Lagrangian Formalism for nonlinear second-order Riccati Systems: one-dimensional Integrability and two-dimensional Superintegrability
分析了二阶Riccati方程的Lagrange描述的存在性，并将所得结果应用于与广义Riccati方程相关的两个不同非线性系统的研究.拉格朗日量是非自然的，力不能从势中导出。守恒能量函数的常数值$E$可用作表征这两个系统解的行为的适当参数。第二部分证明了具有超可积性的二维形式的存在性。在这两种情况下，得到了附加积分的显式表达式。最后证明了第二类系统的轨道可以看作是非线性李萨如图
2005-05-09 math-ph math.MP
A Chiellini type integrability condition for the generalized first kind Abel differential equation
将一阶第一类Abel方程$dy/dx=f(x)y^2+g(x)y^3$的Chiellini可积性条件推广到形式为$dy/dx=a(x)+b(x)y+f(x)y^{α-1}+g(x)y^α$的一般Abel方程的情形，其中$α\in \Re$，和$α> 1$ .在$α=2$情形下，广义Abel方程化为Riccati型方程，并得到了其Chiellini型可积性条件.
2013-10-05 math-ph math.MP nlin.SI
Integrability of Lie systems and some of its applications in physics
李系统的几何理论将用于建立几个微分方程系统的可积性条件，特别是Riccati方程和Ermakov系统。从这个新的角度分析了文献中的许多不同的可积性判据，并给出了它们在物理学中的一些应用。
2008-10-22 math-ph math.MP
Geometrical and Dynamical Aspects of Nonlinear Higher-Order Riccati Systems
研究了非线性二阶Riccati方程（SORE）在$S^1$上的投影向量场方程的几何形式，它与Virasoro轨道的稳定性代数有关.利用Darboux可积性方法得到了SORE的首次积分，并将所得结果应用于研究其拉格朗日和哈密顿描述。我们揭示了达布多项式和主对称性与二阶Riccati之间的关系。利用这些结果，我们表明存在一个拉格朗日描述的相关系统，并Painlevé II方程进行了分析。
2015-07-02 math-ph math.MP
Intrinsic Formulation of Geometric Integrability and Generation of Conservation Laws
给出了经典Backlund定理的可积性定理的一个内在形式。它的特点是一个单一的形式，可以放在一个Riccati系统的形式。它示出了如何可以将该系统线性化。在此基础上，给出了生成无穷多个守恒律的方法。
2008-06-21 math-ph math.MP
Lie systems and integrability conditions of differential equations and some of its applications
李系统的几何理论被用来建立几个系统的微分方程，特别是一些Riccati方程和Ermakov系统的可积性条件。从这个新的角度分析了文献中的许多不同的可积性判据，并给出了它们在物理学中的一些应用。
2009-02-06 math-ph math.MP
Riccati-type equations, generalised WZNW equations, and multidimensional Toda systems
我们将李群的李代数的任意$\mathbb Z$ -阶化与一个Riccati型一阶微分方程组联系起来。考虑的特殊情况是普通的Riccati和矩阵Riccati方程。给出了这些方程的多维延拓。相关的Redheffer-里德微分系统的概括出现在一个自然的方式。建立了Toda系统与低维和高维Riccati型方程之间的联系。在这方面的可积性问题，这些方程进行了研究。作为例证，给出了与极大非交换Toda系统相关的可积多维Riccati型方程的一些例子。
1998-07-16 hep-th math-ph math.MP
Liouvillian Propagators, Riccati Equation and Differential Galois Theory
本文提出了一种通过Riccati方程构造传播子的伽罗瓦方法。主要结果对应于线性薛定谔方程的伽罗瓦可积性与其相应特征方程的微分伽罗瓦群的虚可解性之间的关系。作为该方法的主要应用，我们通过Hamiltonian代数化和Kovacic算法求解Ince微分方程，得到了广义谐振子的传播子，该传播子在描述量子光学中简并参量放大过程和非线性各向异性波导中光的传播过程中具有应用。由可积Riccati方程和可积特征方程启发的传播子玩具模型也被提出。
