On numbers $n$ relatively prime to the $n$th term of a linear recurrence
设$(u_n)_{n \geq 0}$是整数的非退化线性递归，$\mathcal{A}$是正整数$n$的集合，使得$u_n$和$n$是互素.我们证明了$\mathcal{A}$有一个渐近密度，这个密度是积极的，除非$(u_n / n)_{n \geq 1}$是一个线性递归。
2017-04-04 math.NT
Curious continued fractions, nonlinear recurrences and transcendental numbers
我们考虑一类由二阶非线性递归产生的整数序列，它具有一个奇怪的性质，即序列的项和连续项（也是整数）的比率的整数倍在项的倒数之和的连分数展开中交错出现。使用快速（双指数）增长的条款，对于每个序列，它表明，倒数的总和是一个超越数。
2015-07-20 math.NT
On a family of recurrences that includes the Fibonacci and the Narayana recurrences
我们调查和证明性质的递归熊家庭有关的整数表示，组成，杨辉三角形，数字和，尼姆游戏和贝蒂序列。
2017-04-14 math.NT
An elliptic sequence is not a sampled linear recurrence sequence
设$E$是定义在有理数上的极小Weierstrass形式的椭圆曲线，$P=(x_1/z_1^2,y_1/z_1^3)$是$E$上的无穷阶有理点，其中$x_1,y_1,z_1$是互质整数.我们表明，整数序列$(z_n)$定义的$nP=(x_n/z_n^2,y_n/z_n^3)$的所有$n\ge 1$最终不符合$(u_{n^2})$的线性递归序列$(u_n)$与整数值的任何选择。
2016-10-25 math.NT
Linear recurrences of order at most two in nontrivial small divisors and large divisors
对于每一个正整数$N$，定义$$S'_N \ =\ \{1 < d < \sqrt{N}: d|N\}\mbox{ and }L'_N \ =\ \{\sqrt{N} < d < N : d|N\}.$$最近，Chentouf的特点是所有正整数$N$，使一组小因子$\{d\le \sqrt{N}: d|N\}$满足线性递归的顺序最多为2。我们通过排除平凡因子$1$的考虑，这大大增加了分析的复杂性，非平凡扩展的结果。我们的第一个结果刻画了所有正整数$N$使得$S'_N$满足至多二阶的线性递归。此外，我们的第二个结果的特点是所有积极的$N$，使$L'_N$满足线性递归的顺序最多为2，从而大大扩展了最近的结果，特点是$N$与$L'_N$是在一个等差数列。
2022-10-01 math.NT
$S$-parts of sums of terms of linear recurrence sequences
设$S= \{ p_1, \ldots, p_s\}$是一个有限的、非空集的不同素数和$(U_{n})_{n \geq 0}$是一个线性递归序列的整数顺序$r$。对于任何正整数$k,$，我们定义$(U_j^{(k)})_{j\geq 1}$为由$U_{n_k} +\cdots + U_{n_1}, \ n_k>\cdots >n_1$形式的整数组成的递增序列。在一定的假设下，我们证明了，对于任何$ε>0,$存在一个整数$n_{0}$，使$[U_j^{(k)}]_S < \left(U_j^{(k)}\right)^ε,$为$ j > n_0,$其中$[m]_S$表示的$S$ -正整数$m$的一部分。在对$(U_{n})_{n \geq 0},$的进一步假设下，我们还计算了$[U_j^{(k)}]_S$的形式为$\left(U_j^{(k)}\right)^{1-c}$的有效界，其中$c $是一个正常数，仅取决于$(U_{n})_{n \geq 0}$和$S.$
2020-04-15 math.NT
The zeta function of a recurrence sequence of arbitrary degree
考虑一类狄利克雷级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n^{-s}$，其中$a_n$满足一个整数系数的任意阶线性递推式.在适当的假设下，我们证明了它在复平面上有亚纯延拓，给出了它的极集、留数以及在负整数上的有限值的显式公式，并证明了它们是有理数.为了说明结果，我们专注于一些具体的例子，也已经研究了以前的其他作者。
2023-01-27 math.NT
Positive lower density for prime divisors of generic linear recurrences
令$d \ge 3$是整数，并且令$P \in \mathbb{Z}[x]$是其伽罗瓦群是$S_d$的次数$d$的多项式。设$(a_n)$是以$P$为特征多项式的线性递归整数序列.在广义黎曼假设下，证明了序列$(a_n)$中至少有一个元素被整除的素数集合的低密度是正的.
