A deep first-order system least squares method for solving elliptic PDEs
我们提出了一种基于深度学习的一阶系统最小二乘（FOSLS）方法，用于数值求解二阶椭圆偏微分方程。我们提出的方法是能够处理变分和非变分问题，由于其无网格的性质，它也可以处理在高维域中提出的问题。我们证明了神经网络逼近连续问题解的$Γ$ -收敛性，并将收敛性证明推广到一些著名的相关方法。最后，我们提出了几个数值例子说明我们的离散化的性能。
2022-12-14 cs.NA math.NA
A parallel domain decomposition method for solving elliptic equations on manifolds
提出一种求解紧致黎曼流形上椭圆方程的并行区域分解方法，无需全局三角剖分，具备高度并行迭代格式，并在$4$维流形上验证了有效性。
2025-01-13 cs.NA math.NA
Solving High-dimensional Parametric Elliptic Equation Using Tensor Neural Network
本研究提出基于张量神经网络的机器学习方法，利用张量积结构将高维积分降为一维积分，把计算复杂度从指数级降至多项式级，可高效求解高维参数椭圆方程，数值算例验证了其准确性与效率。
2024-01-15 cs.NA math.NA
A Fast Fourth-Order Cut Cell Method for Solving Elliptic Equations in Two-Dimensional Irregular Domains
本文提出一种快速四阶切割单元方法，通过PLG算法生成插值模板并结合最小二乘拟合与几何多重网格方案，高效求解二维不规则区域中的常系数椭圆型方程。
2025-04-01 cs.NA math.NA
Block monotone iterative methods for solving coupled systems of nonlinear elliptic problems
Institute of Fundamental Sciences, Massey University（梅西大学基础科学研究所）
本文研究了求解耦合非线性椭圆问题系统的数值方法，利用基于雅可比和高斯-塞德尔方法的块单调迭代法求解近似耦合系统。通过构造单调上界和下界序列，确保解的存在性，且高斯-塞德尔方法收敛性不劣于雅可比方法。
2018-05-08 cs.NA math.NA
Numerical solving unsteady space-fractional problems with the square root of an elliptic operator
研究了有界区域上一类空间分数阶方程的非定常问题。一阶发展方程涉及二阶椭圆算子的平方根。采用空间有限元逼近。为了在时间上构造近似，使用正则化两层格式。数值实现是基于求解方程的椭圆算子的平方根使用辅助柯西问题的伪抛物型方程。时间上二阶精度的格式是基于三层显式Adams格式的正则化。更一般的问题与对流项的方程被认为是，太。数值实验的结果提出了一个模型的二维问题。
2015-10-28 cs.NA math.NA
Numerical solving the boundary value problem for fractional powers of elliptic operators
Nuclear Safety Institute, Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院核安全研究所）；North-Eastern Federal University（东北联邦大学）
本文研究了二阶椭圆算子分数次幂的边值问题，采用伪抛物型方程时间依赖问题进行数值求解，提出标准双层方案并研究了稳定性条件，通过二维模型问题验证了时间与空间网格对精度的影响。
2014-02-07 cs.NA math.NA
An iterative method for solving elliptic Cauchy problems
研究了正则集$Ω\subset R^2$上具有$C^\infty$ -系数的椭圆算子的柯西问题，这是不适定问题的一个经典例子. Cauchy数据在子集$Γ\subset \partialΩ$上给出，我们的目标是在$\partial Ω/ Γ$上重建椭圆型方程的$H^1(Ω)$解的迹.这里描述的方法是由Maz'ya等人开发的算法的推广。[Ma]拉普拉斯算子，他提出了一种方法，该方法基于使用给定的Cauchy数据作为边界数据的一部分来解决连续适定的混合边值问题（BVP）。在线性椭圆算子具有$C^\infty$ -系数的情况下，我们给出了算法的另一种收敛性证明。我们还对一个特殊的非线性问题进行了数值实验，得到了很好的结果。
2020-11-29 cs.NA math.NA
A Domain Decomposition Deep Neural Network Method with Multi-Activation Functions for Solving Elliptic and Parabolic Interface Problems
本研究提出一种多激活函数的域分解深度神经网络方法，用于高效求解具有不连续系数的椭圆和抛物型界面问题。
