Sparse-grid sampling recovery and numerical integration of functions having mixed smoothness
该研究综述了针对具有非加权或加权Sobolev混合光滑性函数的稀疏网格采样恢复与数值积分线性算法的最新成果，并将部分结果推广到更一般的情况。
2024-03-11 cs.NA math.NA
Sparse-grid Discontinuous Galerkin Methods for the Vlasov-Poisson-Lenard-Bernstein Model
本文针对 Vlasov-Poisson-Lenard-Bernstein 模型提出自适应混合稀疏网格间断伽辽金方法，利用多小波基展开确定网格基与自适应准则，在三个测试问题上验证了计算成本节省。
2024-02-09 cs.NA math.NA
Sparse Grid Central Discontinuous Galerkin Method for Linear Hyperbolic Systems in High Dimensions
Michigan State University（密歇根州立大学）；University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
本文提出了一种用于高维线性双曲系统（具有变系数）的稀疏网格中心不连续伽辽金（CDG）方案，旨在突破维度诅咒。通过引入新的分层表示方法，构建了稀疏有限元空间，适用于非周期性问题，并在标量问题中获得了L²稳定性及误差估计。
2019-01-15 cs.NA math.NA
An adaptive high-order piecewise polynomial based sparse grid collocation method with applications
本文在任意阶分段多项式空间上构造了自适应稀疏网格配置法。稀疏网格法是求解高维问题的一种常用方法，相关的配置法在文献中也得到了很好的研究。这项工作的贡献是引入了一个系统的框架，配置到高阶分段多项式空间，允许是不连续的。我们考虑嵌套配置点上的Lagrange和Hermite插值方法。我们的构造包含了广泛的函数空间，包括那些在稀疏网格连续有限元法中使用的。给出了误差估计，并利用函数插值、积分和不确定度量化中的一些基准问题的数值结果对不同配置方案进行了比较。
2019-12-09 cs.NA math.NA
Uncertainty quantification in timber-like beams using sparse grids: theory and examples with off-the-shelf software utilization
在处理木结构时，由于不可避免但难以预测的节和其他缺陷的存在，材料的特征强度和刚度变得高度可变和不确定。在这项工作中，我们应用稀疏网格随机配置法进行不确定性量化的结构工程在上述情况下。稀疏网格是近几十年来数学界发展起来的一种网格模型，其理论背景得到了广泛而深入的研究。该文件提出了一个简短的面向实践的介绍与最小的理论背景，提供了详细的说明，使用已经实现的稀疏网格Matlab工具包（免费提供在线），并讨论了两个数值例子的启发木材工程问题，突出稀疏网格如何表现出优越的性能相比，平原蒙特卡罗方法。稀疏网格Matlab工具包只需要几行代码就可以与任何力学问题的数值求解器连接（在这项工作中，我们使用了等几何配置法），并提供了可以很容易地解释和在工程实践中使用的输出。
2022-11-09 cs.NA math.NA
Sparse Grid Discontinuous Galerkin Methods for the Vlasov-Maxwell System
Michigan State University（密歇根州立大学）；Texas Tech University（德克萨斯理工大学）
本文提出了一种稀疏网格不连续伽辽金方法用于求解维拉索-麦克斯韦方程组，通过减少自由度来克服高维问题的维度诅咒，展示了两种方法的准确性和鲁棒性。
2019-01-14 cs.NA math.NA
Improved Sampling Inequalities for Sparse Grids and High-Dimensional Functions with Effective Low Dimension
Philipps-Universität Marburg（马尔堡菲利普斯大学）；University of Bayreuth（拜罗伊特大学）
针对高维函数近似的维度诅咒问题，将稀疏网格与锚定投影技术结合，推导稀疏网格新采样不等式并结合非匹配采样过程的回归方法，得到有效低维 Sobolev 函数的改进采样不等式。
2026-07-30 cs.NA math.NA
