On numbers $n$ dividing the $n$th term of a linear recurrence
Juan Jose Alba Gonzalez, Florian Luca, Carl Pomerance, Igor Shparlinski
本文给出了具有单根的非退化线性递归序列的正整数$n\le x$除第$n$项的个数的上、下界.
Here, we give upper and lower bounds on the count of positive integers $n\le x$ dividing the $n$th term of a nondegenerate linearly recurrent sequence with simple roots.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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The density of primes dividing a particular non-linear recurrence sequence
通过$b_0=1,b_1=1, b_2=2,b_3=1$和$ $b_n=\begin{cases} \frac{b_{n-1}b_{n-3}-b_{n-2}^2}{b_{n-4}}&\textrm{if}~ n\not\equiv 0\pmod 3, \frac{b_{n-1}b_{n-3}-3b_{n-2}^2}{b_{n-4}}&\textrm{if}~ n\equiv 0\pmod 3. We relate this sequence $ \{b_n\} $ to the coordinates of points on the elliptic curve $ E定义序列$\{b_n\}$：y^2+y=x^3-3x+4 $. We use Galois representations attached to $ E $ to prove that the density of primes dividing a term in this sequence is equal to $ \frac{179}{336} $. Furthermore, we describe an infinite family of elliptic curves whose Galois images match that of $ E$。
The Frobenius problem for numerical semigroups generated by sequences that satisfy a linear recurrence relation
考虑形式为$ca^n-d$，$n\geq 1$的正整数序列，其中$a, c$和$d$是正整数，$a>1$。对于每个$n\geq 1$，令$S_n$是由$\mathbf s_j=ca^{n+j}-d$生成的$\mathbb N$的子幺半群，其中$j\in\mathbb N$。通过将$S_n$的每个元素除以$e=\gcd(S_n)$得到一个数值半群$(1/e)S_n$.我们刻画了$S_n$的嵌入维数，并描述了一种寻找$S_n$的最小生成集的方法。我们还展示了如何找到Apéry集${\rm Ap}(S_n, \mathbf s_0)$的最大元素，刻画了${\rm Ap}(S_n, \mathbf s_0)$的元素，并使用这些结果来计算数值半群$(1/e)S_n$的Frobenius数，其中$e=\gcd(S_n)$。
Recurrence of Products of Linear Recursive Functions
研究了n个函数乘积的常返性，其中每个函数满足相同的常返关系。
The Shape of the Value Sets of Linear Recurrence Sequences
证明了实线性递归序列的值集的闭包是可数集与有限区间集的并。相反，任何有限的闭区间的集合都是某个递归序列的值集的闭包。
A necessary and sufficient criterion for the existence of ratio limits of sequences generated by linear recurrences
本文给出了一个判定由任意线性递归生成的复序列的比极限存在性和比极限值的充分必要条件。
Some results about Linear Recurrence Relation Homomorphisms
本文给出了递归关系同态的一个定义，并举例说明。然后，我们定义的k阶线性递归关系的周期，并推导出某些初步的结果与他们有关。
Period sets of linear recurrences over finite fields and related commutative rings
在概述了现有的理论关于由线性递归定义的序列的周期在有限域，我们给出了明确的描述，如果一个人认为所有的序列在$\mathbb{F}_q$产生的线性递归的程度$k$在范围$1 \leq k \leq 4$的固定选择的周期。我们还研究了由$\mathbb{F}_{q_1} \oplus \ldots \oplus \mathbb{F}_{q_r}$形式的环上的线性递归生成的序列的周期。
The virtual periods of linear recurrence sequences in cyclotomic fields
分圆域中的线性递归序列产生每项的生成域序列。我们证明了去掉第一有限项后的序列是周期的，并给出了其周期的一个界。这可以应用于指数和。
On numbers $n$ relatively prime to the $n$th term of a linear recurrence
设$(u_n)_{n \geq 0}$是整数的非退化线性递归，$\mathcal{A}$是正整数$n$的集合，使得$u_n$和$n$是互素.我们证明了$\mathcal{A}$有一个渐近密度，这个密度是积极的，除非$(u_n / n)_{n \geq 1}$是一个线性递归。
