Multilevel methods for nonuniformly elliptic operators
University of California at Irvine（加州大学尔湾分校）；University of Maryland, College Park（马里兰大学帕克分校）；Institute for Physical Science and Technology, University of Maryland, College Park（马里兰大学帕克分校物理科学与技术研究所）；University of Tennessee, Knoxville（田纳西大学诺克斯维尔分校）
本文提出并分析了用于非均匀椭圆算子的多级方法，基于加权Sobolev空间中的椭圆性，利用Xu-Zikatanov恒等式获得近似均匀收敛性，并考虑α-调和扩展以局部化椭圆算子的分数次幂，通过数值实验验证了方法的有效性。
2014-03-17 cs.NA math.NA
On the algebraic construction of sparse multilevel approximations of elliptic tensor product problems
Unversität Basel（巴塞尔大学）
本文提出用代数多网格方法构造稀疏网格组合技术，解决复杂几何和非结构化网格上的椭圆问题，与传统几何方法具有相同收敛性。
2018-01-31 cs.NA math.NA
Local Multilevel Preconditioned Jacobi-Davidson Method for Elliptic Eigenvalue Problems on Adaptive Meshes
School of Mathematical Science, Tongji University（同济大学数学科学学院）；Key Laboratory of Intelligent Computing and Applications, Tongji University, Ministry of Education（同济大学教育部智能计算与应用重点实验室）
本文提出了一种高效的自适应多级预条件Jacobi-Davidson方法，用于解决具有奇异性的椭圆特征值问题，通过局部平滑策略实现最优计算复杂度O(N)并保持均匀收敛性。
2026-05-13 cs.NA math.NA
Local Multilevel Preconditioners for Elliptic Equations with Jump Coefficients on Bisection Grids
University of California at Irvine（加州大学尔湾分校）；University of California at San Diego（加州大学圣地亚哥分校）；Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）
针对二分网格上具有分片常数系数的二阶线性椭圆问题，设计基于最新顶点及其邻域局部光滑的局部多重网格和BPX预条件子，分析表明仅固定数量的特征值受大跳跃影响，其余特征值一致有界，从而预条件共轭梯度法收敛速度与系数无关，且关于网格尺寸呈对数依赖，整体计算复杂度接近最优。
2012-02-10 cs.NA math.NA
A fully adaptive multilevel stochastic collocation strategy for solving elliptic PDEs with random data
我们提出并分析了一个完全自适应的策略，解决椭圆型偏微分方程的随机数据在这项工作中。一个层次序列的自适应网格细化的空间近似相结合的自适应各向异性稀疏的Scorpak网格在随机空间中的方式，以尽量减少计算成本。我们的策略的新颖之处在于，空间近似的层次结构是样本相关的，因此每个配置点的计算工作量可以单独优化。我们概述了一个严格的分析的自适应多级算法的收敛性和计算复杂性，我们提供了最佳的选择，在每个级别的误差容限。两个数值例子证明了差错控制的可靠性和显着降低的复杂性时，出现相比，单级算法和多级算法，采用自适应性只在空间离散化或配置过程。
2019-12-04 cs.NA math.NA
Quasi-Monte Carlo and Multilevel Monte Carlo Methods for Computing Posterior Expectations in Elliptic Inverse Problems
本文研究了在椭圆逆问题中利用准蒙特卡洛和多级蒙特卡洛方法计算后验期望的收敛性和复杂度分析，通过数值模拟验证了方法的有效性。
2017-03-02 cs.NA math.NA
Multilevel Monte Carlo estimators for elliptic PDEs with Lévy-type diffusion coefficient
