An upper bound for the generalized greatest common divisor of rational points
本文针对数域上光滑射影簇中的点关于不可约子簇的广义最大公约数，给出了一个上界，并通过建立一致的 Riemann--Roch 型不等式来证明该结果。
2024-11-09 math.NT
On the Distribution of the Greatest Common Divisor of Gaussian Integers
对于一对随机高斯整数选择均匀和独立的一组高斯整数的范数$x$或更少的$x$走向无穷大，我们发现渐近的平均范数的最大公因数，与明确的错误条款。我们还提出了更高的时刻与计算数据支持的结果，第二，第三，第四，第五时刻。Diaconis和Erdös研究了整数的类似问题。
2015-03-01 math.NT
On sums of arithmetic functions involving the greatest common divisor
令$\gcd(d_{1},\ldots,d_{k})$是正整数$d_{1},\ldots,d_{k}$的最大公因数，对任意整数$k\geq 2$，并令$τ$和$μ$分别表示除数函数和莫比乌斯函数。对任意算术函数$g$，对任意实数$x>5$和任意整数$k\geq 3$，定义了和$$ S_{g,k}(x) :=\sum_{n\leq x}\sum_{d_{1}\cdots d_{k}=n} g(\gcd(d_{1},\ldots,d_{k})) $$.本文给出了$k\geq 3$的和$S_{τ,k}(x)$和$S_{μ,k}(x)$的渐近公式.
2021-02-07 math.NT
On the Fourier transform of the greatest common divisor
最大公因数的离散傅里叶变换是一个乘性函数，它推广了gcd-和函数和欧拉函数。一方面，它是狄利克雷卷积的身份与拉马努金的总和，另一方面，它可以写为一个广义卷积产品的身份与totient功能。我们表明，这个算术函数的两个整数（a，m）计数的元素的数量在集合中的序偶（i，j），使i*j是相当于模m。此外，我们将totient函数的十几个已知等式推广到涉及最大公因数的离散傅里叶变换的等式，包括其部分和及其Lambert级数。
2012-01-16 math.NT
New recurrences for divisor sum functions and triangular numbers
欧拉发现了递归的除数和函数的结果，五边形数定理。基于类似的思想，并受Ewell在1977年工作的启发，我们证明了某些因子和函数与三角数的新递归性。
2022-07-12 math.NT
On the greatest common divisor of integer parts of polynomials
本文受Bergelson和Richter的问题启发，研究了正整数与多项式整数部分构成互素元组的计数问题，并给出了误差项强度依赖于首项系数丢番图性质的渐近公式。
2023-12-02 math.NT
On fine Selmer groups and the greatest common divisor of signed and chromatic $p$-adic $L$-functions
设$E/\mathbb{Q}$为椭圆曲线，$p$为奇素数，其中$E$具有良好的超奇异约化.令$F_1$表示$E$的精细Selmer群的Pontryagin对偶在$\mathbb{Q}$的分圆$\mathbb{Z}_p$ -扩张上的特征幂级数，并令$F_2$表示附加到$E$的Pollack的正和负$p$ -adic $L$ -函数或Sprung的尖锐和平坦$p$ -adic $L$ -函数的最大公因数，这取决于是$a_p(E)=0$还是$a_p(E)\ne0$。研究了岩泽代数中$F_1$和$F_2$的因子之间的联系.这为格林伯格和波拉克-栗原在这些要素上提出的问题提供了新的见解。
2021-03-10 math.NT
Linear Recurrences of Order at Most Two in Small Divisors
给定正整数$n$，$n$的小约数被定义为不超过$\sqrt{n}.$ Ianucci先前分类的所有$n$的正约数，其中$n$的小约数形成等差数列。在本文中，我们分类所有的$n$的小因子的$n$形成一个线性递归的阶最多为2。
2021-08-18 math.NT
On the greatest common divisor of $n$ and the $n$th Fibonacci number, II
令$\mathcal{A}$是所有$\gcd(n, F_n)$形式的整数的集合，其中$n$是正整数，$F_n$表示第$n$个斐波那契数。Leonetti和Sanna证明了$\mathcal{A}$的自然密度等于零，并要求更精确的上限。证明了对于所有充分大的$x$，都有\begin{equation*} \#\big(\mathcal{A} \cap [1, x]\big) \ll \frac{x \log \log \log x}{\log \log x} \end{equation*}.
