A Multiscale Finite Element Method for an Elliptic Distributed Optimal Control Problem with Rough Coefficients and Control Constraints
针对含粗糙系数和逐点控制约束的椭圆型分布最优控制问题，提出并分析一种多尺度有限元方法，证明其性能可媲美标准有限元在光滑问题上的表现，并用数值实验验证。
2023-09-27 cs.NA math.NA
Multiscale discontinuous Petrov--Galerkin method for the multiscale elliptic problems
Nanjing University（南京大学）；Nanjing Forestry University（南京林业大学）
本文提出一种新的多尺度断续Petrov-Galerkin方法（MsDPGM），用于解决多尺度椭圆问题，通过结合多尺度Petrov-Galerkin方法和间断Galerkin方法，有效消除共振误差并降低计算复杂度。
2017-02-08 cs.NA math.NA
Localized Orthogonal Decomposition Method with $H^1$ Interpolation for Multiscale Elliptic Problem
针对多尺度椭圆问题，提出带$H^1$插值的局部正交分解方法，无需尺度分离假设，给出先验误差估计并通过数值实验验证理论结果。
2024-11-01 cs.NA math.NA
A high-order approach to elliptic multiscale problems with general unstructured coefficients
我们提出了一种多尺度方法的椭圆多尺度设置与一般非结构化的扩散系数，能够实现高阶收敛率的网格参数和多项式的程度。该方法允许适当的本地化，并不依赖于额外的正则性假设的域，扩散系数，或精确（弱）的解决方案，通常需要高阶方法。严格的先验误差估计相对于所涉及的离散化参数，这些参数之间的相互作用以及该方法的性能进行了数值研究。
2020-09-02 cs.NA math.NA
Edge Multiscale Methods for elliptic problems with heterogeneous coefficients
Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）；Imperial College London（帝国理工学院）
本文提出两种新的边多尺度方法，用于求解具有高对比度异质系数的偏微分方程：边谱多尺度有限元方法（ESMsFEM）和基于小波的边多尺度有限元方法（WEMsFEM）。通过大量数值实验验证了这些方法在高对比度异质系数椭圆问题中的收敛率，该收敛率与粗网格尺寸H、谱基函数数量以及小波空间的层次ℓ有关。
2018-10-24 cs.NA math.NA
A reduced order Schwarz method for nonlinear multiscale elliptic equations based on two-layer neural networks
本文提出一种基于区域分解、加速Schwarz框架和两层神经网络的求解器，通过离线训练神经网络作为子域边界到边界映射的替代，高效求解多尺度完全非线性椭圆方程，在准确性与泛化性上表现良好。
2022-03-07 cs.NA math.NA
Physics-informed neural networks for learning the homogenized coefficients of multiscale elliptic equations
具有尺度分离的多尺度椭圆型方程常被相应的具有缓变均匀化系数（G极限）的均匀化方程逼近。传统的均匀化技术通常依赖于多尺度系数的周期性，因此即使在多尺度系数已知的情况下，如果可能的话，在更一般的设置中找到G极限通常也需要复杂的技术。或者，我们提出了一种简单的方法来估计G-限制（无噪声或噪声）多尺度解决方案的数据，无论是从现有的前向多尺度求解器或传感器测量。通过将这个问题转化为一个反问题，我们的方法采用物理信息神经网络（PINNs）算法，通过利用底层均匀化方程的先验知识来估计多尺度解数据的G极限。与现有的方法不同，我们的方法不依赖于周期性假设或已知的多尺度系数在学习阶段，使我们能够估计均匀化系数在更一般的设置超出了周期性设置。我们证明，所提出的方法可以提供合理和准确的近似G-限制，以及均匀化的解决方案，通过几个基准问题。
2022-02-20 cs.NA math.NA
A model reduction method for multiscale elliptic PDEs with random coefficients using an optimization approach
California Institute of Technology（加州理工学院）；The University of Hong Kong（香港大学）