扩散系数在空间上不连续的一般椭圆型方程可作为非均质或裂隙多孔介质中地下渗流的简化模型。在这样的模型中，数据稀疏性和测量误差经常被考虑到的随机化的扩散系数的椭圆型方程，揭示了灵活的，空间不连续的随机场的建设的必要性。从属高斯随机场是高维参数域上的随机函数，具有样本路径不连续和分布灵活性。本文考虑一类随机椭圆型偏微分方程，其中扩散系数中存在间断的从属高斯随机场。构造了求解随机椭圆型偏微分方程的多层蒙特卡罗（MLMC）有限元法。我们证明了一个标准的MLMC估计和一个修改的MLMC -控制变量估计的先验收敛性，并验证了我们的结果在各种数值例子。
2021-08-12 cs.NA math.NA
A Multilevel Monte Carlo Virtual Element Method for Uncertainty Quantification of Elliptic Partial Differential Equations
Politecnico di Milano（米兰理工大学）；University of Vienna（维也纳大学）
本文提出一种基于虚拟元离散化的多级蒙特卡洛虚拟元方法，用于求解具有随机扩散系数的椭圆偏微分方程，通过减少最细层级所需样本数来降低计算成本，验证了方法的收敛性和效率。
2026-04-15 cs.NA math.NA
Multilevel lattice-based kernel approximation for elliptic PDEs with random coefficients
UNSW Sydney（新南威尔士大学）；University of Oxford（牛津大学）
本文针对带周期随机系数的椭圆型偏微分方程，基于QMC格点集核插值研究提出多层核近似方法，可在保持精度的同时降低计算成本，经数值实验验证了其有效性。
2026-09-01 cs.NA math.NA
Convergence of one-level and multilevel unsymmetric collocation for second order elliptic boundary value problems
该研究针对有界域上二阶椭圆边值问题，证明了单层与多层非对称配置法的收敛性，推导了L2误差，分析了收敛速率的影响因素，完善了基于紧支撑径向基函数核方法的理论基础。
2023-06-15 cs.NA math.NA
Multilevel quadrature for elliptic parametric partial differential equations in case of polygonal approximations of curved domains
Universität Bonn（波恩大学）；Fraunhofer Institute for Algorithms and Scientific Computing (SCAI)（弗劳恩霍夫算法与科学计算研究所）；Universität Basel（巴塞尔大学）；Università della Svizzera italiana（瑞士意大利语大学）
本文研究了在曲线域多边形近似情况下，利用多重级次求积方法高效求解椭圆参数偏微分方程的问题，通过稀疏张量积近似空间变量与参数之间的关系，提出了一种基于稀疏网格构造的反向多重级次求积方法，并分析了多边形近似对物理域的影响及双线性形式的数值近似。
2018-12-31 cs.NA math.NA
Construction of Grid Operators for Multilevel Solvers: a Neural Network Approach
Università della Svizzera Italiana（提契诺大学）
在本文中，我们研究多重网格方法和神经网络的结合，从一个椭圆型偏微分方程的有限元离散。多重网格方法使用插值算子在不同的近似水平之间传递信息。这些算子对于多重网格的快速收敛是至关重要的，但它们通常是未知的。我们提出了用于学习插值算子的深度神经网络模型，并根据网络的输出构建了一个多级层次结构。我们研究了神经网络预测的插值算子的准确性，并使用不同的网络架构对其进行测试。这种用于构造网格算子的神经网络方法可以扩展为多级求解器的自动定义，从而在科学计算中实现便携式解决方案
2021-09-13 cs.LG cs.NA math.NA
Multilevel sparse grids collocation for linear partial differential equations, with tensor product smooth basis functions
University of Leicester（莱斯特大学）
本文提出利用多级稀疏插值算法求解线性偏微分方程，采用张量积光滑基函数，实现高精度计算。
2017-10-19 cs.NA math.NA
Multilevel quasi-Monte Carlo for random elliptic eigenvalue problems I: Regularity and error analysis