2022-07-07 math.NT
The summatory function of the Möbius function involving the greatest common divisor
本文定义了涉及最大公约数的Möbius函数求和函数$S_\mu(x)$，给出其渐近公式，在黎曼猜想假设下推导了误差项的均方估计，证明运用了Perron公式等数论工具。
2024-03-05 math.NT
On the greatest common divisor of the value of two polynomials
证明了如果两个整系数的首一多项式有无平方结式，则结式的所有正因子都是这两个多项式在适当整数处的值的最大公因数.
2016-08-29 math.AC math.NT
Linear recurrences of order at most two in nontrivial small divisors and large divisors
对于每一个正整数$N$，定义$$S'_N \ =\ \{1 < d < \sqrt{N}: d|N\}\mbox{ and }L'_N \ =\ \{\sqrt{N} < d < N : d|N\}.$$最近，Chentouf的特点是所有正整数$N$，使一组小因子$\{d\le \sqrt{N}: d|N\}$满足线性递归的顺序最多为2。我们通过排除平凡因子$1$的考虑，这大大增加了分析的复杂性，非平凡扩展的结果。我们的第一个结果刻画了所有正整数$N$使得$S'_N$满足至多二阶的线性递归。此外，我们的第二个结果的特点是所有积极的$N$，使$L'_N$满足线性递归的顺序最多为2，从而大大扩展了最近的结果，特点是$N$与$L'_N$是在一个等差数列。
2022-10-01 math.NT
Computing the Greatest Common Divisor of Binomial Coefficients $\binom{mn}{mk}$
IBM Research IBM T. J. Watson Research Center（IBM 研究院）
本文研究了二项式系数 $\binom{mn}{mk}$ 的最大公约数，给出了 $m=2$ 时该 GCD 的完整刻画，并展示了在特定条件下高效计算的方法。
2026-08-06 math.NT
Greatest Common Divisors on the Complement of Numerically Parallel Divisors
我们证明不等式涉及最大公因数的职能在积分点就数值平行因子，推广结果王和Yasufuku（后工作的Bugeaud-Corvaja-Zannier，Corvaja-Zannier，和第二作者）。在应用结果Vojta积分点的子品种的semiabel品种，我们使用几何和理论的高度减少到（已知）的情况下$\mathbb{G}_m^n$。除了证明结果在更广泛的背景下比以前考虑的，我们还研究了特殊的设置在这种情况下，无论是计数函数和邻近函数。
2022-07-29 math.AG math.NT
On the greatest common divisor of $n$ and the $n$th Fibonacci number
令$\mathcal{A}$是所有$\gcd(n, F_n)$形式的整数的集合，其中$n$是正整数，$F_n$表示第$n$个斐波那契数。我们证明了对所有的$x \geq 2$，$\#\left(\mathcal{A} \cap [1, x]\right) \gg x / \log x$都有渐近密度，并且$\mathcal{A}$的渐近密度为零.我们的证明依赖于最近的结果立方体和劳斯它给每个正整数$n$，一个明确的公式的密度素数$p$，使$n$划分的秩的外观$p$，也就是说，最小的正整数$k$，使$p$划分$F_k$。
2017-04-11 math.NT
Greatest common divisors of values of integer polynomials and an application to maximal tori
本文给出计算两个整系数多项式在所有整数点取值的最大公因数的方法，并将其用于确定例外李型群中全部极大环面的初等因子结构。
2023-08-21 math.GR math.NT
Generalized Greatest Common Divisors, Divisibility Sequences, and Vojta's Conjecture for Blowups
我们应用Vojta的猜想爆破和推导出一些深的声明（广义）最大公因数的品种，特别是在射影空间和阿贝尔簇。这些陈述的特殊情况推广了以前的结果和定理。我们还讨论了广义最大公因数与代数群上的整除序列之间的关系，并应用Vojta猜想得到了维数至少为2的阿贝尔簇上的整除序列的一个强界.
