Numerical solution of time-dependent problems with fractional power elliptic operator
Nuclear Safety Institute, Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院核安全研究所）；Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)（俄罗斯人民友谊大学）
本文研究了空间分数方程在有界域中的不稳问题，采用有限元空间逼近和两阶时间方案，通过构造Pade型近似公式求解分数幂椭圆算子的离散问题，验证了数值方法的有效性。
2017-04-12 cs.NA math.NA
A splitting scheme to solve an equation for fractional powers of elliptic operators
Nuclear Safety Institute, Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院核安全研究所）；North-Eastern Federal University（东北联邦大学）
本文提出一种分解方案，用于求解带有椭圆算子分数次幂的方程，通过有限差分法在空间中进行近似，并利用伪抛物方程的辅助柯西问题构造了无条件稳定的向量加法方案。
2015-05-15 cs.NA math.NA
Approximation of a fractional power of an elliptic operator
Nuclear Safety Institute, Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院核安全研究所）；Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)（俄罗斯人民友谊大学）
本文提出了一种更方便的积分表示法来近似椭圆算子的分数次幂，基于经典求积公式，并通过数值实验验证了求积公式的准确性，用于解决分数扩散的二维边界值问题。
2019-05-26 cs.NA math.NA
A Singularly Perturbed Boundary Value Problems with Fractional Powers of Elliptic Operators
North-Eastern Federal University（东北联邦大学）；Nuclear Safety Institute（核安全研究所）
研究了分数次幂椭圆算子的奇异摄动边界值问题，采用伪抛物型方程时间依赖问题进行数值求解，提出两阶段方案并验证了二维模型问题的数值结果。
2016-04-15 cs.NA math.NA
Fractional Elliptic Problems on Lipschitz Domains: Regularity and Approximation
本文主要研究Lipschitz域上线性和拟线性分式椭圆问题的正则性和逼近性之间的相互作用。对于线性狄利克雷积分拉普拉斯算子，在简要回顾了Hölder正则性及其应用之后，讨论了Besov空间中新的最优移位定理及其Sobolev对应定理.这些结果可推广到有限时域问题，并为以后的误差分析提供了依据。此外，我们详细讨论了Besov正则性到分数$p$ -Laplacian的推广，并回顾了分数极小图的正则性和粘性。我们使用连续分段线性有限元离散这些问题，并推导出线性问题的全局和局部误差估计，从而改善了一些现有的准均匀和梯度网格的误差估计。我们还提出了一个BPX预条件，这原来是强大的分数阶和水平的数量。最后给出了分数阶拟线性问题的离散化及其误差分析。我们用几个有启发性的数值实验来说明这个理论。
2022-12-28 cs.NA math.NA
Randomized Reduced Basis Methods for Parameterized Fractional Elliptic PDEs
本文针对参数化分数阶椭圆型PDEs的重复模拟，提出一种结合Kato积分公式、MPGMRES-Sh求解器和随机化快照压缩的高效降阶基方法，兼顾计算与内存效率。
2023-06-29 cs.NA math.NA
Convergence rates for the classical, thin and fractional elliptic obstacle problems
University of Maryland（马里兰大学）；George Mason University（乔治梅森大学）；University of Tennessee（田纳西大学）
本文研究了经典、薄壳和分数椭圆障碍问题的有限元近似，推导了解和自由边界误差估计，并基于最新正则性结果给出了最优误差分析，最后讨论了分数拉普拉斯算子的障碍问题局部化及近优收敛率证明。
2014-10-08 cs.NA math.NA
Numerical solving unsteady space-fractional problems with the square root of an elliptic operator
研究了有界区域上一类空间分数阶方程的非定常问题。一阶发展方程涉及二阶椭圆算子的平方根。采用空间有限元逼近。为了在时间上构造近似，使用正则化两层格式。数值实现是基于求解方程的椭圆算子的平方根使用辅助柯西问题的伪抛物型方程。时间上二阶精度的格式是基于三层显式Adams格式的正则化。更一般的问题与对流项的方程被认为是，太。数值实验的结果提出了一个模型的二维问题。
