的网格单元的数量通过一个超网格的建设，产生一个整体的线性成本。此外，我们的技术可以用来执行MLQMC耦合，即使在非嵌套网格层次结构的情况下。我们证明了我们的方法与数值实验的有效性。
2021-06-01 cs.NA math.NA
Laplacian preconditioning of elliptic PDEs: Localization of the eigenvalues of the discretized operator
Institute of Computer Sciences, Czech Academy of Science（捷克科学院计算机科学研究所）；Faculty of Mathematics and Physics, Charles University（查理大学数学物理学院）；Department of Mathematics, University of Oslo（奥斯陆大学数学系）；Department of Numerical Analysis and Scientific Computing, Simula Research Laboratory（Simula研究实验室数值分析与科学计算部）；Faculty of Science and Technology, Norwegian University of Life Sciences（挪威生命科技大学理学院）
本文研究了使用拉普拉斯逆作为预处理器的椭圆偏微分方程的特征值局部化问题，证明了在不连续情况下，k(x)的图像与预处理算子的谱范围存在一一对应关系。
2018-09-11 cs.NA math.NA
Multilevel quadrature formulae for the optimal control of random PDEs
本文提出用多层求积公式求解随机PDE约束最优控制问题，通过组合各层伴随变量得到控制近似，并以MLMC验证其相较标准Monte Carlo具有更优计算复杂度。
2025-05-16 cs.NA math.NA math.OC
Goal-oriented adaptivity for multilevel stochastic Galerkin FEM with nonlinear goal functionals
本文提出一种目标导向自适应算法，结合多层随机Galerkin有限元方法，用于高效逼近参数化椭圆PDEs解的非线性目标泛函，并证明误差估计收敛到零。
2025-10-07 cs.NA math.NA
Optimal additive Schwarz preconditioning for adaptive 2D IGA boundary element methods
TU Wien（维也纳工业大学）
本文研究了适应性二维IGA边界元方法中局部多级对角预条件子的定义与分析，证明了预条件系统条件数与网格尺寸和细化级别无关，从而实现了计算复杂度的最优性。
2019-03-21 cs.NA math.NA
Multilevel Picard approximations of high-dimensional semilinear partial differential equations with locally monotone coefficient functions
半线性抛物型偏微分方程（PDE）的全历史递推多层Picard逼近方法是唯一能证明克服维数灾难的方法，如果系数函数和非线性项是全局Lipschitz连续的，且非线性项是梯度无关的.本文将这一结果推广到局部单调系数函数。我们的结果涵盖了一系列的多项式系数函数的半线性偏微分方程。
2022-04-28 cs.NA math.NA math.PR
Multilevel Adaptive-Rank Methods for Linear and Nonlinear Systems in the Hierarchical Tucker Format
Los Alamos National Laboratory（洛斯阿拉莫斯国家实验室）；Lawrence Livermore National Laboratory（劳伦斯利弗莫尔国家实验室）；Sandia National Laboratories（桑迪亚国家实验室）
针对高维偏微分方程，提出多水平自适应秩迭代方法，通过扩展投影法实现灵活预条件、构建多水平预条件策略并集成到非精确牛顿框架中，实验表明该方法鲁棒且可扩展。
2026-06-23 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A primal dual projection algorithm for efficient constraint preconditioning
我们考虑一个线性迭代求解器的大规模线性约束二次最小化问题，例如，在优化与偏微分方程。通过一个原始-对偶投影（PDP）迭代，它可以被解释和分析为一个商空间上的梯度法，给定的问题可以通过计算一系列约束代理问题的解，到可行子空间的投影和Lagrange乘子更新来解决。作为一个主要的应用，我们考虑一类最优化问题的偏微分方程，PDP可以应用在一起的投影CG方法使用块三角形约束预条件。数值实验表明，可靠的和有竞争力的性能的最优控制问题的弹性。
2020-12-04 cs.NA math.NA math.OC
Overcoming the curse of dimensionality in the numerical approximation of Allen-Cahn partial differential equations via truncated full-history recursive multilevel Picard approximations