2025-12-20 cs.NA math.NA
Mixed Multiscale Finite Volume Methods for Elliptic Problems in Two-phase Flow Simulations
University of Minnesota（明尼苏达大学）；ExxonMobil Upstream Research Company（埃克森美孚上游研究公司）
针对多孔介质流动中的多尺度椭圆方程，提出混合多尺度有限体积方法框架，通过新型多尺度速度基函数结合全局信息，在粗网格上高效捕捉小尺度效应，并应用于非均质多孔介质两相流模拟，数值实验验证了精度和效率。
2011-08-11 cs.NA math.NA
A numerical method for solving elliptic equations on real closed algebraic curves and surfaces
针对奇点导致解多值的问题，本文提出结合数值代数几何、微分几何与有限差分格式的新方法，用于求解实闭连通可定向几乎光滑代数曲线和曲面上的椭圆型偏微分方程，并通过示例验证。
2023-11-16 cs.NA math.NA
Meshfree method for solving the elliptic Monge-Ampere equation with Dirichlet boundary
本文证明了求解带Dirichlet边界的椭圆Monge-Ampere方程的无网格方法的收敛性，基于紧支撑径向基函数核空间获得L2误差，收敛速率依赖于解正则性、域光滑性及核空间逼近性质。
2023-12-28 cs.NA math.NA
A Trilinear Immersed Finite Element Method for Solving Elliptic Interface Problems
Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）
本文提出了一种用于求解典型三维二阶椭圆界面问题的浸入有限元方法，该方法使用与界面无关的笛卡尔网格。每个界面元素上的局部有限元空间由三线性多项式组成，这些多项式通过根据界面问题的跃变条件将多项式从子元素扩展到整个元素来构造。在该空间中，无论界面位置如何或系数是否不连续，都可以构造具有拉格朗日自由度的有限元基函数。所提出的有限元空间被证明能够最优地逼近满足跃变条件的函数。通过一组具有代表性的界面几何的数值示例展示了所提出的有限元方法的特性。
2019-05-29 cs.NA math.NA
An Efficient Quasi-Newton Method with Tensor Product Implementation for Solving Quasi-Linear Elliptic Equations and Systems
针对拟线性椭圆方程与方程组求解效率问题，提出结合线性拉普拉斯与简化非线性项近似雅可比的拟牛顿法，经收敛分析与二维三维数值实验验证，可借助GPU张量积实现提升计算效率，支撑多领域复杂仿真。
2025-03-23 cs.NA math.NA
A Fourth-Order Cut-cell Multigrid Method for Solving Elliptic Equations on Arbitrary Domains
Zhejiang University（浙江大学）
本文提出了一种四阶切割单元多网格方法，用于在任意复杂域上高效求解椭圆方程，具备高精度、高效率和良好的鲁棒性。
2026-01-16 cs.NA math.NA
Weak TransNet: A Petrov-Galerkin based neural network method for solving elliptic PDEs
虽然深度学习在求解偏微分方程（PDE）方面取得了显著的成功，但它仍然面临着重大挑战，特别是当PDE解具有低正则性或奇异性时。为了解决这些问题，我们提出了基于Petrov-Galerkin公式的弱TransNet（WTN）方法，用于在本工作中求解椭圆偏微分方程，尽管其框架可以扩展到其他类型的方程。具体地，由TransNet定义的神经特征空间（Zhang et al.，2023）作为试验空间，而测试空间由径向基函数组成。由于解被表示为测试函数的线性组合，因此可以通过经由最小二乘法最小化弱PDE残差来确定系数。因此，这种方法可以帮助减轻神经网络训练中经常出现的非凸性和病态性的挑战。此外，WTN方法被扩展到处理的解决方案具有多尺度功能或具有急剧变化的问题。几个数值实验证明所提出的方法的鲁棒性和效率。
2025-06-05 cs.NA math.NA
Improved randomized neural network methods with boundary processing for solving elliptic equations
本文提出RNN-Scaling和RNN-BP两种改进的随机神经网络方法求解椭圆方程，通过调整边界方程权重和引入边界处理技术精确满足边界条件，显著提升了近似精度。
2024-07-26 cs.NA math.NA
High-order numerical method for solving elliptic partial differential equations on unfitted node sets