2004-08-02 math.AG math.NT
Generalized Greatest Common Divisors for the Orbits under Rational Functions
Vojta的猜想假设$a, b, α,β\in \mathbb{Z}$和$f(x),g(x) \in \mathbb{Z}[x]$是次数为$d \ge 2$的多项式。假设序列$(f^{\circ n}(a), g^{\circ n}(b))_n$是泛生的，$α,β$对$f,g$不是例外的，证明了对每个给定的$\varepsilon > 0$，都存在常数$C = C(\varepsilon,a,b,α,β,f,g)>0$，使得对所有的$n \ge 1$，都有$$\gcd(f^{\circ n}(a)-α, g^{\circ n}(b) -β) \le C\cdot\exp({\varepsilon\cdot d^n}). $$。证明了对有理函数和更一般的gcd的一个估计，并由此得到上述不等式。
2018-08-08 math.NT
Limit Theorems for Empirical Density of Greatest Common Divisors
具有给定最大公因数的均匀分布整数对的经验密度的大数定律是数论中的一个经典结果。本文研究了经验密度的大偏差。我们还将得到中心极限定理收敛到正态分布的速度。提供了一些概括。
2016-10-05 math.NT math.PR
Arithmetic-term representations for the greatest common divisor
该研究构建了最大公约数函数的新型算术项表示，还附带推导出整数算术中用模项表示最大公约数的形式，为数论相关表示研究提供了新的构造思路。
2025-06-11 math.LO math.NT
On prime factors of terms of binary recurrence sequences
我们从下面给出了二元递归序列的第n项的最大素因子的估计。
2022-06-02 math.NT
Positive lower density for prime divisors of generic linear recurrences
令$d \ge 3$是整数，并且令$P \in \mathbb{Z}[x]$是其伽罗瓦群是$S_d$的次数$d$的多项式。设$(a_n)$是以$P$为特征多项式的线性递归整数序列.在广义黎曼假设下，证明了序列$(a_n)$中至少有一个元素被整除的素数集合的低密度是正的.
2021-02-08 math.NT
Greatest common divisors of integral points of numerically equivalent divisors
我们把G.C.D. Corvaja-Zannier和Levin在$\mathbb G_m^n$上的结果更一般的设置。更具体地说，我们分析了高度的一个闭子概形的余维至少$2$内的$n$维科恩-麦考利投影品种，并表明，这个高度是小的，当评估在积分点相对于一个除数$D$时，$D$是一个总和$n+1$有效因子都是数值等价的一些倍数的一个固定的充足的除数。我们的方法受到了西尔弗曼的G.C.D.的启发。估计作为Vojta猜想的一个应用，在我们的证明中，它被Schmidt的Ru-Vojta子空间定理的一个更一般的版本所取代。
2019-07-22 math.AG math.NT
Prime ideal divisors of parametric recurrence sequences
National Institute of Technology Calicut（卡利卡特国家技术学院）
本文研究单位根处参数线性递归序列的算术性质，给出了最大素理想因子和主理想生成元范数的有效下界，并证明了S-部分的有效上界。
2026-06-02 math.NT
On the Greatest Common Divisor of Binomial Coefficients ${n \choose q}, {n \choose 2q}, {n \choose 3q}, \dots$
每个二项式系数爱好者都知道，如果对于某些$i>0$，$n=p^i$等于$p$，则二项式系数的最大公因数$\binom n1,\binom n2,\dots,\binom n{n-1}$等于$p$，否则等于1。不太为人所知的是，二项式系数$\binom{2n}2,\binom{2n}4,\dots,\binom{2n}{2n-2}$的最大公因数等于（2的某个幂）所有奇素数$p$的乘积，使得对于某些$0\le i\le j$，$2n=p^i+p^j$。本注记对这些事实的一个整齐的概括给出了一个简明的证明。
2018-07-25 math.CO math.NT
On the greatest common divisor of $n, \lfloor α_1n\rfloor, \lfloor α_2n^2\rfloor, ..., \lfloor α_kn^k\rfloor$
