Most probably trangle-free graphs
Northwestern Polytechnical University（西北工业大学）
本文研究了在超过无三角形图最大边数的情况下，通过概率方法最大化无三角形图概率的问题，并确定了特定边数情况下的精确最大概率。
2026-02-26 math.CO
On the $4$-clique cover number of graphs
本研究针对t≥4时t-团覆盖数由Turán图T_{n,t}最大化的猜想，结合归纳框架、贪心划分等新技术，证实了t=4时的猜想，推进了团覆盖数极值问题的研究。
2025-06-12 math.CO
An improved upper bound for the domination number of a graph
Ramco Institute of Technology（拉姆科理工学院）；National Institute of Technology Karnataka（卡纳塔克国立技术学院）；Indian Institute of Science（印度科学学院）
本文研究了图的支配数上界问题，提出必要条件和充分条件，并证明了某些图的支配数判断可在多项式时间内完成。
2024-01-16 cs.DM math.CO
Reconstruction from $k$-decks for graphs with maximum degree 2
图的$k$ -deck是图的$k$顶点上的诱导子图的集合。证明了具有最大度$2$的$n$ -顶点图具有相同的$k$ -deck，如果每个圈至少有$k+1$顶点，每个路分量至少有$k-1$顶点，且边数相同.使用这一下界，我们得到的最大程度的最多$2$每个图的最小$k$，使它是由它的$k$ -甲板。对于$n$ -顶点循环，此值为$\lfloor n/2 \rfloor$，对于$n$ -顶点路径，此值为$\lfloor n/2 \rfloor+1$。而且，使得$n$顶点图的$k$ -deck总是确定它是否连通的最小$k$至少是$\lfloor n/2 \rfloor +1$ .
2016-09-01 math.CO
On the maximum order of graphs embedded in surfaces
最大度$Δ\ge 3$和固定直径$k\ge 2$的图的最大顶点数的上界是$(1+o(1))(Δ-1)^{k}$。如果我们将我们的图限制在某些类，则已知更好的上界。例如，对于树类，对于固定的$k$，存在$(2+o(1))(Δ-1)^{\lfloor k/2\rfloor}$的上界。本文的主要结果是，嵌入在有界欧拉属$g$表面的图形表现得像树，在这个意义上说，对于大$Δ$，这样的图有从上界的顺序由\[begin{cases} c(g+1)(Δ-1)^{\lfloor k/2\rfloor} & \text{if $k$ is even} c(g^{3/2}+1)(Δ-1)^{\lfloor k/2\rfloor} & \text{if $k$ is odd}, \{cases}\]其中$c$是一个绝对常数。这个结果代表了一个定性的改进，在所有以前的结果，即使是平面图的奇数直径$k$。关于下界，我们构造了欧拉亏格$g$，奇直径$k$和阶$c(\sqrt{g}+1)(Δ-1)^{\lfloor k/2\rfloor}$的图，对于某些绝对常数$c>0$。我们的结果回答了Miller和Širáregon（2005）的一个否定问题。
2015-12-11 math.CO
On Hamiltonian cycles in balanced $k$-partite graphs
对于所有整数$k$和$k\geq 2$，如果$G$是$n\geq 3$顶点上的平衡$k$ -部图，最小度至少为\[ \left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil+\left\lfloor\frac{n+2}{2\lceil\frac{k+1}{2}\rceil}\right\rfloor-\frac{n}{k}=\begin{cases} \lceil\frac{n}{2}\rceil+\lfloor\frac{n+2}{k+1}\rfloor-\frac{n}{k} & : k \text{ odd }\\ \frac{n}{2}+\lfloor\frac{n+2}{k+2}\rfloor-\frac{n}{k} & : k \text{ even } \end{cases}, \]，则$G$有哈密尔顿圈，除非$k=2$和4整除$n$，或$k=\frac{n}{2}$和4整除$n$ .在$k=2$和4整除$n$，或$k=\frac{n}{2}$和4整除$n$的情况下，我们可以刻画没有哈密尔顿圈的图，并看到$\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil+\left\lfloor\frac{n+2}{2\lceil\frac{k+1}{2}\rceil}\right\rfloor-\frac{n}{k}+1$就足够了。对于所有$k\ge…
2020-05-27 math.CO
List star edge coloring of generalized Halin graphs
