Solving High-dimensional Parametric Elliptic Equation Using Tensor Neural Network
本研究提出基于张量神经网络的机器学习方法，利用张量积结构将高维积分降为一维积分，把计算复杂度从指数级降至多项式级，可高效求解高维参数椭圆方程，数值算例验证了其准确性与效率。
2024-01-15 cs.NA math.NA
A Fast Fourth-Order Cut Cell Method for Solving Elliptic Equations in Two-Dimensional Irregular Domains
本文提出一种快速四阶切割单元方法，通过PLG算法生成插值模板并结合最小二乘拟合与几何多重网格方案，高效求解二维不规则区域中的常系数椭圆型方程。
2025-04-01 cs.NA math.NA
A Domain Decomposition Deep Neural Network Method with Multi-Activation Functions for Solving Elliptic and Parabolic Interface Problems
School of Mathematics, Sichuan University（四川大学数学学院）
本研究提出一种多激活函数的域分解深度神经网络方法，用于高效求解具有不连续系数的椭圆和抛物型界面问题。
2025-12-20 cs.NA math.NA
Block monotone iterative methods for solving coupled systems of nonlinear elliptic problems
Institute of Fundamental Sciences, Massey University（梅西大学基础科学研究所）
本文研究了求解耦合非线性椭圆问题系统的数值方法，利用基于雅可比和高斯-塞德尔方法的块单调迭代法求解近似耦合系统。通过构造单调上界和下界序列，确保解的存在性，且高斯-塞德尔方法收敛性不劣于雅可比方法。
2018-05-08 cs.NA math.NA
Domain Decomposition Preconditioners for a Discontinuous Galerkin Formulation of a Multiscale Elliptic Problem
针对系数高度变化的多尺度椭圆问题，提出基于间断伽辽金格式的非重叠和重叠区域分解方法，证明预处理代数系统的条件数在特定假设下与系数无关。
2012-03-19 cs.NA math.NA
Solving coupled Lane-Emden equations by Green's function and decomposition technique
本文提出了求解耦合Lane-Emden方程的Green函数和分解技术。这种方法依赖于在建立级数解的递归格式之前构造格林函数。与标准Adomian分解方法不同，本方法避免了求解待定系数的一系列超越方程。收敛性和误差估计。耦合Lane-Emden方程的三个例子被认为是证明当前算法的准确性。
2020-05-14 cs.NA math.NA
Numerical solving unsteady space-fractional problems with the square root of an elliptic operator
研究了有界区域上一类空间分数阶方程的非定常问题。一阶发展方程涉及二阶椭圆算子的平方根。采用空间有限元逼近。为了在时间上构造近似，使用正则化两层格式。数值实现是基于求解方程的椭圆算子的平方根使用辅助柯西问题的伪抛物型方程。时间上二阶精度的格式是基于三层显式Adams格式的正则化。更一般的问题与对流项的方程被认为是，太。数值实验的结果提出了一个模型的二维问题。
2015-10-28 cs.NA math.NA
Extension of Newton-Steffenssen method by Gejji-Jafari decomposition Technique for solving nonlinear equations
本文利用Gejji-Jafari分解技术扩展了Sharma提出的第三阶牛顿-斯蒂芬森方法，通过数值实例展示新方法的效率和性能。
2013-04-25 cs.NA math.NA
Neumann-Neumann type domain decomposition of elliptic problems on metric graphs
针对度量图上的椭圆问题，提出 Neumann-Neumann 型区域分解与 Schur 补预条件子，证明其收敛率和条件数均与网格尺寸无关，并通过实现和数值比较验证。
2024-06-17 cs.NA math.NA
Numerical solving the boundary value problem for fractional powers of elliptic operators
Nuclear Safety Institute, Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院核安全研究所）；North-Eastern Federal University（东北联邦大学）