University of Ottawa（渥太华大学）
本研究回答了Bergelson和Richter提出的关于固定无理数下n与各次幂取整值的最大公约数为1的概率问题，采用类Erdős-Lorentz初等方法结合相关素因子界，规避了难控制的指数和方法。
2026-07-31 math.NT
Primes Generated by Recurrence Sequences
考虑由二次多项式定义的整数序列的项的本原因子。除了一些小的反例，当一个项有一个本原因子时，这个本原因子是唯一的。看起来有一个原始因子的项数有一个自然密度。我们讨论了两个启发式的参数，建议该密度的值，一个使用最近的进展多项式同余的根的分布。
2006-03-02 math.NT
Greatest common divisors of shifted primes and Fibonacci numbers
令$(F_n)$是斐波那契数序列，对于每个正整数$k$，令$\mathcal{P}_k$是素数$p$的集合，使得$\gcd(p - 1, F_{p - 1}) = k$。证明了$\mathcal{P}_k$的相对密度$\text{r}(\mathcal{P}_k)$的存在性，并给出了用绝对收敛级数表示的$\text{r}(\mathcal{P}_k)$的计算公式.此外，我们给出了一个有效的准则，以建立如果一个给定的$k$满足$\text{r}(\mathcal{P}_k) > 0$，我们提供了上和下界的计数函数的这种$k$的集合。作为我们结果的应用，我们给出了整数集合的计数函数的一个下界的新证明，其形式为$\gcd(n, F_n)$，对于某个正整数$n$ .我们的证明是更基本的比前一个由Leonetti和Sanna，它依赖于Cubre和Rouse的结果。
2022-04-19 math.NT
Schreier Numbers and Nontrivial Small Divisors Satisfying Linear Recurrence of Order at Most Two
Schreier集一直是一个研究对象，因为首先介绍了在1930年由Jozef Schreier构建一个反例的猜想巴拿赫。1974年，乔治·安德鲁斯发现了这些集合和斐波那契数之间的有趣联系，此后，朱棣文、比兰德和芬奇-史密斯证明了更多的组合式结果。在平行Iannucci介绍了概念的小因子和特点的所有自然数的小因子是在等差数列，结果被推广的Chentouf和朱。然后结合这两个思想，朱棣文引入了Schreier数的概念，它的非平凡小因子集（小因子不包括1）是Schreier。我们的主要结果有两个方面：我们首先证明了这些数的渐近密度为0，并且存在无穷多个差为2或4的非素Schreier对。然后受Chu推广的Iannucci结果的启发，我们刻画了所有非平凡小因子满足阶不大于2的线性递归的自然数。
2022-09-23 math.NT
Glaisher's divisors and infinite products
拉马努金给出了一个递归关系的分拆函数的总和的除数函数$σ(n)$。1885年，J.W. Glasgow认为七个除数和密切相关的总和的除数函数。我们开发了一个演算，将生成函数与这些除数和中的每一个相关联。这产生了类似的拉马努金的递归关系的几个分区理论的功能，以及$r_k(n)$和$t_k(n)$，功能计数的方式写一个数的平方和（分别为三角形）的数字。作为这种关联的副产品，我们得到了除数函数的几个卷积、递归和同余。我们给出两个经典定理的交替证明，一个是由于勒让德和其他-拉马努金的同余$p(5n+4) \equiv 0 \pmod 5$。
2022-08-02 math.NT
The distribution of the generalized greatest common divisor and visibility of lattice points
对于固定的$b\in \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}$，Goins等人的\cite{Harris}定义了$b$的概念--对于$L=\mathbb{N}\times \mathbb{N}$中的格点$(r,s)$的可见性，其声明$(r,s)$是$b$ --对于某些正的$a\in \mathbb{Q}$，如果$(r,s)$位于$f(x)=ax^b$的图上，并且$L$中没有其他格点位于$(0,0)$和$(r,s)$之间的该图上，则从原点可见。此外，为了研究$L$中$b$ -可见点的密度，Goins等人定义了一个推广的最大公因数，表示为$\gcd_b$，并证明了$L$中$b$ -可见格点的比例由$1/ζ(b+1)$给出，其中$ζ(s)$是Riemann zeta函数。在本文中，我们研究的算术函数$Λ:L\to \mathbb{ C}$定义使用$\gcd_b$的平均值和恢复的主要结果\cite{Harris}作为更一般的结果，本文。我们还调查了一个推广的结果在\cite{Harris}断言，有任意大的矩形排列的$b$可见点在格$L$为一个固定的$b$，更具体地说，我们给出了一个任意的矩形排列包含$b$可见和$b$ -不可见点是可实现的格$L$的充分必要条件。我们的结果是由赫尔佐格和斯图尔特\cite{Herzog}谁证明了这一点的情况下$b=1$工作的启发。