高维非线性偏微分方程的近似解是应用数学中最具挑战性的问题之一。像有限差分或有限元这样的标准确定性近似方法在计算工作量在维度上呈指数增长的意义上遭受维度灾难。在这项工作中，我们克服了这一困难的情况下，反应扩散型偏微分方程的局部Lipschitz连续coervice非线性（如艾伦-卡恩偏微分方程），通过引入和分析截断变量最近推出的全历史递归多级皮卡德近似计划。
2019-07-15 cs.NA math.AP math.NA
On multilevel Picard numerical approximations for high-dimensional nonlinear parabolic partial differential equations and high-dimensional nonlinear backward stochastic differential equations
Princeton University（普林斯顿大学）；Peking University（北京大学）；University of Duisburg-Essen（杜伊斯堡-埃森大学）；ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）
本文研究了高维非线性抛物型偏微分方程和高维非线性反向随机微分方程的数值近似方法，提出了一种基于皮卡近似和多级蒙特卡洛方法的算法，并通过数值模拟验证了其在100维问题中的准确性和效率。
2017-08-10 cs.NA math.NA
Multilevel CNNs for Parametric PDEs
Technical University of Berlin（柏林工业大学）；Weierstraß Institute（魏尔斯特拉斯研究所）
结合多层求解器与深度学习提出高效求解高维参数化偏微分方程的新方法，理论上能逼近多重网格V循环且权重仅对数依赖最细网格分辨率，实验表明其性能显著优于现有深度学习求解器。
2023-04-04 cs.LG cs.NA math.AP
Multilevel Picard approximations for high-dimensional semilinear second-order PDEs with Lipschitz nonlinearities
最近提出的全历史递归多层Picard（MLP）逼近方法在高维非线性偏微分方程解的数值逼近方面取得了很大的成功。特别是，在文献中有数学收敛的结果证明，MLP近似方法确实克服了非线性二阶偏微分方程的数值逼近中的维数灾难，在这个意义上，所提出的MLP近似方法的计算操作的数量在规定的近似精度$ε>0$的倒数$1/ε$和偏微分方程维数$d\in \mathbb{N}=\{1,2,3, \ldots\}$中最多多项式地增长。然而，在文献中的MLP逼近方法的收敛性结果中，假定二阶微分算子前面的系数函数是仿射线性的。特别地，直到今天，在科学文献中还没有结果证明任何具有一般时域和二阶微分算子前面的非仿射线性系数函数的半线性二阶偏微分方程可以被近似而没有维数灾难。本文的主要贡献是克服这一障碍，提出并分析了一类二阶微分算子前系数函数可能为非线性的半线性二阶偏微分方程的MLP逼近方法.特别地，本文的主要结果证明了这种新的MLP逼近方法确实克服了半线性二阶偏微分方程数值逼近中的维数灾难。
2020-10-09 cs.NA math.NA math.PR
Multilevel Picard algorithm for general semilinear parabolic PDEs with gradient-dependent nonlinearities
针对系数非常数且非线性依赖梯度的一般半线性抛物型 PDE，提出多层 Picard 逼近算法，并借助 SFPE 证明解与梯度的表示、收敛性及复杂度，辅以 300 维数值验证。
2025-02-18 cs.NA math.AP math.NA
Optimal preconditioning for the symmetric and non-symmetric coupling of adaptive finite elements and boundary elements
Vienna University of Technology（维也纳工业大学）；Leibniz University Hannover（汉诺威莱布尼茨大学）
本文研究了适应性耦合FEM与BEM的多级对角加权加法 Schwarz 预处理方法，证明预处理后的系统条件数有界，适用于非对称Johnson-Nédélec单式耦合及其他耦合形式。
2013-11-22 cs.NA math.NA
Multilevel CNNs for Parametric PDEs based on Adaptive Finite Elements
提出一种基于自适应有限元的多层CNN架构，高效逼近参数化PDE的参数到解映射，兼具精度与复杂度优势，并通过后验误差估计实现误差控制。
2024-08-20 cs.LG cs.NA math.NA
Multilevel Monte Carlo FEM for Elliptic PDEs with Besov Random Tree Priors