本文研究了二阶椭圆算子分数次幂的边值问题，采用伪抛物型方程时间依赖问题进行数值求解，提出标准双层方案并研究了稳定性条件，通过二维模型问题验证了时间与空间网格对精度的影响。
2014-02-07 cs.NA math.NA
An iterative method for solving elliptic Cauchy problems
研究了正则集$Ω\subset R^2$上具有$C^\infty$ -系数的椭圆算子的柯西问题，这是不适定问题的一个经典例子. Cauchy数据在子集$Γ\subset \partialΩ$上给出，我们的目标是在$\partial Ω/ Γ$上重建椭圆型方程的$H^1(Ω)$解的迹.这里描述的方法是由Maz'ya等人开发的算法的推广。[Ma]拉普拉斯算子，他提出了一种方法，该方法基于使用给定的Cauchy数据作为边界数据的一部分来解决连续适定的混合边值问题（BVP）。在线性椭圆算子具有$C^\infty$ -系数的情况下，我们给出了算法的另一种收敛性证明。我们还对一个特殊的非线性问题进行了数值实验，得到了很好的结果。
2020-11-29 cs.NA math.NA
Domain decomposition methods with Physics-informed neural networks for elliptic equations on manifolds
Nanjing Normal University（南京师范大学）；Nanjing University（南京大学）
提出用于紧致黎曼流形上椭圆方程的数值区域分解方法，结合流形的DDM技术与神经网络在高维优势，通过数值实验验证
2026-07-07 cs.NA math.DG math.NA
Linearized Localized Orthogonal Decomposition for Quasilinear Nonmonotone Elliptic PDE
本文提出一种受 LOD 启发的线性化多尺度方法，用于含空间多尺度系数的非单调拟线性椭圆 PDE，并通过两种线性化技术的适定性、收敛分析与数值实验验证其有效性。
2025-07-25 cs.NA math.NA
A numerical method for solving elliptic equations on real closed algebraic curves and surfaces
针对奇点导致解多值的问题，本文提出结合数值代数几何、微分几何与有限差分格式的新方法，用于求解实闭连通可定向几乎光滑代数曲线和曲面上的椭圆型偏微分方程，并通过示例验证。
2023-11-16 cs.NA math.NA
Deep Domain Decomposition Method: Elliptic Problems
本文提出了一种基于深度学习的区域分解方法（DeepDDM），该方法利用深度神经网络（DNN）将区域分解方法（DDM）划分的子问题离散化，用于求解偏微分方程（PDE）。使用DNN求解PDE是一个物理信息学习问题，目标涉及两个项，域项和边界项，它们分别使期望解满足PDE和相应的边界条件。DeepDDM将通过调整DNN解决每个子问题的边界项，在DDM中的接口上交换子问题信息。受益于DNN用于PDE的简单实现和无网格策略，DeepDDM将简化DDM的实现，并使DDM对于复杂PDE更加灵活，例如，那些在计算域中具有复杂接口的系统。本文将首先研究使用DeepDDM解决椭圆问题的性能，包括模型问题和接口问题。数值例子表明，DeepDDM表现出与传统DDM一致的行为：DeepDDM的迭代次数与网络结构无关，并随着重叠大小的增加而减少。DeepDDM在椭圆问题上的性能将鼓励我们进一步研究其在其他类型PDE上的性能，并可能为通过深度学习改进PDE求解器提供新的见解。
2020-04-10 cs.NA math.NA
Meshfree method for solving the elliptic Monge-Ampere equation with Dirichlet boundary
本文证明了求解带Dirichlet边界的椭圆Monge-Ampere方程的无网格方法的收敛性，基于紧支撑径向基函数核空间获得L2误差，收敛速率依赖于解正则性、域光滑性及核空间逼近性质。
2023-12-28 cs.NA math.NA
Domain Decomposition Methods for Elliptic Problems with High Contrast Coefficients Revisited
在本文中，我们重新讨论了非重叠区域分解方法求解高对比系数椭圆问题。发现了一些有趣的结果。我们发现Dirichlet-Neumann算法和Robin-Robin算法可以充分利用系数的比值。实际上，在两个子域的情况下，我们证明了它们的收敛速度是$O(ε)$，如果$ν_1\llν_2$，其中$ε= ν_1/ν_2$和$ν_1,ν_2$是两个子域的系数。此外，在子域数较多的情况下，Dirichlet-Neumann算法和Robin-Robin算法的条件数界分别为$1+ε(1+\log(H/h))^2$和$C+ε(1+\log(H/h))^2$，其中在高对比度系数的情况下，$ε$可能是一个很小的数.此外，Neumann-Neumann算法和Dirichlet-Dirichlet算法的收敛性可能与系数无关，但不能从不连续系数中获益。数值实验证实了我们的理论研究结果。