随机PDE本征值问题是用于量化来自物理科学和工程的若干应用中的不确定性的有用模型，例如，结构振动分析，核反应堆或光子晶体结构的临界性。本文提出了一种多层拟蒙特卡罗方法（MLQMC）来逼近系数为可数个随机参数的级数展开式的椭圆型本征值问题的最小特征值的期望. MLQMC算法是基于空间域的离散化和随机参数域的维度截断的层次结构。为了近似的期望，随机移位的晶格规则。本文主要致力于对该算法的误差进行严格的分析。误差分析的一个关键步骤是同时确定特征函数关于随机变量和空间变量的混合导数的界。在更强的光滑性假设下，我们的分析也扩展到多级高阶拟蒙特卡罗方法规则。一个附带的文件[吉尔伯特和Scheichl，2022年]，侧重于MLQMC算法的实际扩展，以提高效率，并提出了数值结果。
2022-10-06 cs.NA math.NA
MGM: A meshfree geometric multilevel method for systems arising from elliptic equations on point cloud surfaces
我们开发了一种新的无网格几何多层（MGM）方法来求解由点云表示的曲面上的椭圆偏微分方程离散化所产生的线性系。该方法使用泊松磁盘采样型技术粗化点云和新的无网格约束/插值算子的基础上多调和样条之间的粗化点云的信息传输。然后将这些与标准平滑和算子粗化方法在V循环迭代中相结合。MGM适用于基于各种局部无网格方法的椭圆偏微分方程的离散，包括径向基函数有限差分（RBF-FD）和广义有限差分（GFD）。我们测试MGM作为一个独立的求解器和Krylov子空间方法的预处理几个测试问题，使用RBF-FD和GFD，并数值分析收敛速度，效率和缩放随着点云大小的增加。我们还执行并排比较代数多重网格（AMG）方法解决相同的系统。最后，我们进一步证明了MGM的有效性，将其应用到三个具有挑战性的应用程序在复杂的表面：图案形成，表面谐波，测地线距离。
2022-04-13 cs.NA math.NA
Node Subsampling for Multilevel Meshfree Elliptic PDE Solvers
本文提出了一种针对变密度节点集的新子采样方法及两种节点集质量度量，通过多层级 RBF-FD 迭代求解 Poisson 和 Laplace 方程，实现了线性时间的高阶解和稳健收敛。
2023-05-18 cs.NA math.NA
Analysis of sparse grid multilevel estimators for multi-dimensional Zakai equations
Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）
本文研究了多维Zakai方程解的期望函数的估计器的精度和计算复杂性，采用Milstein方案进行时间积分，结合交替方向隐式（ADI）分解的空间有限差分离散化，结合稀疏网格组合技术与多级蒙特卡洛采样（MLMC）。在二维情况下，通过详细的傅里叶分析发现，对于根均方误差（RMSE）ε，MLMC在稀疏网格上的最优复杂度为O(ε^{-2})，而MLMC在正则网格上为O(ε^{-2}(logε)^2)，标准MC在稀疏网格上为O(ε^{-7/2}(|logε|)^{5/2})，而MC在正则网格上为O(ε^{-4})。数值测试验证了这些发现。我们讨论了高维情况，但未给出详细证明，表明MLMC在稀疏网格上始终具有最优复杂度，标准MC在稀疏网格上具有与维度无关的固定复杂度（除了对数项），而MLMC和MC在正则网格上的成本随维度呈指数增长。
2019-04-17 cs.NA math.NA
Multilevel Domain Uncertainty Quantification in Computational Electromagnetics
我们继续我们的研究[计算电磁学中的域不确定性量化，JUQ（2020），8：301--341]的时间谐波电磁场的数值逼近的麦克斯韦损耗腔问题的不确定几何形状。我们采用相同的仿射参数形状参数化框架，将物理域映射到具有分段光滑映射的名义多边形域。在分段索伯列夫空间中刻画了回调解在名义域上的正则性。我们证明了错误的收敛速度和优化的算法转向的参数在名义域结合：（a）多级蒙特卡洛采样，和（b）多级，稀疏网格正交计算的解决方案的期望值不确定域合奏。此外，我们分析了稀疏网格插值计算代理域的解决方案的映射。所有计算都在多面体名义域上进行，这使得能够使用标准的单纯有限元网格。我们提供了一个严格的全离散误差分析，并显示，在所有情况下，实现了与维数无关的代数收敛。对于多层次稀疏网格求积方法，我们证明了高阶收敛速度，这是免费的所谓的灾难的维数，即独立的参数的数量用于参数化的容许形状。数值实验证实了我们的理论结果和验证稀疏网格方法的优越性。
2022-12-14 cs.NA math.NA
Multilevel Adaptive Sparse Grid Quadrature for Monte Carlo models
Freie Universität Berlin（柏林自由大学）
本文提出了一种多级自适应稀疏网格求积方法，用于计算由蒙特卡罗模型隐式定义的积分，通过利用不同采样精度层级来降低计算成本，相比单级方法有显著提升。
2019-02-15 cs.NA math.NA stat.CO
Multilevel quadrature for elliptic problems on random domains by the coupling of FEM and BEM