本文提出了一种基于优化方法的多尺度椭圆PDEs模型降阶方法，通过构造局部多尺度数据驱动随机基函数，实现高效求解具有随机系数的多尺度问题，具有较高的计算效率和收敛性分析。
2018-07-06 cs.NA math.NA
A Dilation-based Seamless Multiscale Method For Elliptic Problems
本文将多尺度动力系统中的无缝方法引入数值均匀化问题，通过基于局部膨胀的新方法近似高维多尺度椭圆算子，在无需完全分辨率下平衡了不可处理性与准确性，并给出了误差估计与数值验证。
2025-06-28 cs.NA math.NA
Cluster-based Generalized Multiscale Finite Element Method for elliptic PDEs with random coefficients
The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）；Texas A&M University（德克萨斯农工大学）；The University of Hong Kong（香港大学）
本文提出一种基于聚类算法的广义多尺度有限元方法，用于求解具有随机系数的椭圆PDE，在多查询设置中实现高效求解，通过离线和在线阶段构造减少基函数并提升计算效率。
2017-11-06 cs.NA math.NA
Tensor Neural Network Based Machine Learning Method for Elliptic Multiscale Problems
本文提出一种基于张量神经网络的机器学习方法，通过均匀化技术将椭圆多尺度问题转化为高维极限问题，并利用张量结构实现无需Monte Carlo的高精度高维积分，为高精度求解一般多尺度问题提供了新途径。
2024-03-25 cs.NA math.NA
Domain Decomposition Preconditioners for a Discontinuous Galerkin Formulation of a Multiscale Elliptic Problem
针对系数高度变化的多尺度椭圆问题，提出基于间断伽辽金格式的非重叠和重叠区域分解方法，证明预处理代数系统的条件数在特定假设下与系数无关。
2012-03-19 cs.NA math.NA
A combined finite element and multiscale finite element method for the multiscale elliptic problems
Nanjing University（南京大学）
针对多尺度椭圆问题，提出一种在计算域不同区域分别使用标准有限元和超采样多尺度有限元的混合方法，并通过罚函数处理界面条件，在周期系数假设下给出收敛性分析，数值实验验证了精度和效率。
2012-11-13 cs.NA math.NA
A multiscale HDG method for second order elliptic equations. Part I. Polynomial and homogenization-based multiscale spaces
Department of Mathematics, Texas A&M University（德克萨斯农工大学数学系）
本文提出一种用于高异性系数二阶椭圆方程数值上标的多尺度有限元方法，结合混合格式、域分解和混合不连续Galerkin方法，构建了三种尺度的基底空间，提供稳定的全局耦合和灵活的框架。
2013-10-10 cs.NA math.NA
Low-rank approximation for multiscale PDEs
从历史上看，多尺度偏微分方程的分析在很大程度上是统一的，而数值方案往往是方程特定的。在本文中，我们提出了一个统一的框架计算多尺度问题，通过随机抽样。这是通过结合随机SVD求解器和流形学习技术来实现的，以数字方式重建多尺度偏微分方程的低秩特征。以多尺度辐射传输方程和粗糙介质下的椭圆型方程为例，展示了该框架的应用。
2022-03-07 cs.NA math.NA
Localization of Elliptic Multiscale Problems
Uppsala University（乌普萨拉大学）；Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn（波恩莱茵弗里德里希·威廉大学）
针对具有异质和高变系数的椭圆问题，构造了局部广义有限元基函数，通过顶点补片上的局部问题求解，证明了误差随补片层数指数衰减，且无需预渐近或共振效应即可保持线性收敛速度。
2013-08-14 cs.NA math.NA
Localized subspace iteration methods for elliptic multiscale problems
Tongji University（同济大学）；Northwestern Polytechnical University（西北工业大学）