一个星$k$ -边染色是一个真边染色，使得不存在长度为4的双色路或圈。使得$G$允许一个星$k$ -边染色的最小整数$k$是$G$的星色指数。Deng \etal \cite{MR2933839}，和Behauv {á} \etal \cite{MR3431294}独立证明了树的星色指数至多为$\lfloor \frac{3Δ}{2} \rfloor$，且界是尖锐的。Han \etal \cite{MR3924408}将这一结果进一步推广到树的列表型星色指数，并证明了$\lfloor \frac{3Δ}{2} \rfloor$也是树的列表型星色指数的一个尖锐上界。广义Halin图是一个平面图，它由树$T$和$Δ(T) \geq 3$的平面嵌入，以及连接树的所有叶子的圈$C$组成，使得$C$是外表面的边界。本文证明了：若$H := T \cup C$是具有$|C| \neq 5$的广义Halin图，则它的列星色数至多为\[ \max\left\{\left\lfloor\frac{θ(T) + Δ(T)}{2}\right\rfloor, 2 \left\lfloor\frac{Δ(T)}{2}\right\rfloor + 7\right\}, \]，其中$θ(T) = \max_{xy \in E(T)}\{d_{T}(x) + d_{T}(y)\}$ .因此，如果$H$是一个具…
2021-06-21 math.CO
Drawings of complete graphs in the projective plane
希尔猜想指出，完全图$K_n$在平面（相当于球面）中的交叉数$\text{cr}(K_n)$是$\frac{1}{4}\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lfloor\frac{n-2}{2}\rfloor\lfloor\frac{n-3}{2}\rfloor=n^4/64 + O(n^3)$。月球证明，预期的交叉点的数目在一个球面图中，其中的点是随机分布和加入测地线正是$n^4/64+O(n^3)$，从而匹配渐近的固定值的$\text{cr}(K_n)$。用$\text{cr}_P(G)$表示图$G$在射影平面上的交叉数。最近，Elkies证明了$K_n$的自然定义的随机射影平面图中的期望交叉数是$(n^4/8π^2)+O(n^3)$。在类比的关系月亮的结果希尔猜想，埃尔基问，如果$\lim_{n\to\infty} \text{cr}_P(K_n)/n^4=1/8π^2$。我们在射影平面上构造$K_n$的绘图，证明这一点是错误的。
2021-03-18 math.CO
Hadwiger numbers of self-complementary graphs
图$G$的Hadwiger数记为$h(G)$，是图$G$的最大完全子式的阶。如果一个图与它的补图同构，则称它是自补图。证明了对所有$n\equiv 0,1 (\text{mod 4})$和所有$ \lfloor \dfrac{n+1}{2} \rfloor \le h \le \lfloor \dfrac{3n}{5}\rfloor $，存在一个自补图$G$，其$n$的顶点的Hadwiger数为$h$ .
2018-04-12 math.CO
The $r$-matching sequencibility of complete graphs
阿尔斯帕赫[布尔.应用程序、52（2008），pp. 7-20]定义了图$G$的最大匹配可序性，记为$ms(G)$，即$G$的边的排序使得每个$s$连续边形成一个匹配的最大整数$s$。Alspach还证明了$ms(K_n) = \bigl\lfloor\frac{n-1}{2}\bigr\rfloor$ . Brualdi et al. [ Australas. J. Combin.，53（2012），pp. 245-256]将图$G$的循环匹配可序性的定义推广到了图$cms(G)$的循环匹配可序性，并证明了$cms(K_n) = \bigl\lfloor\frac{n-2}{2}\bigr\rfloor$ .在本文中，我们推广这些定义，要求每一个$s$连续的边缘形成一个子图，其中每个顶点的度最多$r\geq 1$，我们表示的最大数为一个图$G$的$ms_r(G)$和$cms_r(G)$的非循环和循环的情况下，分别。我们猜想$ms_r(K_n) = \bigl\lfloor\frac{rn-1}{2}\bigr\rfloor$和${\bigl\lfloor\frac{rn-1}{2}\bigr\rfloor-1}~ \leq cms_r(K_n) \leq \bigl\lfloor\frac{rn-1}{2}\bigr\rfloor$，并且对于某些$r$和$n$，这两个界都是成立的…
2018-11-14 math.CO
On the existence problem of the total domination vertex critical graphs
关于全控制点临界图的存在性问题，已有一系列的文章进行了研究。本条的目的有两个。首先，我们解决了关于全控制数m和最大度Delta的奇偶性的存在性问题：对于除m=4以外的偶数m，不存在m-γ_t-临界图，而不管Delta的奇偶性如何;对于m=4或奇数m \ge 3，对于偶数Delta，存在m-γ_t-临界图当且仅当Delta \ge 2 \lfloor \frac{m-1}{2} \rfloor ;对于m=4或奇数m \ge 3，对于奇数Delta，如果Delta \ge 2 \lfloor \frac{m-1}{2} \rfloor +7，则存在m-gamma_t-临界图，如果Delta < 2 \lfloor \frac{m-1}{2} \rfloor，则不存在m-gamma_t-临界图。仅有的剩余开放情况是Delta = 2 \lfloor \frac{m-1}{2} \rfloor +k，k=1，3，5。第二，我们研究这些剩余的开放的情况下，当m=4或奇数m \ge 9。作为m = 3的已知结果，我们还证明了对于Delta（G）= 3，5，7，不存在阶为Delta（G）+4的4-gamma_t-临界图.相反，它表明，对于奇数m \ge 9存在一个m-gamma_t-临界图的所有德尔塔\ge m-1。