2020-02-24 math.NT
Greatest common divisors of iterates of polynomials
继Bugeaud、Corvaja和Zannier对整数的工作之后，Ailon和Rudnick证明了对于任何乘法独立多项式$a, b \in {\mathbb C}[x]$，存在一个多项式$h$，使得对于所有$n$，我们有\[ \gcd(a^n - 1, b^n - 1) \mid h\]。我们证明了这个定理的一个合成类似物，即如果$f, g \in {\mathbb C}[x]$是非常数的合成独立多项式，并且$c(x) \in {\mathbb C}[x]$，则最多有1000个$λ$具有存在$n$使得$(x - λ)$可除$\gcd(f^{\circ n}(x) - c(x), g^{\circ n}(x) - c(x))$的性质。
2016-11-13 math.DS math.NT
Generalized GCD matrices
设$f$为算术函数。由$(i,j)$的最大公约数中的$f$的值、$f\big((i,j)\big)$作为其$i,\; j$条目给出的矩阵$[f(i,j)]_{n\times n}$被称为最大公因数（GCD）矩阵。我们考虑这个矩阵的推广，其中元素的形式为$f\big(i,(i,j)\big)$。
2010-12-25 math.NT
Estimating the greatest common divisor of the value of two polynomials
设$p$是一个固定的素数，并且让$v(a)$代表整数$a$的素数分解中$p$的指数。令$f$和$g$是两个具有整数系数和非零结果$r$的一元多项式。将所有整数$n$上的最大值$v(\gcd (f(n), g(n)))$写入$S$。已知$S \le v(r)$.我们给出了各种下限和上限的最小可能值的$v(r)-S$提供一个给定的电源$p^s$除$f(n)$和$g(n)$的所有$n$。特别地，对于$s\le p$，最小可能值是$ps^2-s$，对于大的$s$，最小可能值是渐近的$(p-1)s^2$。
2017-12-04 math.AC math.NT
Greatest Common Divisor results on semiabelian varieties and a Conjecture of Silverman
可除性序列是整数序列$\{d_n\}$，使得如果$m$整除$n$，则$d_m$整除$d_n$。Bugeaud，Corvaja，Zannier等人的结果表明，对应于乘法群子群的两个整除序列的gcd以受控的方式增长。西尔弗曼指出，类似的行为应该出现在许多代数群。我们推广了Ghioca-Hsia-Tucker和Silverman关于椭圆曲线的结果，证明了Silverman关于函数域上阿贝尔簇和分裂半阿贝尔簇的猜想的一个类似结果，并推广了这个结果.我们采用的工具来自理论的不太可能的交叉点，以及所谓的贝蒂映射相关的阿贝尔计划的一部分的属性。
2022-05-11 math.AG math.NT
The moments of split greatest common divisors
Indraprastha Institute of Information Technology（印度普拉斯坦萨信息技术学院）；Chennai Mathematical Institute（马德拉斯数学研究所）；Institut Fourier, Université Grenoble Alpes（格勒诺布尔阿尔卑斯大学傅里叶研究所）
研究分裂最大公因子序列的矩，刻画了gcd(n,u_n)^λ的渐近行为，解决了代数群G_a×G_m上的矩问题，给出无条件和条件结果。
2026-10-06 math.NT
$(a,a)$-Carmichael numbers and greatest common divisors of $p-a$
Wofford College（沃福德学院）
研究(a,a)-卡迈克尔数，通过定义K及C_ν(X,a)，在关于算术级数中首个素数的强猜想下，证明对特定整数a和自然数ν，给出C_ν(X,a)的下界。
2026-09-15 math.NT
A Greatest Common Divisor Criterion of Certain Binomial Coefficients
State Key Laboratory of Mathematical Sciences, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences, and University of Chinese Academy of Sciences（数学科学学院，中国科学院大学；中国科学院数学与系统科学研究院）
证明OEIS A080170中的二项式系数最大公约数判据，该判据等价于n/P > P，其中n=k+1，P是整除n的最大素幂。