2015-10-28 cs.NA math.NA
Wavelet Galerkin method for fractional elliptic differential equations
School of Mathematics and Statistics, Gansu Key Laboratory of Applied Mathematics and Complex Systems, Lanzhou University（兰州大学数学与统计学院，甘肃省应用数学与复杂系统重点实验室）
本文提出小波伽辽金法用于求解分数椭圆偏微分方程，通过分析分数偏微分方程工作空间中的小波基底，利用矩阵的Toeplitz结构提升计算效率，数值实验验证了该方法的优越性。
2014-05-27 cs.NA math.NA
Model reduction for fractional elliptic problems using Kato's formula
本文提出了一种新的数值算法，利用模型降维计算涉及谱分数拉普拉斯算子的 stationary 偏微分方程的解。核心方法是利用已知的积分表达式，将其转化为连续和离散形式稳定的表达式，并采用降阶基方法进行积分的降维处理，最终实现多查询分数拉普拉斯问题的高效求解。
2019-04-19 cs.NA math.NA
Finite element and box-method discretizations for fractional elliptic problems with quadrature and mass lumping
King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学）
本文提出统一的线性分段框架，用于分数椭圆问题的有限元和盒子方法离散化，探讨了二次积分与质量 lumping 的影响，并通过数值实验验证了理论分析。
2026-08-11 cs.NA math.NA
The Best Uniform Rational Approximation: Applications to Solving Equations Involving Fractional powers of Elliptic Operators
在本文中，我们考虑一个特殊的数学问题，这个大面积的分数权力的自伴椭圆算子，定义由Dunford-Taylor积分或通过频谱的椭圆算子的表示。由于数学建模的各种非局部现象，使用这些运营商最近的一些数值方法求解方程涉及运营商的分数阶被引入，研究和测试。在这里，我们考虑从相应的椭圆问题的有限差分或有限元近似得到的这些问题的离散对应。在这份报告中，我们提供了所有必要的信息有关的最佳一致有理逼近（BURA）$r_{k,α}(t) := P_k(t)/Q_k(t)$的$t^α$对$[δ, 1]$的各种$α$，$δ$，和$k$。结果以160个表格的形式给出，其中包含$P_k(t)$和$Q_k(t)$的系数、$r_{k,α}(t)$的零点和极点、误差$t^α- r_{k,α}(t)$的极值点、用部分分数表示的$r_{k,α}(t)$等。我们提供了到文件的链接，这些文件具有表征$r_{k,α}(t)$的数据，这些数据具有足够的有效数字，因此可以在他的/自己的计算。
2019-10-30 cs.NA math.NA
Compact ADI method for solving two-dimensional Riesz space fractional diffusion equation
提出了求解二维Riesz空间分数阶扩散方程的紧致交替方向隐式（ADI）方法.在空间方向上使用的离散化方法的精度是相应的分数阶导数的阶数的两倍。通过矩阵分析方法证明了该方法的无条件稳定性，并讨论了收敛时的最大误差。几个数值例子被认为是旨在证明所提出的技术的有效性和适用性。
2020-04-18 cs.NA math.NA
A shooting-Newton procedure for solving fractional terminal value problems
针对分数阶终端值问题的数值求解需求，提出结合谱精度逐步初值求解方法的牛顿型打靶迭代方案，通过数值测试验证了方法的有效性。
2024-10-29 cs.NA math.NA
Solving time-fractional diffusion equations with Robin boundary conditions via fractional Hamiltonian boundary value methods
本文针对具有Robin边界条件的时间分数阶反应扩散问题，提出空间谱配点与时间分数阶哈密顿边值方法相结合的数值格式，证明了解的存在唯一性，并实现了时空谱精度。
2025-09-22 cs.NA math.NA
Solving FDE-IVPs by using Fractional HBVMs: some experiments with the fhbvm code
研究通过扩展 Matlab 代码 fhbvm 实现 Fractional HBVMs，并以数值实验验证该类方法求解 FDE-IVPs 的有效性。
2024-08-17 cs.NA math.NA
