The Shape of the Value Sets of Linear Recurrence Sequences
Stefan Gerhold
证明了实线性递归序列的值集的闭包是可数集与有限区间集的并。相反，任何有限的闭区间的集合都是某个递归序列的值集的闭包。
We show that the closure of the value set of a real linear recurrence sequence is the union of a countable set and a finite collection of intervals. Conversely, any finite collection of closed intervals is the closure of the value set of some recurrence sequence.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Period sets of linear recurrences over finite fields and related commutative rings
在概述了现有的理论关于由线性递归定义的序列的周期在有限域，我们给出了明确的描述，如果一个人认为所有的序列在$\mathbb{F}_q$产生的线性递归的程度$k$在范围$1 \leq k \leq 4$的固定选择的周期。我们还研究了由$\mathbb{F}_{q_1} \oplus \ldots \oplus \mathbb{F}_{q_r}$形式的环上的线性递归生成的序列的周期。
Kepler Sets of Second-Order Linear Recurrence Sequences Over $\mathbb{Q}_p$
本文研究 $\mathbb{Q}_p$ 上二阶线性递推序列相邻项比值的极限点集合，刻画其 Kepler 集的结构。
Sum of terms of recurrence sequences in the solution sets of generalized Pell equations
本文针对广义佩尔方程正整数解的坐标递推序列，刻画了其两项和有无穷多组的情形，并给出有限时的数量上界，拓展了相关数论研究。
$p$-Adic quotient sets: linear recurrence sequences
令$(x_n)_{n\geq0}$是一个阶为$k\geq2$的线性递归，对所有整数$n\geq k$满足$$x_n=a_1x_{n-1}+a_2x_{n-2}+\dots+a_kx_{n-k}$$，其中$a_1,\dots,a_k,x_0,\dots, x_{k-1}\in \mathbb{Z},$具有$a_k\neq0$。在[“The quotient set of $k$ -generalised Fibonacci numbers is dense in $\mathbb{Q}_p$”，\emph{Bull. Aust. Math. Soc.} \textbf{96}（2017），24-29]中，Sanna提出了一个开放性问题来分类素数$p$，其中$(x_n)_{n\geq0}$的商集在$\mathbb{Q}_p$中是稠密的。本文给出了$k$的商集稠密的一个充分条件，其中$(x_n)_{n\geq0}$满足$ x_{n}=a_1x_{n-1}+a_2x_{n-2}+\dots+a_kx_{n-k}$，$n\geq k$是以$x_0=\dots=x_{k-2}=0,x_{k-1}=1$为初值的整数，其中$a_1,\dots,a_k\in \mathbb{Z}$和$a_k=1$ .证明了给定一个素数$p$，存在无穷多个$k\geq 2$阶的递归序列，使得它们的商集在$\mathb…
Sum of terms of recurrence sequences and $S$-units in the solution sets of norm form equations
本文研究范数型方程解的结构，证明线性递推序列项之和及固定项数$S$-单位之和表示的解均具有有限性。
Solutions to 6 problems in recurrence and Van der Corput sets
本文解决了关于优良回归集与van der Corput集的六个开放问题，证明了若干划分正则性及vdC集与算子回归集的关联，并由AI辅助生成初始证明后经人工验证与整理。
Sets of recurrence as bases for the positive integers
我们研究各种实值多项式$p$和衰减率$\varepsilon$的形式$A = \big\{ n \in \mathbb N \big| \lVert p(n) \rVert_{\mathbb R / \mathbb Z} \leq \varepsilon(n) \big\}$的集合。特别是，我们问，当这样的集合是基地的有限阶的正整数。我们表明，一般来说，$A$是一个基础的顺序$2$时，$\operatorname{deg} p \geq 3$，但不是当$\operatorname{deg} p = 2$，虽然然后$A + A$仍然有渐近密度$1$。
$p$-Adic quotient sets: linear recurrence sequences with reducible characteristic polynomials
本文针对特征多项式在有理数域上可约的一类线性递推序列，解答了Sanna提出的判断其$p$-进商集在$p$-进数域中是否稠密的公开问题，补充了此前不可约情形下的相关研究结论。
Multiplicative recurrence of Piatetski--Shapiro and nil-Bohr sets
本文利用圆法建立自然数集乘法回归性的充分条件，并应用于 Piatetski-Shapiro 集与 nil-Bohr 集，同时研究乘性函数的值分布。
Norm form equations with solutions taking values in a multi-recurrence
本文研究了在给定多重递归中取值的范数形式方程的解，证明除非递归具有特定例外形状，否则每个分量中属于该多重递归的解仅有有限个，从而为解集中的算术级数问题提供了变体。
Quantitative recurrence properties and homogeneous self-similar sets
设$K$是满足强分离条件的齐次自相似集.本文研究了由位移引起的自然映射$T: K\rightarrow K$的定量递归性质。令$μ$为$K$上支持的自然自相似测度。对于定义在$\mathbb{N}$上的正函数$φ$，根据某项级数的敛散性，证明了下列集合\begin{equation*} R(φ):=\{x\in K: |T^n x-x|<φ(n) \; \text{for infinitely many} \; n\in\mathbb{N}\} \end{equation*}的$μ$ -测度为零或满.此外，一个类似的二分法也适用于一般的豪斯多夫测度，它完成了这个集合的度量理论。