2013-06-13 math-ph math.MP
Schwarzian derivative in higher-order Riccati equations
Sturm-Liouville方程表示一阶Riccati方程的线性化形式。这为Schwarzian导数与该一阶非线性微分方程之间的联系提供了证据。对于Riccati链中的高阶方程，类似的联系并不明显，因为相应的线性方程的阶数大于2。特别是对二阶和三阶Riccati方程，我们证明了Schwarzian导数在高阶Riccati方程中存在一个自然空间。存在Schwarztan导数的高阶类似物。我们证明，方程的Riccati层次嵌入在这些高阶导数。
2022-11-13 math-ph math.MP nlin.SI
On Explicit Solutions for Coupled Reaction-Diffusion and Burgers-Type Equations with Variable Coefficients Through a Riccati System
本文通过相似变换和Riccati系统，为含变系数的耦合反应-扩散与Burgers型方程（如Lotka-Volterra、Gray-Scott和Burgers模型）构造显式解，包括行波解和复杂动力学解，并用Mathematica验证。
2024-06-25 math-ph math.MP
Weierstrass type projective Riccati equation expansion method and solutions of KdV equation
本文给出了投影Riccati方程的两个新的Weierstrass椭圆函数解，以及将Weierstrass椭圆函数转换为双曲函数和三角函数的四个转换公式。利用投影Riccati方程的Weierstrass椭圆函数解及其转换公式，提出了称为Weierstrass型投影Riccati方程展开法.利用该方法构造了KdV方程的Weierstrass椭圆函数解、孤立波解和周期波解。通过图形给出了KdV方程的类孤波解和周期波解。
2022-05-11 math-ph math.MP nlin.SI
Integrability cases for the anharmonic oscillator equation
利用N.利用Euler关于一般非谐振子方程\cite{12}可积性的定理，给出了高度非线性二阶常微分方程$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+f_{1}\left(t\right) \frac{dx}{dt}+f_{2}\left(t\right) x+f_{3}\left(t\right) x^{n}=0$的三类不同的通解.第一精确解是从点变换方程$d^{2}X/dT^{2}+X^{n}\left(T\right) =0$、$n\notin \left\{-3,-1,0,1\right\} $的特解获得的，如果系数$f_{i}(t)$、$i=1,2,3$满足可积性条件，则该特解等价于非谐振子方程。对于$f_{1}(t)$和$\frac{1}{f_{3}(t)}\frac{df_{3}}{dt}$，可积性条件可分别表示为Riccati方程.通过将可积性条件化为Bernoulli型方程，得到了非谐振子方程的两类精确解。
2013-04-03 math-ph math.MP nlin.SI
On integrability aspects of the supersymmetric sine-Gordon equation
本文研究了超对称sine-Gordon方程的某些可积性质。我们构造了具有零曲率表示的拉克斯对，它等价于超对称sine-Gordon方程.从费米子线性谱问题出发，导出了超Riccati方程的耦合组和超对称sine-Gordon方程的自贝克隆变换.此外，详细描述了相关的达布变换，并构造了非平凡的超多孤子解。这些可积性的性质使我们能够提供新的明确的几何特征的玻色子超对称版本的Sym-Tafel公式的浸没表面的李超代数。这些特征仅用独立的玻色子和费米子变量表示。
2017-03-23 math-ph math.MP
Geometry of Riccati equations over normed division algebras
本文提出并研究了有限维赋范除代数上的Riccati方程。证明了有限维赋范除代数$A$上的Riccati方程是欧氏空间上共形Riccati方程的一种特殊情况，它可以看作是向量场李代数$V\simeq\mathfrak{so}(\dim A+1,1)$上的一条曲线.从一个新的角度恢复了以往关于已知类型Riccati方程的结果。将一类新的Riccati方程--八元Riccati方程推广到八元射影线$\mathbb{O}{\rm P}^1$上.作为一种新的物理应用，利用四元数Riccati方程研究了1+1维四元数薛定谔方程.