本文提出局部子空间迭代方法，用于构建椭圆问题的广义有限元基函数，通过局部化原微分算子和对应的局部谱问题子空间迭代，有效处理多尺度系数问题。
2024-06-14 cs.NA math.NA
Adaptive generalized multiscale finite element methods for H(curl)-elliptic problems with heterogeneous coefficients
The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）；Texas A&M University（德克萨斯农工大学）
本文提出了一种自适应多尺度方法，用于求解高异质介质中的H(curl)-椭圆问题，通过构建合适的快照空间和降维过程识别重要解模式，并分析后验误差指标及自适应算法，展示方法在异质性和对比度下的鲁棒收敛性。
2018-02-08 cs.NA math.NA
A post-processed higher-order multiscale method for nondivergence-form elliptic equations
Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）；Texas A&M University（德克萨斯农工大学）
本文提出一种后处理的高阶多尺度方法，用于求解非散度形式的线性二阶椭圆偏微分方程，通过稳定对称公式和粗基函数构造多尺度方法，实现更高阶收敛性。
2026-04-16 cs.NA math.NA
Multiscale methods with compactly supported radial basis functions for Galerkin approximation of elliptic PDEs
School of Mathematics and Statistics, University of New South Wales（新南威尔士大学数学与统计学院）
研究使用紧支撑径向基函数的多尺度伽辽金方法求解有界域上的椭圆PDE，分析了收敛性和条件数，并处理了Dirichlet边界条件及边界重叠支持问题。
2012-11-07 cs.NA math.NA
Computational multiscale methods for nondivergence-form elliptic partial differential equations
本文提出基于局部正交分解的非散度型椭圆方程计算多尺度方法，通过细尺度局部单元问题构造算子自适应粗空间，并证明LOD方法在非散度型问题中仍保持超越尺度分离与周期性的适用性和精度。
2023-06-24 cs.NA math.NA
A Bayesian numerical homogenization method for elliptic multiscale inverse problems
École Polytechnique Fédérale de Lausanne（洛桑联邦理工学院）
本文提出一种结合数值均质化与贝叶斯技术的新型方法，用于求解多尺度反问题，通过粗模型和模型降阶恢复微观高振荡张量，理论分析与数值实验验证了方法的有效性。
2018-07-27 cs.NA math.NA
Mixed Multiscale Finite Volume Methods for Elliptic Problems in Two-phase Flow Simulations
University of Minnesota（明尼苏达大学）；ExxonMobil Upstream Research Company（埃克森美孚上游研究公司）
针对多孔介质流动中的多尺度椭圆方程，提出混合多尺度有限体积方法框架，通过新型多尺度速度基函数结合全局信息，在粗网格上高效捕捉小尺度效应，并应用于非均质多孔介质两相流模拟，数值实验验证了精度和效率。
2011-08-11 cs.NA math.NA
A combined multiscale finite element method based on the LOD technique for the multiscale elliptic problems with singularities
本文利用局部正交分解（LOD）技术构造了一种组合多尺度有限元法（MsFEM），用于求解计算域中某些特殊区域可能存在奇异性的多尺度问题。例如，在模拟采出井驱动的高度非均质多孔介质中的稳定渗流时，奇点就位于井附近区域。该方法的基本思想是在问题区域的细网格上直接采用传统的有限元法，在问题区域的粗网格上采用基于LOD的MsFEM。其关键是如何在粗、细网格交界面附近为单元的基函数定义局部修正因子，这需要进行细致的处理。该方法综合了传统有限元法和基于LOD的MsFEM法的优点，与标准有限元法相比，该方法使用的自由度少得多，对奇异性问题的计算精度可能高于基于LOD的MsFEM法。误差分析是针对高度变化的系数进行的，而没有对尺度分离或周期性进行任何假设。通过对周期性和随机高振荡系数的数值算例，以及L型区域上的多尺度问题，高对比度通道和奇点的多尺度问题的数值计算，验证了该方法的有效性和准确性.