A heuristic derivation of linear recurrence relations for $ζ'(-2k)$ and $ζ(2k+1)$
我们已经回到旧的方法，发现在历史上的一部分，哈代的发散级数早在发明的现代解析延拓使用正式操作的谐波和产生一些有趣的公式。这些是用于$\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty H_n n^k}$的线性递归关系，其进而产生用于$ζ'(-k)$的线性递归关系，并且因此使用函数方程来得到用于$ζ'(2k)$和$ζ(2k+1)$的线性递归关系。严格性的问题已被推迟到随后的预印本。
Skolem Problem for Linear Recurrence Sequences with 4 Dominant Roots (after Mignotte, Shorey, Tijdeman, Vereshchagin and Bacik)
本文阐述了几位学者关于4阶线性递推序列消失问题可判定性的工作，围绕Skolem问题展开。
Algebraic independence of certain entire functions of two variables generated by linear recurrences
本文构造了一个二元整函数，它的值和它在任何不同代数点上的任何阶的偏导数都是代数独立的。这样的整函数由线性递归生成。为了证明这一结果，我们通过线性递归的移位，将代数无关性化为多元Mahler函数的代数无关性，并应用Mahler函数理论。
Integers representable as differences of linear recurrence sequences
设$\{U_n\}_{n \geq 0}$和$\{V_m\}_{m \geq 0}$是两个线性递归序列。我们建立了$[-x, x]$范围内的整数个数$c$的一个渐近公式，它可以表示为差$ U_n - V_m$。特别地，这样的整数的密度是$0$。
Integers representable as differences of linear recurrence sequences
设$\{U_n\}_{n \geqslant 0}$和$\{G_m\}_{m \geqslant 0}$是定义在整数上的两个线性递归序列。当$x$趋于无穷大时，我们建立了$[-x, x]$范围内的整数个数$c$的渐近公式，它可以表示为差$ U_n - G_m$.特别地，这样的整数的密度是$0$。
Decomposable forms generated by linear recurrences
本研究针对满足同一关系的k个不同k阶齐次线性递推，证明其与k次可分解型相关并给出广义恒等式，推导了对应丢番图方程的无穷整数解，给出可分解型的因式分解方法及k=2、3的实例，所用工具为矩阵方法。
Linear Recurrences of Order at Most Two in Small Divisors
给定正整数$n$，$n$的小约数被定义为不超过$\sqrt{n}.$ Ianucci先前分类的所有$n$的正约数，其中$n$的小约数形成等差数列。在本文中，我们分类所有的$n$的小因子的$n$形成一个线性递归的阶最多为2。
Diophantine triples in linear recurrence sequences of Pisot type
丢番图三元组在线性递归序列中取值的研究是一个问题的变体，可以追溯到亚历山大的丢番图，过去已经研究了很多。主要的问题是，像往常一样，存在或有限的丢番图三元组在这样的序列。虽然二进制递归序列的情况几乎完全解决了，但除了斐波那契序列的非常专门的推广之外，对更高阶的递归序列知之甚少。现在，我们将证明任何具有Pisot性质的线性递归序列只包含1000个丢番图三元组，只要阶数很大并且满足一些限制性不强的条件。
Linear recurrence sequences with indices in arithmetic progression and their sums
对于任意d阶常系数齐次线性递推序列，我们导出了所有指数为等差数列的齐次线性递推关系。这些递归的系数是明确的部分贝尔多项式，取决于最多d-1项的广义卢卡斯序列与给定的递归。我们还提供了一个优雅的公式，这样的序列的部分和，并说明我们所有的结果与各种订单的例子，包括常见的概括的斐波那契数。
Effective results on the Skolem Problem for linear recurrence sequences
本文给出了一个简单的线性代数数递归序列，它具有一个最大模的主特征根或恰好有两个最大模的特征根，给出了该序列的每一项都非零的指数的明确的下界.事实证明，这种情况几乎涵盖了所有系数为有理数的序列。
Linear recurrence sequences and periodicity of multidimensional continued fractions
多维连分数是对经典连分数的推广，其目的是通过整数序列来提供代数无理数的周期表示。然而，不存在任何算法，提供了一个周期性的多维连分数时，代数无理数作为输入。本文利用线性递归序列给出了Jacobi-Perron算法周期性的一个刻画。特别地，我们证明了多维连分式的部分幂级数是周期的当且仅当幂级数的分子和子是线性递归序列，推广了经典连分数的类似结果.
Higher Reciprocity Laws and Ternary Linear Recurrence Sequences
本文描述了在某些三次一元不可约多项式的非交换分裂域中完全分裂的素数集。作为应用，我们建立了由素数$p$构成的相关三元递归序列的整除性质，从而极大地推广了Evink和Helminck以及Faisant最近的工作.我们还证明了关于递归序列模$p,$的特征方程的解的个数的一些新结果，推广和简化了孙志红（2003）的工作.