2016-03-04 math-ph math.CA math.MP
Summation formula for solutions of Riccati-Abel equation
将广义Riccati方程定义为一阶导数与三次多项式之间的一个方程，称为Riccati-Abel方程。与一般的Riccati方程的解不同，Riccati-Abel方程的解不允许有加法公式。在本文中，我们解释了该故障的性质并阐述了解决该问题的方法。证明了Riccati-Abel方程的加法公式仅对解对成立。进一步证明了类似于一般的Riccati方程，只有Riccati-Abel方程的解对才能与线性微分方程和一般的三阶复代数建立关系.
2012-10-08 math-ph math.MP
On a three-dimensional Riccati differential equation and its symmetries
研究了一类复四元数值函数的三维Riccati微分方程。得到了与常微分Riccati方程类似的许多性质，从而得到了线性化和Picard定理。计算了四元数Riccati方程的Lie点对称性以及相应的薛定谔方程的三维势的形式。利用对称约化和三维Riccati方程与薛定谔方程之间的关系，给出了求解这两个方程的例子。
2017-06-21 math-ph math.MP
Notes on the Riccati operator equation in open quantum systems
最近的问题[B] Gardas，J.Math.Phys.52，042104（2011）]中关于Riccati方程的反线性解的问题。我们还指出，简化的Riccati方程，即使在合理的假设下，可以导致一个不等价的方程。
2011-11-18 math-ph math.MP
A new Lie systems approach to second-order Riccati equations
本文从李系统理论的观点出发，对二阶Riccati方程提出了一种新的分析方法。我们表明，这些方程可以映射到李系统通过某些勒让德变换。这一结果使我们能够构建新的叠加规则研究二阶Riccati方程，并减少其集成解决（一阶）Riccati方程。
2011-10-14 math-ph math.MP
The Darboux Transform and some Integrable cases of the q-Riccati Equation
利用达布变换的q-形式，通过单参数群的作用，将q-差分Riccati方程的特殊解转化为一般解.这使得我们可以构造出q-差分Riccati方程和q-差分Schrodinger方程的解
2001-02-22 math-ph math.MP
Inverse variational problem for equations in the Riccati chain
本文利用 Helmholtz 理论的变体构造 Riccati 链中方程的标准拉格朗日表示，并证明传统方法无法哈密顿化该方程族。
2024-06-25 math-ph math.MP
The Riccati System and a Diffusion-Type Equation
讨论了利用某些Riccati型和Ermakov型方程组的解构造Duffusion型方程初值问题解的方法。一个非自治的Burgers型方程也被考虑。
2011-03-04 math-ph math.MP
On a quaternionic generalisation of the Riccati differential equation
证明了四元数偏微分方程是Riccati常微分方程的推广，并建立了它与薛定谔方程的关系。各种方法来寻找特殊的解决方案的问题进行了探讨，并给出了两个定理的推广欧拉Riccati微分方程，这对应于四元数方程。
2001-01-09 math-ph math.MP
Transform of Riccati equation of constant coefficients through fractional procedure
我们使用一个特定的分数推广的常微分方程，我们适用于Riccati方程的常系数。通过这种方法，后者被转换成一个修改的Riccati方程的自由项表示为幂的自变量，这是相同的顺序作为应用的分数阶导数的顺序。我们提供了修正方程的解，并采用Faraoni最近提出的FRW正压宇宙学的宇宙学Riccati方程的结果
2003-02-28 math-ph math.MP
Solving the Riccati Equation
本文用广义递归积分因子法，通过非线性变换将Riccati方程化为二阶线性方程求解，给出通解并演示应用实例。
2025-02-28 math-ph math.MP
Discrete matrix Riccati equations with superposition formulas
如果一个常微分方程的通解可以表示为有限个特解的函数，则称该方程具有叠加公式。具有叠加公式的非线性常微分方程包括矩阵Riccati方程。这里我们将描述保留叠加公式的黎卡提方程的离散化。该方法是一般的，足以包括$q$ -衍生物和标准的离散衍生物。
2004-03-25 math-ph math.MP
Consistent Riccati Expansion and Solvability
利用Riccati方程提出了一种求解非线性方程组的一致Riccati展开式。一个系统被定义为CRE可解的，如果它有一个CRE。各种可积系统都是CRE可解的。此外，还揭示了许多CRE可解系统，包括Korteweg de-Vries，Kadomtsev-Patviashvili，非线性Schrdinger和sine-Gordon方程，都具有一个描述孤子与椭圆余弦波相互作用的共同决定方程.