本文提出一种基于RBF-FD的非拟合节点集方法，通过内部配点和拉格朗日乘子约束边界，实现椭圆偏微分方程的高阶精确解，兼顾几何灵活性与精度。
2024-07-22 cs.NA math.NA
A fully adaptive multilevel stochastic collocation strategy for solving elliptic PDEs with random data
我们提出并分析了一个完全自适应的策略，解决椭圆型偏微分方程的随机数据在这项工作中。一个层次序列的自适应网格细化的空间近似相结合的自适应各向异性稀疏的Scorpak网格在随机空间中的方式，以尽量减少计算成本。我们的策略的新颖之处在于，空间近似的层次结构是样本相关的，因此每个配置点的计算工作量可以单独优化。我们概述了一个严格的分析的自适应多级算法的收敛性和计算复杂性，我们提供了最佳的选择，在每个级别的误差容限。两个数值例子证明了差错控制的可靠性和显着降低的复杂性时，出现相比，单级算法和多级算法，采用自适应性只在空间离散化或配置过程。
2019-12-04 cs.NA math.NA
Solving elliptic PDEs in unbounded domains
本文针对无界域椭圆型偏微分方程，在系数无周期性结构假设下扩展了指数正则化方法，并揭示了右手边项在傅里叶域中影响快速收敛的关键性质。
2024-10-21 cs.NA math.NA
An economic cascadic tensor multigrid method for solving high dimensional elliptic linear partial differential problems
Guilin University of Electronic Technology（桂林电子科技大学）；Guangxi Colleges and Universities Key Laboratory of Data Analysis and Computation（广西高校数据分析与计算重点实验室）；Center for Applied Mathematics of Guangxi (GUET)（广西应用数学中心）
提出一种经济级联张量多重网格方法（ECTMG），将存储和计算复杂度从O(n³)降至O(n²)，并分析了基于张量形式的共轭梯度法的收敛性，数值实验验证了有效性。
2026-06-25 cs.NA math.NA
The Smooth Forcing Extension Method: A High-Order Technique for Solving Elliptic Equations on Complex Domains
求解任意区域上的椭圆型方程的高阶数值方法通常需要专门的机器，例如用于有限元方法的高质量协调网格和用于边界积分法的求积规则。这些工具使得将这些技术应用于更高维度变得困难。相比之下，固定笛卡尔网格方法，如浸没边界（IB）方法，易于应用和推广，但通常是低阶精度。在这项研究中，我们介绍了光滑力迫扩张（SFE）方法，一个固定的笛卡尔网格技术，建立在IB方法的见解，并允许一个获得任意数量级的精度。我们的方法依赖于一种新的傅立叶延拓方法来计算扩展的非齐次项的任何所需的规律性。这与用于插值操作的高精度非均匀快速傅里叶变换相结合，以产生快速且鲁棒的方法。数值试验证实，该技术精确地执行一维测试问题的预期。在更高的维度，性能甚至更好，在某些情况下产生子几何收敛。我们还演示了如何将这种技术可以应用于解决抛物问题和计算椭圆算子的特征值一般域，在说明其稳定性和顺应性的推广过程。
2021-05-12 cs.NA math.NA
Ghost Point Diffusion Maps for solving elliptic PDE's on Manifolds with Classical Boundary Conditions
在本文中，我们扩展类的核方法，所谓的扩散映射（DM），及其本地的内核变种，近似二阶微分算子定义在光滑流形自然产生的边界椭圆PDE模型。为了实现这一目标，我们引入了鬼点扩散映射（GPDM）估计的扩展流形上，确定了一组点云上的未知的原始流形连同一组鬼点，指定沿估计的切线方向在边界处的采样点。由此产生的GPDM估计限制标准DM矩阵的一组外推方程，估计在鬼点的函数值。这种调整类似于经典的鬼点方法在有限差分格式求解偏微分方程的平坦区域。相对于经典的DM发散的边界附近，建议的GPDM估计甚至在边界附近逐点收敛。应用相容的GPDM估计求解具有经典边界条件（Dirichlet，Neumann和Robin）的适定椭圆型偏微分方程，在适当的光滑性假设下，我们建立了近似解的收敛性.我们数值验证建议的无网格PDE求解器上定义的各种问题上的简单子流形嵌入在欧几里得空间，以及在一个未知的流形。数值上，我们还发现GPDM在求解有界光滑流形上的椭圆本征值问题时比DM更精确。
2021-03-17 cs.NA math.NA
Domain Decomposition Learning Methods for Solving Elliptic Problems
提出使用神经网络延拓算子的补偿深度Ritz方法，实现跨子域界面可靠通量传输，解决了非重叠区域分解方法中界面通量估计不准确导致的误差传播与收敛阻碍问题。