2010-01-06 math.CO
Spectral supersaturation: Triangles and bowties
本文利用超饱和-稳定性方法证明了Ning-Zhai三角形结果的稳定性变体，并首次针对非色临界子结构（领结图）提出了谱超饱和定理，为其他非色临界图的谱计数提供了可行方法。
2025-07-17 math.CO
Spectral Radius of Graphs with Size Constraints: Resolving a Conjecture of Guiduli
本文解决了 Guiduli 关于满足遗传有界性质 $P_{t,r}$ 的图谱半径猜想，通过引入新颖势函数并结合边平移操作证明了谱半径上界，且完整刻画了达到该界限的极值图结构。
2025-03-03 math.CO
Extremed signed graphs for triangle
本文研究了带号图的Turán问题。设$\dot{G}$是一个具有$e(\dot{G})$边和$e^-(\dot{G})$负边的$n$阶连通不平衡符号图，$ρ(\dot{G})$是$\dot{G}.$的谱半径。（PDMATHAMT）从具有$V(K_{n-2})=\{u_1,\dots,u_s,v_1,\dots,v_t\}$的全阳性团$(K_{n-2},+)$获得（$s,t\ge 1$）和两个孤立顶点$u$和$v$通过添加负边$uv$和正边$uu_1,\dots,uu_s,vv_1,\dots,vv_t.$首先，我们证明了如果$\dot{G}$是$C_3^-$ -free的，则$e(\dot{G})\le \frac{n(n-1)}{2}-(n-2),$具有相等性当且仅当$\dot{G}\sim \dot{G}^{s,t}.$此外，$e^-(\dot{G}^{s,t})\le \lfloor\frac{n-2}{2}\rfloor\lceil\frac{n-2}{2}\rceil+n-2,$具有相等性当且仅当$\dot{G}^{s,t}= \dot{G}_U^{\lfloor\frac{n-2}{2}\rfloor,\lceil\frac{n-2}{2}\rceil},$其中$\dot{G}_U^{\lfloor\frac{n-2}{2}\rfloor,\lceil\frac{n-2…
2022-12-22 math.CO
More on spectral supersaturation for the bowtie
Chuzhou University（滁州学院）；Tsinghua University（清华大学）；East China University of Science and Technology（华东理工大学）
本文研究了bowtie的谱超饱和问题，证明了当图的谱半径达到一定阈值时，图中必须包含一定数量的bowtie结构。
2026-01-08 math.CO
Edge-disjoint Hamilton cycles in random graphs
我们发现，提供$\log^{50} n/n \leq p \leq 1 - n^{-1/4}\log^9 n$，我们可以以很高的概率找到一个集合的$\lfloor δ(G)/2 \rfloor$边不相交的汉密尔顿循环$G \sim G_{n, p}$，加上一个额外的边不相交匹配的大小$\lfloor n/2 \rfloor$，如果$δ(G)$是奇数。对于上述$p$的范围，这证实了Frieze和Krivelevich的猜想。
2013-05-08 math.CO
Bipartite Ramsey numbers of large cycles
对于整数$r\geq 2$和二部图$H_i$，其中$1\leq i\leq r$，二部Ramsey数$br(H_1,H_2,\ldots,H_r)$是最小整数$N$，使得完全二部图$K_{N,N}$的任何$r$ -边染色包含与$H_i$在颜色$i$上同构的单色子图，对于某些$i$，$1\leq i\leq r$。我们发现，对于$α_1,α_2>0$，$br(C_{2\lfloor α_1 n\rfloor},C_{2\lfloor α_2 n\rfloor})=(α_1+α_2+o(1))n$。我们还表明，如果$r\geq 3, α_1,α_2>0, α_{j+2}\geq [(j+2)!-1]\sum^{j+1}_{i=1} α_i$为$j=1,2,\ldots,r-2$，那么$br(C_{2\lfloor α_1 n\rfloor},C_{2\lfloor α_2 n\rfloor},\ldots,C_{2\lfloor α_r n\rfloor})=(\sum^r_{j=1} α_j+o(1))n.$为$ξ>0$和足够大的$n$，让$G$是一个二分图，二分$\{V_1,V_2\}$，$|V_1|=|V_2|=N$，其中$N=(2+8ξ)n$。证明了如果$δ(G)>(\frac{7}{8}+9ξ)N$，则$G$的任何$2$ -边着色都包含$C_{2n}$的单色拷贝.
2018-08-31 math.CO
Large matchings in bipartite graphs have a rainbow matching
令$g(n)$为使得二部图中的每个$n$匹配集合（每个的大小至少为$g(n)$）具有全彩虹匹配的最小数。Aharoni和Berger \cite{AhBer}证明了每个$n>1$的$g(n)=n+1$。这概括了Ryser，Brualdi和Stein的着名作品。最近，Aharoni，Charbit和Howard \cite{ACH}证明了$g(n)\le\lfloor\frac{7}{4}n\rfloor$。我们证明了$g(n)\le\lfloor\frac{5}{3} n\rfloor$ .
