Optimal interpolation and Compatible Relaxation in Classical Algebraic Multigrid
本文研究了经典最优代数多网格插值形式，并探讨了其与理想形式的对比，提出新的尖锐度量以保证收敛率下界，并设计了通用的bootstrap代数多网格设置算法。
2017-03-29 cs.NA math.NA
A non grid-based interpolation scheme for the eigenvalue problem
Universidade Federal de Itajubá（伊塔朱巴联邦大学）；Universidade de São Paulo（圣保罗大学）；Universidade Estadual Paulista（圣保罗州立大学）
本文提出一种非网格插值方法，利用查询点附近的数据信息，通过平衡精度与计算成本，实现对单变量和多变量函数的高效精确插值，并应用于特征值问题研究。
2016-09-08 cs.NA math.NA
Order Preserving Interpolation for Summation-by-Parts Operators at Non-Conforming Grid Interfaces
Stanford University（斯坦福大学）；Chalmers University of Technology（查尔姆斯理工大学）；University of Gothenburg（哥德堡大学）；Uppsala University（乌普萨拉大学）
本文研究了应用于具有空间二阶导数的偏微分方程的求和-由-部分差分方法的非匹配网格界面，通过通用化的界面处理和引入守序插值算子避免了全局收敛率的降低，保证了非匹配界面下的稳定性与全局精度。
2018-06-05 cs.NA math.NA
Sparse grid approximation in weighted Wiener spaces
利用拟插值算子构造的稀疏网格方法研究了加权Wiener空间中多元周期函数的逼近性质。这类算子包括经典的插值和采样算子、Kantorovich型算子、与小波构造相关的尺度展开等。我们得到相应的稀疏网格方法在加权Wiener范数下的收敛速率以及类似的Littlewood-Paley型特征的拟插值算子族。
2021-11-11 cs.NA math.NA
Model Reduction Using Sparse Polynomial Interpolation for the Incompressible Navier-Stokes Equations
本文研究了稀疏多项式插值作为不可压Navier-斯托克斯方程模型降阶方法的应用。数值结果强调稀疏多项式逼近的有效性，并与已建立的减少的基础技术进行比较。两个数值模型用于访问的降阶模型（ROM）的准确性，特别是参数非线性所产生的弯曲几何形状进行了详细研究。除了ROM的准确性，该方法的其他重要功能，如离线在线分裂，运行时间和易于实施。研究结果建立稀疏多项式插值作为另一种工具的工具箱中的方法来打破维数灾难。
2022-01-10 cs.NA math.NA
Trigonometric splines and some of their properties
研究了一类依赖于参数向量、选择的收敛因子和插值因子的三角插值样条。引入了交叉网格和插值网格的概念，这些网格可以匹配也可以不匹配。给出了Parseval等式，讨论了样条函数的一些性质.材料是通过一个数值例子说明。
2020-11-12 cs.NA math.NA
Taylor-Accelerated Neural Network Interpolation Operators on Irregular Grids: Higher-Order Approximation and Derivative-Informed Field Reconstruction
本文提出了一种在不规则网格上基于泰勒加速的神经网络插值运算符，通过引入泰勒多项式提升插值精度，实现更高的收敛性和准确性。
2026-11-03 cs.NA math.FA math.NA
Two hierarchies of spline interpolations. Practical algorithms for multivariate higher order splines
Université Libre de Bruxelles（布鲁塞尔自由大学）
提出利用两个多项式层次系统构造高阶样条，给出其中一个层次的具体实现步骤，并讨论扩展到非规则网格的方法。
2009-05-21 cs.NA math.NA
Nodal Coarsening and Approximate Ideal Interpolation for H(curl) in Algebraic Multigrid
The Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）；Lawrence Livermore National Laboratory（劳伦斯利弗莫尔国家实验室）；Bergische Universität Wuppertal（伍珀塔尔大学）；University of New Mexico（新墨西哥大学）
本文提出了一种针对H(curl)问题的代数多重网格方法，通过稀疏插值构造和节点粗化算法，提升了在强系数跳跃下的求解效率。