2022-02-26 cs.NA math.NA
$P_1$--Nonconforming Quadrilateral Finite Element Space with Periodic Boundary Conditions: Part II. Application to the Nonconforming Heterogeneous Multiscale Method
均匀化方法是近似求解多尺度椭圆问题的有效策略之一。在有限元基础上发展起来的有限元非均质多尺度方法（FEHMM）使得数值模拟这一过程成为可能。本文介绍了一种基于有限维空间的多尺度椭圆问题的FEHMM格式。特别地，我们使用的非协调元的周期边界条件中介绍的配套文件。理论分析推导出标准Sobolev范数的先验误差估计。几个数值结果证实了我们的分析。
2022-01-25 cs.NA math.NA
Random Sampling and Efficient Algorithms for Multiscale PDEs
我们描述了一个数值框架，使用随机抽样有效地捕捉低秩局部解空间的多尺度PDE问题所产生的区域分解。与现有的技术相比，我们的方法不依赖于具体的多尺度偏微分方程的详细分析理解，特别是它们的渐近极限。我们给出了两个例子-一个线性动力学方程和一个含有粗糙介质的椭圆型方程的应用。在这两个例子中，该框架实现了动力学方程的渐近保持性和椭圆型方程的数值均匀化。
2020-02-04 cs.NA math.NA
Tangent-Space Multiscale Manifold Methods for Nonlinear Elliptic Problems
针对非线性非均匀椭圆问题，提出切空间多尺度流形方法，通过非线性重构粗状态表示细尺度解，建立粗方程，还有网络插值变体，记录相关特性，有条件控制局部化缺陷并证明其衰减。
2026-07-15 cs.NA math.NA
Exponential Convergence for Multiscale Linear Elliptic PDEs via Adaptive Edge Basis Functions
本文提出了一种基于自适应边缘基函数的多尺度框架来求解具有粗糙系数的二阶线性椭圆偏微分方程。主要结果之一是，我们证明了所提出的多尺度方法实现了近似误差的计算自由度的指数收敛。我们的策略是执行一个能量正交分解的解决方案空间成一个粗尺度组件，包括$a$ -调和函数在每个元素的网格，和一个细尺度组件命名的气泡部分，可以本地和有效地计算。粗略比例分量完全取决于边缘上的函数值。我们在每个边缘上的近似是在狮子-Magenes空间$H_{00}^{1/2}(e)$中进行的，我们将证明这是一个自然而强大的选择。我们使用局部过采样和奇异值分解构造边缘基函数。当局部信息的右手边自适应纳入边缘基函数，我们证明了一个近似误差的指数收敛速度。数值实验验证和扩展我们的理论分析，特别是，我们没有观察到明显的退化，高对比度介质的问题的精度。
2021-04-24 cs.NA math.NA
An improved high-order method for elliptic multiscale problems
本文提出一种改进的高阶多尺度方法，通过改进局部化策略克服局部子域不足时的误差恶化问题，仅依赖右端项正则性即可获得高阶收敛率。
2023-04-17 cs.NA math.NA
Sparse Spectral Methods for Solving High-Dimensional and Multiscale Elliptic PDEs
在他的专著切比雪夫和傅立叶谱方法，约翰博伊德声称，关于傅立叶谱方法解决微分方程，“[t]他的优点快速傅里叶变换将继续改善无情的游行到越来越大的[带宽]继续”。本文试图进一步发挥快速傅里叶变换（FFT）的优点，因为不仅带宽被推到了极限，而且问题的维数也被推到了极限。然而，我们没有使用传统的FFT，而是进行了一个关键的替代：一个高维的，稀疏的傅里叶变换（SFT）与随机秩1格方法配对。由此产生的稀疏谱方法快速，自动地确定一组傅立叶基函数，其跨度是保证包含一个精确的近似的解决方案，一个给定的椭圆偏微分方程。然后，使用这个小得多、接近最佳的傅里叶基在运行时有效地求解给定的偏微分方程，这仅取决于偏微分方程的数据压缩性和椭圆度属性，同时打破维度灾难并缓解对原始问题中任何多尺度结构的线性依赖。本文建立了该方法的理论性能与Sobolev范数的收敛性分析的一般类的非常数扩散方程，以及指针的技术扩展的收敛性分析更一般的对流扩散反应方程。数值实验表明，良好的经验性能的多尺度和高维的例子问题，进一步展示了所提出的方法在实践中的承诺。