2013-08-30 math-ph math.MP nlin.PS
Second-order linear differential equations associated to a Riccati equation of constant coefficients
我们提出了几个二阶线性微分方程相关联的一个特定的Riccati方程，只有一个常数参数在其系数通过超对称因式分解的技术，并通过Dirac-like过程。后一种方法是用第一种方法得到的结果的最小扩展，在这个意义上，它包括多达两个常数参数
2002-12-22 math-ph math.MP
An example of interplay between Physics and Mathematics: Exact resolution of a new class of Riccati Equations
报道了一类特殊微分Riccati方程有限项精确解的新方法。我们的过程完全基于最近成功的解决策略应用于量子动力学含时SU（2）问题。一般积分的示例性微分Riccati方程，以前没有考虑在专门的文献中，明确地确定，以说明我们提出的治疗的数学实用性和易用性的适用性。简要地指出了利用一个给定的微分Riccati方程的通积分来求解SU（2）量子动力学问题的可能性。
2017-10-25 math-ph math.MP
Riccati equation-based generalization of Dawson's integral function
利用Riccati非线性微分方程与二阶常微分方程之间的联系，给出了Dawson积分函数的一个新的推广.建立了该广义函数的MacLaurin展开式，并由此导出了三角矩阵的一般余子式的显式公式。
2007-06-15 math-ph math.MP
Riccati-Ermakov systems and explicit solutions for variable coefficient reaction-diffusion equations
提出了几类变系数非线性反应扩散方程，包括Fisher-KPP型方程和Burgers型方程。特殊的精确解，如行波，合理的，三角波和N波型的解决方案。通过相似变换，变系数满足Riccati或Ermakov方程组。当使用Riccati系统时，建立了有限时间奇点可能发生的条件。所提出的解决方案包含多个参数，提供对解决方案的动态的控制。在补充材料中，我们提供了一个计算机代数验证的解决方案和非平凡动力学的解决方案。
2017-10-23 math-ph math.MP
Solutions for certain classes of Riccati differential equation
本文给出了一类Riccati方程y '（x）-λ_0（x）y（x）\pm y^2（x）= \pm s_0（x）的解析闭式解，其中λ_0（x），s_0（x）是C^{ \infty }-函数.本文证明了若δ_n=λ_n s_{n-1} -λ_{n-1}s_n=0，其中λ_{n}= λ_{n-1}^ \prime + s_{n-1} +λ_0λ_{n-1}和s_{n} = s_{n-1} ^ \prime +s_0λ_{k-1}，n= 1，2，.，则Riccati方程有解y（x）= \mp s_{n-1}（x）/λ_{n-1}（x）.推广了广义Riccati方程y ′（x）+P（x）y（x）+Q（x）y^2（x）=R（x）.
2007-07-19 math-ph math.MP
Riccati equation, Factorization Method and Shape Invariance
介绍了一维量子力学中可因式分解问题的基本概念和形状不变势理论。这最后一个理论的关系与一个推广的经典因式分解法提出的Infeld和赫尔进行了详细分析。利用Riccati方程的一些性质，将Infeld和Hull的解作了简单的推广.