2026-10-26 cs.NA math.NA
Kernel interpolation in Sobolev spaces of hybrid regularity
Fraunhofer Institute for Algorithms and Scientific Computing (SCAI)（弗劳恩霍夫算法与科学计算研究所）
本文提出在混合正则性Sobolev空间中使用优化稀疏网格进行核插值，从而避免维度诅咒。
2025-12-14 cs.NA math.NA
Double-grid quadrature with interpolation-projection (DoGIP) as a novel discretisation approach: An application to FEM on simplexes
Technische Universität Braunschweig（布伦瑞克工业大学）
本文提出了一种基于双网格积分与插值-投影（DoGIP）的新型矩阵自由离散化方法，用于求解变分公式，特别应用于简单形上的有限元方法，通过将试函数和测试函数共同处理，将线性系统分解为插值和（块）对角矩阵，从而降低内存需求，但计算成本较高。
2019-05-14 cs.NA math.NA
Anisotropic Kernel-based Multilevel Interpolation of High-Dimensional Functions on Sparse Grids
本文提出一种基于各向异性核的多层插值方法，在稀疏网格上逼近高维函数，推导显式表示并证明误差估计，给出三种权重策略，数值实验验证了理论。
2026-09-23 cs.NA math.NA
Local and Dimension Adaptive Sparse Grid Interpolation and Quadrature
本文提出了一种局部和维数自适应的稀疏网格方法，用于高维间断函数的插值和积分。该算法结合了广义稀疏网格算法和层次剩余引导局部自适应的优势。一个高度的基础是用来获得一个高阶的方法，给予足够的光滑度，执行显着优于分段线性基础。底层的广义稀疏网格算法greetly选择的维度和变量的相互作用，最有助于一个功能的可变性。稀疏网格内的分层盈余点被用作局部细化的误差标准，其目的是将计算工作集中在快速变化或不连续的区域内。这种方法限制了在高维域中投资于“不重要”维度和区域的点的数量。我们展示了所提出的方法的实用性与数百个变量的非光滑函数。
2011-09-30 cs.DS cs.NA math.NA
Estimates for generalized sparse grid hierarchical basis preconditioners
University of Bonn（波恩大学）
本文改进了稀疏网格分层基预条件子的估计方法，考虑任意空间维度，给出任意单调索引集的广义稀疏网格空间界，并证明这些界在常数依赖于维度的情况下是精确的。
2018-03-05 cs.NA math.NA
Reconstructing sparse exponential polynomials from samples: Stirling numbers and Hermite interpolation
Lehrstuhl für Mathematik mit Schwerpunkt Digitale Bildverarbeitung & FORWISS, University of Passau（帕绍大学数字图像处理重点数学研究所与FORWISS）；University of Passau（帕绍大学）
本文研究通过斯特林数和赫尔米特插值从样本重构稀疏指数多项式，揭示系数与多重空间的精确关系。
2017-04-11 cs.NA math.NA
Multilevel Sparse Kernel-Based Interpolation
University of Leicester（莱斯特大学）
提出一种多级稀疏核基插值方法，通过层次化分解和方向各向异性径向基函数，高效处理中高维大规模数据插值问题。
2012-04-18 cs.NA math.NA
About the classification of trigonometric splines
根据所选择的收敛因子、基函数和插值因子的符号分布，考虑了三角插值样条分类的一种可能的变体。引入了交联网格和插值网格的概念，这些网格可以匹配也可以不匹配。通过一个例子说明了所提出的分类。
2019-10-02 cs.NA math.NA
Efficient approximation of sparse Jacobians for time-implicit reduced order models
本文介绍了一种稀疏矩阵离散插值方法，有效地计算矩阵近似的降阶建模框架。本文开发的稀疏算法依赖于离散经验插值方法，并且仅使用矩阵序列的非零项的样本。所提出的方法可以近似非常大的矩阵，不像目前的矩阵离散经验插值方法，这是有限的，其大的计算内存的要求。稀疏算法得到的经验插值指数与矩阵离散经验插值方法计算的指数略有不同，这是由于经济或全奇异值分解（SVD）算法应用于全矩阵快照时引入的奇异向量舍入误差造成的。当适当地用零填充时，快照矩阵的非零元素的经济SVD分解是完整快照矩阵的有效经济SVD。数值实验进行了一维Burgers和二维浅水方程测试问题的二次约化非线性通过张量演算计算。稀疏矩阵近似策略与现有的五种计算约化雅可比矩阵的方法进行了比较：a）矩阵离散经验插值方法，b）离散经验插值方法，c）张量演算，d）到约化基子空间上的全雅可比投影，以及e）沿约化基函数的模型的方向导数。稀疏矩阵方法优于所有其他算法。传统的矩阵离散经验插值方法对内存的要求很高，不适用于大型实例。