椭圆型边值问题可以映射到一个固定的标称区域上。因此，随机性被转移到扩散矩阵和负载。虽然这种域映射方法在理论和实践上都是非常有效的，但由于只需要单个域离散化，因此它还需要域映射的知识。然而，在某些应用中，随机域仅由其随机边界描述，而感兴趣的量定义在固定的确定性子域上。在这种情况下，因此有必要计算整个域上的随机域映射，使得域映射是固定子域上的恒等式，并且将所选择的固定标称域的边界映射到随机边界上。为了克服计算这样一个映射的必要性，因此，我们耦合的有限元法的固定子域上的边界元方法的随机边界。我们验证了所需的正则性的解决方案，相对于使用多级积分的随机域映射，推导出耦合制剂，并通过数值结果表明，该方法是可行的。
2019-11-15 cs.NA math.NA
Parallel-in-time Multilevel Krylov Methods: A Prototype
本文提出一种求解微分代数方程的时间并行多层 Krylov 迭代方法，通过特殊时间算子粗化网格并解耦最粗层级系统以实现完全并行化，数值实验证明其相比单处理器和顺序格式具有显著加速效果。
2023-12-30 cs.NA math.NA
A staggered-grid multilevel incomplete LU for steady incompressible flows
用于研究不可压缩流中的转捩和不稳定性的算法通常需要具有完整雅可比矩阵的线性系的解。其他流行的方法，如基于梯度的设计优化和全隐式时间积分，也需要非常强大的求解器，这种类型的线性系。提出了一种在结构网格上求解三维定常不可压Navier-斯托克斯方程的并行完全耦合多层不完全因式分解预条件子。该算法和软件是基于强大的两个层次的方法开发的Wubs和Thies。在本文中，我们确定了一些两级方案的弱点，并提出了补救措施，如不同的域划分和递归应用的方法。我们将该方法应用于著名的3D盖驱动腔基准问题，并通过与隔离SIMPLE型预处理器的比较，证明了其优越的鲁棒性。
2020-11-11 cs.NA math.NA physics.flu-dyn
Multilevel quasi-Monte Carlo for random elliptic eigenvalue problems II: Efficient algorithms and numerical results
随机偏微分方程本征值问题经常出现在不确定性量化领域，人们试图量化本征值或其本征函数中的不确定性。本文提出了一种计算随机系数椭圆本征值问题最小特征值期望的高效多层拟蒙特卡罗方法（MLQMC）。每个样本评估都需要求解PDE本征值问题，因此在实践中解决这个问题在计算上是非常困难的。我们从四个方面加快了这个期望值的逼近速度：我们使用一个多层次的方差缩减方案，将工作分散到一个层次的有限元网格和截断维上;我们使用QMC方法，有效地计算每一层上的期望值;我们利用参数空间的光滑性，并重用附近QMC点的特征向量，以减少特征值求解器的迭代次数;我们利用两个网格离散计划，以获得一个单一的线性求解的细网格上的特征值。一个基本的MLQMC算法的完整误差分析在配套文件[Gilbert and Scheichl，2022]中给出，因此本文中，我们专注于如何进一步提高效率，并提供理论上的理由，使用附近的QMC点和两个网格的方法。数值结果表明，我们的算法的效率，也表明，我们采用的四种策略是互补的。
2022-10-06 cs.NA math.NA
Multilevel Markov Chain Monte Carlo for Bayesian Elliptic Inverse Problems with Besov Random Tree Priors
提出了一种求解具有Besov随机树先验的椭圆贝叶斯反问题的多层Monte Carlo有限元算法。这些先验由具有随机系数的小波级数给出，并且根据所谓的Galton-Watson树定律，展开中的某些项随机消失。这允许在对数扩散中结合随机分形结构和大偏差，这在电子物理学或医学成像的许多应用中自然发生。这个框架需要两个主要的困难：第一，相关的扩散系数不满足一致椭圆性条件，这将导致不可积的条款，从而标准的多层估计发散。其次，参数的相关空间是波兰的，但不是赋范线性空间。我们解决了第一点，通过引入截止函数的估计，以补偿不可积项，而第二个问题是通过采用独立的Metropolis-Hastings采样器解决。由此产生的算法收敛在均方意义上基本上是最佳的渐近复杂性，和尺寸无关的接受概率。
2023-02-01 cs.NA math.NA math.PR
Multilevel Markov Chain Monte Carlo Method for High-Contrast Single-Phase Flow Problems
Texas A&M University（德克萨斯农工大学）；University of California, Riverside（加州大学河滨分校）
本文提出了一种用于高对比单相流问题不确定性量化的新框架，结合了广义多尺度有限元方法和多级蒙特卡罗方法，通过多级采样减少计算成本并提高精度。
2014-02-20 cs.NA math.NA