2022-12-23 cs.NA math.NA
Domain Decomposition Learning Methods for Solving Elliptic Problems
提出使用神经网络延拓算子的补偿深度Ritz方法，实现跨子域界面可靠通量传输，解决了非重叠区域分解方法中界面通量估计不准确导致的误差传播与收敛阻碍问题。
2023-05-17 cs.NA math.NA
High performance parallel algorithm for solving elliptic equations with non-separable variables
Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics（计算数学与数学地球物理学研究所）；Novosibirsk State University（新西伯利亚国立大学）
提出一种基于预条件共轭梯度或切比雪夫方法的并行算法，利用拉普拉斯算子的微分模拟作为预条件子，并通过分离变量法的并行版本（包括FFT和三对角矩阵并行求解器）高效求解非分离变量椭圆方程。
2010-11-27 cs.NA math.NA
An overlapping domain decomposition method for the solution of parametric elliptic problems via proper generalized decomposition
提出一种非侵入式PGD与重叠DD结合的方法，通过低维边界参数和代数化Schwarz粘合，实现参数化椭圆问题的实时代理建模，数值验证其高精度与鲁棒性。
2023-09-26 cs.NA math.NA
A Trilinear Immersed Finite Element Method for Solving Elliptic Interface Problems
Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）
本文提出了一种用于求解典型三维二阶椭圆界面问题的浸入有限元方法，该方法使用与界面无关的笛卡尔网格。每个界面元素上的局部有限元空间由三线性多项式组成，这些多项式通过根据界面问题的跃变条件将多项式从子元素扩展到整个元素来构造。在该空间中，无论界面位置如何或系数是否不连续，都可以构造具有拉格朗日自由度的有限元基函数。所提出的有限元空间被证明能够最优地逼近满足跃变条件的函数。通过一组具有代表性的界面几何的数值示例展示了所提出的有限元方法的特性。
2019-05-29 cs.NA math.NA
A numerical domain decomposition method for solving elliptic equations on manifolds
本文提出一种避免全局网格的数值区域分解方法，用于求解紧致黎曼流形上的椭圆方程，并在多个四维流形上验证了其有效性。
2023-10-31 cs.NA math.DG math.NA
A parallel iterative procedure for weak Galerkin methods for second order elliptic problems
提出并分析了二阶椭圆型方程弱Galerkin有限元法的一种基于区域分解的可并行迭代方法。收敛性分析建立了分解的域到单个元素相关联的弱Galerkin方法或到更大的子域。一系列的数值试验说明，以验证本文发展的理论。
2022-04-11 cs.NA math.NA
An Efficient Quasi-Newton Method with Tensor Product Implementation for Solving Quasi-Linear Elliptic Equations and Systems
针对拟线性椭圆方程与方程组求解效率问题，提出结合线性拉普拉斯与简化非线性项近似雅可比的拟牛顿法，经收敛分析与二维三维数值实验验证，可借助GPU张量积实现提升计算效率，支撑多领域复杂仿真。
2025-03-23 cs.NA math.NA
A Fourth-Order Cut-cell Multigrid Method for Solving Elliptic Equations on Arbitrary Domains
Zhejiang University（浙江大学）
本文提出了一种四阶切割单元多网格方法，用于在任意复杂域上高效求解椭圆方程，具备高精度、高效率和良好的鲁棒性。
2026-01-16 cs.NA math.NA
Adomian decomposition method for solving derivative-dependent doubly singular boundary value problems
Birla Institute of Technology Mesra（比尔拉理工学院梅斯腊分校）