2015-06-14 cs.NA math.NA
A Dynamically Adaptive Sparse Grid Method for Quasi-Optimal Interpolation of Multidimensional Analytic Functions
Oak Ridge National Laboratory（橡树岭国家实验室）
本文提出一种动态自适应稀疏网格方法，用于多维解析函数的近似最优插值，通过迭代过程自适应改进区域估计并考虑Lebesgue常数的影响，无需先验知识。
2015-08-05 cs.NA math.NA
On sparse interpolation and the design of deterministic interpolation points
Institute of Computational Mathematics and Scientific/Engineering Computing, AMSS, the Chinese Academy of Sciences（中国科学院计算数学与科学工程计算研究所）
本文构建了稀疏插值的框架，探讨了稀疏插值中非奇异点数的理论极限，分析了经典插值与稀疏插值的关系，并提出了一种确定性方法设计高维切比雪夫基底下的s-稀疏函数插值点，通过ℓ1最小化验证其性能。
2013-08-29 cs.IT cs.NA math.IT
Quartic $L^p$-convergence of cubic Riemannian splines
证明了当插值网格的网格尺寸趋于零时，曲线到黎曼流形的三次样条插值的四次收敛性。与经典的欧几里得空间中的三次样条插值相比，插值算子不再是线性的。尽管如此，来自线性设置的概念可以推广到黎曼情况，在这种情况下，我们试图使用内在的黎曼公式，并尽可能避免图表。
2020-12-15 cs.NA math.NA
Adaptive Sparse Polynomial Chaos Expansions via Leja Interpolation
本文提出了一种基于插值的随机配置法，用于非侵入式自适应构造稀疏多项式混沌展开式。与伪谱投影和基于回归的随机配置法不同，所提出的方法导致每个配置点具有一个多项式项的PCE。此外，所得到的PCE是内插的，即，它们在插值节点/配置点上是精确的。一旦可用，内插PCE可以用作廉价的替代模型，或者为了不确定性量化和灵敏度分析的目的进行后处理。其主要思想在概念上是简单的，并依赖于使用Leja序列点作为插值节点。使用牛顿式的，分层的基础多项式上定义的Leja序列，稀疏网格插值可以推导出，其基础多项式是唯一的，在他们的多元度。可以采用维度自适应方案来构造各向异性插值。由于次数的唯一性，一对一变换到完全相同次数的正交多项式是可能的，并且将导致插值PCE。然而，由于每个Leja节点定义唯一的牛顿基多项式，Leja节点和正交基多项式之间的隐式一对一映射也存在。因此，可以完全放弃分层插值和基变换的中间步骤，并且可以直接计算插值PCE。对于直接计算的、自适应的、各向异性的插值PCE，对维数自适应算法进行了相应的修改。一系列的数值实验验证了所提出的方法在低维和中高维的设置，以及各种输入分布。
2019-11-20 cs.NA math.NA
Existence and stability in a virtual interpolation method of the Stokes equations
Yonsei University（延世大学）；PARK Seong-Kwan Institute（朴成宽研究所）；National Fusion Research Institute（国家聚变研究所）
本文提出一种新的虚拟插值点方法来求解离散斯托克斯方程，通过实际计算节点集构建虚拟交错结构，无需显式构造交错网格，实现稳定流体计算。
2014-01-25 cs.NA math.NA
A Method for Dimensionally Adaptive Sparse Trigonometric Interpolation of Periodic Functions
提出了一种适用于有穷级光滑类的多维周期函数的维数自适应稀疏三角插值方法。该方法针对必须保持周期性且精确的各向异性先验未知的应用。据作者所知，这是使用三角插值基础的维度自适应稀疏插值算法的第一个实例。这项工作背后的激励应用是分子势能面（PES）的多输入模型的自适应近似，其中每个输入代表一个旋转角。我们的方法是基于各向异性准最优估计的衰减率的傅里叶系数的模型;最小二乘拟合的插值系数是用来估计各向异性。因此，我们的自适应近似策略开始于一个粗略的各向同性插值，这是逐步完善使用估计的各向异性率。该过程需要多次迭代，其中使用更精确的插值来生成不断改进的各向异性率。我们提出了几个数值例子，我们的算法的自适应程序成功地恢复理论上的“最佳”收敛速度，包括一个应用程序的周期PES近似。我们的算法的开源实现驻留在橡树岭国家实验室开发的塔斯马尼亚UQ库。