A multilevel adaptive sparse grid stochastic collocation approach to the non-smooth forward propagation of uncertainty in discretized problems
Institute of Mechanics and Computational Mechanics (IBNM) Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover（汉诺威莱布尼茨大学机械与计算力学研究所）
本文提出了一种结合自适应分层稀疏网格随机配方法与逐级更细的空间离散化方法，以显著降低离散问题中非光滑不确定性正向传播的计算复杂度。
2015-09-04 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Antithetic Multilevel Methods for Elliptic and Hypo-Elliptic Diffusions with Applications
提出一种无需 Lévy 区域模拟且具有 2 阶强误差和 2 阶弱误差的新型反多级蒙特卡洛方法，用于估计椭圆或亚椭圆扩散过程期望，并证明其在部分观测扩散滤波等问题中相较现有方法具有显著效率提升。
2025-04-28 cs.NA math.NA stat.CO
R3MG: R-tree based agglomeration of polytopal grids with applications to multilevel methods
本文提出基于 R-tree 空间索引的多边形/多面体网格自动凝聚方法，可生成平衡、嵌套且形状接近轴对齐包围盒的层次结构，支撑无初始网格层次时的高效几何多重网格。
2025-02-20 cs.NA math.NA
Multilevel quasi Monte Carlo methods for elliptic PDEs with random field coefficients via fast white noise sampling
在求解以随机场为系数的偏微分方程时，对随机场实现的有效采样是一个挑战。在本文中，我们专注于在有限元和多级拟蒙特卡罗方法（MLQMC）设置使用准随机点的高斯场的快速采样。我们的方法使用Lindgren等人的SPDE方法。结合一种新的白噪声快速采样算法，该算法与（ML）QMC相结合。我们将白噪声表示为小波级数展开，并将其分为两部分。第一部分使用准随机点进行采样，并包含有限数量的项，以确保良好的QMC收敛性。第二部分是使用标准伪随机数采样的校正项。我们展示了如何采样的两个术语可以在线性时间和内存复杂性的网格单元的数量通过一个超网格的建设，产生一个整体的线性成本。此外，我们的技术可以用来执行MLQMC耦合，即使在非嵌套网格层次结构的情况下。我们证明了我们的方法与数值实验的有效性。
2021-06-01 cs.NA math.NA
Multilevel Evaluation of Multidimensional Integral Transforms with Asymptotically Smooth Kernels
在数值方法的许多实际应用中，通过使用局部网格细化可以获得效率的实质性增加，因为解在域的大部分中通常是光滑的，并且大梯度仅在局部出现。在这种自适应网格上快速计算积分变换需要一种算法，该算法仅依赖于连续核的光滑性，而与其离散形式无关。文献[A. Brandt和C.H. Venner，SIAM J. Sci. Stat. Comput. 19（1998）第468 -492页] [Bra 1998]。参考文献[Bra 1998]表明，在均匀网格上，新算法比早期的快速评估算法更有效，并阐述了一维变换的应用。本文分析了多维变换算法的扩展和实现。分析表明，多维扩展是非平凡的，非局部校正的发生帐户。然而，凭借连续核的渐近平滑特性，这些校正可以再次快速评估。通过递归，就有可能获得[Bra 1998]中所指出的最佳工作估计。目前，只考虑均匀网格。详细的数值结果将被提交的二维模型问题。结果表明，与以前的算法相比，新算法的多维变换的评估也更有效。
2016-06-20 cs.NA math.NA
A multilevel correction method for optimal controls of elliptic equation
LSEC, Institute of Computational Mathematics, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院计算数学研究所）；NCMIS, LSEC, Institute of Computational Mathematics, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院计算数学研究所）；NCMIS, LSEC, Institute of Systems Science, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院系统科学研究所）