2013-10-21 math.CO
A stability version for a theorem of Erdős on nonhamiltonian graphs
设$n, d$为整数，其中$1 \leq d \leq \left \lfloor \frac{n-1}{2} \right \rfloor$为整数，并设置$h(n,d):={n-d \choose 2} + d^2$和$e(n,d):= \max\{h(n,d),h(n, \left \lfloor \frac{n-1}{2} \right \rfloor)\}$。因为$h(n,d)$在$d$中是二次的，所以存在$d_0(n)=(n/6)+O(1)$使得$e(n,1)> e(n, 2)> \dots >e(n,d_0)=e(n, d_0+1)=\dots = e(n,\left \lfloor \frac{n-1}{2} \right \rfloor)$。Erdens的一个定理指出，对于$d\leq \left \lfloor \frac{n-1}{2} \right \rfloor$，任何具有最小度$δ(G) \geq d$的$n$ -顶点非哈密顿图$G$最多有$e(n,d)$边，而对于$d > d_0(n)$，唯一清晰度的例子就是图$K_n-E(K_{\lceil (n+1)/2\rceil})$。Erdibs还为每个$1\leq d \leq d_0(n)$提供了一个清晰度示例$H_{n,d}$。我们证明了如果$d< d_0(n)$和一个$2$连通的、非Hamilton的$…
2017-04-05 math.CO
An upper bound on the Wiener Index of a k-connected graph
一个连通图的Wiener指数是图的无序顶点对之间的所有距离之和。本文给出了整数$n-1>k \ge 1$：\[W(G) \le \frac{1}{4} n \lfloor \frac{n+k-2}{k} \rfloor (2n+k-2-k\lfloor \frac{n+k-2}{k} \rfloor).\]的$k$ -连通图$G$的Wiener指标的一个上界，并证明了当$k \ge 2$是偶数时，这个上界是尖锐的，并且可以由Harary图$H_{k,n}$的Wiener指标得到.
2018-11-06 math.CO
The burning number conjecture holds for trees of order $n$ with at most $\left\lfloor \sqrt{n-1}\right\rfloor$ degree-2 vertices
本文围绕图的燃烧数猜想展开，推导得出含$n_2$个2度顶点的$n$阶树的燃烧数上界公式，进而证实该猜想对2度顶点数不超过$\lfloor\sqrt{n-1}\rfloor$的$n$阶树成立。
2025-09-05 math.CO
Null and non--rainbow colorings of projective plane and sphere triangulations
对于$n\geq 4$阶的极大可平面图，我们证明了不含彩虹面的顶点着色最多使用$\lfloor\frac{2n-1}{3}\rfloor$颜色，这是最好的可能。对于嵌入在射影平面上的极大图，我们得到了类似的最佳界$\lfloor\frac{2n+1}{3}\rfloor$。在证明的主要成分是经典的同调工具。通过将图看作拓扑空间，引入了零染色的概念，证明了对任何图$G$，极大零染色$f$使得商图$G/f$是森林.
2012-10-25 math.CO
Equitably Coloring Planar and Outerplanar Graphs
本文研究平面图与外平面图的公平染色问题，证明外平面图在颜色数至少为6时必要染色条件充分，并给出平面图在颜色数至少为40时的充分必要条件。
2025-09-22 math.CO
Maximum spread of $K_{2,t}$-minor-free graphs
本文研究不含$K_{2,t}$-子式的$n$顶点图的最大谱展，刻画了达到最大谱展的极图结构及其唯一性例外情形，并给出相关参数$ξ_t$的显式公式。
2023-07-20 math.CO
Disproof of a conjecture on the minimum spectral radius and the domination number
本文否定了Liu, Li和Xie关于奇数n下具有特定控制数图集中最小谱半径极小化图的猜想，并完全确定了该情形下唯一的极小化图。
2023-07-28 math.CO
A spectral Lovász-Simonovits theorem
Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（清华大学丘成桐数学科学中心）；School of Mathematics and Statistics, Central South University（中南大学数学与统计学院）；School of Mathematics, Hunan University（湖南大学数学学院）
本文提出谱Lovász-Simonovits定理，研究图的谱半径与三角形数量的关系，证明了在特定条件下图中三角形数量的下限，并探讨了谱稳定性问题。
2026-03-18 math.CO
Extremal triangle-free graphs with chromatic number at least four
本文将非二分无三角形图的 Erdős–Gallai/Andrásfai 边数极值结果推广到色数至少为四的情形，证明 $n\geq90$ 时边数至多为 $\lfloor(n-3)^2/4\rfloor+5$，并由 Grötzsch 图膨胀图证明其紧性。
2025-10-19 math.CO
Graded Betti numbers of some circulant graphs