2021-02-08 math.NT
The Fractal and The Recurrence Equations Concerning The Integer Partitions
本文提出利用分形方法解决整数划分计数问题，并借此推导出包括五边形数定理在内的相关递推方程。
2025-01-29 math.CO math.DS math.NT
On the number of residues of linear recurrences
对于每一个非常数一元多项式$g \in \mathbb{Z}[X]$，令$\mathfrak{M}(g)$是正整数$m$的集合，对于该集合存在具有特征多项式$g$和正整数$M$的整数线性递归$(s_n)_{n \geq 0}$，使得$(s_n)_{n \geq 0}$恰好具有以$M$为模的$m$不同的剩余。Dubickas和Novikas证明了$\mathfrak{M}(X^2 - X - 1) = \mathbb{N}$ .我们研究$\mathfrak{M}(g)$的情况下，其中$g$是整除的一元二次多项式$f \in \mathbb{Z}[X]$与根$α,β$，使$αβ= \pm 1$和$α/ β$是不是一个根的单位。我们证明了这个问题与某些Lehmer序列的特殊本原因子的存在性有关，并推导出关于$\mathfrak{M}(g)$的一些结果.特别地，对于$αβ= -1$，我们证明了对于每个整数$m \geq 7$，$m \in \mathfrak{M}(g)$具有$m \neq 10$和$4 \nmid m$ .
2021-09-13 math.NT
Effective formulas for linear recurrence sequences of integers
提出了计数组合学中有效公式的一个新定义。我们概述的事实证明，每一个线性递归序列的整数有这样一个公式。它从一个下界得出，该下界可以从Skolem-Mahler-Lech定理和子空间定理推导出来。我们将在本扩展摘要的完整版本中详细介绍P. Corvaja的这一推论。
2020-02-27 math.CO math.NT
Decomposable forms generated by linear recurrences
本研究针对满足同一关系的k个不同k阶齐次线性递推，证明其与k次可分解型相关并给出广义恒等式，推导了对应丢番图方程的无穷整数解，给出可分解型的因式分解方法及k=2、3的实例，所用工具为矩阵方法。
2023-08-26 math.NT
Sharp bounds on the number of squares in recurrence sequences and solutions of $X^{2}-\left( a^{2}+b \right) Y^{4}=-b$
研究在特定条件下递归序列中不同平方数数量的最优界，以及解 $X^{2}-\left( a^{2}+b \right) Y^{4}=-b$ 的正整数解数量。
2026-04-16 math.NT
On numbers $n$ with polynomial image coprime with the $n$th term of a linear recurrence
设$F$是一个整数线性递归，$G$是一个在有理数上分裂的整数值多项式，$h$是一个正整数.另外，令$\mathcal{A}_{F,G,h}$是所有自然数$n$的集合，使得$\gcd(F(n), G(n)) = h$。证明了$\mathcal{A}_{F,G,h}$具有自然密度。此外，假设$F$是非退化的，$G$没有固定的因子，我们证明了$\mathbf{d}(\mathcal{A}_{F,G,1}) = 0$当且仅当$\mathcal{A}_{F,G,1}$是有限的。
2018-05-14 math.NT
A recurrence in logarithmic Möbius sums with coprimality conditions via Euler-Maclaurin
该研究结合默比乌斯反演与欧拉-麦克劳林公式推导对数默比乌斯和的递推关系，得到多项式近似，扩展到带互素条件及除数和函数倒数加权的和，并证明后者非负性。
2026-11-10 math.NT
On numbers $n$ dividing the $n$th term of a linear recurrence
本文给出了具有单根的非退化线性递归序列的正整数$n\le x$除第$n$项的个数的上、下界.