A Study of Second-Order Linear Recurrence Sequences via Continuants
本文将二阶线性递推序列重新解释为连分式序列，推导出其生成函数和比内公式，并为卢卡斯序列相关恒等式提供了基于连分式的表述。
Linear recurrences of order at most two in nontrivial small divisors and large divisors
对于每一个正整数$N$，定义$$S'_N \ =\ \{1 < d < \sqrt{N}: d|N\}\mbox{ and }L'_N \ =\ \{\sqrt{N} < d < N : d|N\}.$$最近，Chentouf的特点是所有正整数$N$，使一组小因子$\{d\le \sqrt{N}: d|N\}$满足线性递归的顺序最多为2。我们通过排除平凡因子$1$的考虑，这大大增加了分析的复杂性，非平凡扩展的结果。我们的第一个结果刻画了所有正整数$N$使得$S'_N$满足至多二阶的线性递归。此外，我们的第二个结果的特点是所有积极的$N$，使$L'_N$满足线性递归的顺序最多为2，从而大大扩展了最近的结果，特点是$N$与$L'_N$是在一个等差数列。
Greatest common divisors for polynomials in almost units and applications to linear recurrence sequences
本文利用 Schmidt 子空间定理界定互素多元多项式在代数数处取值的最大公因子，并将其应用于改进两类线性递推序列项间 gcd 的已有结果。
Counting solvable $\mathcal S$-unit equations and linear recurrence sequences with zeros
本文基于模技巧与Erdős的经典思想，证明了数域乘法群固定有限生成子群中可解线性方程比例极小，并给出了取零值的线性递推序列数量的紧致上界。
Decomposable polynomials in second order linear recurrence sequences
本文研究了$\mathbb{C}[x]$中多项式的二阶线性递归序列$(G_n)_{n= 0}^{\infty}$的元素，这些元素是可分解的，即对于满足$\operatorname{deg}g,\operatorname{deg}h>1$的$g, h\in \mathbb{C}[x]$，可表示为$G_n=g\circ h$.在一定的假设下，并提供$h$不是特定的类型，我们表明，$\operatorname{deg}g$可能是有界的一个常数独立于$n$，只取决于序列。
Uniform explicit Stewart's theorem on prime factors of linear recurrences
Stewart（2013）证明了Lucas整数序列的第$n$项的最大素除子比$n$增长得更快，回答了Erds和Schinzel的著名问题。本文给出了Stewart结果的一个完全显式的、在某种意义上是统一的形式。
Primitive prime factors in second order linear recurrence sequences
对于一类Lucas序列${x_n}$，我们证明了如果$n$是正整数，则$x_n$有一个本原素因子，它能将$x_n$整除为奇次幂，除非可能是$n = 1, 2, 3 or 6$ .这有几个可取的结果。
Linear equations over multiplicative groups, recurrences, and mixing I
设K是一个具有正特征的域。当V是K^n中的一个线性簇，G是K^* 的一个n阶生成子群时，我们展示了如何利用高度有效地计算V和G^n的交集。我们明确地计算所有的估计。一个特殊的情况提供了有效的解决方案的S-单位方程在n个变量。
Greatest common divisors with moving targets and consequences for linear recurrence sequences
我们建立了Schmidt子空间定理的移动形式的推论。事实上，我们得到的不等式，绑定的对数最大公因数移动多变量多项式在移动$S$单位参数评估。在这样做的时候，我们补充了莱文最近的工作。作为一个额外的应用，我们得到的结果属于代数线性递归序列的最大公因数问题。这些观察是由Corvaja-Zannier，Levin等人以前的相关作品激发的。
Linear recurrences and asymptotic behavior of exponential sums of symmetric boolean functions
本文对对称布尔函数的指数和所满足的整系数齐次线性递推式的次数进行了改进。这种改进是严格的。我们还计算了对称布尔函数的渐近行为，并提供了一个公式，使我们能够确定一个对称布尔函数是否是渐近不平衡的。特别地，当对称函数的次数是2的幂时，则指数和远小于$2^n$。
Effective results for linear Equations in Members of two Recurrence Sequences
设$(U_n)_{n=0}^\infty$和$(V_m)_{m=0}^\infty$是两个线性递归序列。对于固定的正整数$k$和$\ell$，固定的$k$元组$(a_1,\dots,a_k)\in \mathbb{Z}^k$和固定的$\ell$元组$(b_1,\dots,b_\ell)\in \mathbb{Z}^\ell$，我们考虑了未知非负整数$n_1,\dots,n_k$和$m_1,\dots,m_\ell$中的线性方程$$a_1U_{n_1}+\cdots +a_k U_{n_k}=b_1V_{m_1}+\cdots + b_\ell V_{m_\ell}$$.在线性递归方程$(U_n)_{n=0}^\infty$和$(V_m)_{m=0}^\infty$有优势根的假设下，并在进一步的温和限制条件下，我们证明了该方程只有200多个解，并且可以有效地找到这些解.