该研究计算了三类循环图边理想的$\mathbb{N}$-分次Betti数，并探讨了相关图的正则度、投射维数等代数与组合性质，以及其满足well-covered、Cohen-Macaulay等性质的条件。
2020-07-05 math.CO
Independent domination of graphs with bounded maximum degree
图的独立控制集，也称为极大独立集，是两两不邻顶点的集合$S$，使得不在$S$中的每个顶点都与$S$中的某个顶点相邻。证明了对于$Δ=4$或$Δ\ge 6$，每个最大度至多为$Δ$的连通$n$ -顶点图都有一个大小至多为$(1-\fracΔ{\lfloorΔ^2/4\rfloor+Δ})(n-1)+1$的独立控制集.此外，我们还刻画了所有连通图具有相等性，并证明了其他连通图具有一个大小至多为$(1-\fracΔ{ \lfloorΔ^2/4\rfloor+Δ})n$的独立控制集。
2022-10-25 math.CO
Closing in on Hill's conjecture
借用László Székely的生动表达，我们证明了Hill猜想“渐近至少98.5%正确”。这个长期存在的猜想指出，对于所有的$n\ge 3$，完全图$K_n$的交叉数cr（$K_n$）是$H(n) := \frac{1}{4}\lfloor \frac{n}{2}\rfloor \lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor \lfloor \frac{n-2}{2}\rfloor \lfloor\frac{n-3}{2}\rfloor$。仅对$n\le 12$进行了验证。利用旗代数，Norin和Zwols得到了完全二部图交叉数的最著名的渐近下界，由此得出，对于每一个充分大的$n$，cr $(K_n) > 0.905\, H(n)$。利用旗代数，证明了渐近cr $(K_n)$至少是$0.985\, H(n)$ .我们还证明了$K_n$的球面测地交叉数渐近地至少为$0.996\, H(n)$。
2018-10-25 math.CO
Proof of a conjecture on eigenvalues of transposition graph
该研究针对对称群上由所有对换生成的对换图$Cay(S_n,T_n)$，证明了特定区间内的所有整数均为其特征值，解决了Kravchuk近期提出的相关猜想。
2025-06-17 math.CO
Isomorphisms between random graphs
考虑两个独立的Erdens-Rényi $G(N,1/2)$图。证明了当概率趋于$1$ as $N\to\infty$时，最大诱导同构子图的大小为$\lfloor x_N-\varepsilon_N\rfloor$或$\lfloor x_N+\varepsilon_N \rfloor$，其中$x_N=4\log_2 N -2 \log_2 \log_2 N - 2\log_2(4/e)+1$和$\varepsilon_N = (4\log_2 N)^{-1/2}$ .使用类似的技术，我们还表明，如果$Γ_1$和$Γ_2$是独立的$G(n,1/2)$和$G(N,1/2)$随机图，那么$Γ_2$包含一个同构的副本$Γ_1$作为诱导子图具有高概率，如果$n\le \lfloor y_N - \varepsilon_N \rfloor$和不包含一个同构的副本$Γ_1$作为诱导子图具有高概率，如果$n>\lfloor y_N+\varepsilon_N \rfloor$，其中$y_N=2\log_2 N+1$和$\varepsilon_N$如上。
2022-12-30 math.CO math.PR
Stability results on the circumference of a graph
在本文中，我们推广和改进以前的Turán型结果的图具有给定的周长。令$W_{n,k,c}$是通过添加$n-(c-k+1)$孤立顶点而从团$K_{c-k+1}$获得的图，每个孤立顶点连接到团的相同$k$顶点，并且令$f(n,k,c)=e(W_{n,k,c})$。Kopylov改进了Erdés和Gallai的一个著名定理，证明了对于$c<n$，任何2-连通图$G$在$n$顶点上且周长为$c$，至多有$\max{f(n,2,c),f(n,\lfloor\frac{c}{2}\rfloor,c)}$边.最近，Füredi等人证明了Kopylov定理的稳定性版本。他们的主要结果指出，如果$G$是一个2-连通图的$n$顶点与周长$c$，使$10\leq c<n$和$e(G)>\max{f(n,3,c),f(n,\lfloor\frac{c}{2}\rfloor-1,c)}$，那么要么$G$是一个子图的$W_{n,2,c}$或$W_{n,\lfloor\frac{c}{2}\rfloor,c}$，或$c$是奇数和$G$是一个成员的两个良好的特点，我们定义为$\mathcal{X}_{n,c}$和$\mathcal{Y}_{n,c}$的家庭。我们证明了如果$G$是一个2-连通图，其$n$顶点的最小度至少为$k$，周长为$c$，使得$10\leq c<n$和$e(G)>\max{f(n,k+1,c)…
2019-01-23 math.CO
On The b-Chromatic Number of Regular Graphs Without 4-Cycle
图$G$的b-色数，记为$ϕ(G)$，是$G$允许正常$k$ -染色使得每个色类都有一个顶点与其他色类中的至少一个顶点相邻的最大整数$k$.本文证明了：对每个不含4-圈的$d$ -正则图$G$，有$ϕ(G)\geq\lfloor\frac{d+3}{2}\rfloor$，若$G$有三角形，则有$ϕ(G)\geq\lfloor\frac{d+4}{2}\rfloor$ .另外，如果$G$是一个不含4-圈和$diam(G)\geq6$的$d$ -正则图，则有$ϕ(G)=d+1$ .最后，我们证明了对任何不含4-圈和$κ(G)\leq\frac{d+1}{2}$的$d$ -正则图$G$，$ϕ(G)=d+1$ .
