AI 中文总结
本研究回答了Bergelson和Richter提出的关于固定无理数下n与各次幂取整值的最大公约数为1的概率问题，采用类Erdős-Lorentz初等方法结合相关素因子界，规避了难控制的指数和方法。
AI 中文摘要
我们回答了Bergelson和Richter提出的一个问题：当$\alpha_1,...,\alpha_k$为固定无理数时，对于$n\in\mathbb{N}$，满足$\gcd(n,\lfloor\alpha_1n\rfloor,\lfloor\alpha_2n^2\rfloor,...,\lfloor\alpha_kn^k\rfloor)=1$这一关系的概率是多少。我们特别避免使用指数和，因为当$\alpha_1,...,\alpha_k$中的某个数存在极高效的有理逼近时，指数和难以控制。取而代之的是，我们采用了一种与Erdős和Lorentz的方法类似的初等方法，并结合了关于那些与$\lfloor\alpha_1n\rfloor$共享大素因子的$n$的若干通用界。
英文摘要
We answer a question of Bergelson and Richter about the probability of the relation $\gcd(n,\lfloorα_1n\rfloor,\lfloorα_2n^2\rfloor,...,\lfloorα_kn^k\rfloor)=1$ for $n\in\mathbb{N}$ when $α_1,...,α_k$ are fixed irrational numbers. In particular, we avoid the use of exponential sums, as they are difficult to control when one of $α_1,...,α_k$ admits very efficient rational approximations. Instead, we use an elementary method similar to that of Erdős and Lorentz, together with some general bounds on those $n$'s which share a large prime divisor with $\lfloorα_1n\rfloor$.
Comments12 pages