Third order WENO scheme on sparse grids for hyperbolic equations
University of Notre Dame（圣母大学）；Indiana University South Bend（南本德印第安纳大学）
本文提出在稀疏网格上结合三阶有限差WENO方法与稀疏网格组合技术，解决高维双曲方程，实现高阶精度与非震荡稳定性，同时显著节省计算时间。
2018-04-02 cs.NA math.NA
Hierarchical sparse-grid particle-in-cell method with locally adaptive mesh refinement
Université de Toulouse（图卢兹大学；法国国家科学研究中心数学研究所）；UPS, INSA, UT1, UTM, Institut de Mathématiques de Toulouse, CNRS（法国国家信息与自动化研究所，空客CR&T、Cerfacs与Inria联合团队）；Inria, Concace joint team between Airbus CR&T, Cerfacs and Inria
该研究针对分层稀疏网格粒子-in-单元方法提出带能量逼近空间与分层余量策略的局部自适应方案，可在减少网格节点和粒子数量的同时提升局部解逼近精度，为复杂结构等离子体高效模拟提供了可行思路。
2026-08-18 cs.NA math.NA
A sparse grid discontinuous Galerkin method for the high-dimensional Helmholtz equation with variable coefficients
如何利用可管理的计算资源来模拟高维问题是一个长期存在的挑战。在我们最近的一系列工作[25，17，18，24]中，已经制定了一类稀疏网格DG方法用于求解高维中的各种类型的偏微分方程。通过利用稀疏网格上的多小波张量积基与标准DG弱公式相结合，这种新的方法能够显着降低计算和存储成本相比，全网格DG对应，而不损害精度足够光滑的解决方案。在本文中，我们考虑了高维变系数Helmholtz方程，并证明了对于这样的问题，稀疏网格DG方法的效率可以通过探索与多小波基相关的半正交性来进一步提高，受到工作的启发[21，22，19]。详细的收敛性分析表明，改进的稀疏网格DG方法虽然达到了相同的阶精度，但得到的刚度矩阵比原方法稀疏得多，从而节省了计算量。数值试验高达六个维度，以验证分析。
2019-06-25 cs.NA math.NA
An efficient and fast sparse grid algorithm for high-dimensional numerical integration
本文研究了一种有效的数值算法，用于快速实现计算给定函数的$d$维积分的稀疏网格方法。新算法称为MDI-SG（{ \em多级维迭代稀疏网格}）方法，基于维迭代/降维过程实现稀疏网格方法，它不需要存储积分点，也不独立计算每个积分点处的函数值，而是，它通过在簇中的所有积分点处执行函数求值并且沿着坐标方向迭代地执行函数求值来尽可能多地重新使用用于函数求值的计算。数值结果表明，建议MDI-SG方法的计算复杂性（在CPU时间方面）是多项式阶$O(Nd^3 )$或更好，相比，指数阶$O(N(\log N)^{d-1})$的标准稀疏网格方法，其中$N$表示在每个坐标方向上的积分点的最大数量。因此，建议MDI-SG方法有效地避免了标准稀疏网格方法所遭受的高维数值积分的维数灾难。
2022-10-25 cs.NA math.NA
Randomized sparse grid algorithms for multivariate integration on Haar-Wavelet spaces
\emph{deterministic}稀疏网格方法，也称为Scarlak方法，是一种成熟且广泛使用的处理多元近似问题的工具，有大量的文献对其进行了研究，但对稀疏网格方法的\emph{randomized}版本知之甚少。本文分析了$D$维单位立方体$[0,1)^D$上多元积分的随机稀疏网格算法，即随机稀疏网格求积。令$d,s \in \mathbb{N}$使得$D=d\cdot s$。稀疏网格求积的$s$维构建块基于$s=1$的分层采样和$s\ge 2$的加扰$(0,m,s)$ -网。我们考虑的被积函数空间和误差准则是具有参数$α$和随机误差的Haar小波空间（即，最坏情况的均方根误差）。我们证明了自己的敏锐（即，匹配）的上界和下界的收敛速度的$N$ -th最小误差的参数$d$和$s$的所有可能的组合。如果把Haar小波空间看作是具有光滑参数$1/2< α< 1$的混合控制光滑的Sobolev被积空间，我们的误差上界仍然成立.