2020-02-12 cs.NA math.NA
On Sparse Grid Interpolation for American Option Pricing with Multiple Underlying Assets
本文提出一种基于动态规划、tanh域变换、气泡函数去奇异和稀疏网格插值的高效方法，用于多标的资产美式期权定价，并通过最多16个标的资产的数值实验验证其有效性。
2023-09-19 cs.NA math.NA q-fin.CP
Enhancing adaptive sparse grid approximations and improving refinement strategies using adjoint-based a posteriori error estimates
Sandia National Laboratories（桑迪亚国家实验室）
本文提出一种算法，利用伴随法后验误差估计提升稀疏网格逼近精度，并改进稀疏网格的自适应策略，通过平衡物理离散误差与随机插值误差提高近似准确性。
2014-07-03 cs.NA math.NA
Sparse Discrete Empirical Interpolation Method: State Estimation from Few Sensors
本文提出稀疏离散经验插值方法（S-DEIM），通过引入被以往方法忽略的核向量，在极少传感器测量条件下实现函数高精度估计，并给出理论误差界及基于数据同化的指数收敛算法。
2024-09-01 cs.NA math.NA
Approximation of exponential-type functions on a uniform grid by shifts of a basis function
University of Leicester（莱斯特大学）；Missouri State University（密苏里州立大学）
本文研究了在区间[0,1]上用位移后的核函数在等间距点处插值连续函数的问题，特别是通过引入与概率Hermite多项式相关的多项式，为解决一般插值问题提供新方法。
2017-03-05 cs.NA math.NA
New error bounds for deep networks using sparse grids
Columbia University（哥伦比亚大学）
本文通过稀疏网格与深度ReLU网络的联系，证明了多变量函数近似的定理，并提出新的误差估计以减轻维度灾难。
2018-08-13 cs.NA math.NA
Fundamental trigonometric interpolation and approximating polynomials and splines
本文涉及两种基本类型的三角多项式和样条均匀网格，这使我们能够构建插值近似线性依赖于插值函数的值。基本上在相同的网格上是三角LS多项式和LS样条，这使我们能够通过最小二乘法构造函数的近似，并且还线性地依赖于近似函数的值。三角样条在某些情况下被认为是多项式类似的样条。材料用图表说明。所考虑的基本三角多项式和样条可以推荐用于与函数近似相关的许多问题，特别是信号和过程的数学建模。
2019-12-04 cs.NA math.NA
Solving Stochastic Optimization by Newton-type methods with Dimension-Adaptive Sparse Grid Quadrature
随机最优化问题最小化随机费用函数的期望。我们采用先优化后离散的方法来解决随机优化问题。在我们的方法中，需要精确的求积方法来计算实际上是积分的目标、梯度或Hessian。当问题是高维的时候，我们应用维数自适应的稀疏网格求积来近似这些积分。自适应稀疏网格求积方法在计算光滑被积函数的积分时具有较高的精度和效率。它是经典稀疏网格方法的一种推广，根据其重要性细化不同的维度。我们表明，维数自适应稀疏网格求积有更好的性能，在优化后离散的方法比离散后优化的方法。
2022-02-21 cs.NA math.NA
ENO-Based High-Order Data-Bounded and Constrained Positivity-Preserving Interpolation
许多基于张量积网格构造的关键科学计算应用，如数值天气预报（NWP）和燃烧模拟，都需要保持性质的插值。本质不振荡（ENO）插值是这种插值方案的一个经典例子。在上述应用领域中，属性保持通常表现为对数据有界性或正性保持的要求。例如，在NWP中，可能必须在计算动力学的网格与计算物理学的网格之间进行插值（然后返回）。在不考虑属性保存的情况下对密度或其他关键物理量进行插值可能会导致非物理的负值，并导致物理数据的不准确表示和/或解释。当用于低阶数值模拟方法时，性质保持插值是直接的。然而，高阶保性插值是不平凡的，特别是在插值点不是等间距的情况下。在本文中，我们证明了它是可能的，以确保数据有界性或约束的正性保护的高阶插值方法。该算法的一个新的特点是，保正插值是受约束的，也就是说，它超过数据值的数量可以严格控制。我们已经开发的算法来与理论估计，提供充分条件的数据有界性和约束正性保存。我们展示了我们的算法的应用程序的一个集合的1D和2D的数值例子，并表明，在所有情况下，财产保护的尊重。