本文提出一种改进的Adomian分解法，用于求解非线性导数依赖的双奇异边值问题，通过双重积分算子和级数展开方法，验证了该方法的有效性。
2017-11-22 cs.NA math.NA
Weak TransNet: A Petrov-Galerkin based neural network method for solving elliptic PDEs
虽然深度学习在求解偏微分方程（PDE）方面取得了显著的成功，但它仍然面临着重大挑战，特别是当PDE解具有低正则性或奇异性时。为了解决这些问题，我们提出了基于Petrov-Galerkin公式的弱TransNet（WTN）方法，用于在本工作中求解椭圆偏微分方程，尽管其框架可以扩展到其他类型的方程。具体地，由TransNet定义的神经特征空间（Zhang et al.，2023）作为试验空间，而测试空间由径向基函数组成。由于解被表示为测试函数的线性组合，因此可以通过经由最小二乘法最小化弱PDE残差来确定系数。因此，这种方法可以帮助减轻神经网络训练中经常出现的非凸性和病态性的挑战。此外，WTN方法被扩展到处理的解决方案具有多尺度功能或具有急剧变化的问题。几个数值实验证明所提出的方法的鲁棒性和效率。
2025-06-05 cs.NA math.NA
Improved randomized neural network methods with boundary processing for solving elliptic equations
本文提出RNN-Scaling和RNN-BP两种改进的随机神经网络方法求解椭圆方程，通过调整边界方程权重和引入边界处理技术精确满足边界条件，显著提升了近似精度。
2024-07-26 cs.NA math.NA
High-order numerical method for solving elliptic partial differential equations on unfitted node sets
本文提出一种基于RBF-FD的非拟合节点集方法，通过内部配点和拉格朗日乘子约束边界，实现椭圆偏微分方程的高阶精确解，兼顾几何灵活性与精度。
2024-07-22 cs.NA math.NA
A fully adaptive multilevel stochastic collocation strategy for solving elliptic PDEs with random data
我们提出并分析了一个完全自适应的策略，解决椭圆型偏微分方程的随机数据在这项工作中。一个层次序列的自适应网格细化的空间近似相结合的自适应各向异性稀疏的Scorpak网格在随机空间中的方式，以尽量减少计算成本。我们的策略的新颖之处在于，空间近似的层次结构是样本相关的，因此每个配置点的计算工作量可以单独优化。我们概述了一个严格的分析的自适应多级算法的收敛性和计算复杂性，我们提供了最佳的选择，在每个级别的误差容限。两个数值例子证明了差错控制的可靠性和显着降低的复杂性时，出现相比，单级算法和多级算法，采用自适应性只在空间离散化或配置过程。
2019-12-04 cs.NA math.NA
An iterative method for solving elliptic BVP in one-dimension
该研究提出一种改进的一维椭圆型边值问题分解迭代方法，在同等精度下计算量更低，小截断阶数下即可收敛，且通过理论和带精确解的算例验证了有效性。
2024-10-08 cs.NA math.AP math.NA
Solving elliptic PDEs in unbounded domains
本文针对无界域椭圆型偏微分方程，在系数无周期性结构假设下扩展了指数正则化方法，并揭示了右手边项在傅里叶域中影响快速收敛的关键性质。
2024-10-21 cs.NA math.NA
A localized orthogonal decomposition method for semi-linear elliptic problems
Uppsala University（乌普萨拉大学）；Humboldt-Universität zu Berlin（柏林洪堡大学）
针对系数高度振荡的半线性椭圆问题，提出一种基于局部正交分解的多尺度方法，通过构造低维多尺度空间并证明H1误差关于粗网格尺寸线性收敛。
2013-07-04 cs.NA math.NA
An economic cascadic tensor multigrid method for solving high dimensional elliptic linear partial differential problems
Guilin University of Electronic Technology（桂林电子科技大学）；Guangxi Colleges and Universities Key Laboratory of Data Analysis and Computation（广西高校数据分析与计算重点实验室）；Center for Applied Mathematics of Guangxi (GUET)（广西应用数学中心）