2011-02-01 math.NT
Cullen numbers in sums of terms of recurrence sequence
令$(U_n)_{n\geq 0}$是阶至少为二的整数的固定线性递归序列，并且对于任何正整数$\ell$，令$\ell \cdot 2^{\ell} + 1$是卡伦数。最近在\cite{bmt}中，在某些弱假设下研究了线性递归序列$(U_n)_{n\geq 0}$表示的广义Cullen数.然而，他们的证明有一个错误。本文推广了他们的工作，并修正了他们的错误.特别地，对于给定的多项式$Q(x) \in \mathbb{Z}[x]$，我们考虑了丢番图方程$U_{n_1} + \cdots + U_{n_k} = \ell \cdot x^{\ell} + Q(x)$，并证明了有效的有限性结果。此外，我们通过一个例子来证明我们的方法。
2020-10-20 math.NT
Effective results for linear Equations in Members of two Recurrence Sequences
设$(U_n)_{n=0}^\infty$和$(V_m)_{m=0}^\infty$是两个线性递归序列。对于固定的正整数$k$和$\ell$，固定的$k$元组$(a_1,\dots,a_k)\in \mathbb{Z}^k$和固定的$\ell$元组$(b_1,\dots,b_\ell)\in \mathbb{Z}^\ell$，我们考虑了未知非负整数$n_1,\dots,n_k$和$m_1,\dots,m_\ell$中的线性方程$$a_1U_{n_1}+\cdots +a_k U_{n_k}=b_1V_{m_1}+\cdots + b_\ell V_{m_\ell}$$.在线性递归方程$(U_n)_{n=0}^\infty$和$(V_m)_{m=0}^\infty$有优势根的假设下，并在进一步的温和限制条件下，我们证明了该方程只有200多个解，并且可以有效地找到这些解.
2018-04-27 math.NT
Binary recurrences for which powers of two are discriminating moduli
给定一个不同正整数序列$w_0 , w_1, w_2, \ldots$和任意正整数$n$，我们定义一个正整数函数$\mathcal{D}_{\bf w}(n)$为最小正整数$m$使得$w_0,\ldots, w_{n-1}$是模$m$的两两不相合.在本文中，我们对由不同整数项组成的所有二进制递归序列$\{w_n\}_{n\geq 0}$进行分类，使得对于每个$e\geq 1.$，$\mathcal{D}_{\bf w}(2^e)=2^e$对于所有这些序列，人们可以对每个$n\ge 1.$，实际上给出$\mathcal{D}_{\bf w}(n)$的相当简单的描述对于这样的序列的两个无限族，这已经由Faye，Luca和Moree分别在2019年完成。
2020-11-30 math.NT
Additive Diophantine Equations involving S-Units, Factorials and Ternary Recurrences with repeated root
Birla Institute of Technology and Science, Pilani（比拉理工学院皮拉尼校区）
研究Cullen数C_n=n2^n+1与阶乘及S-单位构成的加法丢番图方程，证明其最大素因子趋于无穷，并求解特定方程。
2026-05-27 math.NT
Short Recurrences and Straight-Line Programs for Primes
Simion Stoilow Institute of Mathematics of the Romanian Academy（罗马尼亚科学院西蒙·斯托伊洛数学研究所）
该研究提出从初始值8生成奇素数的短自主递推式，将素数计数函数表示为整数的2-adic赋值，还构造出对应素数相关函数的固定算术直线程序。
2026-10-12 math.NT
Sur la classification de quelques phi-modules simples
本文是E.赫尔曼我们给出了K = Fpbar（（u））上的向量空间范畴D的简单对象的完全分类，这些简单对象配备有自同态phi，其像生成D，并且关于将u发送到u^b（b > 1是整数）的环态射是半线性的，并且通过固定的自同构作用于k的元素。其中一些φ-模涉及到p-adic域的整数环上的有限平坦群概型的分类。
2008-07-10 math.NT
Sets of recurrence as bases for the positive integers
我们研究各种实值多项式$p$和衰减率$\varepsilon$的形式$A = \big\{ n \in \mathbb N \big| \lVert p(n) \rVert_{\mathbb R / \mathbb Z} \leq \varepsilon(n) \big\}$的集合。特别是，我们问，当这样的集合是基地的有限阶的正整数。我们表明，一般来说，$A$是一个基础的顺序$2$时，$\operatorname{deg} p \geq 3$，但不是当$\operatorname{deg} p = 2$，虽然然后$A + A$仍然有渐近密度$1$。