本文提出了一种求解多面体区域上线性椭圆扩散问题的多层Monte Carlo（MLMC）-FEM算法，该算法具有Besov树随机系数，求解区域为$\mathcal D\subset \mathbb R^d$.也就是说，扩散系数的矩阵是从所谓的Besov树先验中采样的，Besov树先验最近被提出来对科学和工程中的分形现象的数据进行建模。椭圆型偏微分方程的全离散有限元的数值分析包括求积近似，并且必须考虑a）非均匀路径上和下系数边界，以及b）Besov树系数的低路径正则性。容许的非参数随机系数对应于随机函数在分形维数可调的随机分形上表现出奇异性，但不涉及样本路径奇异支撑的分形几何的先验规范。最佳的复杂性和收敛速度估计的兴趣量和他们的二阶矩的证明。MLMC-FEM的收敛性分析，产生的算法转向参数的选择，有效的实施。提供了MLMC-FEM近似的复杂性（"误差与工作“）分析。
2023-02-01 cs.NA math.NA math.PR
Optimal and Low-Memory Near-Optimal Preconditioning of Fully Implicit Runge-Kutta Schemes for Parabolic PDEs
Runge-Kutta（RK）格式，特别是Gauss-Legendre和其他一些全隐式RK（FIRK）格式，由于其A-稳定性和高阶精度，在抛物型偏微分方程的时间积分中是理想的。然而，这是显着更具挑战性的构造最佳预条件相比，对角隐式RK（或DIRK）计划。为了解决这一挑战，我们首先引入数学上最优的预条件，称为块复舒尔分解（BCSD），块实舒尔分解（BRSD），和块约旦形式（BJF），由块循环预条件和约旦形式解决方案技术IRK的动机。然后，我们得到了一个有效的，近最佳的单对角近似BRSD（SABRSD）的近似实Schur分解中的准三角矩阵使用一个优化的上三角形矩阵与一个单一的对角线值。SABRSD的一个理想特性是它具有与单个DIRK（SDIRK）相当的内存需求和因子分解（或设置）成本。在这些预处理技术中，我们使用具有（近）线性复杂度的不完全因式分解来近似对角块，例如多级ILU，ILU（0）或具有基于ILU的平滑器的多重网格方法。本文将右预处理GMRES中的块预处理子应用于三维对流扩散方程的有限元和有限差分法求解。我们表明，BCSD，BRSD和BJF显着优于其他预条件的GMRES迭代，和SABRSD是有竞争力的，他们和现有技术的计算成本方面，同时需要最少的内存。
2021-06-13 cs.NA math.AP math.NA
HILUCSI: Simple, Robust, and Fast Multilevel ILU for Large-Scale Saddle-Point Problems from PDEs
不完全因子分解是Krylov子空间方法求解大型稀疏线性系的一种广泛使用的预处理技术。它的多级变体，如ILUPACK，对于许多对称或非对称线性系比传统的单级不完全LU（或ILU）技术更鲁棒。然而，以前的多层ILU技术仍然缺乏鲁棒性和效率的一些大规模的鞍点问题，这往往会出现在系统的偏微分方程（PDE）。我们介绍HILUCSI，或分层不完整的LU-Crout与可扩展性为导向和反向为基础的下降。作为一个多级预处理器，HILUCSI静态和动态地将单个行和列排列到下一级以进行延迟因子分解。与ILUPACK不同，HILUCSI在顶层应用对称预处理技术，但在较粗的层次总是使用非对称预处理和非对称因子分解。延迟与混合预处理相结合，使几乎或部分对称系统的统一处理，并简化了实现，避免混合$1\times 1$和$2\times 2$枢轴对称不确定系统。我们表明，这种组合提高了不确定系统的鲁棒性，而不影响效率。此外，为了使具有数百万或更多未知数的大规模系统具有更高的效率，HILUCSI引入了面向可扩展性的丢弃，并结合了基于逆的丢弃的变体。我们证明了HILUCSI的有效性，几十个基准问题，包括那些从混合制定的泊松方程，斯托克斯方程，和Navier-斯托克斯方程。我们还比较了它的性能与ILUPACK，超级节点ILUTP在SuperLU，多线程直接求解器在PARDISO和MUMPS。
2021-05-28 cs.MS cs.NA math.NA
HIFIR: Hybrid Incomplete Factorization with Iterative Refinement for Preconditioning Ill-conditioned and Singular Systems
我们介绍了一个软件包称为HIFIR预处理稀疏，不对称，病态，和潜在的奇异系统。HIFIR计算混合不完全因子分解，它将多级不完全LU因子分解与最终Schur补上的截断、秩揭示QR因子分解相结合。这种新的杂交是基于新的理论的近似广义逆和$ε$ -准确性。它使接近最佳的预条件一致的系统，并使灵活的GMRES解决不一致的系统时，再加上迭代细化。在本文中，我们集中在一些实际的算法和软件问题的HIFIR。特别是，我们引入了一个新的基于逆的车旋转到ILU，这提高了一些病态系统的鲁棒性和整体效率显着减少的最终Schur补的大小为一些系统。我们还描述了HIFIR的软件设计，其高效的数据结构，支持车旋转在一个多层次的设置，其基于模板的通用编程接口的混合精度的真实和复杂的值在C++，其用户友好的高级界面在MATLAB和Python。我们证明了HIFIR的有效性的病态或奇异系统所产生的几个应用程序，包括Helmholtz方程，线性弹性，静态不可压缩斯托克斯方程，和时间相关的对流-扩散方程。
2021-12-01 cs.MS cs.NA math.NA
Multigrid preconditioning for discontinuous Galerkin discretizations of an elliptic optimal control problem with a convection-dominated state equation
本文研究对流占优约束下椭圆分布最优控制问题的间断 Galerkin 离散，证明显式含参数的最优收敛率，并提出仅需两次多重网格近似求解及块 Gauss-Seidel 扫描的下风多层预处理器。