2023-02-01 cs.NA math.NA
Hierarchical multiscale modeling for flows in fractured media using Generalized Multiscale Finite Element Method
Texas A&M University（德克萨斯农工大学）；King Abdullah University of Science and Technology (KAUST)（阿卜杜拉国王科技大学）；Chevron ETC（雪佛龙ETC）；China University of Petroleum (East China)（中国石油大学（华东））
本文提出了一种多尺度有限元方法，用于解决裂隙介质中的流体流动问题。该方法基于通用多尺度有限元方法（GMsFEM），通过多尺度基函数在粗网格上表示裂隙效应。采用离散裂隙模型（DFM）和嵌入裂隙模型（EFM）及其组合，通过局部谱问题构造多尺度基函数，以高效表示长裂隙和短裂隙。
2015-02-12 cs.NA math.NA
A resourceful splitting technique with applications to deterministic and stochastic multiscale finite element methods
Los Alamos National Laboratory（洛斯阿拉莫斯国家实验室）；Colorado State University（科罗拉多州立大学）
本文利用分裂技术开发新的多尺度基函数，应用于确定性和随机椭圆方程，显著降低随机问题的随机参数空间维度，并通过稀疏网格配点法减少确定性求解次数。
2012-08-16 cs.NA math.NA
Super-localization of elliptic multiscale problems
数值均匀化的目的是在$d$维域上有效而精确地逼近具有任意粗糙系数的椭圆型偏微分算子的解空间。逆算子应用于某些标准有限元空间定义了一个近似空间，该近似空间相对于网格步长参数$H$具有一致的代数逼近率。这甚至适用于欠解析的粗糙系数。然而，数值均匀化的真正挑战是这样一个运营商相关的近似解空间的本地化基础的本地化计算。本文提出了一种新的本地化技术，强制执行超指数衰减的基础相对于$H$。这表明支持宽度为$\mathcal O(H|\log H|^{(d-1)/d})$的基函数足以保持$H$中的最佳代数收敛速度，而没有预渐近效应。一系列的数值实验说明了新的本地化技术的意义相比，到目前为止最好的本地化支持宽度$\mathcal O(H|\log H|)$。
2022-11-23 cs.NA math.NA
A data-driven approach for multiscale elliptic PDEs with random coefficients based on intrinsic dimension reduction
我们提出了一个数据驱动的方法来解决多尺度椭圆偏微分方程的随机系数的基础上内在的低维结构的基础上的椭圆微分算子。我们的方法包括离线和在线阶段。在离线阶段，从数据中提取低维空间及其基，以实现解空间的显著降维。在在线阶段，提取的基将被用于有效地解决一个新的多尺度椭圆偏微分方程。低维结构的存在性是通过显示底层格林函数的高度可分性来建立的。根据问题设置的不同，提出了不同的在线构造方法。在建立数据驱动基的过程中，我们提供了基于采样误差和截断阈值的误差分析。最后，我们提出的数值例子来证明所提出的方法的准确性和效率。
2019-07-01 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Randomized quasi-optimal local approximation spaces in time
我们的目标是时间依赖的偏微分方程（PDE）的非均匀系数在空间和时间。为了解决这些问题，我们构造了在空间中定义的减少的基/多尺度分析函数，这些函数可以与模型降阶或多尺度方法中的时间步长方案相结合。为此，我们建议执行几个模拟的PDE的几个时间步并行开始在不同的，随机绘制的起始点，规定随机初始条件;应用奇异值分解的一个子集，因此获得的快照产生减少的基础/多尺度animator功能。这有助于以并行方式构造缩减基/多尺度自适应函数。详细地说，我们建议使用基于PDE的数据函数的数据依赖的概率分布来选择起始点。随机初始条件下的PDE的每个局部时间模拟在一个时间点上逼近局部逼近空间，该时间点在柯尔莫哥洛夫意义上是最优的。这些最佳的局部逼近空间的推导是由一个紧凑的传输算子，映射任意初始条件的PDE的解决方案，在稍后的时间点的左奇异向量所跨越的，是本文的另一个主要贡献。通过求解随机初始条件下的时间局部偏微分方程，我们构造了时间局部渐近空间，该空间可证明以准最优速率收敛，并允许局部误差控制。数值实验表明，所提出的方法可以优于现有的方法，如适当的正交分解，即使在一个连续的设置，是能够很好地近似对流主导的问题。