Generalized Cullen Numbers in Linear Recurrence Sequences
卡伦数是$m2^m+1$形式的数，其中$m$是正整数。在2004年，Luca和St \u证明了Cullen序列中最大的Fibonacci数是$F_4=3$。实际上，他们在一些二元递归序列中寻找广义库伦数。本文将研究高阶递归序列。对于给定的线性递归$(G_n)_n$，在弱假设下，和给定的多项式$T(x)\in \mathbb{Z}[x]$，我们将证明，如果$G_n=mx^m+T(x)$，则\[ m\ll\log \log |x|\log^2(\log \log |x|)\ \mbox{and}\ n\ll\log |x|\log\log |x|\log^2(\log \log |x|), \]，其中隐含常数仅取决于$(G_n)_n$和$T(x)$。
Twisted rational zeros of linear recurrence sequences
本文提出非退化线性递推序列的扭曲有理零点概念，证明其数量有限，并确定 Tribonacci 序列仅有的非积分扭曲有理零点为 1/3 和 -5/3。
The quotient problem for linear recurrence sequences
研究线性递推序列商集的有限性问题，通过多项式和线性递推关系证明相关结论，利用Schmidt子空间定理等方法。
On the Skolem problem and some related questions for parametric families of linear recurrence sequences
我们证明了在一个参数族的线性递归序列$a_1(α) f_1(α)^n + \ldots + a_k(α) f_k(α)^n$与系数$a_i$和特征根$f_i$，$i=1, \ldots,k$，由有理函数在某些数域上，对于所有，但一组$α$的有界高度的代数闭包$\mathbb Q$，Skolem问题是可解的，并在这样的序列中的零的存在性，可以有效地确定。我们还讨论了几个相关的问题。
Multiplicative dependence in linear recurrence sequences
本文研究了线性递推序列中乘法依赖问题，给出了s元组中元素乘法依赖的上界估计。
Linear combinations of factorials in binary recurrence sequences
设$\{u_{n}\}_{n \geq 0}$是具有正判别式的非退化二元递归序列。本文考虑丢番图方程$u_m + u_n = a_1 n_1! + \cdots + a_k n_k!$，证明了只有1000个有效可计算项可以表示为因子之和。此外，我们发现的平衡序列的条款，可以写为两个因子的总和。
Linear recurrence sequences and palindromic concatenations of two repdigits in base $β$
研究在特定条件下，满足三阶线性递推的序列中，能表示为基 $\beta$ 中两个重复数字回文拼接的项仅有有限个。
Positive lower density for prime divisors of generic linear recurrences
令$d \ge 3$是整数，并且令$P \in \mathbb{Z}[x]$是其伽罗瓦群是$S_d$的次数$d$的多项式。设$(a_n)$是以$P$为特征多项式的线性递归整数序列.在广义黎曼假设下，证明了序列$(a_n)$中至少有一个元素被整除的素数集合的低密度是正的.
