Riccati微分方程与一类扩散型方程

关于通过Riccati系统求解含变系数耦合反应-扩散与Burgers型方程的显式解

On Explicit Solutions for Coupled Reaction-Diffusion and Burgers-Type Equations with Variable Coefficients Through a Riccati System

本文通过相似变换和Riccati系统，为含变系数的耦合反应-扩散与Burgers型方程（如Lotka-Volterra、Gray-Scott和Burgers模型）构造显式解，包括行波解和复杂动力学解，并用Mathematica验证。

一类Riccati微分方程的解

Solutions for certain classes of Riccati differential equation

本文给出了一类Riccati方程y '（x）-λ_0（x）y（x）\pm y^2（x）= \pm s_0（x）的解析闭式解，其中λ_0（x），s_0（x）是C^{ \infty }-函数.本文证明了若δ_n=λ_n s_{n-1} -λ_{n-1}s_n=0，其中λ_{n}= λ_{n-1}^ \prime + s_{n-1} +λ_0λ_{n-1}和s_{n} = s_{n-1} ^ \prime +s_0λ_{k-1}，n= 1，2，.，则Riccati方程有解y（x）= \mp s_{n-1}（x）/λ_{n-1}（x）.推广了广义Riccati方程y ′（x）+P（x）y（x）+Q（x）y^2（x）=R（x）.

物理与数学相互作用的一个例子：一类新的Riccati方程的精确解

An example of interplay between Physics and Mathematics: Exact resolution of a new class of Riccati Equations

报道了一类特殊微分Riccati方程有限项精确解的新方法。我们的过程完全基于最近成功的解决策略应用于量子动力学含时SU（2）问题。一般积分的示例性微分Riccati方程，以前没有考虑在专门的文献中，明确地确定，以说明我们提出的治疗的数学实用性和易用性的适用性。简要地指出了利用一个给定的微分Riccati方程的通积分来求解SU（2）量子动力学问题的可能性。

基于Riccati方程的Dawson整函数的推广

Riccati equation-based generalization of Dawson's integral function

利用Riccati非线性微分方程与二阶常微分方程之间的联系，给出了Dawson积分函数的一个新的推广.建立了该广义函数的MacLaurin展开式，并由此导出了三角矩阵的一般余子式的显式公式。

求解Riccati方程

Solving the Riccati Equation

本文用广义递归积分因子法，通过非线性变换将Riccati方程化为二阶线性方程求解，给出通解并演示应用实例。

叠加法则与二阶Riccati方程

Superposition rules and second-order Riccati equations

叠加法则是一种特殊类型的映射，它使人们能够表示一阶常微分方程的某些系统的通解，即所谓的李系统，从特解的一般族和一组常数中。这项工作的第一个目的是提出几个概括这一概念的二阶微分方程。其次，给出了这种推广的存在性的几个结果，并发现了它与Lie系统和拟Lie格式理论的关系。最后，我们的方法被用来研究二阶Riccati方程和其他具有数学和物理意义的二阶微分方程。

谐振子常数位移Riccati解分解的参量振荡器

Parametric oscillators from factorizations employing a constant-shifted Riccati solution of the harmonic oscillator

我们确定的参数振荡器，在通常的因式分解过程中产生的二阶线性微分方程时，一个介绍了一个常数位移的Riccati解决方案的经典谐振子。数学结果表明，其中一些振荡器可能是物理性质的。我们给出了所得到的二阶微分方程的解和移位参数的值，提供严格的周期和反周期解。我们还注意到，这个简单的问题提出了宇称时间（PT）对称性。可能的应用被提及

Riccati-Abel方程解的求和公式

Summation formula for solutions of Riccati-Abel equation

将广义Riccati方程定义为一阶导数与三次多项式之间的一个方程，称为Riccati-Abel方程。与一般的Riccati方程的解不同，Riccati-Abel方程的解不允许有加法公式。在本文中，我们解释了该故障的性质并阐述了解决该问题的方法。证明了Riccati-Abel方程的加法公式仅对解对成立。进一步证明了类似于一般的Riccati方程，只有Riccati-Abel方程的解对才能与线性微分方程和一般的三阶复代数建立关系.