2023-05-17 cs.NA math.NA
An iterative method for solving elliptic BVP in one-dimension
该研究提出一种改进的一维椭圆型边值问题分解迭代方法，在同等精度下计算量更低，小截断阶数下即可收敛，且通过理论和带精确解的算例验证了有效性。
2024-10-08 cs.NA math.AP math.NA
The Best Uniform Rational Approximation: Applications to Solving Equations Involving Fractional powers of Elliptic Operators
在本文中，我们考虑一个特殊的数学问题，这个大面积的分数权力的自伴椭圆算子，定义由Dunford-Taylor积分或通过频谱的椭圆算子的表示。由于数学建模的各种非局部现象，使用这些运营商最近的一些数值方法求解方程涉及运营商的分数阶被引入，研究和测试。在这里，我们考虑从相应的椭圆问题的有限差分或有限元近似得到的这些问题的离散对应。在这份报告中，我们提供了所有必要的信息有关的最佳一致有理逼近（BURA）$r_{k,α}(t) := P_k(t)/Q_k(t)$的$t^α$对$[δ, 1]$的各种$α$，$δ$，和$k$。结果以160个表格的形式给出，其中包含$P_k(t)$和$Q_k(t)$的系数、$r_{k,α}(t)$的零点和极点、误差$t^α- r_{k,α}(t)$的极值点、用部分分数表示的$r_{k,α}(t)$等。我们提供了到文件的链接，这些文件具有表征$r_{k,α}(t)$的数据，这些数据具有足够的有效数字，因此可以在他的/自己的计算。
2019-10-30 cs.NA math.NA
Solving Two Dimensional H(curl)-elliptic Interface Systems with Optimal Convergence On Unfitted Meshes
在这篇文章中，我们发展和分析了一个有限元法与第一族Nédélec元素的最低次求解麦克斯韦界面问题的建模$\mathbf{H}(\text{curl})$ -椭圆型方程在非拟合网格。为了最佳地捕捉跳跃条件，我们构造并使用$\mathbf{H}(\text{curl})$浸入式有限元（IFE）功能的界面元素，而保持使用标准的Nédélec功能的所有非界面元素。我们建立了IFE函数的几个重要性质，包括根据边缘自由度的不均匀性，与$H^1$ IFE函数相关的精确序列和最优逼近能力。为了达到最佳的收敛速度，我们采用了Petrov-Galerkin方法，其中IFE函数仅用作测试函数，标准Nédélec函数用作检验函数，可以消除不一致误差。我们分析了在一定条件下的inf-sup条件，并给出了最优的收敛速度，这也是通过数值实验验证。
2020-11-24 cs.NA math.NA
IG-PINNs: Interface-gated physics-informed neural networks for solving elliptic interface problems
IG-PINNs通过引入界面门控机制和水平集函数，有效解决椭圆界面问题，提升求解精度。
2025-12-06 cs.NA math.NA
High order numerical schemes for solving fractional powers of elliptic operators
本文针对分数幂椭圆算子求解，采用单参数族三层有限差分格式求解等价的非定常伪抛物初值问题，通过选取权重参数最优值构造出四阶逼近格式，并通过大量计算实验验证了理论分析。
2019-01-01 cs.NA math.NA
A numerical domain decomposition method for solving elliptic equations on manifolds
本文提出一种避免全局网格的数值区域分解方法，用于求解紧致黎曼流形上的椭圆方程，并在多个四维流形上验证了其有效性。
2023-10-31 cs.NA math.DG math.NA
Solving Elliptic Finite Element Systems in Near-Linear Time with Support Preconditioners
本文证明椭圆有限元线性系统可被对称对角占优矩阵良好逼近，从而利用支持理论将图论近线性时间求解技术推广至有限元问题，且迭代次数仅依赖网格质量。
2008-04-04 cs.NA math.NA
An efficient algorithm for solving elliptic problems on percolation clusters
本文给出了求解定义在$\mathbb{Z}^d$超临界Bernoulli渗流簇上的椭圆狄利克雷问题的一个有效算法，作为S. Armstrong，A. Hannukainen，T. Kuusi和J. - C.你好我们还探讨了渗流无限簇上的双尺度展开，并利用它对算法进行了严格的分析。
2019-07-31 cs.NA math.AP math.NA
Least SQuares Discretizations (LSQD): a robust and versatile meshless paradigm for solving elliptic PDEs