2022-10-01 cs.NA math.NA
A multiscale method for semi-linear elliptic equations with localized uncertainties and non-linearities
Centrale Nantes（南特中央理工学院）；Université Paris-Est（巴黎东大学）
本文提出了一种多尺度数值方法，用于求解具有局部不确定性和非线性的半线性椭圆随机偏微分方程，通过域分解方法将不同不确定性和非线性源包含在感兴趣的子域（称为补丁）中，并通过迭代算法求解一系列线性全局问题和非线性局部问题，利用自适应采样基于最小二乘法构建稀疏多项式近似来解决非线性局部问题，证明了算法的一致性、收敛性和鲁棒性，并通过数值实验展示了方法的性能。
2019-01-20 cs.NA math.NA
Multiscale model reduction and two-level Schwarz preconditioner for H(curl) elliptic problems
针对异质 H(curl) 椭圆问题的旋度协调有限元线性系统，提出基于 MS-GFEM 的指数收敛模型降阶及两层限制加性 Schwarz 预条件子，并通过二维、三维实验验证其降维优势。
2025-06-09 cs.NA math.NA
Optimal control for multiscale equations with rough coefficients
本文研究具有任意粗糙系数的多尺度椭圆方程凸最优控制问题，采用RPS及其推广GRPS数值均匀化技术实现粗尺度高效求解，仅需一次性细尺度预计算，显著降低迭代成本，数值实验验证了理论分析。
2019-01-30 cs.NA math.NA
Constraint energy minimizing generalized multiscale finite element method for inhomogeneous boundary value problems with high contrast coefficients
本文针对椭圆型偏微分方程的非齐次Dirichlet、Neumann和Robin边界条件，发展了约束能量极小化广义多尺度有限元法（CEM-GMsFEM），并利用椭圆算子系数和Robin边界条件的高对比性.通过构造CEM-GMsFEM的多尺度基，我们引入了两个算子$\mathcal{D}^m$和$\mathcal{N}^m$，用于处理非齐次Dirichlet和Neumann边界值，并证明了它们在扩大过采样区域时与对比度无关地收敛.我们提供了一个先验的误差估计，并表明过采样层是控制数值误差的关键因素。一系列的实验进行，这些结果反映了我们的方法的可靠性，即使在高对比度。
2022-01-13 cs.NA math.NA
Randomized Reduced Basis Methods for Parameterized Fractional Elliptic PDEs
本文针对参数化分数阶椭圆型PDEs的重复模拟，提出一种结合Kato积分公式、MPGMRES-Sh求解器和随机化快照压缩的高效降阶基方法，兼顾计算与内存效率。
2023-06-29 cs.NA math.NA
Improved randomized neural network methods with boundary processing for solving elliptic equations
本文提出RNN-Scaling和RNN-BP两种改进的随机神经网络方法求解椭圆方程，通过调整边界方程权重和引入边界处理技术精确满足边界条件，显著提升了近似精度。
2024-07-26 cs.NA math.NA
Robust Numerical Upscaling of Elliptic Multiscale Problems at High Contrast
Institut für Numerische Simulation der Universität Bonn（波恩大学数值模拟研究所）；Department of Mathematical Sciences, University of Bath（巴斯大学数学科学系）