2022-10-14 cs.NA math.NA
Sparse-grid sampling recovery and numerical integration of functions having mixed smoothness
该研究综述了针对具有非加权或加权Sobolev混合光滑性函数的稀疏网格采样恢复与数值积分线性算法的最新成果，并将部分结果推广到更一般的情况。
2024-03-11 cs.NA math.NA
Approximation of PDE solution manifolds: Sparse-grid interpolation and quadrature
Vietnam National University, Hanoi（越南国家大学河内）；University of Transport and Communications（交通大学）；Vietnamese German University（越德大学）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
本文提出了一种基于稀疏网格张量积投影器的全离散近似方法，用于无限变量函数的高效求积和插值，通过反称项抵消提高了收敛速度。
2026-01-30 cs.NA math.NA
Fast multilevel sparse Gaussian kernels for high-dimensional approximation and integration
University of Leicester（莱斯特大学）
本文提出基于方向缩放张量积高斯核的快速多级算法，用于高维函数插值和高维积分计算，通过预计算一维基函数实现并行化插值与积分。
2015-01-14 cs.NA math.NA
An adaptive high-order piecewise polynomial based sparse grid collocation method with applications
本文在任意阶分段多项式空间上构造了自适应稀疏网格配置法。稀疏网格法是求解高维问题的一种常用方法，相关的配置法在文献中也得到了很好的研究。这项工作的贡献是引入了一个系统的框架，配置到高阶分段多项式空间，允许是不连续的。我们考虑嵌套配置点上的Lagrange和Hermite插值方法。我们的构造包含了广泛的函数空间，包括那些在稀疏网格连续有限元法中使用的。给出了误差估计，并利用函数插值、积分和不确定度量化中的一些基准问题的数值结果对不同配置方案进行了比较。
2019-12-09 cs.NA math.NA
Generalization of Trigonometric B-splines and Kernels of Interpolating Trigonometric Splines with Riemann Convergence Multipliers
本文推广了在不同拼接与插值网格上提取任意阶Riemann三角B样条及插值样条核的方法，证明了不同网格组合下存在不同的三角B样条，并通过数值算例验证了理论原理及其应用价值。
2023-11-21 cs.NA math.NA
Sparse-grid Discontinuous Galerkin Methods for the Vlasov-Poisson-Lenard-Bernstein Model
本文针对 Vlasov-Poisson-Lenard-Bernstein 模型提出自适应混合稀疏网格间断伽辽金方法，利用多小波基展开确定网格基与自适应准则，在三个测试问题上验证了计算成本节省。
2024-02-09 cs.NA math.NA
Sparse Grid Central Discontinuous Galerkin Method for Linear Hyperbolic Systems in High Dimensions
Michigan State University（密歇根州立大学）；University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
本文提出了一种用于高维线性双曲系统（具有变系数）的稀疏网格中心不连续伽辽金（CDG）方案，旨在突破维度诅咒。通过引入新的分层表示方法，构建了稀疏有限元空间，适用于非周期性问题，并在标量问题中获得了L²稳定性及误差估计。
2019-01-15 cs.NA math.NA
Sparse-grid polynomial interpolation approximation and integration for parametric and stochastic elliptic PDEs with lognormal inputs
Vietnam National University（越南国立大学）
本文提出稀疏网格多项式插值方法用于参数和随机椭圆偏微分方程的lognormal输入，改进了非全离散收敛率。
2026-01-03 cs.NA math.NA
Uncertainty quantification in timber-like beams using sparse grids: theory and examples with off-the-shelf software utilization