2024-06-13 cs.NA math.NA
MGM: A meshfree geometric multilevel method for systems arising from elliptic equations on point cloud surfaces
我们开发了一种新的无网格几何多层（MGM）方法来求解由点云表示的曲面上的椭圆偏微分方程离散化所产生的线性系。该方法使用泊松磁盘采样型技术粗化点云和新的无网格约束/插值算子的基础上多调和样条之间的粗化点云的信息传输。然后将这些与标准平滑和算子粗化方法在V循环迭代中相结合。MGM适用于基于各种局部无网格方法的椭圆偏微分方程的离散，包括径向基函数有限差分（RBF-FD）和广义有限差分（GFD）。我们测试MGM作为一个独立的求解器和Krylov子空间方法的预处理几个测试问题，使用RBF-FD和GFD，并数值分析收敛速度，效率和缩放随着点云大小的增加。我们还执行并排比较代数多重网格（AMG）方法解决相同的系统。最后，我们进一步证明了MGM的有效性，将其应用到三个具有挑战性的应用程序在复杂的表面：图案形成，表面谐波，测地线距离。
2022-04-13 cs.NA math.NA
Multilevel Picard approximations overcome the curse of dimensionality in the numerical approximation of general semilinear PDEs with gradient-dependent nonlinearities
本文证明了Neufeld与Wu提出的用于求解含梯度依赖非线性项的一般半线性抛物型PDE的多级Picard（MLP）算法可克服维数灾难，其计算复杂度仅随维度和精度倒数呈多项式增长。
2025-03-20 cs.NA math.AP math.NA
Algorithms for Solving High Dimensional PDEs: From Nonlinear Monte Carlo to Machine Learning
近年来，利用非线性（多级）蒙特卡罗或深度学习的思想，在求解高维偏微分方程（PDE）的数值算法方面取得了巨大进展。对于许多不同的应用，它们可能没有维数灾难，并且在一些非线性抛物型偏微分方程的非线性蒙特卡罗方法的情况下已经被证明是这样。在本文中，我们回顾这些数值和理论的进展。除了基于原始问题的随机重构的算法，如多层Picard迭代和Deep Bracket方法，我们还讨论了基于更传统的Ritz，Galerkin和最小二乘公式的算法。我们希望向读者证明，研究偏微分方程以及控制和变分问题在非常高的维度很可能是最有前途的新方向在数学和科学计算在不久的将来。
2020-09-11 cs.NA math.NA math.OC
MG/OPT and MLMC for Robust Optimization of PDEs
基于MG/OPT框架，提出了一种求解不确定系数偏微分方程约束鲁棒控制问题的算法。这个MG/OPT层次结构中的级别通常对应于PDE的离散化级别。对于随机问题，相关的量（如梯度）包含这些水平上的每一个期望值算子。使用多水平蒙特卡罗方法估计，具体取决于MG/OPT水平。然后，每个优化级别包含多个底层多级蒙特卡罗级别。MG/OPT层次结构允许算法利用PDE中固有的结构，加速收敛到最优。相比之下，多级蒙特卡洛层次结构的存在，利用结构中存在的随机尺寸的问题。证明了算法的收敛速率，并讨论了算法的一些性质。该算法的性能进行了数值研究的三个测试用例。可以观察到在昂贵的水平上所需的样本的样本个数的减少以及因此在计算时间上的减少。
2021-07-19 cs.NA math.NA math.OC
Multigrid Preconditioning for FEEC using Mass-Lumping and Transforming Smoothers
ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）
针对de Rham复形中PDE的结构保持混合有限元离散产生的不定线性系统，提出结合质量集中FEEC质量矩阵与变换平滑子的多重网格预处理框架，通过数值实验验证其鲁棒性。
2026-06-17 cs.NA math.NA
Fast solution of fully implicit Runge-Kutta and discontinuous Galerkin in time for numerical PDEs, Part I: the linear setting
全隐式Runge-Kutta（IRK）方法作为时间积分格式在精度和稳定性方面具有许多令人满意的特性，但高阶IRK方法由于难以求解阶段方程而不常用于数值偏微分方程。本文介绍了一个理论和算法的预处理框架，解决系统的方程，所产生的IRK方法应用于线性数值偏微分方程（无代数约束）。这个框架也自然地适用于时间上的不连续Galerkin离散。在对空间离散的一般性假设下，证明了预条件算子的条件数与空间网格和时间步长无关，且与级数/多项式阶数的依赖性很弱;例如，10阶高斯IRK的预处理算子具有条件数小于2，与空间离散化和时间步长无关。新的方法可以使用任意现有的向后欧拉型时间步进计划的预条件，并适合使用三项递归Krylov方法时，基本的空间离散是对称的。新方法被证明是有效的各种高阶有限差分和有限元离散线性抛物和双曲问题，展示快速，可扩展的解决方案，高达10阶精度。新方法始终优于现有的块预处理方法，在某些情况下，新方法可以达到4阶精度使用高斯积分与预处理器的应用程序和挂钟的数量约为一半所需的使用标准对角隐式RK方法。
2021-10-05 cs.NA math.NA