2026-06-23 cs.LO math.NT
A lower bound for the two-variable Artin conjecture and prime divisors of recurrence sequences
在1927年，阿廷证明，任何整数以外的其他-1或完美的平方产生乘法组$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}^\times$无限多$p$。在\cite{MoSt}中，Moree和Stevenstein考虑了这个问题的两个变量版本，并通过改编Hooley对原始猜想（\cite{Ho}）的证明，有条件地证明了广义黎曼假设的正密度结果。在这篇文章中，我们证明了一个无条件的下界，这两个变量的问题。特别是，我们证明了一个估计的数量不同的素数划分的第一个$N$条款的非退化二进制递归序列。我们还证明了同一定理的一个较弱的版本，并给出了三个证明，我们认为是独立的利益。第一个证明使用超越结果的斯图尔特\cite{Stew}，第二个使用定理的Bubieri和施密特的Thue方程\cite{BoSc}和第三个使用芒福德的间隙原则计算点的曲线的高度\cite{Mum}。最后，我们证明了一个析取定理，在这里，我们认为一组素数满足我们的两个变量的条件或原始条件的阿廷猜想。我们给出了这类素数个数的一个无条件下界。
2017-11-17 math.NT
Prime divisors of sequences of integers
本文发展了Furstenberg关于素数无穷大的证明，并证明了关于整数序列的素除子的几个结果，包括著名的Schur定理。特别地，我们给出了一个经典结果的简单证明，该结果表明，k>1阶整数的非退化线性递归序列具有无穷多个素除子。
2017-11-06 math.NT
On divisors of Lucas and Lehmer numbers
设u（n）是Lucas序列或Lehmer序列的第n项，本文从下式给出u（n）的最大素因子nexp（logn/104 loglogn）的估计.这样我们就能解决Schinzel从1962年提出的一个问题和Erdos从1965年提出的一个猜想。此外，我们还能对Bang从1886年提出的结果和Carmichael从1912年提出的结果给出第一个一般性的改进。
2010-08-06 math.NT
The asymptotic formulae of sums of two smooth squares for divisor function
一个自然数$n$是$y$ -光滑的，如果$n$的最大素因子不超过$y$。设$s_{1}$和$s_{2}$是$y$ -光滑数.考虑二元Titchmarsh除数问题的光滑平方和，给出了$(\log x)^{K}\le y<x^{\frac{1}{2}}$的$\sum_{s_{1}^{2}+s_{2}^{2}\le x}τ(s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+1)$的渐近公式，其中$K$足够大.
2023-06-12 math.NT
Uniform explicit Stewart's theorem on prime factors of linear recurrences
Stewart（2013）证明了Lucas整数序列的第$n$项的最大素除子比$n$增长得更快，回答了Erds和Schinzel的著名问题。本文给出了Stewart结果的一个完全显式的、在某种意义上是统一的形式。
2022-10-02 math.NT
Common divisors of totients of polynomial sequences
出于Venkataramana的一个问题，我们考虑的最大公因数的$ϕ(f(n))$，其中$f$是一个本原多项式的整数系数，和$n$范围内的所有自然数。假设Schinzel的假设，我们建立，这个gcd可能只是在多项式$f$的次数有界。无条件地，我们建立这样的二次多项式，以及多项式完全分裂成线性因素的限制。本文还解决了Calegari的一个问题，并建立了有无穷多个$n$，使得$n^2+1$不能被任何素数$\equiv 1 \bmod 2^m$整除，只要$m$是一个大的固定整数。
2019-09-24 math.NT
Torsion points on curves and common divisors of a^k-1 and b^k-1
研究了a^k-1和b^k-1的最大公因数的性质，其中a，b是固定整数或多项式，k是变化的。在整数情形下，我们猜想当a和b乘法独立且a-1和b-1互质时，则a^k-1和b^k-1无穷常互质。在多项式的情况下，我们证明了这个猜想的一个强版本。要做到这一点，我们使用一个结果朗的有限扭转点的代数曲线。我们也给出了这些结果的一个矩阵模拟，其中对于一个幺模矩阵A，我们看矩阵A^k-I的元素的最大公因数。
2002-12-17 math.AG math.NT