2020-01-23 cs.NA math.NA
Novel results for the anisotropic sparse grid quadrature
Universität Basel（巴塞尔大学）；Universität Bonn（波恩大学）
本文研究了可解析扩展到各向异性张量积域的函数的各向异性稀疏网格求积，提出了一种与维度无关的误差与成本估计，并改进了底层各向异性索引集的基数估计。
2018-02-09 cs.NA math.NA
The Sparse Grids Matlab kit -- a Matlab implementation of sparse grids for high-dimensional function approximation and uncertainty quantification
本文介绍了用于高维函数逼近和不确定性量化的Sparse Grids Matlab Kit工具包，说明其轻量易用、兼顾教学与实际应用的特点，阐述其基础数据结构与数学原理，并与同类软件做了对比。
2023-10-09 cs.MS cs.NA math.NA
Adaptive Leja sparse grid constructions for stochastic collocation and high-dimensional approximation
本文提出了一种基于Leja插值序列的自适应稀疏网格随机置信度方法，用于高维参数参数化函数的逼近。通过证明一维Leja序列的加权形式能够产生一个经验分布收敛于相应Gauss求积节点极限分布的节点序列，展示了Leja序列在高维问题中的优越性。
2014-09-25 cs.NA math.NA
Analysis of sparse grid multilevel estimators for multi-dimensional Zakai equations
Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）
本文研究了多维Zakai方程解的期望函数的估计器的精度和计算复杂性，采用Milstein方案进行时间积分，结合交替方向隐式（ADI）分解的空间有限差分离散化，结合稀疏网格组合技术与多级蒙特卡洛采样（MLMC）。在二维情况下，通过详细的傅里叶分析发现，对于根均方误差（RMSE）ε，MLMC在稀疏网格上的最优复杂度为O(ε^{-2})，而MLMC在正则网格上为O(ε^{-2}(logε)^2)，标准MC在稀疏网格上为O(ε^{-7/2}(|logε|)^{5/2})，而MC在正则网格上为O(ε^{-4})。数值测试验证了这些发现。我们讨论了高维情况，但未给出详细证明，表明MLMC在稀疏网格上始终具有最优复杂度，标准MC在稀疏网格上具有与维度无关的固定复杂度（除了对数项），而MLMC和MC在正则网格上的成本随维度呈指数增长。
2019-04-17 cs.NA math.NA
Convergence of sparse grid Gaussian convolution approximation for multi-dimensional periodic function
我们考虑的问题，近似$[0,1]^{d}$ -周期函数的卷积与缩放高斯核。我们首先建立从周期Sobolev空间的函数的收敛速度，我们表明，饱和率是$O(h^{2}),$，其中$h$是高斯核的规模。从离散的角度来看，这个结果可以解释为在具有间距$h.$的均匀网格上可以实现的精度。在离散设置中，维数灾难将对近似的计算产生严格的限制。例如，$2^{-n}$的间距将提供以$O(2^{-2n})$的速率收敛的近似，但是将需要$(2^{n}+1)^{d}$网格点。为了克服这一点，我们引入了高斯卷积近似的稀疏网格版本，其中需要的网格点少得多，并显示稀疏网格版本提供了$O(n^{d-1}2^{-2n}).$的饱和率。该饱和率与稀疏网格设置中的期望值一致（其中全网格误差仅恶化$n^{d-1}$阶数的因子）然而，导致该结果的分析是新颖的，因为它利用了特殊函数理论的结果和关于某些加权几何和的形式的关键观察。
2022-02-25 cs.NA math.NA
B-Splines for Sparse Grids: Algorithms and Application to Higher-Dimensional Optimization
在仿真技术中，计算上昂贵的目标函数常常被廉价的替代函数所代替，替代函数可以通过插值获得。全网格插值方法受到所谓的维数灾难的影响，如果函数的参数域是高维的（四个或更多参数），则使它们不可行。稀疏网格构成了一种离散化方法，大大减轻了诅咒，而近似质量恶化只是微不足道的。然而，诸如分段线性函数的常规基函数是不光滑的（连续可微的）。因此，这些基函数不适合于需要梯度的应用。这种应用的一个例子是基于梯度的优化，其中梯度的可用性大大提高了收敛速度和结果的准确性。本文证明了稀疏网格上的层次B样条非常适合于获得高维的光滑插值。本文主要分为两个部分：第一部分，我们在稀疏网格上导出了新的B样条基，并研究了它们在理论和算法上的应用。在第二部分中，我们考虑了三个现实世界中的应用优化：拓扑优化，生物力学连续力学，和金融中的动态投资组合选择模型。结果表明，层次B样条在稀疏网格上可以准确有效地解决这些应用中的最优化问题。
2019-10-11 cs.NA math.NA
Kernel interpolation on generalized sparse grids