1999-10-14 math-ph math.MP
Helmoltz problem for the Riccati equation from an analogous Friedmann equation
本文通过类比广义相对论中一个合适的Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker宇宙的Friedmann方程，给出了一阶Riccati微分方程的逆拉格朗日问题的一个解.这个类似的宇宙具有微调的参数，是非物理的，但它暗示了黎卡提方程和它所描述的许多物理系统的拉格朗日量和哈密顿量。
2021-12-21 gr-qc math-ph math.MP
Riccati equation and the problem of decoherence II: Symmetry and the solution of the Riccati equation
本文利用分块算子矩阵分析方法重新研究了退相干问题。研究了与描述退相干过程的哈密顿量相联系的Riccati代数方程。我们证明，如果负责退相干的环境是不变的反线性变换，然后反线性算子解决Riccati方程的问题。我们还认为，这种解决方案导致既不线性也不反线性算子相似矩阵。这一事实使我们失去了解线性微分方程（如薛定谔方程）的标准程序。此外，Riccati方程的显式解的情况下，环境运营商相互交换。我们讨论了我们的结果和标准描述的退相干（一个使用克劳斯表示）之间的连接。我们表明，约化动力学，我们得到的不具有克劳斯表示，如果系统和它的环境之间的初始相关性。然而，对于系统的任何初始状态（即使当相关性发生时），可以以可管理的方式编写简化的动态。
2010-10-08 math-ph math.MP quant-ph
Nonlocal symmetries of Riccati and Abel chains and their similarity reductions
研究了Riccati链和Abel链的非局部对称性及其相似约化。结果表明，Riccati链中的所有方程都具有相同的非局部对称性。在这条链上的相似性约化了$N^{th}$阶常微分方程（ODE）$N=2, 3,4,...$，在同一条链上产生了$(N-1)^{th}$阶常微分方程。Abel链中的所有方程也具有相同形式的非局部对称性（这与Riccati链中存在的非局部对称性不同），但Abel链中的相似约化$N^{th}$阶ODE，$N=2, 3,4,$，总是在Riccati链中的$(N-1)^{th}$阶ODE处结束。我们描述了从非局部对称性出发求这些链中出现的所有方程的通解的方法。
2012-02-21 math-ph math.MP
The Riccati Differential Equation and a Diffusion-Type Equation
我们构造了整条实直线上变系数扩散型方程柯西初值问题的显式解。相应的格林函数（热核）是以初等函数和某些涉及特征函数的积分的形式给出的，这些特征函数可以作为系数随时间变化的二阶线性微分方程的解析解或数值解来求出。一些特殊的和限制的情况下进行了概述。相应的非齐次方程的解决方案也被发现。
2008-08-08 math-ph math.MP
Riccati equations of opposite torsions from the Lie-Darboux method for spatial curves and possible applications
本文通过Lie-Darboux方法重新表述三维欧氏空间中空间曲线的Riccati方程，得到两个仅扭率符号相反的方程，并以圆柱螺旋线为例说明，同时探讨其在物理学中的潜在应用。
2023-09-21 math-ph math.GM math.MP
General solution of the three-site master equation and the discrete Riccati equation
我们首先通过类比连续（微分）的情况下，离散Riccati方程的一般解决方案。我们的结果可以看作是超对称量子力学中Mielnik构造的离散模拟[J. Math.Phys.25，3387（1984）]。此外，我们建立了我们的离散Riccati方程和相应的齐次二阶离散线性方程之间的完全等价性。我们给出了三点主方程的一个应用，明确地得到了自由随机游动和有偏随机游动的简单情形的通解
1999-07-22 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Riccati equations and quasi-1D noninteracting problems