在处理木结构时，由于不可避免但难以预测的节和其他缺陷的存在，材料的特征强度和刚度变得高度可变和不确定。在这项工作中，我们应用稀疏网格随机配置法进行不确定性量化的结构工程在上述情况下。稀疏网格是近几十年来数学界发展起来的一种网格模型，其理论背景得到了广泛而深入的研究。该文件提出了一个简短的面向实践的介绍与最小的理论背景，提供了详细的说明，使用已经实现的稀疏网格Matlab工具包（免费提供在线），并讨论了两个数值例子的启发木材工程问题，突出稀疏网格如何表现出优越的性能相比，平原蒙特卡罗方法。稀疏网格Matlab工具包只需要几行代码就可以与任何力学问题的数值求解器连接（在这项工作中，我们使用了等几何配置法），并提供了可以很容易地解释和在工程实践中使用的输出。
2022-11-09 cs.NA math.NA
Sparse Grid Discontinuous Galerkin Methods for the Vlasov-Maxwell System
Michigan State University（密歇根州立大学）；Texas Tech University（德克萨斯理工大学）
本文提出了一种稀疏网格不连续伽辽金方法用于求解维拉索-麦克斯韦方程组，通过减少自由度来克服高维问题的维度诅咒，展示了两种方法的准确性和鲁棒性。
2019-01-14 cs.NA math.NA
Improved Sampling Inequalities for Sparse Grids and High-Dimensional Functions with Effective Low Dimension
Philipps-Universität Marburg（马尔堡菲利普斯大学）；University of Bayreuth（拜罗伊特大学）
针对高维函数近似的维度诅咒问题，将稀疏网格与锚定投影技术结合，推导稀疏网格新采样不等式并结合非匹配采样过程的回归方法，得到有效低维 Sobolev 函数的改进采样不等式。
2026-07-30 cs.NA math.NA
Third order WENO scheme on sparse grids for hyperbolic equations
University of Notre Dame（圣母大学）；Indiana University South Bend（南本德印第安纳大学）
本文提出在稀疏网格上结合三阶有限差WENO方法与稀疏网格组合技术，解决高维双曲方程，实现高阶精度与非震荡稳定性，同时显著节省计算时间。
2018-04-02 cs.NA math.NA
Hierarchical sparse-grid particle-in-cell method with locally adaptive mesh refinement
Université de Toulouse（图卢兹大学；法国国家科学研究中心数学研究所）；UPS, INSA, UT1, UTM, Institut de Mathématiques de Toulouse, CNRS（法国国家信息与自动化研究所，空客CR&T、Cerfacs与Inria联合团队）；Inria, Concace joint team between Airbus CR&T, Cerfacs and Inria
该研究针对分层稀疏网格粒子-in-单元方法提出带能量逼近空间与分层余量策略的局部自适应方案，可在减少网格节点和粒子数量的同时提升局部解逼近精度，为复杂结构等离子体高效模拟提供了可行思路。
2026-08-18 cs.NA math.NA
A sparse grid discontinuous Galerkin method for the high-dimensional Helmholtz equation with variable coefficients
如何利用可管理的计算资源来模拟高维问题是一个长期存在的挑战。在我们最近的一系列工作[25，17，18，24]中，已经制定了一类稀疏网格DG方法用于求解高维中的各种类型的偏微分方程。通过利用稀疏网格上的多小波张量积基与标准DG弱公式相结合，这种新的方法能够显着降低计算和存储成本相比，全网格DG对应，而不损害精度足够光滑的解决方案。在本文中，我们考虑了高维变系数Helmholtz方程，并证明了对于这样的问题，稀疏网格DG方法的效率可以通过探索与多小波基相关的半正交性来进一步提高，受到工作的启发[21，22，19]。详细的收敛性分析表明，改进的稀疏网格DG方法虽然达到了相同的阶精度，但得到的刚度矩阵比原方法稀疏得多，从而节省了计算量。数值试验高达六个维度，以验证分析。
2019-06-25 cs.NA math.NA
An efficient and fast sparse grid algorithm for high-dimensional numerical integration
本文研究了一种有效的数值算法，用于快速实现计算给定函数的$d$维积分的稀疏网格方法。新算法称为MDI-SG（{ \em多级维迭代稀疏网格}）方法，基于维迭代/降维过程实现稀疏网格方法，它不需要存储积分点，也不独立计算每个积分点处的函数值，而是，它通过在簇中的所有积分点处执行函数求值并且沿着坐标方向迭代地执行函数求值来尽可能多地重新使用用于函数求值的计算。数值结果表明，建议MDI-SG方法的计算复杂性（在CPU时间方面）是多项式阶$O(Nd^3 )$或更好，相比，指数阶$O(N(\log N)^{d-1})$的标准稀疏网格方法，其中$N$表示在每个坐标方向上的积分点的最大数量。因此，建议MDI-SG方法有效地避免了标准稀疏网格方法所遭受的高维数值积分的维数灾难。