2011-03-08 math.CO
Degrees in link graphs of regular graphs
本文分析了有限正则图，即由非平凡球面导出的子图的连接图的度的一个极值问题。我们表明，如果$G$是$d$ -正则和连接，但不完全，然后一些链接图的$G$有最小程度最多$\lfloor 2d/3\rfloor-1$，如果$G$是足够大的$d$，然后一些链接图有最小程度最多$\lfloor d/2\rfloor-1$，这两个界限是最好的可能。我们也给出了相应的最佳可能的结果，相应的问题，球诱导的子图，而不是领域，被认为是。我们激发这些问题提出了一个猜想，在大有界度图的链接图的扩展，连同启发式的理由。
2022-04-05 math.CO
A strengthening on odd cycles in graphs of given chromatic number
Gyárfás解决了Bollobás和Erdás的一个猜想，证明了每个具有色数$k+1\geq 3$的图$G$包含具有$\lfloor\frac{k}{2}\rfloor$不同奇长的圈。我们加强这一突出的结果表明，这样的$G$包含周期的$\lfloor\frac{k}{2}\rfloor$连续奇数长度。一路上，结合极值和结构工具，我们证明了一个更强的声明，每个图的色数$k+1\geq 7$包含$k$周期的连续长度，除了一些块是$K_{k+1}$。作为推论，这证实了Verstraëte的一个猜想，并回答了Moore和West的一个问题。
2021-04-06 math.CO
On the local metric dimension of $K_5$-free graphs
Center for Combinatorics and LPMC, Nankai University（南开大学组合数学与LPMC中心）；School of Mathematical Sciences, Xinjiang Normal University（新疆师范大学数学科学学院）
本文研究无$K_5$图的局部度量维数，证明当团数$\omega(G)=4$时其局部度量维数不超过$\lfloor\frac{2}{3}n(G)\rfloor$，结合已有成果确立无$K_5$图在不同团数下的局部度量维数上界，为相关猜想提供正面回答。
2025-11-17 math.CO
Books versus triangles at the extremal density
Mantel的一个著名结果表明，$n$顶点上的每个有$\lfloor n^2/4 \rfloor + 1$边的图必包含一个三角形.拉德马赫（Rademacher）给出了这个结果的一个强有力的版本，即在任何这样的图中，事实上至少必须有$\lfloor n/2 \rfloor$三角形。另一个加强，由于共同努力，许多作者开始与Erdabins说，任何这样的图必须有一个边缘，其中包含至少$n/6$三角形。继Mubayi之后，我们研究了这两个结果之间的相互作用，即，在这样的图中的三角形的数量和它们的书号之间，共享一条边的三角形的最大数量。在其他结果中，Mubayi表明，对于任何$1/6 \leq β< 1/4$，存在$γ> 0$，使得$n$顶点上的任何图至少包含$\lfloor n^2/4\rfloor + 1$边和最多$βn$的书号，至少包含$(γ-o(1))n^3$三角形。他还要求就$β$对$γ$作出更准确的估计。我们提出了一个猜想，这种依赖关系，并证明这一猜想$β= 1/6$和$0.2495 \leq β< 1/4$，从而回答Mubayi的问题，在这些范围内。
2019-10-20 math.CO
On $k$-ordered Hamiltonian Graphs
一个阶为$n$的哈密尔顿图$G$是$k$ -序的，$2\leq k \leq n$，如果对于$G$的每个$k$不同顶点的序列$v_1, v_2, \ldots ,v_k$，存在一个哈密尔顿圈，它以这个顺序遇到$v_1, v_2, \ldots , v_k$.本文回答了Ng和Schultz提出的一个问题，在适当的限制条件下，给出了保证图是$k$ -序Hamilton图的最小度的一个精确界。更精确地说，我们证明了存在$\varepsilon, n_0> 0$，使得如果$G$是一个$n\geq n_0$阶图，其最小度至少为$\lceil \frac{n}{2} \rceil + \lfloor \frac{k}{2} \rfloor - 1$和$2\leq k \leq \eps n$，则$G$是一个$k$ -阶Hamilton图.它还表明，这个界限是尖锐的每$2\leq k \leq \lfloor \frac{n}{2} \rfloor$。
1996-12-04 math.CO
Diameter of orientations of graphs with given order and number of blocks
本研究针对给定阶数和块数的无桥图，推导得出定向直径的紧上界，并进一步给出无桥块图定向直径分奇偶情形的上界结果。
2023-08-25 math.CO
The generalized connectivity of complete bipartite graphs