Institut für Numerische Simulation, Universität Bonn（波恩大学数值模拟研究所）；Fraunhofer Institute for Algorithms and Scientific Computing (SCAI)（弗劳恩霍夫算法与科学计算研究所）；Departement Mathematik und Informatik, Universität Basel（巴塞尔大学数学与信息学系）；Istituto Dalle Molle di studi sull’intelligenza artificiale, Università della Svizzera italiana（意大利瑞士大学达莱莫勒人工智能研究学院）
本文研究了等维和不同维乘积区域上的散乱数据逼近问题，提出基于稀疏网格组合技术的高效算法，通过改进的核插值误差估计和稀疏直接求解器处理大规模非局部再生核问题。
2026-04-23 cs.NA math.NA
An adaptive sparse grid local discontinuous Galerkin method for Hamilton-Jacobi equations in high dimensions
我们感兴趣的是数值求解哈密顿-雅可比（HJ）方程，这出现在最优控制和许多其他应用。通常，这样的方程是在高维中提出的，这带来了巨大的数值挑战。提出了一类求解高维Hamilton-Jacobi方程的自适应稀疏网格（也称为自适应多分辨率）局部间断Galerkin（DG）方法。通过使用稀疏网格技术，我们可以处理适度高维的情况。自适应性被纳入捕捉扭结和其他局部结构的解决方案。多尺度小波的多分辨分析主要采用两类多尺度小波，即正交Alpert多尺度小波和插值多尺度小波。在四个维度的数值试验，以验证该方法的性能。
2020-05-29 cs.NA math.NA
A sparse-grid isogeometric solver
King Abdullah University of Science and Technology (KAUST)（阿卜杜拉国王科技大学）；Università di Pavia（帕维亚大学）；Consiglio Nazionale delle Ricerche - Istituto di Matematica Applicata e Tecnologie Informatiche “E. Magenes” (CNR-IMATI)（国家研究委员会-应用数学与信息技术研究所“E.马热内斯”）
本文研究了稀疏网格构造在同构分析求解器中的应用，证明在解足够光滑时有效，并在非光滑解情况下通过非等距网格提升性能，同时指出稀疏网格可简化并行化现有串行求解器。
2018-02-17 cs.NA math.NA
Explicit geometric construction of sparse inverse mass matrices for arbitrary tetrahedral grids
通过对有限元法的几何重新解释，表明RaviartThomas和Nedeirs质量矩阵从四面体网格的几何元素的自由度映射到重心对偶网格的自由度。质量矩阵的代数逆将附着于重心对偶网格的DoF映射回附着于相应的原始四面体网格的DoF，但是它们的实际用途有限，因为它们是密集的。在本文中，我们提出了一个新的尺规作图法的稀疏逆质量矩阵的任意四面体网格和可能的各向异性材料，揭穿传统的智慧，重心对偶网格禁止稀疏表示逆质量矩阵。特别是，我们提供了一个统一的框架建设的边缘和面对质量矩阵及其稀疏逆。这样一个统一的原则依赖于新的几何重建公式，从其中，根据一个良好的设计策略，局部质量矩阵构造为一个一致的和稳定项的总和。与目前提出的方法的一个主要区别是，一致项的定义是几何和明确的，也就是说，没有必要计算局部矩阵的逆。这提供了合理的加速和更容易的实现。我们使用这些新的稀疏逆质量矩阵离散的三维泊松问题，提供了不同的配方与解析解的基准问题所获得的结果之间的比较。
2021-02-01 cs.NA math.NA
A hierarchical sparse-grid particle method for the Vlasov--Poisson system
Univ Toulouse, INSA Toulouse, CNRS, IMT（图卢兹大学，图卢兹国立理工学院，法国国家科学研究中心，数学研究所）；Inria（法国国家信息与自动化研究所）
该研究针对弗拉索夫 - 泊松系统引入分层稀疏网格粒子方法，将其置于伽辽金设置中，扩展了通用性。通过概率误差分析得出误差分量界，与高阶方法精度匹配，且在经典基准测试中验证了理论估计。
2026-07-23 cs.NA math.NA
A space-time sparse-grid method for the wave equation
Fakultät für Mathematik, Universität Wien（维也纳大学数学系）；Dipartimento di Matematica, Università di Pavia（帕维亚大学数学系）
针对线性波动方程，提出一种基于稀疏网格组合技术的空时数值格式，实现高效并行化，并给出收敛性与计算复杂度分析。
2026-06-08 cs.NA math.NA