2018-07-19 math.CO math.NT
Sums of Reciprocals of Recurrence Relations
关于具有常系数和固定深度的递归关系的多项式函数的倒数和的文献越来越多，例如Fibonacci和Tribonacci数，这些数的乘积，以及平衡数（对于被称为$n$的平衡器的某些$r$，数字$n$使得小于$n$的整数之和等于紧接其后的$r$整数之和;如果$n$包含在求和中，我们就得到了共平衡数，$r$称为$n$的共平衡数）。我们将以前的工作推广到具有任意系数和Tribonacci数的深度为2的递归序列的倒数和，并证明我们的方法提供了一些现有结果的另一种证明。我们定义了$(a,b)$平衡数和共平衡数，其中$a$和$b$是分别乘以左边和右边的常数，并推导出描述这些序列的递归关系。证明了平衡数的系数$(3,1)$是唯一的，使得每一个整数都是$(3,1)$平衡数，并证明了不存在类似的平衡数系数集.我们还发现了某些系数的模式，这些系数没有平衡数或共平衡数。
2023-02-01 math.NT
On the Collection of Integers that Index the Fixed Points of Maps on the Space of Rational Functions
给定整数s和t，在所有形式复级数展开的空间上定义一个函数phi_{s,t}：phi_{s,t}（sum a_n x^n）= sum a_{sn+t} x^n。我们定义一个与（s，t）相区别的整数r，如果r和s是互素且r整除t（1 + s +.）s^{ord_r（s）-1}）。由所有有理函数组成的向量空间，其泰勒展开式在零处由phi_{s,t}固定，先前通过构造由相对于对（s，t）区分的整数部分索引的基来分类。本文研究了关于（s，t）的区别整数集的性质。特别是，我们证明了一组杰出的整数关于（s，t）可以写为一个联盟的无限多个等差数列。此外，我们还构造了另一个生成集的集合的有理函数是固定的phi_{s,t}，并讨论了这个生成集之间的关系和基础，是以前产生的。
2007-05-22 math.NT
Distribution of integral values for the ratio of two linear recurrences
设$F$和$G$是数域$\mathbb{K}$上的线性递归，$\mathfrak{R}$是$\mathbb{K}$的一个非线性生成子环.此外，令$\mathcal{N}$是正整数$n$的集合，使得$G(n) \neq 0$和$F(n) / G(n) \in \mathfrak{R}$。Corvaja和Zannier在温和假设下证明了$\mathcal{N}$的渐近密度为零。我们证明了对于所有的$x \geq 3$，都有$\#(\mathcal{N} \cap [1, x]) \ll x \cdot (\log\log x / \log x)^h$，其中$h$是一个可以用$F$和$G$计算的正整数.在Hardy-Littlewood $k$ -tuple猜想的假设下，除了$\log \log x$项外，我们的结果都是最优的.
2017-03-29 math.NT
Simultaneous inequalities among values of the Euler phi-function
本文讨论了在k个等差数列a_1 n + b_1，a_2 n + b_2，.上同时求值的Euler φ函数的值，a_k n + b_k。假设多项式a_ix + b_i中没有两个是彼此的常数倍的必要条件，我们证明了存在无穷多个整数n使得phi（a_1 n + b_1）> phi（a_2 n + b_2）>. > phi（a_kn + b_k）.特别是，存在无穷多个k个连续整数的字符串，其φ值以任何规定的方式从最大到最小排列。同样，在必要条件ad \ne bc下，任何形式为phi（an+b）< phi（cn+d）的不等式无穷常有k个连续解。事实上，我们证明了这些不等式的解集有正的下密度。
2006-03-02 math.NT
Linear Recurrences of Order at Most Two in Small Divisors
给定正整数$n$，$n$的小约数被定义为不超过$\sqrt{n}.$ Ianucci先前分类的所有$n$的正约数，其中$n$的小约数形成等差数列。在本文中，我们分类所有的$n$的小因子的$n$形成一个线性递归的阶最多为2。
2021-08-18 math.NT
Asymptotic valuations of sequences satisfying first order recurrences
设t[n]是满足一阶齐次递推关系t[n] = Q[n]*t[n-1]的序列，其中Q是一个整系数多项式.在Z/pZ中Q的所有根都有非零导数的假设下，描述了t[n]的p-adic赋值的渐近性态.