本文提出一种多级修正方法，通过多网格方法和粗化有限元空间求解线性边界值问题，以提高求解由PDEs约束的最优控制问题的效率。
2014-10-05 cs.NA math.NA math.OC
Multilevel Monte Carlo FEM for Elliptic PDEs with Besov Random Tree Priors
本文提出了一种求解多面体区域上线性椭圆扩散问题的多层Monte Carlo（MLMC）-FEM算法，该算法具有Besov树随机系数，求解区域为$\mathcal D\subset \mathbb R^d$.也就是说，扩散系数的矩阵是从所谓的Besov树先验中采样的，Besov树先验最近被提出来对科学和工程中的分形现象的数据进行建模。椭圆型偏微分方程的全离散有限元的数值分析包括求积近似，并且必须考虑a）非均匀路径上和下系数边界，以及b）Besov树系数的低路径正则性。容许的非参数随机系数对应于随机函数在分形维数可调的随机分形上表现出奇异性，但不涉及样本路径奇异支撑的分形几何的先验规范。最佳的复杂性和收敛速度估计的兴趣量和他们的二阶矩的证明。MLMC-FEM的收敛性分析，产生的算法转向参数的选择，有效的实施。提供了MLMC-FEM近似的复杂性（"误差与工作“）分析。
2023-02-01 cs.NA math.NA math.PR
Adaptive Numerical Treatment of Elliptic Systems on Manifolds
University of California, San Diego（加利福尼亚大学圣迭戈分校）
针对几何分析和广义相对论中的椭圆系统，开发并分析了自适应多层有限元方法，并介绍了流形代码（MC）的设计与实现。
2010-01-08 cs.NA math.NA
New Hybridized Mixed Methods for Linear Elasticity and Optimal Multilevel Solvers
Peking University（北京大学）；Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）
本文提出新的混合有限元方法用于二维和三维线弹性问题，通过混合化实现应力的符合性和强对称性，采用P_{k+1}-P_k混合格式，保证收敛性，并开发多级求解器验证理论结果。
2017-04-25 cs.NA math.NA
Improved Convergence of Multilevel Moving Least-Squares Approximation
University of Bayreuth（拜罗伊特大学）
本文针对规则网格数据，证明低阶移动最小二乘与多级方案的组合可改进移动最小二乘近似的收敛性，解决高阶多项式带来的高计算成本与数值不稳定性问题。
2026-08-19 cs.NA math.NA
Multilevel Method with Low-Order Equations of Mixed Types and Two Grids in Photon Energy for Thermal Radiative Transfer
提出一种采用双光子能量网格的非线性多层迭代方法，求解与材料能量平衡耦合的多群辐射输运方程，通过非线性投影构建含多群加权通量方程和有效灰方程的低阶方程组，数值结果验证了Fleck-Cummings问题中的收敛性。
2024-12-23 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Multilevel Monte Carlo methods for highly heterogeneous media
University of Bath（巴斯大学）
研究多层蒙特卡罗方法在随机系数椭圆偏微分方程中的应用，扩展分析至张量值系数和点评估，并涵盖对数正态随机系数。
2012-06-07 cs.NA math.NA
Stability of Low-Rank Tensor Representations and Structured Multilevel Preconditioning for Elliptic PDEs
将大小为$2^L$的网格值向量折叠成模式大小为$2\times \cdots\times 2$的$L$阶张量，与张量训练格式的低秩表示相结合，已被证明可以导致各种类型的函数的高效近似。这些问题包括非光滑域上的椭圆型偏微分方程的解或具有振荡数据的偏微分方程的解。这种张量结构的方法是有吸引力的，因为它导致高度压缩，自适应近似基于简单的离散化。基本基的标准选择，如均匀张量积网格上的分段多线性有限元，必然导致离散算子的众所周知的矩阵病态。我们证明，对于低秩表示，张量结构本身的使用还引入了表示病态，这是张量网络中计算特有的一种新效应。我们分析了二阶线性椭圆算子BPX预处理器的张量结构，并构造了预处理器的显式张量结构表示，其秩与离散化水平的数量$L$无关。直接应用的预条件产生离散算子的矩阵条件是统一的离散化参数，但在分解表示病态。通过另外消除某些冗余的预处理离散算子的表示，我们得到的降秩分解是免费的矩阵和表示病态。对于低秩张量的软阈值的基础上的迭代求解器，我们得到的收敛性和复杂性的估计，并证明其可靠性和效率的离散化与$2^{50}$节点在每个维度。