本文提出一种新的数值上scaling方法，用于高对比率粗糙扩散系数的椭圆问题，通过局部可定位正交分解实现最优收敛性，无需预渐进行为。
2016-01-25 cs.NA math.NA
Linearized Localized Orthogonal Decomposition for Quasilinear Nonmonotone Elliptic PDE
本文提出一种受 LOD 启发的线性化多尺度方法，用于含空间多尺度系数的非单调拟线性椭圆 PDE，并通过两种线性化技术的适定性、收敛分析与数值实验验证其有效性。
2025-07-25 cs.NA math.NA
A localized orthogonal decomposition method for semi-linear elliptic problems
Uppsala University（乌普萨拉大学）；Humboldt-Universität zu Berlin（柏林洪堡大学）
针对系数高度振荡的半线性椭圆问题，提出一种基于局部正交分解的多尺度方法，通过构造低维多尺度空间并证明H1误差关于粗网格尺寸线性收敛。
2013-07-04 cs.NA math.NA
Multiscale Elliptic PDEs Upscaling and Function Approximation via Subsampled Data
多尺度偏微分方程的数值放大与异构函数的分散数据逼近之间存在密切联系：为推导放大方程（前者）而选择的粗略变量对应于用于逼近（后者）的采样信息。因此，这两个问题都可以被认为是基于一些粗略数据来恢复目标函数，这些粗略数据要么是由升尺度算法人工选择的，要么是由一些物理测量过程确定的。然后，本文的目的是研究，在这样的设置和一个特定的椭圆问题，如何的粗数据的长度尺度，我们称之为二次采样的长度尺度，影响恢复的准确性，有限的计算预算。我们的分析和实验表明，减少子采样长度尺度可能会提高精度，这意味着在这种计算受限的情况下，粗粒度或数据采集的指导标准，特别是导致直接的见解，在数值均匀化文献中的Gamblets方法的实施。此外，如果目标函数不具有足够的规律性，则将长度尺度减小到零可能导致近似误差的放大，这表明需要对要近似的目标函数进行更强的先验假设。我们引入了一个奇异的权函数来处理它，从理论和数值上。这项工作揭示了粗糙数据的长度尺度，计算成本，目标函数的规律性，以及近似和数值模拟的准确性的相互作用。
2021-10-27 cs.NA math.NA
A Nitsche Hybrid multiscale method with non-matching grids
提出了一种求解多尺度偏微分方程的Nitsche方法，该方法可以同时获得宏观信息和局部微观信息。对于系数有界且可测的二阶椭圆型问题，证明了该方法的收敛性。可以针对具有诸如周期性和遍历性的进一步结构的系数导出收敛的收敛速率。大量的数值结果证实了理论预测。
2022-03-02 cs.NA math.NA
Mixed Generalized Multiscale Finite Element Method for Flow Problem in Thin Domains
本文构造了一类求解二维薄区域上椭圆问题的粗网格上的混合广义多尺度有限元法。本文考虑在区域壁上具有齐次边界条件的椭圆型方程。作为问题的参考解决方案，我们在细网格上使用混合有限元法，该方法在网格级别上解决复杂的几何形状。为了构造一个低维模型，我们采用了基于速度场多尺度基函数的混合广义多尺度有限元法。基函数的构造基于局部快照空间，该局部快照空间考虑了粗糙单元之间的界面上的所有可能的流。为了减少快照空间的大小，并获得多尺度近似，我们解决了局部谱问题，以确定快照空间中的主导模式。我们提出了一个多尺度方法的收敛性分析。数值结果的二维问题，在三个测试几何形状，以及与不同数量的多尺度基函数用于速度场的误差。分别对具有均匀和非均匀性质的问题进行了数值研究。
2021-10-12 cs.NA math.NA
Error Analysis for Solving Elliptic Interface Problems with Randomized Neural Networks
Peking University（北京大学）；Chongqing Research Institute of Big Data, Peking University（北京大学重庆大数据研究院）；China University of Mining and Technology（中国矿业大学）