2007-09-14 math.NT
On the least common multiple of binary linear recurrence sequences
本文给出了一大类二元线性递归序列的最小公倍数的估计方法。令$P,Q,R_0$和$R_1$为固定整数，并令$\boldsymbol{R}=\left(R_n\right)_{n}$为由$R_{n+2}=PR_{n+1}-QR_{n}$ $(\forall n\geq 0)$定义的递归序列。在参数满足一定条件的情况下，对所有正整数$n$和$k$，确定了$L_{k,n}:=\mathrm{lcm}\left(R_k,R_{k+1},\dots,R_n\right)$的一个有理非平凡因子，使得$n\geq k$ .作为结果，我们推导出$L_{k,n}$的非平凡有效下界，并建立了$\log \left(L_{n,n+m}\right)$的渐近公式，其中$m$是一个固定的正整数。表示由$\left(F_n\right)_{n}$通常的斐波那契序列，我们证明，例如，对于任何$m\geq 1$，我们有\[\log \mathrm{lcm}\left(F_{n},F_{n+1},\dots,F_{n+m}\right)\sim n(m+1)\logΦ~~~~\text{as}~n\rightarrow +\infty,\]其中$Φ$表示黄金分割率。最后给出了关于Lucas序列的最小公倍数的一些有趣的恒等式和性质。
2020-11-07 math.NT
Uniform explicit Stewart's theorem on prime factors of linear recurrences
Stewart（2013）证明了Lucas整数序列的第$n$项的最大素除子比$n$增长得更快，回答了Erds和Schinzel的著名问题。本文给出了Stewart结果的一个完全显式的、在某种意义上是统一的形式。
2022-10-02 math.NT
Primitive prime factors in second order linear recurrence sequences
对于一类Lucas序列${x_n}$，我们证明了如果$n$是正整数，则$x_n$有一个本原素因子，它能将$x_n$整除为奇次幂，除非可能是$n = 1, 2, 3 or 6$ .这有几个可取的结果。
2012-12-27 math.NT
Counting terms $U_n$ of third order linear recurrences with $U_n=u^2+nv^2$
给定一个递归序列${\bf U}:=\{U_n\}_{n\ge 0}$，我们考虑计数${\mathcal M}_U(x)$的问题，整数$n\le x$使得$U_n=u^2+nv^2$对某些整数$u,v$ .我们将证明${\mathcal M}_U(x)\ll x(\log x)^{-0.05}$的一大类三元序列。我们的方法使用许多成分从证明阿尔巴冈萨雷斯和第二作者，${\mathcal M}_F(x)\ll x(\log x)^{-0.06}$，与$\bf F$的斐波那契序列。
2015-06-10 math.NT
The quotient problem for linear recurrence sequences
National Institute of Technology Calicut（印度国家技术学院卡利卡特分校）
研究线性递推序列商集的有限性问题，通过多项式和线性递推关系证明相关结论，利用Schmidt子空间定理等方法。
2026-09-29 math.NT
Linear combinations of prime powers in sums of terms of binary recurrence sequences
设$\{ {U_{n}\}_{n \geq 0} }$是具有正判别式的非退化二元递归序列。设$\{p_1,\ldots, p_s\}$为固定素数，$\{b_1,\ldots ,b_s\}$为固定非负整数.本文在一定的假设条件下得到了丢番图方程$U_{n_{1}} + \cdots + U_{n_{t}} = b_1 p_1^{z_1} + \cdots+ b_s p_s^{z_s} $解的有限性结果。此外，我们显式求解方程$F_{n_1}+ F_{n_2}= 2^{z_1} +3^{z_2}$，在非负整数$n_1, n_2, z_1, z_2$与$z_2\geq z_1$。在这项工作中使用的主要工具是下限的线性形式的矩阵和Baker-Davenport减少方法。
2016-12-18 math.NT
Closest integer polynomial multiple recurrence along shifted primes