具有叠加公式的离散矩阵Riccati方程

Discrete matrix Riccati equations with superposition formulas

如果一个常微分方程的通解可以表示为有限个特解的函数，则称该方程具有叠加公式。具有叠加公式的非线性常微分方程包括矩阵Riccati方程。这里我们将描述保留叠加公式的黎卡提方程的离散化。该方法是一般的，足以包括$q$ -衍生物和标准的离散衍生物。

微分不变量及其在Riccati型系统中的应用

Differential Invariants and Application to Riccati-Type Systems

我们推广了经典的李结果的基础上的微分不变量的单参数组的局部变换的情况下，任意数量的独立和依赖的变量。证明了在已知单参数群的泛不变量的条件下，通过一次求积和微分可以构造出一个函数独立的微分不变量的完备集。一阶微分不变量的Riccati型系统的一些应用。

常系数Riccati方程的分式变换

Transform of Riccati equation of constant coefficients through fractional procedure

我们使用一个特定的分数推广的常微分方程，我们适用于Riccati方程的常系数。通过这种方法，后者被转换成一个修改的Riccati方程的自由项表示为幂的自变量，这是相同的顺序作为应用的分数阶导数的顺序。我们提供了修正方程的解，并采用Faraoni最近提出的FRW正压宇宙学的宇宙学Riccati方程的结果

Riccati和Abel链的非局部对称性及其相似约化

Nonlocal symmetries of Riccati and Abel chains and their similarity reductions

研究了Riccati链和Abel链的非局部对称性及其相似约化。结果表明，Riccati链中的所有方程都具有相同的非局部对称性。在这条链上的相似性约化了$N^{th}$阶常微分方程（ODE）$N=2, 3,4,...$，在同一条链上产生了$(N-1)^{th}$阶常微分方程。Abel链中的所有方程也具有相同形式的非局部对称性（这与Riccati链中存在的非局部对称性不同），但Abel链中的相似约化$N^{th}$阶ODE，$N=2, 3,4,$，总是在Riccati链中的$(N-1)^{th}$阶ODE处结束。我们描述了从非局部对称性出发求这些链中出现的所有方程的通解的方法。

扩散过程的漂移与连分数

Excursions of diffusion processes and continued fractions

众所周知，一维扩散过程的漂移可以通过考虑与该过程相关联的某个Riccati方程来研究。我们表明，在许多情况下的利益，Riccati方程可以解决的无限连分数。我们研究的概率意义的扩展。为了说明我们的结果，我们讨论了在确定性和随机环境中的扩散的一些例子。

Schwarzian derivative in higher-order Riccati equations

The Sturm-Liouville equation represents the linearized form of the first-order Riccati equation. This provides an evidence for the connection between Schwarzian derivative and this first-order nonlinear differential equation. Similar connection is not obvious for higher-order equations in the Riccati chain because the corresponding linear equations are of order greater than two. With special attention to the second- and third-order Riccati equations we demonstrate that Schwarzian derivative has a natural space in higher Riccati equations. There exist higher-order analogues of the Schwarztan de…

Riccati型方程、广义WZNW方程和多维Toda系统

Riccati-type equations, generalised WZNW equations, and multidimensional Toda systems

我们将李群的李代数的任意$\mathbb Z$ -阶化与一个Riccati型一阶微分方程组联系起来。考虑的特殊情况是普通的Riccati和矩阵Riccati方程。给出了这些方程的多维延拓。相关的Redheffer-里德微分系统的概括出现在一个自然的方式。建立了Toda系统与低维和高维Riccati型方程之间的联系。在这方面的可积性问题，这些方程进行了研究。作为例证，给出了与极大非交换Toda系统相关的可积多维Riccati型方程的一些例子。

Helmoltz problem for the Riccati equation from an analogous Friedmann equation

We report a solution of the inverse Lagrangian problem for the first order Riccati differential equation by means of an analogy with the Friedmann equation of a suitable Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker universe in general relativity. This analogous universe has fine-tuned parameters and is unphysical, but it suggests a Lagrangian and a Hamiltonian for the Riccati equation and for the many physical systems described by it.