2022-10-25 cs.NA math.NA
Randomized sparse grid algorithms for multivariate integration on Haar-Wavelet spaces
\emph{deterministic}稀疏网格方法，也称为Scarlak方法，是一种成熟且广泛使用的处理多元近似问题的工具，有大量的文献对其进行了研究，但对稀疏网格方法的\emph{randomized}版本知之甚少。本文分析了$D$维单位立方体$[0,1)^D$上多元积分的随机稀疏网格算法，即随机稀疏网格求积。令$d,s \in \mathbb{N}$使得$D=d\cdot s$。稀疏网格求积的$s$维构建块基于$s=1$的分层采样和$s\ge 2$的加扰$(0,m,s)$ -网。我们考虑的被积函数空间和误差准则是具有参数$α$和随机误差的Haar小波空间（即，最坏情况的均方根误差）。我们证明了自己的敏锐（即，匹配）的上界和下界的收敛速度的$N$ -th最小误差的参数$d$和$s$的所有可能的组合。如果把Haar小波空间看作是具有光滑参数$1/2< α< 1$的混合控制光滑的Sobolev被积空间，我们的误差上界仍然成立.
2020-01-23 cs.NA math.NA
Novel results for the anisotropic sparse grid quadrature
Universität Basel（巴塞尔大学）；Universität Bonn（波恩大学）
本文研究了可解析扩展到各向异性张量积域的函数的各向异性稀疏网格求积，提出了一种与维度无关的误差与成本估计，并改进了底层各向异性索引集的基数估计。
2018-02-09 cs.NA math.NA
On the $L_p$-error of approximation of bivariate functions by harmonic splines
Kennesaw State University（肯尼索州立大学）；Dnepropetrovsk National University（第聂伯罗国立大学）
研究调和样条插值作为多项式样条插值的替代方法，并给出自适应逼近的$L_p$误差渐近性。
2011-01-14 cs.NA math.NA
Adaptive Leja sparse grid constructions for stochastic collocation and high-dimensional approximation
本文提出了一种基于Leja插值序列的自适应稀疏网格随机置信度方法，用于高维参数参数化函数的逼近。通过证明一维Leja序列的加权形式能够产生一个经验分布收敛于相应Gauss求积节点极限分布的节点序列，展示了Leja序列在高维问题中的优越性。
2014-09-25 cs.NA math.NA
Analysis of sparse grid multilevel estimators for multi-dimensional Zakai equations
Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）
本文研究了多维Zakai方程解的期望函数的估计器的精度和计算复杂性，采用Milstein方案进行时间积分，结合交替方向隐式（ADI）分解的空间有限差分离散化，结合稀疏网格组合技术与多级蒙特卡洛采样（MLMC）。在二维情况下，通过详细的傅里叶分析发现，对于根均方误差（RMSE）ε，MLMC在稀疏网格上的最优复杂度为O(ε^{-2})，而MLMC在正则网格上为O(ε^{-2}(logε)^2)，标准MC在稀疏网格上为O(ε^{-7/2}(|logε|)^{5/2})，而MC在正则网格上为O(ε^{-4})。数值测试验证了这些发现。我们讨论了高维情况，但未给出详细证明，表明MLMC在稀疏网格上始终具有最优复杂度，标准MC在稀疏网格上具有与维度无关的固定复杂度（除了对数项），而MLMC和MC在正则网格上的成本随维度呈指数增长。
2019-04-17 cs.NA math.NA
A higher order sparse grid combination technique
Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）
本文提出一种高阶稀疏网格组合技术，通过结合有限差分外推与标准组合公式，将二阶方案提升至四阶精度，适用于高维问题。
2026-01-07 cs.NA math.NA
The Sparse Grids Matlab kit -- a Matlab implementation of sparse grids for high-dimensional function approximation and uncertainty quantification
本文介绍了用于高维函数逼近和不确定性量化的Sparse Grids Matlab Kit工具包，说明其轻量易用、兼顾教学与实际应用的特点，阐述其基础数据结构与数学原理，并与同类软件做了对比。
2023-10-09 cs.MS cs.NA math.NA