提出一种经济级联张量多重网格方法（ECTMG），将存储和计算复杂度从O(n³)降至O(n²)，并分析了基于张量形式的共轭梯度法的收敛性，数值实验验证了有效性。
2026-06-25 cs.NA math.NA
The Smooth Forcing Extension Method: A High-Order Technique for Solving Elliptic Equations on Complex Domains
求解任意区域上的椭圆型方程的高阶数值方法通常需要专门的机器，例如用于有限元方法的高质量协调网格和用于边界积分法的求积规则。这些工具使得将这些技术应用于更高维度变得困难。相比之下，固定笛卡尔网格方法，如浸没边界（IB）方法，易于应用和推广，但通常是低阶精度。在这项研究中，我们介绍了光滑力迫扩张（SFE）方法，一个固定的笛卡尔网格技术，建立在IB方法的见解，并允许一个获得任意数量级的精度。我们的方法依赖于一种新的傅立叶延拓方法来计算扩展的非齐次项的任何所需的规律性。这与用于插值操作的高精度非均匀快速傅里叶变换相结合，以产生快速且鲁棒的方法。数值试验证实，该技术精确地执行一维测试问题的预期。在更高的维度，性能甚至更好，在某些情况下产生子几何收敛。我们还演示了如何将这种技术可以应用于解决抛物问题和计算椭圆算子的特征值一般域，在说明其稳定性和顺应性的推广过程。
2021-05-12 cs.NA math.NA
Ghost Point Diffusion Maps for solving elliptic PDE's on Manifolds with Classical Boundary Conditions
在本文中，我们扩展类的核方法，所谓的扩散映射（DM），及其本地的内核变种，近似二阶微分算子定义在光滑流形自然产生的边界椭圆PDE模型。为了实现这一目标，我们引入了鬼点扩散映射（GPDM）估计的扩展流形上，确定了一组点云上的未知的原始流形连同一组鬼点，指定沿估计的切线方向在边界处的采样点。由此产生的GPDM估计限制标准DM矩阵的一组外推方程，估计在鬼点的函数值。这种调整类似于经典的鬼点方法在有限差分格式求解偏微分方程的平坦区域。相对于经典的DM发散的边界附近，建议的GPDM估计甚至在边界附近逐点收敛。应用相容的GPDM估计求解具有经典边界条件（Dirichlet，Neumann和Robin）的适定椭圆型偏微分方程，在适当的光滑性假设下，我们建立了近似解的收敛性.我们数值验证建议的无网格PDE求解器上定义的各种问题上的简单子流形嵌入在欧几里得空间，以及在一个未知的流形。数值上，我们还发现GPDM在求解有界光滑流形上的椭圆本征值问题时比DM更精确。
2021-03-17 cs.NA math.NA
Convergence Properties of Overlapping Schwarz Domain Decomposition Algorithms
Laboratoire Analyse Géométrie et Applications Institut Galilée, Université Paris 13（巴黎第十三大学吉利亚实验室分析与几何应用实验室）
本文部分回答了关于重叠Schwarz方法收敛性的开放问题，证明了带Dirichlet传输条件的重叠Schwarz方法对半线性椭圆和抛物方程总是收敛，而带Robin传输条件的仅对半线性抛物方程收敛，并给出了使其对半线性椭圆方程收敛的条件。
2011-04-21 cs.NA math.NA
The Best Uniform Rational Approximation: Applications to Solving Equations Involving Fractional powers of Elliptic Operators
在本文中，我们考虑一个特殊的数学问题，这个大面积的分数权力的自伴椭圆算子，定义由Dunford-Taylor积分或通过频谱的椭圆算子的表示。由于数学建模的各种非局部现象，使用这些运营商最近的一些数值方法求解方程涉及运营商的分数阶被引入，研究和测试。在这里，我们考虑从相应的椭圆问题的有限差分或有限元近似得到的这些问题的离散对应。在这份报告中，我们提供了所有必要的信息有关的最佳一致有理逼近（BURA）$r_{k,α}(t) := P_k(t)/Q_k(t)$的$t^α$对$[δ, 1]$的各种$α$，$δ$，和$k$。结果以160个表格的形式给出，其中包含$P_k(t)$和$Q_k(t)$的系数、$r_{k,α}(t)$的零点和极点、误差$t^α- r_{k,α}(t)$的极值点、用部分分数表示的$r_{k,α}(t)$等。我们提供了到文件的链接，这些文件具有表征$r_{k,α}(t)$的数据，这些数据具有足够的有效数字，因此可以在他的/自己的计算。
2019-10-30 cs.NA math.NA
MDFEM: Multivariate decomposition finite element method for elliptic PDEs with uniform random diffusion coefficients using higher-order QMC and FEM