2019-11-17 cs.NA math.NA
Multilevel Monte Carlo methods for the Grad-Shafranov free boundary problem
本研究针对Grad-Shafranov自由边界问题，采用多水平蒙特卡洛方法在粗细网格序列上计算，显著降低模拟成本（约60至200倍），并利用自适应网格提高x点等几何量的计算精度。
2023-12-21 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Multilevel Preconditioners for Discontinuous Galerkin Approximations of Elliptic Problems with Jump Coefficients
CRM（数学研究中心）
针对扩散系数大跳跃的二阶椭圆问题的内罚间断Galerkin离散，提出并分析了两层和多层预条件子，基于DG空间在能量内积下的正交分解，证明了预条件子关于扩散系数的鲁棒性和近最优性。
2012-02-08 cs.NA math.NA
Goal-oriented adaptivity for multilevel stochastic Galerkin FEM with nonlinear goal functionals
本文提出一种目标导向自适应算法，结合多层随机Galerkin有限元方法，用于高效逼近参数化椭圆PDEs解的非线性目标泛函，并证明误差估计收敛到零。
2025-10-07 cs.NA math.NA
Two-level a posteriori error estimation for adaptive multilevel stochastic Galerkin FEM
研究了一类参数椭圆型偏微分方程（PDE），其中方程的系数和右端函数依赖于无穷多个（不确定）参数.我们引入了一个两级后验估计来控制这类偏微分方程问题的多级随机伽辽金近似的能量误差。我们证明了两层估计总是为未知的逼近误差提供一个下界，而上界等价于一个饱和假设。我们提出并实证比较三种自适应算法，其中利用估计器的结构来执行空间细化以及参数富集。本文还讨论了实现方面的计算多级随机Galerkin近似。
2021-03-17 cs.NA math.NA
Multilevel adaptive sparse Leja approximations for Bayesian inverse problems
确定性插值和求积方法往往不适合解决贝叶斯逆问题，这取决于计算昂贵的正演数学模型。虽然插值可以给出精确的后验近似，但确定性求积通常无法有效地调查信息量，从而集中可能性。这导致了大量的数学模型所需的昂贵的评估。为了克服这些挑战，我们制定和测试多级自适应稀疏Leja算法。在每一层，自适应稀疏网格插值和正交分别用于近似后验和执行所有的正交操作。具体来说，我们的算法使用粗糙的离散化的基本数学模型，调查的参数空间，并确定高后验概率的地区。然后使用自适应稀疏网格算法将点放置在这些区域中，并忽略后验概率小的其他区域。这些点是加权Leja点。由于模型离散化是粗略的，稀疏网格的构造是计算高效的。在这个稀疏的网格上，后验测度可以精确地近似，只需很少的昂贵的精细模型离散化。该算法的效率可以进一步提高，通过利用两个以上的离散化水平。我们提出的多级自适应稀疏Leja算法在数值实验中涉及椭圆反问题的二维和三维空间，在其中我们比较它与马尔可夫链蒙特卡罗采样和标准的多级近似。
2019-05-07 cs.NA math.NA stat.CO
Multilevel Method for Thermal Radiative Transfer Problems with Method of Long Characteristics for the Boltzmann Transport Equation
Los Alamos National Laboratory（洛斯阿拉莫斯国家实验室）；North Carolina State University（北卡罗来纳州立大学）
本文提出一种基于多级准扩散（可变Eddington因子）方法和长特征方法的热辐射传输问题计算方法，通过多级BTE动量方程与材料能量平衡方程耦合，实现高精度求解。
2023-05-19 cs.NA math.NA physics.comp-ph
An adaptive stochastic Galerkin method based on multilevel expansions of random fields: Convergence and optimality
本文研究了二阶椭圆型偏微分方程的随机Galerkin方法。它结合了随机变量的算子压缩和空间变量的基于树的样条小波逼近。依赖于给定的随机扩散系数的多级扩展，该方法被证明可以实现最佳的计算复杂性的对数因子。与现有的结果相比，这尤其适用于当可实现的收敛速度受限于随机场的规则性，而不是受限于空间近似阶。数值实验证明了算法的收敛性和复杂性.