针对不规则几何下传统数值网格方法受限、无网格方法需弱形式求积的问题，提出无需弱形式的最小二乘离散化（LSQD）无网格方法，验证了其在多场景下求解椭圆型PDE的有效性，并构建后验误差估计器，提供了鲁棒易用的数值新方案。
2024-06-19 cs.NA math.NA
Separable Physics-informed Neural Networks for Solving the BGK Model of the Boltzmann Equation
Department of Mathematical Sciences, Korea Advanced Institute of Science and Technology (KAIST)（韩国科学技术院数学科学系）；Department of Mathematics, Gyeongsang National University（庆尚国立大学数学系）；Department of Mathematics, Sungkyunkwan University（全州大学数学系）；Department of Electrical and Computer Engineering, Sungkyunkwan University（全州大学电子与计算机工程系）
提出基于可分离物理信息神经网络（SPINNs）的方法求解玻尔兹曼方程BGK模型，利用分解结构降低计算成本，结合高斯函数与相对损失提升多尺度特征逼近精度，五项实验验证了其高效性与准确性。
2024-03-10 cs.LG cs.NA math.NA
Error Analysis for Solving Elliptic Interface Problems with Randomized Neural Networks
Peking University（北京大学）；Chongqing Research Institute of Big Data, Peking University（北京大学重庆大数据研究院）；China University of Mining and Technology（中国矿业大学）
本文对随机神经网络求解椭圆界面问题进行了统一误差分析，推导了Barron函数积分表示和复合损失的O(n^{-1})泛化界，结合优化保证得到先验L^2误差估计，并通过数值实验验证。
2026-09-23 cs.NA math.NA
High-performance dune modules for solving large-scale, strongly anisotropic elliptic problems with applications to aerospace composites
本文的关键创新是在done-pdelab中实现的高对比度、强各向异性椭圆偏微分方程的开源、高性能迭代求解器。迭代求解器利用了一个强大的，可扩展的两级加性Schwarz预处理器，GenEO（Spillane等人，2014年）。该求解器的开发是出于克服商业建模工具在航空航天复合材料应用中解决结构分析模拟的局限性的需要。我们的软件工具箱dune-composites将底层软件包的数学复杂性封装在一个高效的C++框架中，为我们新的高性能求解器提供了一个应用程序接口。我们说明了它的使用范围内的工业动机的例子，这应该使其他科学家建立和扩展沙丘复合材料和GenEO预处理器用于自己的应用。我们展示了英国国家超级计算机Archer的15，000多个核心上的求解器的可扩展性，在几分钟内解决了具有超过2亿个自由度的航空航天复合材料问题。这种规模的计算带来了复合材料的问题，否则将是不可想象的可行范围。为了证明新的求解器的更广泛的适用性，我们还确认了SPE 10上的求解器的鲁棒性和可扩展性，SPE 10是地下流/油藏模拟中具有挑战性的基准。
2019-10-29 cs.NA math.NA
Solving Elliptic Interface Problems with Jump Conditions on Cartesian Grids
本文提出一种在笛卡尔网格上求解带不规则界面跳跃条件的椭圆方程的简单数值算法，可获得二阶精确解和一阶精确梯度，且条件数有界，并通过二维和三维算例验证。
2019-12-18 cs.NA math.NA physics.comp-ph
An Efficient Online-Offline Method for Elliptic Homogenization Problems
提出了一种新的求解椭圆均匀化问题的数值方法。其主要思想是在离线阶段通过局部最小二乘法重构缺失的有效矩阵，作为在线计算的输入数据。所提出的方法的准确性进行了分析与重建算子的精细估计的帮助下。二维和三维的数值试验证实了所提出的方法的效率，并说明这种在线-离线策略可以显着降低成本，而不损失精度。
2020-11-04 cs.NA math.NA
Sparse Spectral Methods for Solving High-Dimensional and Multiscale Elliptic PDEs