介绍了求解均匀随机扩散系数椭圆型偏微分方程的多元分解有限元法。我们表明，MDFEM可以用来减少估计的期望值的一个线性泛函的解决方案的偏微分方程的计算复杂性。该算法结合了多元分解法（MDM），计算无穷维积分，与有限元法（FEM），以解决不同的情况下的偏微分方程。MDFEM的策略是将无限维问题分解为多个有限维问题，这比解决单个大维问题更容易并行化。我们的第一个结果调整了多元分解方法的分析，以纳入通常出现在多元正交误差界中的对数因子，即，cubature，方法;并且我们注意到$n$需要的点数，例如，在2的幂次上进行高阶近似。为了进一步的分析，我们将体积法具体化为两种类型的拟蒙特卡罗方法（QMC）规则，即数字移位多项式格规则和交错多项式格规则。第二和主要贡献，然后提出了一个边界的MDFEM的错误，并显示高阶收敛w.r.t.在交错多项式格点规则与高阶有限元法相结合的情况下的总计算成本。
2021-07-08 cs.NA math.NA
An efficient algorithm for solving elliptic problems on percolation clusters
本文给出了求解定义在$\mathbb{Z}^d$超临界Bernoulli渗流簇上的椭圆狄利克雷问题的一个有效算法，作为S. Armstrong，A. Hannukainen，T. Kuusi和J. - C.你好我们还探讨了渗流无限簇上的双尺度展开，并利用它对算法进行了严格的分析。
2019-07-31 cs.NA math.AP math.NA
Solving Two Dimensional H(curl)-elliptic Interface Systems with Optimal Convergence On Unfitted Meshes
在这篇文章中，我们发展和分析了一个有限元法与第一族Nédélec元素的最低次求解麦克斯韦界面问题的建模$\mathbf{H}(\text{curl})$ -椭圆型方程在非拟合网格。为了最佳地捕捉跳跃条件，我们构造并使用$\mathbf{H}(\text{curl})$浸入式有限元（IFE）功能的界面元素，而保持使用标准的Nédélec功能的所有非界面元素。我们建立了IFE函数的几个重要性质，包括根据边缘自由度的不均匀性，与$H^1$ IFE函数相关的精确序列和最优逼近能力。为了达到最佳的收敛速度，我们采用了Petrov-Galerkin方法，其中IFE函数仅用作测试函数，标准Nédélec函数用作检验函数，可以消除不一致误差。我们分析了在一定条件下的inf-sup条件，并给出了最优的收敛速度，这也是通过数值实验验证。
2020-11-24 cs.NA math.NA
IG-PINNs: Interface-gated physics-informed neural networks for solving elliptic interface problems
School of Mathematics and Computational Science, Xiangtan University（湘潭大学数学与计算科学学院）
IG-PINNs通过引入界面门控机制和水平集函数，有效解决椭圆界面问题，提升求解精度。
2025-12-06 cs.NA math.NA
High order numerical schemes for solving fractional powers of elliptic operators
本文针对分数幂椭圆算子求解，采用单参数族三层有限差分格式求解等价的非定常伪抛物初值问题，通过选取权重参数最优值构造出四阶逼近格式，并通过大量计算实验验证了理论分析。
2019-01-01 cs.NA math.NA
Analysis and preconditioning of a probabilistic domain decomposition algorithm for elliptic boundary value problems
本文分析 PDDSparse 概率域分解算法的随机界面矩阵，证明其接近非奇异 M-矩阵，并提出基于截断 Neumann 级数的有效预条件子。
2023-12-06 cs.NA math.NA
Solving Elliptic Finite Element Systems in Near-Linear Time with Support Preconditioners
本文证明椭圆有限元线性系统可被对称对角占优矩阵良好逼近，从而利用支持理论将图论近线性时间求解技术推广至有限元问题，且迭代次数仅依赖网格质量。
2008-04-04 cs.NA math.NA
Domain Decomposition Subspace Neural Network Method for Solving Linear and Nonlinear Partial Differential Equations
提出域分解子空间神经网络方法，结合域分解与子空间神经网络构造基函数，施加C^k连续性条件，用Picard和Newton迭代求解线性和非线性PDE，误差达10^-13，精度和效率优于PINNs等方法。
2025-05-27 cs.NA math.NA
Solving Elliptic Interface Problems with Jump Conditions on Cartesian Grids