非线性二阶常微分方程的Riccati参数解

Riccati-parameter solutions of nonlinear second-order ODEs

Rosu和Cornejo-Perez在2005年证明了，对于一些非线性二阶常微分方程，一旦使用两个一阶微分算子对非线性方程进行因式分解，找到一个特定的解是一个非常简单的任务。在这里，它表明，一个有趣的类参数的解决方案是很容易获得的，如果建议的因式分解有一个特定的形式，这很高兴地证明是在许多问题的物理利益的情况下。我们用几个明确解决的情况下，包括在使用的Riccati方程的一般解决方案，这有助于与一个参数，这类参数的解决方案的方法。对于这些非线性情况，Riccati参数作为从平凡零解到通过因子分解过程找到的特解的“增长”参数

从酉群到旗流形的约化动力学：相互作用矩阵Riccati方程

Reduced Dynamics from the Unitary Group to Some Flag Manifolds : Interacting Matrix Riccati Equations

本文讨论了N能级系统中酉元的时间演化，并考虑了从酉群U（N）到第二类旗流形（用我们的术语）的约化动力学。然后，我们导出了一组相互作用的矩阵Riccati型微分方程，并提出了Riccati方程所满足的非线性叠加公式的一个重要问题。我们的结果是论文{ \bf Chaturvedi et al}（arXiv：0706.0964 [quant-ph]）的自然推广。

两个常系数Riccati方程的周期Sturm-Liouville问题

Periodic Sturm-Liouville problems related to two Riccati equations of constant coefficients

我们考虑两个密切相关的常参数Riccati方程，其特殊的解决方案是用来构建相应的一类supercritically耦合二阶微分方程。我们解析地解决这些参数周期问题沿正实轴。接下来，分析解决的模型被用作一个强大的数值方法，在这里首次采用的周期性的不一定规则的潜力的能量能带结构的调查的情况下研究。该方法基于James（1949）的著名自匹配过程，并实现了Kravchenko（2008）介绍的谱参数幂级数解。我们还得到了基于Kravchenko级数的Hill判别式的有效级数表示

Riccati方程可积性的新情形

New integrability case for the Riccati equation

给出了Riccati方程$dy/dx=a(x)+b(x)y+c(x)y^{2}$的一个新的可积条件.通过引入依赖于生成函数$f(x)$的辅助方程，如果系数$a(x)$、$b(x)$、$c(x)$和函数$f(x)$满足特定约束，则可以获得Riccati方程的通解。通过求解某些Riccati型微分方程的通解，验证了该方法的有效性和可靠性。简要讨论了可积性条件在频率依赖于时间的阻尼谐振子和孤立波情形中的应用。

Shifted Riccati Procedure：共形正压FRW宇宙学的应用

Shifted Riccati Procedure: Application to Conformal Barotropic FRW Cosmologies

在正压FRW宇宙学的情况下，共形时间的哈勃参数是一个简单的常系数Riccati方程的解。我们认为这些宇宙学的框架内的非相对论性超对称性，已在该地区的超对称量子力学的有效。回顾Faraoni [Amer. J. Phys. 67（1999），732-734]提出了如何将正压FRW微分方程组简化为简谐振子微分方程，我们将后者的方程组用超对称方法求解，并将其解分为两类“玻色子”（非奇异）和“费米子”（奇异）宇宙学零模解。费米子方程可以被认为是代表Stephani类型的宇宙学，即，在保形时间内，曲率变化。接下来，我们通过在这些超对称伙伴宇宙学的共同Riccati解中引入一个常数加性参数（用S表示）来应用所谓的移位Riccati过程。这导致正压Stephani宇宙学与周期性奇点在其空间曲率指数，我们称之为U和V宇宙学，第一个是玻色子型和费米子型后者。我们完全解决这些循环奇异宇宙学在其零模式的水平上，表明一个可接受的移位参数应该是纯粹的虚的，这反过来又引入了宇称时间（PT）属性的合作伙伴曲率指数。

三点主方程和离散Riccati方程的通解

General solution of the three-site master equation and the discrete Riccati equation

我们首先通过类比连续（微分）的情况下，离散Riccati方程的一般解决方案。我们的结果可以看作是超对称量子力学中Mielnik构造的离散模拟[J. Math.Phys.25，3387（1984）]。此外，我们建立了我们的离散Riccati方程和相应的齐次二阶离散线性方程之间的完全等价性。我们给出了三点主方程的一个应用，明确地得到了自由随机游动和有偏随机游动的简单情形的通解