2022-06-01 cs.NA math.NA
Algebraic distance for anisotropic diffusion problems: multilevel results
Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）；Bergische Universität Wuppertal（伍珀塔尔大学）；Ball State University（_ball_state_大学）
本文提出基于代数距离的新连接强度定义，用于构建代数多网格算法中的粗网格和插值算子，通过数值实验验证其在各向异性扩散问题中的鲁棒性。
2014-09-16 cs.NA math.NA
Noise-balanced multilevel on-the-fly sparse grid surrogates for coupling Monte Carlo models into continuum models with application to heterogeneous catalysis
Fritz Haber Institute of the Max Planck Society（马克斯·普朗克学会弗里茨·哈伯研究所）
本文提出一种平衡噪声的多级即时稀疏网格代理方法，用于将微观蒙特卡洛模型与宏观连续模型耦合，应用于异质催化中的多尺度模拟。
2026-02-11 cond-mat.stat-mech cs.NA math.NA
$p$-Multilevel preconditioners for HHO discretizations of the Stokes equations with static condensation
我们提出了一个$p$ -多级预条件的混合高阶离散（HHO）的斯托克斯方程，数值评估其性能的两种变体的方法，并与经典的间断Galerkin计划。我们专门研究如何结合$p$粗化和静态凝聚的影响性能的$V$循环迭代HHO。两种不同的静态凝聚程序被认为是，导致全球线性系具有不同数量的未知数和非零元素。提出了一种有效的实现方法，其中粗层次算子使用定义在网格面上的$L^2$正交投影来继承，细网格算子的限制递归地和无矩阵地执行。在二维和三维问题上彻底验证了各种解决策略。
2020-09-29 cs.NA math.NA
A Robust Multilevel Method for Hybridizable Discontinuous Galerkin Method for the Helmholtz Equation
Xiamen University（厦门大学）；Academy of Mathematics and System Sciences, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）
本文提出一种基于混合不连续伽辽金方法的鲁棒多级预处理器，用于高波数亥姆霍兹方程。核心方法包括选择合适的跨网格传输算子和在粗网格上使用GMRES平滑。通过局部傅里叶分析验证了算法收敛性，数值结果表明算法收敛性与网格无关，且对波数依赖较弱。
2013-06-25 cs.NA math.NA
A convergent adaptive finite element stochastic Galerkin method based on multilevel expansions of random fields
提出一种基于随机场多水平展开的自适应随机伽辽金有限元方法，通过稀疏乘积多项式展开和独立网格细化，实现均匀误差缩减，并保证细化过程的饱和性质，数值实验验证了有效性。
2025-03-27 cs.NA math.NA
Quasi-interpolation on a sparse grid with Gaussian
Duzce University（杜兹杰大学）；University of Leicester（莱斯特大学）
本文提出基于Q-MuSIK的高效稀疏插值方法，改进收敛性和运行时间，尤其在高维问题中表现更优，并基于该方法构建了高维积分公式。
2016-08-02 cs.NA math.NA
Improved Multilevel Monte Carlo Methods for Finite Volume Discretisations of Darcy Flow in Randomly Layered Media
University of Nottingham（诺丁汉大学）；University of Warwick（华威大学）
本文研究了多级蒙特卡罗方法在随机多孔介质中稳态达西流的应用，通过有限体积离散化方法和新的收敛性结果，提出了一种基于代数多网格方法和Coarse Grid Variates变方差技术的最优实现。
2015-06-15 cs.NA math.NA
Error estimation and adaptivity for stochastic collocation finite elements Part II: multilevel approximation
本文提出了一种求解线性椭圆型偏微分方程的多级自适应加密策略。该策略扩展了Guignard和Neclique在2018年引入的后验误差估计框架（SIAM J. Numer. Anal，56，3121 - 3143）来覆盖具有非仿射参数系数依赖性的问题。一个次优的，但仍然可靠和方便的实施策略涉及近似的解耦PDE问题与一个共同的有限元近似空间。使用这种单级策略获得的计算结果在本工作的第一部分中给出（Bespalov，Silvester和Xu，arXiv：2109.07320）。本文讨论了使用可能更有效的多级近似策略获得的结果，其中网格是单独定制的。用于生成数值结果的代码可在线获得。
2022-02-17 cs.NA math.NA
Multilevel Representations of Isotropic Gaussian Random Fields on the Sphere
构造了各向同性高斯随机场在$\mathbb{S}^2$上具有独立高斯系数和局部基函数的级数展开式。这样的表示与多级局部结构提供了一种替代的标准Karhunen-Loève展开的各向同性随机场的球谐函数。通过将协方差算子的平方根应用于球形针状体来获得基函数。所得到的协方差相关的多级基础上的角随机场的功率谱的衰减条件下示出的本地化。此外，给出了数值例子，并分析了其在球面上随机椭圆偏微分方程中的应用。
2022-06-24 cs.NA math.NA math.PR