本文提出一种在笛卡尔网格上求解带不规则界面跳跃条件的椭圆方程的简单数值算法，可获得二阶精确解和一阶精确梯度，且条件数有界，并通过二维和三维算例验证。
2019-12-18 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Least SQuares Discretizations (LSQD): a robust and versatile meshless paradigm for solving elliptic PDEs
针对不规则几何下传统数值网格方法受限、无网格方法需弱形式求积的问题，提出无需弱形式的最小二乘离散化（LSQD）无网格方法，验证了其在多场景下求解椭圆型PDE的有效性，并构建后验误差估计器，提供了鲁棒易用的数值新方案。
2024-06-19 cs.NA math.NA
Error Analysis for Solving Elliptic Interface Problems with Randomized Neural Networks
Peking University（北京大学）；Chongqing Research Institute of Big Data, Peking University（北京大学重庆大数据研究院）；China University of Mining and Technology（中国矿业大学）
本文对随机神经网络求解椭圆界面问题进行了统一误差分析，推导了Barron函数积分表示和复合损失的O(n^{-1})泛化界，结合优化保证得到先验L^2误差估计，并通过数值实验验证。
2026-09-23 cs.NA math.NA
High-performance dune modules for solving large-scale, strongly anisotropic elliptic problems with applications to aerospace composites
本文的关键创新是在done-pdelab中实现的高对比度、强各向异性椭圆偏微分方程的开源、高性能迭代求解器。迭代求解器利用了一个强大的，可扩展的两级加性Schwarz预处理器，GenEO（Spillane等人，2014年）。该求解器的开发是出于克服商业建模工具在航空航天复合材料应用中解决结构分析模拟的局限性的需要。我们的软件工具箱dune-composites将底层软件包的数学复杂性封装在一个高效的C++框架中，为我们新的高性能求解器提供了一个应用程序接口。我们说明了它的使用范围内的工业动机的例子，这应该使其他科学家建立和扩展沙丘复合材料和GenEO预处理器用于自己的应用。我们展示了英国国家超级计算机Archer的15，000多个核心上的求解器的可扩展性，在几分钟内解决了具有超过2亿个自由度的航空航天复合材料问题。这种规模的计算带来了复合材料的问题，否则将是不可想象的可行范围。为了证明新的求解器的更广泛的适用性，我们还确认了SPE 10上的求解器的鲁棒性和可扩展性，SPE 10是地下流/油藏模拟中具有挑战性的基准。
2019-10-29 cs.NA math.NA
A hybrid probabilistic domain decomposition algorithm suited for very large-scale elliptic PDEs
本文提出 PDDSparse，一种基于 Feynman-Kac 公式和 Monte Carlo 模拟的混合概率区域分解方法，通过仅在界面求解高度稀疏随机线性系统来提升超大规模椭圆 PDE 计算的并行性、容错性与 GPU 适配性。
2023-01-13 cs.NA math.NA
An Efficient Online-Offline Method for Elliptic Homogenization Problems
提出了一种新的求解椭圆均匀化问题的数值方法。其主要思想是在离线阶段通过局部最小二乘法重构缺失的有效矩阵，作为在线计算的输入数据。所提出的方法的准确性进行了分析与重建算子的精细估计的帮助下。二维和三维的数值试验证实了所提出的方法的效率，并说明这种在线-离线策略可以显着降低成本，而不损失精度。
2020-11-04 cs.NA math.NA
Superconvergent HDG methods for Maxwell's equations via the $M$-decomposition
College of Mathematics, Sichuan University（四川大学数学学院）
本文基于M分解构造了用于Maxwell方程的HDG方法，在无结构网格上实现超收敛，即使问题非协调性，也能获得解的旋度的超收敛率。
2019-05-17 cs.NA math.NA
Accurate adaptive deep learning method for solving elliptic problems
本文提出一种精确自适应深度学习方法求解椭圆问题，基于失败概率框架采用分段均匀分布与核方法高效采样，结合改进的Levenberg-Marquardt优化，将不同情况的相对误差降低$10^2$至$10^4$倍。
2024-04-29 cs.NA math.NA stat.CO