Recurrence relations satisfied by the traces of singular moduli for $Γ_0(N)$
通过计算模曲线$Γ_0(N) \backslash \mathbb H^*$上的模方程的除数，找到了亏格为零的同余子群$Γ_0(N)$的Haupt模的模迹所满足的递推关系.我们还介绍了二元二次型的$Γ$ -等价和$Γ$ -约化形式的概念和性质。使用这些，我们可以显式地计算$N = 2, 3, 4, 5$的递归关系。
2020-02-05 math.NT
On some properties of $σ(N)$
我们证明了N和$σ(N)$的最大公因数的渐近上界和下界。我们还表明，有无穷多个整数N具有相当大的g.c. d。N和$σ(N)$。
2007-07-27 math.NT
On numbers $n$ with polynomial image coprime with the $n$th term of a linear recurrence
设$F$是一个整数线性递归，$G$是一个在有理数上分裂的整数值多项式，$h$是一个正整数.另外，令$\mathcal{A}_{F,G,h}$是所有自然数$n$的集合，使得$\gcd(F(n), G(n)) = h$。证明了$\mathcal{A}_{F,G,h}$具有自然密度。此外，假设$F$是非退化的，$G$没有固定的因子，我们证明了$\mathbf{d}(\mathcal{A}_{F,G,1}) = 0$当且仅当$\mathcal{A}_{F,G,1}$是有限的。
2018-05-14 math.NT
Growth of generalized greatest common divisors along orbits of self-rational maps on projective varieties
本文研究射影簇上支配有理自映射轨道上广义最大公约数高度的增长，在轨道通用且动力学次数与算术次数满足特定不等式条件下，证明了余维数c的闭子概形高度与丰沛高度之比的极限为零。
2025-07-07 math.AG math.DS math.NT
Euler-type Recurrence Relations for Partition Functions with Congruence Conditions
American University of Beirut（贝鲁特美国大学）；Louisiana State University（路易斯安那州立大学）
该研究针对模$\delta$同余于0或$\pm g$的分拆函数$p_{\delta,g}(n)$，利用广义戴德金η函数与Rankin-Cohen括号推导欧拉型递推关系，还得到$\delta=5$的显式递推、拉马努金型同余及拉德马赫型公式。
2026-07-31 math.NT
An observation on the sums of divisors
从欧拉的“观察summis divisorum”（1752年）的拉丁文翻译。Enestroem指数中的E243。五边形数定理是$\prod_{n=1}^\infty (1-x^n)=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n x^{n(3n-1)/2}$。本文假定了五角数定理，并利用它证明了因子函数和的一个递推关系。“五边形数”一词来源于多边形数。欧拉求两边的对数导数。然后将两边乘以$-x$后，左边等于$\sum_{n=1}^\infty σ(n) x^n$，其中$σ(n)$是$n$的约数之和，例如$σ(6)=12$。这就产生了$σ(n)$的递归关系。我一直在详细研究所有欧拉的工作五边形数定理，更普遍的无穷乘积。我特别有兴趣看看是否还有其他人在欧拉和雅可比之间研究过类似的产品和系列，我很乐意听到任何对此有所了解的人的声音。
2009-07-18 math.HO math.NT
Another generalization of Mason's ABC-theorem
该研究推广了梅森ABC定理，仅需约去最大公因子、多项式和无真子和为零的条件，并据此推导了多项式广义费马-卡塔兰方程与广义费马方程无非平凡解的判定条件。
2023-07-17 math.NT
Elementary closed-forms for non-trivial divisors
本文提出了若干初等闭式公式，通过固定数量的算术运算为每个合数 $n>1$ 表达非平凡因子，并开发了基于超立方体方法及二次剩余不变量的两族闭式公式，其运算数量恒定且与输入大小无关。
2025-10-30 math.NT
MacMahon's sum-of-divisors functions, Chebyshev polynomials, and Quasi-modular forms
研究了第一类切比雪夫多项式与广义MacMahon因子和函数之间的关系。这决定了一个递归关系来计算这些功能，以及证明猜想的麦克马洪关于其一般形式有关的准模形式。这些功能出现作为解决方案的曲线计数问题的阿贝尔曲面。
2010-10-27 math.AG math.CO math.NT