设$G$是一个阶为$n$的非平凡连通图，$k$是一个具有$2\leq k\leq n$的整数.对于$G$的$k$顶点的集合$S$，令$κ(S)$表示$G$中的边不相交树$T_1,T_2,...,T_\ell$的最大数目$\ell$，使得对于具有$1\leq i,j\leq \ell$的每个不同整数对$i,j$，$V(T_i)\cap V(T_j)=S$。Chartrand等人将连通性的概念概括如下：$G$的$k$-$connectivity$，用$κ_k(G)$表示，由$κ_k(G)=$ min $\{κ(S)\}$定义，其中最小值取$V(G)$的所有$k$ -子集$S$。因此，$κ_2(G)=κ(G)$，其中$κ(G)$是$G$的连通性。此外，$κ_{n}(G)$是$G$的边不相交生成树的最大数目。本文主要研究了完全二部图PDMATHBNF的PDMATHBMO-连通性.首先，我们得到了$K_{a,b}$的边不交生成树的个数，即$\lfloor\frac{ab}{a+b-1}\rfloor$，并具体给出了$\lfloor\frac{ab}{a+b-1}\rfloor$边不交生成树。在此基础上，我们得到了所有$2\leq k \leq a+b$的$K_{a,b}$的$k$连通性.即，如果$k>b-a+2$和$a-b+k$是奇数，则$κ_{k}(K_{a,b})=\frac{a+b-k…
2010-12-28 math.CO
A note on a Caro-Wei bound for the bipartite independence number in graphs
二部图$G$中尺寸为$t$的双洞是$G$的二部补图中$K_{t,t}$的副本。给定一个$n \times n$二部图$G$，设$β(G)$是最大的$k$，其中$G$有一个大小为$k$的双洞。我们证明了\[ β(G) \geq \left \lfloor \frac{1}{2} \cdot \sum_{v \in V(G)} \frac{1}{d(v)+1} \right \rfloor. \]。此外，我们证明了上述结果的以下推广。给定一个$n \times n$二部图$G$，设$β_d(G)$是使$G$有一个$k \times k$ $d$ -退化子图的最大$k$.我们证明了\[ β_d(G) \geq \left \lfloor \frac{1}{2} \cdot \sum_{v \in V(G)} \min\left(1,\frac{d+1}{d(v)+1}\right) \right \rfloor. \]注意$β_0(G) = β(G)$ .
2021-01-07 math.CO
A spectral Erdős-Faudree-Rousseau theorem
本文利用超饱和-稳定性和谱技术证明了谱Erdős-Faudree-Rousseau定理，并展示了该方法在图书大小猜想、友谊图子结构及奇圈稳定性等问题中的广泛应用。
2025-07-17 math.CO
Upper bounds for the $MD$-numbers and characterization of extremal graphs
对于边着色图$G$，如果$M$的边着色为相同的颜色，则称$G$的边割$M$为单色图。图$G$称为单色不连通图，如果图$G$的任意两个不同的顶点被单色边割分开.对于连通图$G$，$G$的单色断开数（或简称$MD$ -number），用$md(G)$表示，是为了使$G$单色断开而允许的最大颜色数。对于直径为1的图，它们是完全图，因此它们的$MD$ -数是$1$。对于直径至少为3的图，我们可以构造$2$ -连通图，使得它们的$MD$ -数可以任意大;而对于直径为2的图$G$，我们证明了如果$G$是$2$ -连通图，则$md(G)\leq 2$，如果$G$有割点，则$md(G)$等于$G$的块数.因此，我们将重点研究直径为2的PDMATHAMR-连通图，并分别给出了它们的$MD$ -数依赖于连通度和独立数的两个上界。我们还刻画了$\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor$ -连通图（具有大连通度）的图，其$MD$ -数是$2$，并且$2$ -连通图（具有小连通度）的$MD$ -数达到上界$\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor.$对于连通度小于$\frac n 2$的图，我们证明了如果图的连通度与其阶$n$是线性的，则它的$MD$ -数的上界是一个常数，这暗示我们留下一个猜想：对于$k$ -连通图$G$，$md(G)\leq…
2020-09-04 math.CO
On the number of $K_4$-saturating edges
设$G$是一个无$K_4$的图，如果它的补图中的一条边是$K_4$ - \emph{saturating}边，则将该边添加到$G$中会创建$K_4$的一个副本. Erdibs和Tuza证明了对于任何具有$\lfloor n^2/4\rfloor+1$边的$n$ -顶点$K_4$ -自由图$G$，至少可以找到$(1+o(1))\frac{n^2}{16}$ $K_4$ -饱和边.我们构造了一个只有$\frac{2n^2}{33}$ $K_4$ -饱和边的图.此外，我们证明了它是最好的可能，即，在具有$\lfloor n^2/4\rfloor+1$边的无$n$ -顶点图中，总是可以找到至少$(1+o(1))\frac{2n^2}{33}$ $K_4$ -饱和边。
2014-11-15 math.CO
Regular spanning subgraphs of bipartite graphs of high minimum degree