A Unified Rational Krylov Method for Elliptic and Parabolic Fractional Diffusion Problems
我们提出了一个统一的框架，有效地近似解方案的分数扩散问题的固定和抛物型。在离散化之后，我们可以采取这样的观点，即通过$f^{\boldsymbolτ}(L)\mathbf{b}$形式的矩阵-向量积获得解，其中$L$是空间算子的离散化矩阵，$\mathbf{b}$是预定向量，而$f^{\boldsymbolτ}$是参数函数，例如分数幂或Mittag-Leffler函数。在Stieltjes和完全Bernstein函数的抽象框架下，我们应用有理Krylov方法，并基于Zolotarëv最小偏差问题证明了当使用极点时的一致收敛性.后者特别适合于分数扩散，因为它们允许映射$\boldsymbolτ\mapsto f^{\boldsymbolτ}(L)\mathbf{b}$的有效查询，并且不会随着分数参数接近零而退化。我们还提出了各种新的和现有的极点选择策略，我们开发了一个可计算的错误证书。我们的数值实验包括时空分数扩散问题的详细参数研究，并比较我们的证书所预测的极点的性能。
2021-04-16 cs.NA math.NA
A Class of Second Order Difference Approximation for Solving Space Fractional Diffusion Equations
School of Mathematics and Statistics, Lanzhou University（兰州大学数学与统计学院）
提出加权移位Grünwald差分算子用于Riemann-Liouville分数阶导数，并应用于一维和二维空间分数阶扩散方程的数值求解，理论证明了稳定性与收敛性。
2012-03-07 cs.NA math.NA
Shifted Monic Ultraspherical Approximation for solving some of Fractional Orders Differential Equations
本文的目的是显示和解释一个新的公式，表示与最终的衍生物的移位Monic超非球面多项式（SMUPs）的任何次数和任何分数阶使用移位Monic超非球面多项式本身。我们还创建了一个直接法解决的线性或非线性多阶分数阶微分方程（FDES）的常系数涉及谱Galerkin方法。空间近似及其分数阶导数（在Caputo意义上描述）是使用移位的Monic Ultraspherical多项式建立的。
2021-03-18 cs.NA math.NA
A note on semilinear fractional elliptic equation: analysis and discretization
George Mason University（乔治梅森大学）；Technical University of Munich（慕尼黑工业大学）；University of Puerto Rico (Rio Piedras Campus)（波多黎各大学（里奥彼德拉斯校区））
本文研究了分数阶半线性椭圆方程解的存在性、正则性及近似问题，提出非线性项和源项的最小条件，通过Caffarelli-Silvestre扩展将分数阶拉普拉斯算子转化为Dirichlet到Neumann映射，并采用一阶张量积有限元空间进行近似，推导了先验误差估计并给出数值示例。
2016-07-21 cs.NA math.AP math.NA
Spectral analysis of a family of nonsymmetric fractional elliptic operators
在这项工作中，我们研究的谱问题$Au = λu$，其中$A$是一个分数椭圆算子涉及左，右侧的Riemann-Liouville导数。这些算子是非局部和非对称的，然而，共享某些经典的椭圆性质。特征值对应于一类特定特殊函数的根。与经典的Sturm-Liouville问题相比，最具挑战性的部分是建立分析这些非局部算子的框架，这需要开发新的工具。我们证明了实特征值的存在性，找到所有可能的复特征值的范围，探索本征函数的图形，并显示在复平面上的特征值分布的数值结果。
2022-12-22 cs.NA math.AP math.NA
Moreau-Yosida Regularization for Optimal Control of Fractional Elliptic Problems with State and Control Constraints
最近，作者研究了一个以分数阶椭圆型偏微分方程为约束的状态和控制约束最优控制问题。本文的目标是继续该计划前进，并介绍一种算法来解决这样的最优控制问题。我们将采用著名的Moreau-Yosida正则化来处理状态约束。类似于经典的情况下，我们建立了收敛（率）的正则化控制问题的原始。我们用有限元法离散问题，并建立我们的数值方案的收敛性。我们强调，由于分数拉普拉斯算子的非光滑性质，经典情况下的证明不适用于分数情况。数值实验证实了我们所有的理论发现。
2019-12-10 cs.NA math.AP math.NA
Optimal Control of Fractional Elliptic PDEs with State Constraints and Characterization of the dual of Fractional Order Sobolev Spaces