Numerical Aspects of the Tensor Product Multilevel Method for High-dimensional, Kernel-based Reconstruction on Sparse Grids
本文研究高维稀疏网格上有限光滑度函数的核基重建，提出两项降低TPML点评估计算成本的改进，并通过数值示例验证其有效性与创新性。
2025-02-06 cs.NA math.NA
Fast sparse grid simulations of fifth order WENO scheme for high dimensional hyperbolic PDEs
加权本质不振荡（WENO）格式是求解双曲型偏微分方程（PDE）的一类常用的高阶精度数值方法。然而，当空间维度高时，空间网格点的数量显著增加。在数值模拟中，采用非线性高阶精度WENO格式（如五阶WENO格式）会导致大量的运算量和计算量。如何用高阶WENO方法快速模拟高维双曲型偏微分方程是一个具有挑战性的重要问题。在文献中，稀疏网格技术已经发展成为一个非常有效的逼近工具，高维问题。在最近的工作[Lu，Chen and Zhang，Pure and应用数学Quarterly，14（2018）57-86]中，设计了一种具有稀疏网格组合技术的三阶有限差分WENO方法来求解多维双曲型方程，其中包括线性平流方程和非线性Burgers方程。在应用问题中，为了有效地解决复杂的解结构，通常首选高于三阶的WENO格式。在本文中，我们扩展的方法，高阶WENO模拟特别是五阶WENO计划。在稀疏网格组合法的延拓部分采用了五阶WENO插值来处理间断解。首先解决基准问题，以显示显着的CPU时间节省，而五阶精度和稳定性的WENO计划的稀疏网格上的模拟保留。然后将五阶稀疏网格WENO方法应用于高维Vlasov偏微分方程建模的动力学问题，通过与常规单网格模拟进行比较，进一步证明了计算成本的大幅节省。
2020-07-16 cs.NA math.NA
Sparse grids vs. random points for high-dimensional polynomial approximation
本文比较大d维立方体上多项式逼近的稀疏网格插值（SA）与基于随机点的最小二乘法（LS），在高达100维下重复并扩展了前人实验，发现LS在高维中精度明显优于SA。
2025-06-30 cs.NA math.NA
Sparse Grid Approximation Spaces for Space-Time Boundary Integral Formulations of the Heat Equation
Carl von Ossietzky Universität Oldenburg（奥尔登堡卡尔·冯·奥西茨基大学）；Technical University of Munich（慕尼黑工业大学）
本文提出稳定的数值方案，用于具有狄利克雷边界条件的热方程边界积分公式，通过分析稀疏网格空间的收敛性提升计算精度。
2018-04-29 cs.NA math.NA
A sparse grid discontinuous Galerkin method for high-dimensional transport equations and its application to kinetic simulations
Michigan State University（密歇根州立大学）
本文提出一种稀疏网格不连续伽辽金方法用于高维传输方程，通过弱形式传统Runge-Kutta DG方案实现L²稳定性和收敛性，具有低计算和存储成本，应用于Vlasov和Boltzmann传输方程的模拟，数值测试验证了精度和守恒性。
2016-02-05 cs.NA math.NA
Adaptive Sparse-grid Discontinuous Galerkin Approximations to the Bhatnagar--Gross--Krook Model
Oak Ridge National Laboratory（橡树岭国家实验室）；The University of Tennessee（田纳西大学）
本研究针对BGK动力学模型提出自适应稀疏网格DG方法，通过混合插值策略保证离散碰撞算子守恒，在流体与稀薄流态下准确求解，并将自由度减少数倍至数个数量级。
2026-10-26 cs.NA math.NA
Higher-order finite element de Rham complexes on sparse grids
School of Mathematical Sciences, Zhejiang University（浙江大学数学科学学院）
本文首次在稀疏网格上构造高阶有限元 de Rham 复形，结合 Alpert 多小波与积分对应物，建立可交换插值、误差界、正合性及稳定离散势，并通过 curl-curl 和 Maxwell 特征值实验验证其有效性。
2026-09-24 cs.NA math.NA
An introduction to the analysis and implementation of sparse grid finite element methods
National University of Ireland, Galway（高威爱尔兰国立大学）
本文介绍稀疏网格有限元方法的分析与编程方法，通过两尺度技术及多尺度扩展，展示其在求解偏微分方程中的高效性与准确性，提供MATLAB代码及性能对比。