根据N.弗朗齐基纳基斯湾Host和B. Kra，我们表明，参数在多维Szemerédi定理最接近的整数多项式有非空的交集与移位素数集$\mathbb{P}-1$（或类似的$\mathbb{P}+1$）。利用Furstenberg对应原理，我们将这个结果改写为测度遍历论中的多项式多次递归结果。此外，我们得到整数部分多项式收敛的结果，由相同的方法，这是一个转移原则，使一个推导结果的$\mathbb{Z}$ -行动的结果流。我们也给出了我们的方法在Gowers一致集上的一些应用。
2016-02-24 math.CO math.DS math.NT
Integral zeros of a polynomial with linear recurrences as coefficients
本文研究了以整数简单线性递推序列为系数的多项式的整零点问题，在特定技术条件下刻画了零点集合，并给出了具有Hilbert不可约性精神的相关结论。
2020-08-24 math.NT
An Euler phi function for the Eisenstein integers and some applications
给定整数$n$上的Euler phi函数产生小于$n$且与$n$互质的正整数的数目。等价地，它给出了商环$\mathbb{Z}/(n)$中单位群的阶。我们通过对任意给定的Eisenstein整数$θ$求出环$\mathbb{Z}[ρ]/(θ)$中单位群的阶，将Euler phi函数推广到Eisenstein整数环$\mathbb{Z}[ρ]$上，其中$ρ$是$e^{2πi/3}$的本原第三根.作为一个应用程序，我们调查的充分性准则时，某些单位群$\left(\mathbb{Z}[ρ]/(γ^n)\right)^\times$是循环的$γ$是素数在$\mathbb{Z}[ρ]$和$n \in \mathbb{N}$，从而推广了知名的结果类似的应用程序中的整数和一些鲜为人知的结果在高斯整数。作为另一个应用，我们证明了著名的欧拉-费马定理对爱森斯坦整数也成立.
2020-01-06 math.CO math.NT
Bounds on the number of squares in recurrence sequences: arbitrary $b$, III
本文将二元递推序列中平方数个数问题推广到 $N_α$ 为任意负整数且 $y_0=b^2$ 的情形，证明当 $y_k$ 充分大时至多有 4 个平方数，并进一步得到 $b=1,2,3$ 或 $d$ 充分大时至多有 9 个平方数。
2025-04-09 math.NT
$p$-Adic quotient sets: linear recurrence sequences
令$(x_n)_{n\geq0}$是一个阶为$k\geq2$的线性递归，对所有整数$n\geq k$满足$$x_n=a_1x_{n-1}+a_2x_{n-2}+\dots+a_kx_{n-k}$$，其中$a_1,\dots,a_k,x_0,\dots, x_{k-1}\in \mathbb{Z},$具有$a_k\neq0$。在[“The quotient set of $k$ -generalised Fibonacci numbers is dense in $\mathbb{Q}_p$”，\emph{Bull. Aust. Math. Soc.} \textbf{96}（2017），24-29]中，Sanna提出了一个开放性问题来分类素数$p$，其中$(x_n)_{n\geq0}$的商集在$\mathbb{Q}_p$中是稠密的。本文给出了$k$的商集稠密的一个充分条件，其中$(x_n)_{n\geq0}$满足$ x_{n}=a_1x_{n-1}+a_2x_{n-2}+\dots+a_kx_{n-k}$，$n\geq k$是以$x_0=\dots=x_{k-2}=0,x_{k-1}=1$为初值的整数，其中$a_1,\dots,a_k\in \mathbb{Z}$和$a_k=1$ .证明了给定一个素数$p$，存在无穷多个$k\geq 2$阶的递归序列，使得它们的商集在$\mathb…
2022-11-19 math.NT
Linear recurrence sequences and periodicity of multidimensional continued fractions
多维连分数是对经典连分数的推广，其目的是通过整数序列来提供代数无理数的周期表示。然而，不存在任何算法，提供了一个周期性的多维连分数时，代数无理数作为输入。本文利用线性递归序列给出了Jacobi-Perron算法周期性的一个刻画。特别地，我们证明了多维连分式的部分幂级数是周期的当且仅当幂级数的分子和子是线性递归序列，推广了经典连分数的类似结果.