在他的专著切比雪夫和傅立叶谱方法，约翰博伊德声称，关于傅立叶谱方法解决微分方程，“[t]他的优点快速傅里叶变换将继续改善无情的游行到越来越大的[带宽]继续”。本文试图进一步发挥快速傅里叶变换（FFT）的优点，因为不仅带宽被推到了极限，而且问题的维数也被推到了极限。然而，我们没有使用传统的FFT，而是进行了一个关键的替代：一个高维的，稀疏的傅里叶变换（SFT）与随机秩1格方法配对。由此产生的稀疏谱方法快速，自动地确定一组傅立叶基函数，其跨度是保证包含一个精确的近似的解决方案，一个给定的椭圆偏微分方程。然后，使用这个小得多、接近最佳的傅里叶基在运行时有效地求解给定的偏微分方程，这仅取决于偏微分方程的数据压缩性和椭圆度属性，同时打破维度灾难并缓解对原始问题中任何多尺度结构的线性依赖。本文建立了该方法的理论性能与Sobolev范数的收敛性分析的一般类的非常数扩散方程，以及指针的技术扩展的收敛性分析更一般的对流扩散反应方程。数值实验表明，良好的经验性能的多尺度和高维的例子问题，进一步展示了所提出的方法在实践中的承诺。
2023-02-01 cs.NA math.NA
Accurate adaptive deep learning method for solving elliptic problems
本文提出一种精确自适应深度学习方法求解椭圆问题，基于失败概率框架采用分段均匀分布与核方法高效采样，结合改进的Levenberg-Marquardt优化，将不同情况的相对误差降低$10^2$至$10^4$倍。
2024-04-29 cs.NA math.NA stat.CO
PINN-Based Kolmogorov-Arnold Networks with RAR-D Adaptive Sampling for Solving Elliptic Interface Problems
College of Science, Harbin Institute of Technology（哈尔滨理工学院理学院）；Department of Mathematics, Hong Kong Baptist University（香港浸会大学数学系）
本文提出基于Kolmogorov-Arnold网络的PINN架构，结合RAR-D自适应采样策略，解决椭圆界面问题，实现更小网络规模和更快收敛的高精度解法。
2026-02-02 cs.NA math.NA
A model reduction method for multiscale elliptic PDEs with random coefficients using an optimization approach
California Institute of Technology（加州理工学院）；The University of Hong Kong（香港大学）
本文提出了一种基于优化方法的多尺度椭圆PDEs模型降阶方法，通过构造局部多尺度数据驱动随机基函数，实现高效求解具有随机系数的多尺度问题，具有较高的计算效率和收敛性分析。
2018-07-06 cs.NA math.NA
Fast elliptic solvers in cylindrical coordinates and the Coulomb collision operator
Courant Institute, New York University（纽约大学柯朗数学科学研究所）
本文提出一类新的快速求解器，用于柱坐标下具有自由空间辐射条件的可分离椭圆偏微分方程，通过结合径向积分方程方法和角向傅里叶方法实现高精度，并应用于电离气体动力学模型中库仑碰撞算子的评估。
2011-02-10 cs.NA math.NA
Solving Elliptic Equations with Brownian Motion: Bias Reduction and Temporal Difference Learning
费曼-卡茨公式提供了一种方法来理解解决方案的椭圆偏微分方程的期望连续时间马尔可夫过程。这种连接允许创建基于这些马尔可夫过程的样本的解决方案的数值方案，在某些情况下，这些马尔可夫过程比传统的数值方法具有优势。然而，简单的数值实现会受到统计偏差和抽样误差的影响。我们提出的方法来离散的随机过程中出现的Feynman-Kac公式，减少偏差的数值方案。我们还建议使用时间差学习来组装信息从随机样本的方式，是更有效的比传统的蒙特卡罗方法。
2020-08-01 cs.NA math.NA math.PR
Scheduled Relaxation Jacobi schemes for non-elliptic partial differential equations
预定松弛雅可比（SRJ）方法是一种线性求解器算法，其通过使用明智选择的松弛因子（SRJ方案）来衰减解误差，从而极大地改善雅可比迭代的收敛性。到目前为止，该方法主要用于加速椭圆偏微分方程（例如拉普拉斯，泊松方程）的解决方案，因为目前可用的计划仅限于解决这类问题。本文的目标是提出一种方法来构造SRJ计划，这是适合于解决非椭圆型偏微分方程（或等效的，非对称的线性系所产生的离散这些偏微分方程），从而扩展了这种方法的适用性，以更广泛的一类问题。这些方案是通过数值求解一个约束最小化问题得到的，只要线性系具有位于复平面的某些区域中的特征值，该约束最小化问题就保证解的误差不会增长。我们证明了对于一维和二维定常对流-扩散方程的离散化所产生的非对称线性系组，这些格式能够加速标准Jacobi迭代的收敛。
2021-12-13 cs.NA math.NA