2015-11-23 cs.NA math.NA
A Dynamical Sparse Grid Collocation Method for Differential Equations Driven by White Noise
Columbia University（哥伦比亚大学）
本文提出一种动态稀疏网格列族方法，用于白噪声驱动微分方程的长时间模拟，通过预设稀疏求积规则和动态构建稀疏求积规则，实现长时间模拟的高精度计算。
2017-06-12 cs.NA math.NA
Sparse grid high-order ADI scheme for option pricing in stochastic volatility models
University of Sussex（萨塞克斯大学）；Bergische Universität Wuppertal（伍珀塔尔大学）
本文提出一种稀疏网格高阶交替方向隐式方案，用于随机波动率模型中的期权定价，该方案在时间和空间上分别为二阶和四阶，数值实验验证了稀疏网格组合技术的计算效率提升。
2016-11-04 cs.NA math.NA q-fin.CP
Combining sparse grids, multilevel MC and QMC for elliptic PDEs with random coefficients
Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）；School of Mathematics and Statistics, University of New South Wales（新南威尔士大学数学与统计学院）
本文结合稀疏网格、多级MC和QMC方法，解决具有有限维不确定性的椭圆PDE，证明计算成本可达到O(ε^{-r})，r<2，与空间维度无关。
2017-11-07 cs.NA math.NA
Efficient spectral sparse grid approximations for solving multi-dimensional forward backward SDEs
School of Mathematics & Finance Institute, Shandong University（山东大学数学与金融学院）；LSEC, Institute of Computational Mathematics, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院计算数学研究所）
本文提出一种高效谱稀疏网格方法，用于求解高维前向后向随机微分方程，通过稀疏网格高斯-赫尔米特求积法则近似条件期望，并利用谱展开和稀疏网格恢复系数，提升高维计算效率与精度。
2016-07-23 cs.NA math.NA
Adaptive hp-Polynomial Based Sparse Grid Collocation Algorithms for Piecewise Smooth Functions with Kinks
针对具有扭结的分片光滑函数，提出两种hp自适应稀疏网格配点算法，结合低阶局部基函数与变阶基函数，利用分层盈余自动检测非光滑区域并细化，数值实验验证了其高效性与准确性。
2025-05-23 cs.NA math.NA
Sparse-grids-like surrogate models enhanced with gradient information
Istituto di Matematica Applicata e Tecnologie Informatiche “E. Magenes”, Consiglio Nazionale delle Ricerche（应用数学与信息技术研究所“E.马格内斯”，意大利国家研究委员会）；Institute for Complex Molecular Systems, Department of Biomedical Engineering, Eindhoven University of Technology（复杂分子系统研究所，生物医学工程系，埃因霍温理工大学）
本研究提出结合梯度信息的类稀疏网格替代模型，采用混合方法构建，经数值测试验证，其性能关键取决于QoI导数与QoI评估的相对成本和精度。
2026-08-10 cs.NA math.NA
Local and Dimension Adaptive Sparse Grid Interpolation and Quadrature
本文提出了一种局部和维数自适应的稀疏网格方法，用于高维间断函数的插值和积分。该算法结合了广义稀疏网格算法和层次剩余引导局部自适应的优势。一个高度的基础是用来获得一个高阶的方法，给予足够的光滑度，执行显着优于分段线性基础。底层的广义稀疏网格算法greetly选择的维度和变量的相互作用，最有助于一个功能的可变性。稀疏网格内的分层盈余点被用作局部细化的误差标准，其目的是将计算工作集中在快速变化或不连续的区域内。这种方法限制了在高维域中投资于“不重要”维度和区域的点的数量。我们展示了所提出的方法的实用性与数百个变量的非光滑函数。
2011-09-30 cs.DS cs.NA math.NA
Analysis of Linear Difference Schemes in the Sparse Grid Combination Technique
Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）
本文通过半离散化的误差校正技术推导线性差分格式的多元误差展开，证明稀疏网格组合技术达到$\mathcal{O}(h^p |\log h|^{d-1})$收敛阶，并通过高达八维的线性和抛物问题数值算例验证了维度与光滑性的影响。
2011-06-08 cs.NA math.NA
Sparse grid approximation of nonlinear SPDEs: The Landau--Lifshitz--Gilbert equation
研究随机 Landau-Lifshitz-Gilbert 方程解分布的稀疏网格逼近，基于 Gronwall 型估计和隐函数定理建立参数到解映射的一致全纯正则性，并数值验证多层稀疏网格方案的明显优势。
2025-05-30 cs.NA math.NA
Sparse Grid Discretizations based on a Discontinuous Galerkin Method
Perimeter Institute for Theoretical Physics（Perimeter理论物理研究所）；Yale University（耶鲁大学）；University of Guelph（圭尔夫大学）；Louisiana State University（路易斯安那州立大学）
本文提出利用不连续Galerkin方法扩展稀疏网格，用于求解高维偏微分方程，展示稀疏网格在计算成本和精度上的优势。
2017-10-25 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A sparse grid discrete ordinate discontinuous Galerkin method for the radiative transfer equation
辐射传输方程是输运理论和应用中的基本方程，在一维稳态情况下是一个5维偏微分方程，给数值模拟带来很大困难。为了解决这个瓶颈，我们首先使用离散坐标技术离散的散射项，相对于角度变量的积分，从而在一个半离散的双曲系统。然后采用间断伽辽金（DG）法结合稀疏网格法进行空间离散。最终的线性系采用分块Gauss-Seidal迭代法求解。详细分析了该方法的计算复杂性和误差分析，结果表明该方法比原离散坐标DG法更有效。一系列的数值结果验证了所提出的方法的收敛性和有效性。
2022-01-04 cs.NA math.NA
Sparse grid time-discontinuous Galerkin method with streamline diffusion for transport equations
本文提出了一种由流线扩散稳定的Galerkin方法，结合空间稀疏网格与时间间断多项式，高效求解中等复杂几何域上的高维输运方程，并证明了其稳定性与收敛性。
2023-08-01 cs.NA math.NA
On Expansions and Nodes for Sparse Grid Collocation of Lognormal Elliptic PDEs
这项工作是一个后续行动，我们以前的贡献（“收敛的稀疏配置函数可数许多高斯随机变量（与应用椭圆偏微分方程）"，SIAM J。肛门，2018），并包含使用稀疏网格求解对数正态扩散系数的椭圆偏微分方程的某些方面的进一步见解。具体地，我们首先关注单变量插值规则的选择，提倡使用由Narayan和Jakeman引入的高斯Leja点（“Adaptive Leja sparse grid constructions for stochastic collocation and high-dimensional approximation”，SIAM J. Sci.计算：2014），然后讨论用Lévy-Ciesielski展开代替扩散系数的标准Karhunen-Loève展开的可能的计算优势，其动机是Bachmayr、Cohen、DeVore和Migliorati的理论工作（“参数椭圆偏微分方程的稀疏多项式逼近.第二部分：对数正态系数”，ESAIM：M2 AN，2016）。我们的数值结果表明，对于所考虑的问题，高斯Leja配置点优于高斯-埃尔米特和Genz-Keister节点的稀疏网格近似和对数扩散系数的Karhunen-Loève展开比其Lévy-Ciesielski展开的稀疏网格配置的目的更合适。
2020-04-09 cs.NA math.NA math.PR
Hierarchization for the Sparse Grid Combination Technique
Department of Computer Science ETH Z\"urich\ \"urich, Switzerland
本文提出了一种改进的分层化算法，用于稀疏网格组合技术，提升了性能并稳定处理大尺寸数据集。
2013-08-12 cs.DC cs.NA math.NA
Error Estimates for Sparse Tensor Products of B-spline Approximation Spaces
Inria Center at the University of Bordeaux（波尔多大学 Inria 中心）
本文研究了通过参数域映射得到的通用几何域上的B-样条近似空间，采用稀疏网格张量积构造方法，证明了其等价性，并推导了误差估计和逆不等式，展示了稀疏网格张量积在减少自由度的同时保持近似阶数的优势。