2017-12-23 math.NT
Multiplicative dependence in linear recurrence sequences
University of Debrecen（德布勒森大学）；Count István Tisza Foundation, Institute of Mathematics, University of Debrecen（蒂萨·伊斯特万伯爵基金会，德布勒森大学数学研究所）；HUN-REN-DE Equations, Functions, Curves and their Applications Research Group（匈牙利研究网络-德布勒森方程、函数、曲线及其应用研究组）；University of New South Wales（新南威尔士大学）
本文研究了线性递推序列中乘法依赖问题，给出了s元组中元素乘法依赖的上界估计。
2025-01-29 math.NT
Sums of $S$-units in sum of terms of recurrence sequences
设$S := \{p_1,\ldots ,p_{\ell}\}$是素数的有限集，用$\mathcal{U}_S$表示其素因子都在$S$中的所有有理数的集合.设$(U_n)_{n\geq 0}$是阶至少为2的非退化线性递归序列。本文给出了丢番图方程$aU_n + bU_m = z_1 +\cdots +z_r,$的解的有限性结果，其中$n\geq m$和$z_1, \ldots, z_r\in \mathcal{U}_S$ .
2023-02-27 math.NT
Linear recurrence sequences and palindromic concatenations of two repdigits in base $β$
Jinan University（暨南大学）
研究在特定条件下，满足三阶线性递推的序列中，能表示为基 $\beta$ 中两个重复数字回文拼接的项仅有有限个。
2026-06-19 math.NT
The Frobenius problem for numerical semigroups generated by sequences that satisfy a linear recurrence relation
考虑形式为$ca^n-d$，$n\geq 1$的正整数序列，其中$a, c$和$d$是正整数，$a>1$。对于每个$n\geq 1$，令$S_n$是由$\mathbf s_j=ca^{n+j}-d$生成的$\mathbb N$的子幺半群，其中$j\in\mathbb N$。通过将$S_n$的每个元素除以$e=\gcd(S_n)$得到一个数值半群$(1/e)S_n$.我们刻画了$S_n$的嵌入维数，并描述了一种寻找$S_n$的最小生成集的方法。我们还展示了如何找到Apéry集${\rm Ap}(S_n, \mathbf s_0)$的最大元素，刻画了${\rm Ap}(S_n, \mathbf s_0)$的元素，并使用这些结果来计算数值半群$(1/e)S_n$的Frobenius数，其中$e=\gcd(S_n)$。
2023-01-24 math.NT
On Higher Dimensional Fibonacci Numbers, Chebyshev Polynomials and Sequences of Vector Convergents
我们研究高维交错Fibonacci序列，通过切比雪夫型函数和$m$维递归关系产生。对于每个整数$m$，存在这些序列的有理数和整数版本，其中有理数序列分解器的底层素同余结构使得整数序列能够被恢复。从有理或整数序列中，我们构造了$\mathbb{Q}^m$中的向量序列，这些序列收敛到$\mathbb{R}^m$中的无理代数点。有理序列项可以表示为简单递归、三角和、二项式多项式、平方和以及正则单位$n$ -gon的有符号对角线的幂比之和。这些序列也表现出“彩虹型”的质量，并对应于负指数的Fleck数，导致一些组合的身份涉及二项式系数。证明了定义递推关系的正交生成多项式族可被某些代数数的极小多项式整除，并导出了这些多项式的三项递推关系和微分方程.进一步讨论了与Christoffel-Darboux公式、Rodrigues公式和升降算子有关的结果。此外，还证明了这些多项式的梅林变换满足形式为$p_n(s)=\pm p_n(1-s)$的函数方程，并且只在临界线Re上有零点$s=1/2$ .