本文用传递矩阵方法研究了一般一维矩阵薛定谔方程。对于一个二次动力学项，我们讨论的表达式为当地的格林函数的Riccati型方程的解决方案，和一个相关的公式的运营商行列式。对于一个线性动力学项，该方法减少到Eilenberger准经典方程。在一般情况下，它来自经典的结果在边值问题。我们考虑应用说明性的问题，集中在超导性，并讨论了一般的自由能量密度的梯度展开。
2019-04-04 cond-mat.mes-hall math-ph math.MP
Reduced Dynamics from the Unitary Group to Some Flag Manifolds : Interacting Matrix Riccati Equations
本文讨论了N能级系统中酉元的时间演化，并考虑了从酉群U（N）到第二类旗流形（用我们的术语）的约化动力学。然后，我们导出了一组相互作用的矩阵Riccati型微分方程，并提出了Riccati方程所满足的非线性叠加公式的一个重要问题。我们的结果是论文{ \bf Chaturvedi et al}（arXiv：0706.0964 [quant-ph]）的自然推广。
2008-09-01 math-ph math.MP quant-ph
Factorization of the Schrödinger Operator and the Riccati Equation in the Clifford Analysis Setting
本文在Clifford分析的框架下研究了高维Schrodinger算子的一种分解。
2010-01-25 math-ph math.CV math.MP
Refined Error Estimates for the Riccati Equation with Applications to the Angular Teukolsky Equation
我们得到精确的严格的误差估计的近似解的Sturm-Liouville和Riccati方程的真实或复杂的潜力。近似解包括WKB近似、Airy和抛物柱面函数以及某些贝塞尔函数。我们的估计适用于角Teukolsky方程的解决方案与复杂的非球面参数在旋转黑洞克尔几何。
2015-02-17 gr-qc math-ph math.CA
A Riccati equation based approach to isotropic scalar field cosmologies
引力耦合标量场$ϕ$，通过选择一个有效的自相互作用势$V(ϕ)$，模拟一个暂时不为零的宇宙学项，可以产生通货膨胀和后期的时间加速。在标量场宇宙学模型中，哈勃函数的演化由相互作用势的Riccati型方程决定。在目前的工作中，我们调查的标量场宇宙模型，可以得到的解决方案的Riccati演化方程的哈勃函数。给出了场方程的四种精确可积情形，代表了Riccati发展方程的通解类。这些解对应于哈勃函数正比于标量场势加上随时间线性递减的函数的宇宙学模型，对应于标量场势随时间变化正比于势减去其平方的模型，对应于势是任意函数与函数积分的平方之和的模型，和模型，其中的潜力是一个任意的功能和其平方根的导数，分别。详细研究了所有模型的宇宙学性质，表明它们都能描述宇宙演化中的暴胀或后期加速阶段
2014-05-24 astro-ph.CO gr-qc math-ph
The General Solutions of Linear ODE and Riccati Equation
本文通过积分级数E(X)和F(X)给出了变系数常微分方程和Riccati方程的通解，这些积分级数是指数函数的推广形式，并保持了收敛性和可逆性。
2011-08-15 cs.SY eess.SY math-ph
Rational solutions for the Riccati-Schrödinger equations associated to translationally shape invariant potentials
我们发展了一种新的方法来建立一个几何形状不变的潜在的本征函数。为此，我们表明，它们的对数导数可以表示为终止连续分数在一个适当的变量。我们给出了明确的公式，所有的本征态，其具体形式取决于巴克莱-麦克斯韦类所考虑的潜在的属于。
2009-12-15 hep-th math-ph math.MP
Error Estimates for Approximate Solutions of the Riccati Equation with Real or Complex Potentials
NWF I - Mathematik Universität Regensburg（雷根斯堡大学）；Mathematics Department The University of Michigan（密歇根大学）
提出一种通过推导Riccati方程复解的不变区域估计，获得具有实或复势的Riccati方程近似解的严格误差估计的方法，并应用于旋转黑洞几何中的线性波动方程分析。
2009-11-23 cs.NA math-ph math.AP