2026-03-24 cs.NA math.NA
Efficiently transforming from values of a function on a sparse grid to basis coefficients
在许多情况下，有必要从稀疏网格上的点处的函数值确定函数${f}\left(x_1, \ldots, x_D\right) $的基展开的系数。知道了系数，就有了插值或替代。例如，这样的系数用于不确定性量化。在这一章中，我们提出了一个有效的方法来计算系数。它使用的基函数，像熟悉的分段线性分层函数，在前一级的点为零。它们是任何（例如全局）嵌套基函数$φ_{i_k}^{\left(k\right)}\left(x_k\right)$的线性组合。最重要的是，从函数值到基系数的转换是通过顺序计算和来完成的，利用嵌套。当级别$\ell_k$中的函数的数量等于$\ell_k$时（即，当级别索引增加1时，仅添加一个点（函数））并且基函数索引满足${\left\lVert\mathbf{i}-\mathbf{1}\right\lVert_1 \le b}$时，变换的成本按比例缩放为$\mathcal{O}\left(D \left[\frac{b}{D+1} + 1\right] N_\mathrm{sparse}\right)$，其中$N_\mathrm{sparse}$是稀疏网格上的点的数量。我们比较的成本做的转换与顺序和文献中的其他方法的成本。
2021-10-02 cs.NA math.NA
Lengthscale-informed sparse grids for kernel methods in high dimensions
School of Mathematics and Maxwell Institute for Mathematical Sciences, University of Edinburgh（爱丁堡大学数学学院与麦克斯韦数学科学研究所）；Department of Mathematics, University of Manchester（曼彻斯特大学数学系）
针对高维核插值的维度灾难问题，提出结合Matérn核长度尺度编码各向异性的稀疏网格方法，推导误差界并通过数值实验验证其对高维各向异性函数的有效仿真能力。
2025-11-12 cs.NA math.NA
Approximation of PDE solution manifolds: Sparse-grid interpolation and quadrature
Vietnam National University, Hanoi（越南国家大学河内）；University of Transport and Communications（交通大学）；Vietnamese German University（越德大学）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
本文提出了一种基于稀疏网格张量积投影器的全离散近似方法，用于无限变量函数的高效求积和插值，通过反称项抵消提高了收敛速度。
2026-01-30 cs.NA math.NA
A Sparse Grid Discretization with Variable Coefficient in High Dimensions
本文提出了一种基于预小波的稀疏网格Ritz-Galerkin离散化方法，用于求解高维变系数椭圆偏微分方程，通过多线性有限元实现，并展示了数值模拟结果及收敛性分析。
2016-03-09 cs.NA math.NA
Quasi-interpolation on a sparse grid with Gaussian
Duzce University（杜兹杰大学）；University of Leicester（莱斯特大学）
本文提出基于Q-MuSIK的高效稀疏插值方法，改进收敛性和运行时间，尤其在高维问题中表现更优，并基于该方法构建了高维积分公式。
2016-08-02 cs.NA math.NA
Multilevel sparse grids collocation for linear partial differential equations, with tensor product smooth basis functions
University of Leicester（莱斯特大学）
本文提出利用多级稀疏插值算法求解线性偏微分方程，采用张量积光滑基函数，实现高精度计算。
2017-10-19 cs.NA math.NA
Optimality of quasi-Monte Carlo methods and suboptimality of the sparse-grid Gauss--Hermite rule in Gaussian Sobolev spaces
University of Manchester（曼彻斯特大学）；Aalto University（阿尔托大学）；The University of Tokyo（东京大学）
研究在混合主导光滑性阶数为α的索伯列夫空间中，拟蒙特卡洛方法的最优性及稀疏网格高斯-赫尔米特规则的次优性，通过建立上下界证明了收敛率，发现主导率为N^{-α/2}，而最优率为N^{-α}(lnN)^{(d-1)/2}。
2026-06-06 cs.NA math.NA