2016-05-20 math.NT
On the Euler function of linearly recurrence sequences
本文研究整数线性递推序列通项与其 Euler 函数之间的不等式，证明对非退化且非多项式通项的序列，该不等式在密度 1 的整数上成立，并给出失效集合的计数上界。
2024-07-06 math.NT
Prime divisors of sequences of integers
本文发展了Furstenberg关于素数无穷大的证明，并证明了关于整数序列的素除子的几个结果，包括著名的Schur定理。特别地，我们给出了一个经典结果的简单证明，该结果表明，k>1阶整数的非退化线性递归序列具有无穷多个素除子。
2017-11-06 math.NT
Calculus of archimedean Rankin--Selberg integrals with recurrence relations
令$n$和$n'$是正整数，使得$n-n'\in \{0,1\}$。令$F$为$\mathbb{R}$或$\mathbb{C}$。设$K_n$和$K_{n'}$分别是$\mathrm{GL}(n,F)$和$\mathrm{GL}(n',F)$的极大紧子群.利用$\mathrm{GL}(n,F)$和$\mathrm{GL}(n',F)$的递推关系，给出了$K_n$和$K_{n'}$的主级数表示对的最小$K_n$型和$K_{n'}$型阿基米德Rankin-Selberg积分的显式描述.我们关于$F=\mathbb{C}$的结果可应用于自守$L$ -函数临界值的算法研究。
2020-06-07 math.NT
Phi, Primorials, and Poisson
素数$p$的素数$p\#$是所有素数$q\le p$的乘积。设pr $(n)$表示具有$p\# \mid ϕ(n)$的最大素数$p$，其中$ϕ$是欧拉函数。我们证明了pr $(n)$的正规序是$\log\log n/\log\log\log n$ .也就是说，在一组渐近密度为1的整数上pr $(n) \sim \log\log n/\log\log\log n$为$n\to\infty$。事实上，我们表明，有一个渐进的第二项，并在第三级，有一个渐进的泊松分布。对于最大整数$k$和$k!\mid ϕ(n)$，我们也给出了类似的结果.
2020-01-18 math.NT
Recurrence Relations for $S$-Legal Index Difference Sequences
本研究推广Fibonacci Quilt序列的构造，提出$S$-合法索引差（$S$-LID）序列，证明其增长规律及多类集合$S$对应的序列满足简单递推关系。
2023-08-28 math.NT
Generalizing Zeckendorf's Theorem to Homogeneous Linear Recurrences, I
Zeckendorf定理指出，每个正整数都可以唯一地写成非连续移位斐波那契数之和$\{F_n\}$，其中我们取$F_1=1$和$F_2=2$。这已经被推广到任何正线性递归序列（PLRS），其非正式地是满足具有正首项系数和非负整数系数的齐次线性递归的序列。这些分解是基$B$分解的推广。在这篇论文和后续论文中，我们提供了两种方法来研究线性递归，其中首项系数为零，其次是非负整数系数，索引之间的差异相对素数（简称ZLRR）。第一种方法涉及概括的定义，法律分解的PLRS中发现Koloelu，Kopp，米勒和王。我们证明了每个正整数$N$有一个合法的分解，任何ZLRR使用贪婪算法。我们还表明，一个特定的家庭ZLRR失去分解的唯一性。第二种方法将ZLRR转换为具有相同增长率的PLRR。我们开发的归零算法，一个强大的助手工具，用于分析线性递归序列的行为。我们用它来证明一个非常普遍的结果，保证某些递归之间的转换的可能性，并开发一种方法来快速确定某些序列是否发散到$+\infty$或$-\infty$，给定任何真正的初始值。本文探讨了第一种方法。
2021-08-03 math.CO math.NT
Primes Generated by Recurrence Sequences
考虑由二次多项式定义的整数序列的项的本原因子。除了一些小的反例，当一个项有一个本原因子时，这个本原因子是唯一的。看起来有一个原始因子的项数有一个自然密度。我们讨论了两个启发式的参数，建议该密度的值，一个使用最近的进展多项式同余的根的分布。
2006-03-02 math.NT
Recurrence Relations for k-Fold Nested Power Sums
本文推导了k重嵌套幂和的递推关系，并讨论了其与已有研究成果的关联。
2025-11-17 math.CO math.NT