Anti-recurrence sequences
本文研究反递归序列的结构猜想，并在生成反递归的线性形式满足特定限制时，证明其可表示为线性等差数列与自动序列之和。
On split families of Thue equations with linear recurrence sequences as factors
研究以线性递推序列为参数函数的 Thue 方程分裂族，证实了在参数大于某可计算常数时存在显式解集的结论对特定递推序列族同样成立。
Kepler Sets of Second-Order Linear Recurrence Sequences Over $\mathbb{Q}_p$
本文研究 $\mathbb{Q}_p$ 上二阶线性递推序列相邻项比值的极限点集合，刻画其 Kepler 集的结构。
An elliptic sequence is not a sampled linear recurrence sequence
设$E$是定义在有理数上的极小Weierstrass形式的椭圆曲线，$P=(x_1/z_1^2,y_1/z_1^3)$是$E$上的无穷阶有理点，其中$x_1,y_1,z_1$是互质整数.我们表明，整数序列$(z_n)$定义的$nP=(x_n/z_n^2,y_n/z_n^3)$的所有$n\ge 1$最终不符合$(u_{n^2})$的线性递归序列$(u_n)$与整数值的任何选择。
On the size of a linear combination of two linear recurrence sequences over function fields
本文研究函数域上两个非退化线性递推序列之差的赋值上界，证明在适当条件下存在可有效计算的常数，使得该赋值不超过其中一个序列的赋值加常数。
On numbers $n$ with polynomial image coprime with the $n$th term of a linear recurrence
设$F$是一个整数线性递归，$G$是一个在有理数上分裂的整数值多项式，$h$是一个正整数.另外，令$\mathcal{A}_{F,G,h}$是所有自然数$n$的集合，使得$\gcd(F(n), G(n)) = h$。证明了$\mathcal{A}_{F,G,h}$具有自然密度。此外，假设$F$是非退化的，$G$没有固定的因子，我们证明了$\mathbf{d}(\mathcal{A}_{F,G,1}) = 0$当且仅当$\mathcal{A}_{F,G,1}$是有限的。
Linear recurrence relations for binomial coefficients modulo a prime
研究了当正整数k为固定值时，二项式系数序列\binom{k}{i}模素数p在有限范围0 \le i \le k中满足（正）次h的线性递归关系.特别地，我们证明了，如果2 h \le k<p-h，这不会发生。这个假设可以减弱为2 h \le k<p，如果我们假设，此外，关系的特征多项式没有-1作为根。我们应用我们的结果来恢复一个已知的有限域有限域上的费马曲线的点的数目的界限。
On families of cubic split Thue equations parametrised by linear recurrence sequences
令$(A_n)_{n\in \mathbb{N}}, (B_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{Z}^{\mathbb{N}}$是两个线性递归序列，满足优势根条件和一些技术要求。证明了当参数$n$大于某个可有效计算的常数时，分裂的Thue方程族\[ |X(X-A_n Y)(X-B_n Y) - Y^3| = 1 \]只有平凡解$\pm\{ (0,1), (1,0), (A_n,1), (B_n,1) \}$.
Composite polynomials in linear recurrence sequences
设$(G_n(x))_{n=0}^\infty$是具有多项式特征根的$d$阶线性递归序列，其中一个特征根的次数严格大于其它特征根的次数.此外，令$m\geq 2$为给定整数。我们要求$n\in\mathbb{N}$使得方程$G_n(x)=g\circ h$对于具有deg $g=m$的多项式$g\in\mathbb{C}[x]$和具有deg $h>1$的多项式$h\in\mathbb{C}[x]$是满足的。我们证明，但所有100多$n$这些分解可以描述为“有限项”来自一个通用的分解参数化的代数品种。本说明书中的所有数据都将被证明是可有效计算的。
On the $p$-adic valuation of third order linear recurrence sequences
本文通过推广Marques和Lengyel的猜想，研究了三阶线性递推序列的$p$-进赋值，证明了若猜想对特定序列成立，则丢番图方程$x_n=m!$的解集有限且可被有效计算。
Algebraic Degree Periodicity in Recurrence Sequences
证明了代数线性递归序列中代数数的度序列是虚周期的。这是使用Skolem-Mahler-Lech定理证明的。它对有限域上指数和的度序列和极小多项式序列都有应用。对于一些更复杂的非线性递归序列，度周期性也成立。我们给出一个例子，从一个多项式映射的迭代。这取决于已在某些情况下证明的动态Mordell-Lang猜想。
$p$-Adic quotient sets: linear recurrence sequences
令$(x_n)_{n\geq0}$是一个阶为$k\geq2$的线性递归，对所有整数$n\geq k$满足$$x_n=a_1x_{n-1}+a_2x_{n-2}+\dots+a_kx_{n-k}$$，其中$a_1,\dots,a_k,x_0,\dots, x_{k-1}\in \mathbb{Z},$具有$a_k\neq0$。在[“The quotient set of $k$ -generalised Fibonacci numbers is dense in $\mathbb{Q}_p$”，\emph{Bull. Aust. Math. Soc.} \textbf{96}（2017），24-29]中，Sanna提出了一个开放性问题来分类素数$p$，其中$(x_n)_{n\geq0}$的商集在$\mathbb{Q}_p$中是稠密的。本文给出了$k$的商集稠密的一个充分条件，其中$(x_n)_{n\geq0}$满足$ x_{n}=a_1x_{n-1}+a_2x_{n-2}+\dots+a_kx_{n-k}$，$n\geq k$是以$x_0=\dots=x_{k-2}=0,x_{k-1}=1$为初值的整数，其中$a_1,\dots,a_k\in \mathbb{Z}$和$a_k=1$ .证明了给定一个素数$p$，存在无穷多个$k\geq 2$阶的递归序列，使得它们的商集在$\mathb…
Distribution of integral values for the ratio of two linear recurrences
设$F$和$G$是数域$\mathbb{K}$上的线性递归，$\mathfrak{R}$是$\mathbb{K}$的一个非线性生成子环.此外，令$\mathcal{N}$是正整数$n$的集合，使得$G(n) \neq 0$和$F(n) / G(n) \in \mathfrak{R}$。Corvaja和Zannier在温和假设下证明了$\mathcal{N}$的渐近密度为零。我们证明了对于所有的$x \geq 3$，都有$\#(\mathcal{N} \cap [1, x]) \ll x \cdot (\log\log x / \log x)^h$，其中$h$是一个可以用$F$和$G$计算的正整数.在Hardy-Littlewood $k$ -tuple猜想的假设下，除了$\log \log x$项外，我们的结果都是最优的.