Dynamical Borel-Cantelli Lemma for Recurrence under Lipschitz Twists
在某些动力系统的研究中，可测集序列的limsup集往往是人们感兴趣的。收缩目标和递归性是limsup集研究中最常见的两个问题。然而，收缩目标和递归的0 - 1定律通常被分开处理并被不同地证明。在本文中，我们引入了一个广义的定义，可以专门到收缩目标和递归，我们的方法给出了一个统一的证明的零-一法律的两个问题。
$2$-large sets are sets of Bohr recurrence
本文证明了当S满足特定条件时，S不是2-大集，即存在一种二色着色方式可避免任意长的等差数列。
On Dynamical Systems With Slow Recurrence Time
利用Behrend关于无等差数列集的一个结果，构造了几个多重递归时间慢的动力系统的例子.我们的定理是Furstenberg对应原理的定量模拟。
$2$-Large Sets and Nil-Bohr Recurrence: A Disproof of the $2$-Large Is Large Conjecture
本文证明2-大集与零Bohr邻域相交，解决了相关猜想与问题，还得出公差限制在零Bohr邻域时k项等差数列极值数的增长上限。
Dynamical Borel-Cantelli lemma for recurrence theory
研究了具有相容度量$d$的保测度动力系统$(X, μ, T)$中递归集的动力Borel-Cantelli引理.证明了在一定的正则性条件下，下列集合\[ R(ψ)= \{x\in X : d(T^n x, x) < ψ(n)\ \text{for infinitely many}\ n\in\N \} \]的$μ$ -测度根据某个级数的敛散性服从零满律，其中$ψ:\N\to\R^+$ .我们的主要定理的一些应用包括连分数动力系统，β动力系统，和齐次自相似集。
Van der Corput sets in Z^d
在这篇部分说明性的论文中，我们研究了$\Z^d$中的van der Corput集，重点关注与调和分析和测度保持动力系统的递归性质的联系。我们证明了多维版本的一些经典结果$d=1$在\cite{K-MF}和\cite{R}，建立新的特征，介绍和讨论了一些修改的范德科普特集对应于各种概念的复发，提供了大量的例子，并制定一些自然的开放问题。
Sequences involving square zig-zag shapes
我们定义一个所谓的正方形$k$ -锯齿形作为规则正方形网格的一部分。将该图看作是一个$k$ -Z字形图，根据从基点到最短路的个数，给出其顶点的值。它给出了几个整数序列，它们的高阶齐次递归是借助于一种特殊的矩阵递归来确定的。
Schreier Numbers and Nontrivial Small Divisors Satisfying Linear Recurrence of Order at Most Two
Schreier集一直是一个研究对象，因为首先介绍了在1930年由Jozef Schreier构建一个反例的猜想巴拿赫。1974年，乔治·安德鲁斯发现了这些集合和斐波那契数之间的有趣联系，此后，朱棣文、比兰德和芬奇-史密斯证明了更多的组合式结果。在平行Iannucci介绍了概念的小因子和特点的所有自然数的小因子是在等差数列，结果被推广的Chentouf和朱。然后结合这两个思想，朱棣文引入了Schreier数的概念，它的非平凡小因子集（小因子不包括1）是Schreier。我们的主要结果有两个方面：我们首先证明了这些数的渐近密度为0，并且存在无穷多个差为2或4的非素Schreier对。然后受Chu推广的Iannucci结果的启发，我们刻画了所有非平凡小因子满足阶不大于2的线性递归的自然数。
Linear Recurrences of Generalized Schreier Sets Revisited
本文重新探讨了广义Schreier集的线性递推关系，证明了该序列与Padovan-like序列的周期性关系，并给出了另一种递推关系的证明。
On multiplicative recurrence along linear patterns
本文完全刻画了满足乘法递归集必要条件的整数四元组$(a,b,c,d)$，推广了相关结果，并证明满足条件的集合$S$是乘法半群有限生成作用的递归集。
Additive averages of multiplicative correlation sequences and applications
我们研究了$(\mathbb{N},\times)$和$(\mathbb{Q}^{>0},\times)$在可测量和拓扑环境下的递归集。特别是，我们证明了乘法系统产生的正函数的自相关序列具有正的加性平均值。我们还给出了标准时，集的形式$\{(an+b)^{\ell}/(cn+d)^{\ell}: n \in \mathbb{N}\}$是乘法递归集，因此，我们恢复两个最近的结果在数论中关于完全乘性函数和欧米茄功能。
New Obstacles to Multiple Recurrence
本文研究了多重复发集的性质，构造了一个非多重复发集，但能避免等差数列的集合，回答了关于Bohr复发问题的否定性结论。
Higher Order Fibonacci Sequences from Generalized Schreier sets
Schreier集合$S$是具有$\min S\ge |S|$的自然数的子集。已知序列$(a_{1,n})$，其中$$a_{1,n}\ :=\ |\{S\subseteq \mathbb{N}\,:\,\max S = n\mbox{ and } \min S \ge |S|\}|,$$是斐波那契序列。推广这一结果，我们证明了对所有的$p\in \mathbb{N}$，序列$(a_{p,n})$，其中$$a_{p, n} \ :=\ |\{S\subseteq \mathbb{N}\,:\,\max S = n\mbox{ and } \min S\ge p|S|\}|,$$有一个高阶线性递归关系。我们通过要求${\rm min}_2 S\ge q |S|$进一步研究，其中$\min_2 S$是$S$的第二小元素。本文证明了序列$(a_{p, q, n})$的一个线性递归关系，其中$$a_{p, q, n} \ :=\ |\{S\subseteq \mathbb{N}\,:\,\max S = n, \min S \ge p|S|\mbox{ and } {\rm min}_2 S\ge q|S|\}|,$$和讨论了$(a_{q, n})$和$(a_{p, q, n})$之间的一个奇怪的关系.
Dimension theory of inhomogeneous Diophantine approximation with matrix sequences
本文研究了由矩阵序列生成的非齐次良好逼近点集的Hausdorff维度，统一了收缩目标集和回归集问题，并给出了显式的维度公式。
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