Randomized Radial Basis Function Neural Network for Solving Multiscale Elliptic Equations
本文提出随机径向基函数神经网络（RRNN），通过子域分解和随机配点耦合求解多尺度椭圆方程，仅训练输出层权重，数值实验验证其精度和效率提升。
2024-07-20 cs.NA math.NA
Solving parametric elliptic interface problems via interfaced operator network
提出界面算子网络（IONet）求解参数化椭圆界面偏微分方程，通过划分子域、多分支与主干网络及定制物理信息损失函数，在无需内部配对数据下实现了优于现有方法的准确性与通用性。
2024-06-27 cs.NA math.NA
Adaptive Learning on the Grids for Elliptic Hemivariational Inequalities
本文介绍了一种求解椭圆半变分不等式（HVI）的深度学习方法。在该方法中，期望值最小化问题的基础上制定的基础HVI的变分原理，这是解决随机最优化算法使用三种不同的训练策略更新网络参数。应用该方法求解了接触力学中的两个实际问题，一个是有摩擦的双边接触问题，另一个是无摩擦的法向柔度接触问题。数值实验结果表明，深度学习方法能够有效地求解HVIs，自适应无网格多重网格算法能够提供三种学习方法中最精确的解。
2021-04-11 cs.NA math.NA
A local discontinuous Galerkin gradient discretization method for linear and quasilinear elliptic equations
École Polytechnique Fédérale de Lausanne（洛桑联邦理工学院）
本文提出了一种局部加权不连续伽辽金梯度离散化方法，用于求解椭圆方程，通过粗网格逐步改进解，分析了线性和准线性方程的收敛性，并展示了人工边界条件的误差分析。
2018-07-27 cs.NA math.NA
Transformation from integral operator with separable kernel to matrix in eigenvalue problem
本文针对可分核积分算子的特征值问题，建立其特征值、特征函数与矩阵特征对的关联，证明第二类Fredholm积分方程可转化为矩阵特征计算问题，并用算例验证结论。
2025-11-18 cs.NA math.FA math.NA
Neural-HSS: Hierarchical Semi-Separable Neural PDE Solver
Gran Sasso Science Institute, L'Aquila, Italy.（格兰萨索科学研究所）；University of Edinburgh, UK.（爱丁堡大学）
Neural-HSS通过分层半分离矩阵结构高效求解PDEs，展示在低数据条件下优于基线方法的性能。
2026-02-20 cs.LG cs.NA math.NA
A sequential least squares method for elliptic equations in non-divergence form
提出了一种新的求解非散度型二阶椭圆型方程的最小二乘方法。两个最小二乘型泛函提出了两步求解方程。首先得到了分段无旋多项式空间中梯度的一个数值逼近。然后结合数值梯度，在连续有限元空间中求原始变量的数值解。变分设置自然地提供了可以在自适应细化算法中使用的后验误差。给出了两个未知量的$L^2$模和能量模误差估计。通过一系列的数值实验，我们验证了自适应算法的收敛速度和效率。
2020-04-01 cs.NA math.NA
A multi-modes Monte Carlo finite element method for elliptic partial differential equations with random coefficients
The University of Tennessee（田纳西大学）；Auburn University（奥本大学）；University of West Florida（西佛罗里达大学）
本文提出了一种高效的数值方法，用于求解具有随机系数的椭圆偏微分方程，通过多模式表示和蒙特卡洛技术，利用LU分解矩阵提高求解效率，理论分析和数值实验验证了方法的准确性与效率。
2016-03-29 cs.NA math.NA
Deep least-squares methods: an unsupervised learning-based numerical method for solving elliptic PDEs
Purdue University（普渡大学）
研究了一种基于无监督深度学习的偏微分方程数值求解方法。该方法利用深度神经网络通过组合构造逼近偏微分方程的解，并采用最小二乘泛函作为损失函数来确定深度神经网络的参数。偏微分方程有各种各样的最小二乘泛函。本文研究了文献[3]中基于一阶标量二阶椭圆型偏微分方程组的一阶系统最小二乘泛函。给出了一维二阶椭圆型偏微分方程的数值结果。
2020-07-12 cs.LG cs.NA math.NA