六顶点模型与非线性微分方程I。谱问题

Six-vertex model and non-linear differential equations I. Spectral problem

本文将可积非线性微分方程理论与环面六顶点模型传递矩阵的谱问题联系起来。更确切地说，我们建立了一个类比之间的经典逆散射方法和以前提出的功能方程起源于杨巴克斯特代数。后者的方程，然后被视为一个辅助线性问题，使我们能够表明，六顶点模型的频谱解决Riccati型非线性微分方程。守恒量的生成函数用行列式表示，并讨论了Riccati方程与定常薛定谔方程之间的关系.

Riccati方程与退相干问题II：Riccati方程的对称性与解

Riccati equation and the problem of decoherence II: Symmetry and the solution of the Riccati equation

本文利用分块算子矩阵分析方法重新研究了退相干问题。研究了与描述退相干过程的哈密顿量相联系的Riccati代数方程。我们证明，如果负责退相干的环境是不变的反线性变换，然后反线性算子解决Riccati方程的问题。我们还认为，这种解决方案导致既不线性也不反线性算子相似矩阵。这一事实使我们失去了解线性微分方程（如薛定谔方程）的标准程序。此外，Riccati方程的显式解的情况下，环境运营商相互交换。我们讨论了我们的结果和标准描述的退相干（一个使用克劳斯表示）之间的连接。我们表明，约化动力学，我们得到的不具有克劳斯表示，如果系统和它的环境之间的初始相关性。然而，对于系统的任何初始状态（即使当相关性发生时），可以以可管理的方式编写简化的动态。

Riccati问题的近最优量子算法与复杂度分析

Near-Optimal Quantum Algorithm and Complexity Analysis for Riccati Problems

本文提出量子加权Riesz方法统一求解四类Riccati问题，实现近最优查询复杂度，并证明相关承诺问题的BQP完全性，应用于控制与量子化学。

混合叠加规则与Riccati层次

Mixed superposition rules and the Riccati hierarchy

混合叠加规则，即，研究了用一阶系统的一般特解族和一些常数描述一阶微分方程组通解的函数。其主要成就是著名的李-谢弗定理的推广，刻画了系统的混合叠加规则。这个出乎意料的结果表明，这样的系统确实是Lie系统，即，他们承认一个标准的叠加法则。这为寻找李系统提供了一个新的、强有力的工具，本文将其应用于研究Riccati族，并以一种更有效、更简单的方式检索一些已知的结果。

广义对称性、首次积分与微分方程链的精确解

Generalized symmetries, first integrals, and exact solutions of chains of differential equations

研究含Riccati和Abel链的常微分方程序列的可积性，通过广义对称性构造首次积分并求精确通解。

某些高阶发展方程的递推公式

Recurrence formula for some higher order evolution equations

本文基于算子的对数表示，提出了一阶发展方程与高阶发展方程之间的变换，并证明了不同阶数发展方程序列的递推公式存在性。

Grassmannian流及其在非线性偏微分方程中的应用

Grassmannian flows and applications to nonlinear partial differential equations

我们展示了如何解决一个大类的偏微分方程的非局部Riccati型非线性可以产生相应的线性方程，从任意的初始数据。众所周知，演化矩阵Riccati方程可以通过将Stiefel流形上的线性演化流投影到Grassmann流形的坐标图上来生成。我们的方法依赖于将这个想法扩展到无限维的情况。关键是一个积分方程，它类似于可积系统中的马尔琴科方程，代表了坐标图。我们明确地展示了如何产生这样的解决方案，标量偏微分方程的任意阶非局部二次非线性使用我们的方法。我们提供了数值模拟，证明了非局部非线性Fisher-Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov方程的解的产生。我们还表明，该方法可能会扩展到更一般的类的非线性偏微分系统。

分析流体动力学中微分问题的精确解：Airy函数的应用

Exact solution of a differential problem in analytical fluid dynamics: use of Airy's functions

分析流体力学中的一个边值问题，将二维定常Navier-斯托克斯方程转化为常微分形式的Riccati型二阶方程。在可压缩流体沿流线具有恒定运动粘度的情况下，通过合理组合Airy函数及其导数，可以找到微分问题的精确解。