本文对随机神经网络求解椭圆界面问题进行了统一误差分析，推导了Barron函数积分表示和复合损失的O(n^{-1})泛化界，结合优化保证得到先验L^2误差估计，并通过数值实验验证。
2026-09-23 cs.NA math.NA
Application of Randomized Quadrature Formulas to the Finite Element Method for Elliptic Equations
线性椭圆型方程的有限元法的实现需要组装刚度矩阵和载荷向量。一般来说，这个矩阵-向量系统的元素不是明确已知的，而是需要通过求积规则来近似。如果微分算子或强迫项的系数函数不规则，则标准的求积公式（例如重心求积规则）可能不可靠。本文研究了两个随机求积公式在非正则系数椭圆型边值问题的有限元法中的应用。我们给出了这些方法的详细误差分析，讨论了它们的实现，并在几个数值实验中证明了它们的能力。
2019-08-23 cs.NA math.NA math.PR
Generalized Multiscale Finite Element Methods. Nonlinear Elliptic Equations
King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学）；Texas A&M University（德克萨斯农工大学）；Universidad Nacional de Colombia（哥伦比亚国立大学）
本文利用广义多尺度有限元方法框架解决具有高对比系数的非线性椭圆方程，通过线性化方程构建连续伽辽金和不连续伽辽金粗网格空间，展示CG和DG方法的有效性。
2013-04-18 cs.NA math.AP math.NA
I-MCHM: Interface Multicontinuum Homogenization for Multiscale Elliptic Problems
City University of Hong Kong（香港城市大学）；Shanghai Institute of Technology（上海应用技术大学）
针对高对比度多尺度椭圆问题，提出I-MCHM方法，通过构造双边约束局部基与界面修正的粗双线性形式，实现无逐点传输律的精准升尺度，经多几何数值实验验证有效性。
2026-08-03 cs.NA math.NA
Edge Multiscale Finite Element Methods
Eastern Institute for Advanced Study, Eastern Institute of Technology（东亚高等研究院，东方理工学院）；Department of Mathematics, The University of Hong Kong（香港大学数学系）
回顾边多尺度有限元方法在含异质系数或高振荡解的偏微分方程中的进展，以椭圆方程为例介绍方法关键思想，分析方法并考虑多尺度基函数离散误差，通过数值测试验证其性能。
2026-07-07 cs.NA math.NA
Learning elliptic partial differential equations with randomized linear algebra
University of Oxford（牛津大学）；Cornell University（康奈尔大学）
给定三维椭圆型偏微分方程的输入输出对，我们导出了第一个理论上严格的学习相关格林函数的方案$G$。通过利用$G$的层次低秩结构，我们表明，可以构建一个近似的$G$，几乎肯定收敛，并实现了$\mathcal{O}(Γ_ε^{-1/2}\log^3(1/ε)ε)$的相对误差最多使用$\mathcal{O}(ε^{-6}\log^4(1/ε))$输入输出训练对具有高概率，对于任何$0<ε<1$。数量$0<Γ_ε\leq 1$表征训练数据集的质量。一路上，我们扩展的随机奇异值分解算法学习矩阵的希尔伯特-施密特算子和PDE学习的协方差核的质量特征。
2022-01-21 cs.LG cs.NA math.NA
Adaptive Iterative Numerical Homogenization for Quasilinear Nonmonotone Elliptic PDE
Institut für Numerische Simulation, Universität Bonn（波恩大学数值模拟研究所）
针对多尺度拟线性非单调椭圆问题，提出基于Kačanov迭代与局部正交分解的自适应迭代数值均匀化方法，通过局部误差指示器自适应更新多尺度基函数，证明了收敛性并给出了先验误差估计。
2026-06-26 cs.NA math.NA