On Arithmetic Progressions in Recurrences - A new characterization of the Fibonacci sequence
证明了Fibonacci数列实质上是唯一的包含无穷多个三项等差数列的二元递归数列。本文还给出了一般线性递推式具有无穷多个三项等差数列的判别准则。
Linear combinations of prime powers in sums of terms of binary recurrence sequences
设$\{ {U_{n}\}_{n \geq 0} }$是具有正判别式的非退化二元递归序列。设$\{p_1,\ldots, p_s\}$为固定素数，$\{b_1,\ldots ,b_s\}$为固定非负整数.本文在一定的假设条件下得到了丢番图方程$U_{n_{1}} + \cdots + U_{n_{t}} = b_1 p_1^{z_1} + \cdots+ b_s p_s^{z_s} $解的有限性结果。此外，我们显式求解方程$F_{n_1}+ F_{n_2}= 2^{z_1} +3^{z_2}$，在非负整数$n_1, n_2, z_1, z_2$与$z_2\geq z_1$。在这项工作中使用的主要工具是下限的线性形式的矩阵和Baker-Davenport减少方法。
Linear recurrences and rational Lambert series
研究线性递推序列与有理拉伯特级数的关系，证明若序列最终线性递推且拉伯特级数有理，则序列有限支撑。
On digit-appending walks along linear recurrences
该研究探讨基$b\boldsymbol{\u2265}2$下沿具单位圆外唯一单重主导根$\boldsymbol{\u03b1}$的整数线性递推数列的数字追加游走，证明$\boldsymbol{\u03b1}$与$b$乘法独立时，一致有界追加数字长度的无限游走不存在，无界时则存在。
Linear recurrence sequences and twisted binary forms
令$ \prod_{i=1}^d (X-α_i Y) \in{\mathbb C}[X,Y]$为二进制形式，令$ε_1,\dots,ε_d$为非零复数。我们考虑二元形式族$ \prod_{i=1}^d (X-α_i ε_i^aY)$，$a\in {\mathbb Z}$，记作$$ X^d-U_1(a)X^{d-1}Y+\cdots+(-1)^{d-1} U_{d-1}(a) XY^{d-1}+(-1)^d U_d(a) Y^d.$$。本文研究了这些序列$\bigl(U_h(a)\bigr)_{a\in {\mathbb Z}}$，证明它们是线性递归序列。
Common values of a class of linear recurrence
设$(a_n), (b_n)$是分别具有特征多项式$A(X),B(X)\in \mathbb{Z}[X]$的线性递归整数序列.假设$A(X)$有一个控制单实根$α$，而$B(X)$有一对共轭复控制单根$β,\barβ$。进一步假定$α/ β$和$\barβ/β$不是单位和$δ= \log |α|/ \log |β| \in \mathbb{Q}$的根。然后存在有效可计算常数$c_0,c_1>0$，使得不等式$$ |a_n - b_m| > |a_n|^{1-(c_0 \log^2 n)/n} $$对所有具有$\max\{n,m\}>c_1$的$n,m \in \mathbb{Z}^2_{\ge 0}$成立。
On the growth of linear recurrences in function fields
本文证明了函数域中非退化线性递推序列的增长下界，类比数域情形，在非限制性条件下，序列绝对值不小于最大特征根绝对值的 $n(1-\varepsilon)$ 次幂。
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