George Mason University（乔治梅森大学）；University of Puerto Rico, Rio Piedras Campus（波多黎各大学里奥彼德拉斯校区）
本文研究了由分数阶椭圆PDEs支配的最优控制问题中的状态约束，开发了多种数学工具，如分数阶Sobolev空间的对偶空间刻画和分数PDEs的测度值数据的适定性，推导了最优控制问题的适定性并得到一阶最优性条件，强调了经典情况（s=1）已被E.Casas研究，但现有结果难以直接应用于分数阶情况。
2019-05-31 cs.NA math.AP math.NA
A Numerical Approach for Solving of Fractional Emden-Fowler Type Equations
本文提出利用分数阶微分变换（FDT）求解分数阶 Emden-Fowler 型微分方程的奇异初值问题，将解表示为快速可计算的收敛级数，数值实验验证了该方法正确、准确且易于实现。
2019-01-08 cs.NA math.CA math.NA
Weak convergence of Galerkin approximations for fractional elliptic stochastic PDEs with spatial white noise
Chalmers University of Technology and University of Gothenburg（查尔姆斯理工大学和哥德堡大学）
本文研究了带有空间白噪声的分数椭圆随机偏微分方程解的数值近似问题，采用有限元空间离散和分数逆算子的积分表示的四次近似，推导了弱收敛率并验证了理论结果。
2018-08-09 cs.NA math.NA stat.ME
Laplace-fPINNs: Laplace-based fractional physics-informed neural networks for solving forward and inverse problems of subdiffusion
Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）
本文提出Laplace-fPINNs方法，通过避免引入辅助点和简化损失函数，有效解决了分数阶扩散方程正反问题中自动微分不适用于分数阶导数的挑战。
2023-04-03 cs.LG cs.NA math.NA
A Scalable Framework for Solving Fractional Diffusion Equations
分数阶微分算子的研究在许多科学领域重新受到重视。为了适应研究人员在这些领域的工作，有必要高度可扩展的数值方法来解决偏微分方程，涉及分数阶算子的复杂几何形状。这些算子具有理想的特殊性质，这些性质也改变了计算考虑因素，从而破坏了传统方法，并使某些其他方法更具吸引力。我们已经开发了一个可扩展的框架来解决分数阶扩散方程使用这样的方法，特别是本征函数展开的方法。在本文中，我们将讨论具体的并行化策略，用于有效地计算完整的特征值和特征向量的离散拉普拉斯特征值问题，并将其应用于构建近似解决方案，我们的分数阶模型问题。此外，我们证明了该方法的性能的Frontera计算集群和简单的几何形状，使用已知的精确解的方法的准确性。
2019-11-27 cs.DC cs.NA math.NA
A new approach to solving multi-order fractional equations using BEM and Chebyshev matrix
本文将边界元法与Chebyshev运算矩阵技术相结合，求解二维多阶时间分数阶偏微分方程，分别为关于空间变量的非线性和关于时间变量的线性。分数阶导数是用Caputo意义估计的。用边界元法将问题转化为一个多阶分数阶常微分方程的问题。然后，利用Chebyshev运算矩阵技术对产生的系统进行逼近，并分析了其条件数。通过数值求解三种不同类型的二维时间分数阶对流-扩散方程，验证了该混合格式的精度和效率。计算了边界元技术在不同网格划分下的收敛速度。数值结果以图表的形式给出了解和不同类型的误差范数。
2020-02-17 cs.NA math.AP math.NA
Fractional Elliptic Quasi-Variational Inequalities: Theory and Numerics
George Mason University（乔治梅森大学）；Humboldt Universität zu Berlin（柏林洪堡大学）
本文研究了具有分数扩散的椭圆准变分不等式问题，提出了一种新的求解方法，并通过数值示例验证了其有效性。
2017-12-19 cs.NA math.AP math.NA
Semilinear fractional elliptic PDEs with gradient nonlinearities on open balls: existence of solutions and probabilistic representation
针对高维球域上带梯度非线性的分数阶半线性椭圆PDE，提出基于α-稳定分支过程的树状概率表示法，无需梯度非线性的多项式阶条件即可证明粘性解存在，且在10维下精度优于确定性有限差分法。
2024-06-24 cs.NA math.AP math.NA