设G是一个简单的平衡二部图，其顶点为$2n$，$δ= δ(G)/n$和$ρ={δ+ \sqrt{2 δ-1} \over 2}$ .如果$δ> 1/2$，则它有一个$\lfloor ρn \rfloor$ -正则生成子图。这份声明几乎是严格的。
2007-10-13 math.CO
Many cliques with few edges
最近Cutler和Radcliffe证明了在$n$顶点上最大度最多的$r$具有最多团的图是大小为$r+1$的$\lfloor n/(r+1)\rfloor$团与其余顶点上的团的不交并集.当限制资源是边而不是顶点时，考虑这个问题也是非常自然的。本文证明了在具有$m$边且最大度至多为$r$的图中，具有最多大小至少为2的团的图是大小为$r+1$的$\bigl\lfloor m \bigm/\binom{r+1}{2} \bigr\rfloor$团与使用剩余边的colex图的不交并。
2021-02-17 math.CO
Guarding Quadrangulations and Stacked Triangulations with Edges
设$G = (V,E)$是一个平面图。如果来自$\{v,w\}$的至少一个顶点在$f$的边界上，则$G$的面$f$由边$vw \in E$保护。对于一个平面图类$\mathcal{G}$，我们要求的最小数量的边缘需要保护所有的面的任何$n$ -顶点图在$\mathcal{G}$。我们证明了$\lfloor n/3 \rfloor$边总是足够的四边形，并给出了一个建设$\lfloor (n-2)/4 \rfloor$边是必要的。对于$2$ -退化四边形，我们改进了这一严格的上界的$\lfloor n/4 \rfloor$边缘。我们进一步证明，$\lfloor 2n/7 \rfloor$边缘总是足够的堆叠三角剖分（即$3$退化三角剖分），并表明，这是最好的可能性，以一个小的附加常数。
2020-06-24 cs.DM math.CO
On Gallai's conjecture for series-parallel graphs and planar 3-trees
路径覆盖是将图的边分解为边不相交的简单路径。Gallai证明了每个连通的$n$ -顶点图都有一个至多包含$\lceil n/2 \rceil$路的路覆盖.证明了Gallai关于串平行图的猜想。对于类的平面3-树，我们展示了如何构建一个路径覆盖最多$\lfloor 5n/8 \rfloor$路径，这是一个改进的最佳先前已知的界$\lfloor 2n/3 \rfloor$。
2017-06-13 cs.DM math.CO
Counting graph orientations with no directed triangles
Alon和Yuster证明了对于$n \geq 10^4$，任何$n$ -顶点图中每个$K_3$都是传递定向的，其定向数至多为$2^{\lfloor n^2/4\rfloor}$，并证明了$n$的精确下界应为$n \geq 8$ .我们证实了他们的猜想，此外，其特征的极值家庭显示，平衡的完全二部图与$n$顶点是唯一的$n$ -顶点图，正好有$2^{\lfloor n^2/4\rfloor}$这样的方向。
2020-05-27 cs.DM math.CO
Two conjectures in spectral graph theory involving the linear combinations of graph eigenvalues
本文证明了谱极值图论中涉及图特征值的线性组合的两个定理。设$λ_1(G)$是图$G$的邻接矩阵的最大特征值，$\bar{G}$是图$G$的补图.一个很好的猜想指出，$n$顶点上的图最大化$λ_1(G) + λ_1(\bar{G})$是一个团和一个独立集的连接，分别具有$\lfloor n/3\rfloor$和$\lceil 2n/3\rceil$（也称为$\lceil n/3\rceil$和$\lfloor 2n/3\rfloor$，如果$n \equiv 2 \pmod{3}$）顶点。我们解决这个猜想足够大的$n$使用解析方法。我们的第二个结果涉及图$G$的$Q$ -扩展$s_Q(G)$，它被定义为$G$的无符号拉普拉斯算子的最大特征值和最小特征值之间的差。Cvetković，Rowlinson和Simić在$2007$中证明了唯一的最大$Q$ -扩展的$n$ -点连通图是在$K_{n-1}$上加一条悬挂边所形成的图.我们证实了这一猜想足够大的$n$。
2022-06-08 math.CO
Clique covers and decompositions of cliques of graphs
本文研究图的边与t顶点团的团覆盖和分解问题，证明了Erdős猜想及Dau等人猜想的分数松弛和渐近最优版本，方法结合Zykov对称化、Frankl-Rödl nibble与Szemerédi正则引理。
2026-09-16 math.CO
Spectral Turán problem of non-bipartite graphs: Forbidden books
本文研究禁用书图B_{r+1}的非二部图的谱Turán问题，利用剩余指标、Chvátal-Hanson定理和谱极值方法，确定了谱半径上界并刻画了唯一极图，揭示了r=0与r≥1时极图结构完全不同。
2025-06-05 math.CO
Exact majority C-colourings of balanced Hamming graphs and grids
本文精确确定了平衡汉明图与网格的多数C-着色最大类数，给出下界构造与上界证明，并反驳了相关猜想。
2026-09-29 math.CO
