Discrete matrix Riccati equations with superposition formulas
如果一个常微分方程的通解可以表示为有限个特解的函数，则称该方程具有叠加公式。具有叠加公式的非线性常微分方程包括矩阵Riccati方程。这里我们将描述保留叠加公式的黎卡提方程的离散化。该方法是一般的，足以包括$q$ -衍生物和标准的离散衍生物。
2004-03-25 math-ph math.MP
A systematic method of finding linearizing transformations for nonlinear ordinary differential equations: II. Extension to coupled ODEs
在这第二篇关于非线性常微分方程线性化变换的推导方法的论文中，我们把这个方法推广到一组两个耦合的二阶非线性常微分方程。我们发现，除了传统的点变换、Sundman变换和广义线性化变换外，利用运动积分还可以在耦合二阶常微分方程中找到一大类混合或混合型线性化变换，如点-Sundman变换、点-广义线性化变换和Sundman-广义线性化变换.我们提出了合适的算法来确定所有这些变换（最大的数量）在一个简单的方式。我们用一个合适的例子说明了推导每一个线性化变换的方法。
2012-01-26 math-ph math.MP nlin.SI
Riccati equation-based generalization of Dawson's integral function
利用Riccati非线性微分方程与二阶常微分方程之间的联系，给出了Dawson积分函数的一个新的推广.建立了该广义函数的MacLaurin展开式，并由此导出了三角矩阵的一般余子式的显式公式。
2007-06-15 math-ph math.MP
A Generalized Cole-Hopf Transformation for Nonlinear ODES
本文引入一种混合Cole-Hopf-达布变换，将二阶非线性微分方程和线性微分方程的解联系起来，并给出了这种对应的一个充分条件。特别地，我们证明了某些非线性二阶方程的解通过这种变换与数学物理的特殊函数相联系。这些非线性方程可以看作是与定义数学物理特殊函数的线性微分方程相对应的“特殊非线性方程类”。
2012-11-28 math-ph math.CA math.MP
Consistent Riccati Expansion and Solvability
利用Riccati方程提出了一种求解非线性方程组的一致Riccati展开式。一个系统被定义为CRE可解的，如果它有一个CRE。各种可积系统都是CRE可解的。此外，还揭示了许多CRE可解系统，包括Korteweg de-Vries，Kadomtsev-Patviashvili，非线性Schrdinger和sine-Gordon方程，都具有一个描述孤子与椭圆余弦波相互作用的共同决定方程.
2013-08-30 math-ph math.MP nlin.PS
Generalized coherent states for time-dependent and nonlinear Hamiltonians via complex Riccati equations
基于谐振子的高斯波包解及相应的产生和湮灭算符，本文给出了一个推广，它也适用于当系统具有不同的初始条件、随时间变化的频率或与耗散环境接触时，具有随时间变化的宽度的波包。在所有这些情况下，相应的相干态，位置和动量的不确定性和量子机械能的贡献，可以得到相同的形式，如果创建和湮灭运营商表示为一个复杂的变量，满足非线性Riccati方程，确定的时间演化的波包宽度。这个Riccati方程的解依赖于所考虑的物理系统和（复杂的）初始条件，并且与导致超对称量子力学中的等谱势的一般超势具有密切的形式相似性。广义创造和湮灭算子的定义也与存在于所有考虑的情况下的Ermakov不变量对应的算子的因式分解一致。
2012-11-21 math-ph math.MP quant-ph
Riccati-Ermakov systems and explicit solutions for variable coefficient reaction-diffusion equations
提出了几类变系数非线性反应扩散方程，包括Fisher-KPP型方程和Burgers型方程。特殊的精确解，如行波，合理的，三角波和N波型的解决方案。通过相似变换，变系数满足Riccati或Ermakov方程组。当使用Riccati系统时，建立了有限时间奇点可能发生的条件。所提出的解决方案包含多个参数，提供对解决方案的动态的控制。在补充材料中，我们提供了一个计算机代数验证的解决方案和非平凡动力学的解决方案。
2017-10-23 math-ph math.MP
A nonlocal connection between certain linear and nonlinear ordinary differential equations : Extension to coupled equations
识别可积耦合耗散型非线性常微分方程并推导其通解是非线性动力学中的一项具有挑战性的任务。本文研究了这两类问题，发现了两类任意阶可积耦合非线性常微分方程。为了实现这些目标，我们在某些线性常微分方程中引入合适的非局部变换，并生成耦合的非线性常微分方程。特别是，我们表明，解决这些类的耦合非线性常微分方程的任何顺序的问题，有效地减少到解决一个单一的一阶非线性常微分方程。当上述一阶非线性常微分方程化为一个伯努利方程时，我们给出了一个求出所识别的可积耦合常微分方程显式通解的方法。我们生成和解决的方程包括两个耦合版本的修改Emden方程（二阶），耦合版本的Chazy方程（三阶）及其变种，高维耦合Ricatti和Abel链，以及一个新的可积链和高阶方程。
2010-10-27 math-ph math.MP nlin.SI
Liouvillian Propagators, Riccati Equation and Differential Galois Theory
本文提出了一种通过Riccati方程构造传播子的伽罗瓦方法。主要结果对应于线性薛定谔方程的伽罗瓦可积性与其相应特征方程的微分伽罗瓦群的虚可解性之间的关系。作为该方法的主要应用，我们通过Hamiltonian代数化和Kovacic算法求解Ince微分方程，得到了广义谐振子的传播子，该传播子在描述量子光学中简并参量放大过程和非线性各向异性波导中光的传播过程中具有应用。由可积Riccati方程和可积特征方程启发的传播子玩具模型也被提出。
2013-06-13 math-ph math.MP
Schwarzian derivative in higher-order Riccati equations
Sturm-Liouville方程表示一阶Riccati方程的线性化形式。这为Schwarzian导数与该一阶非线性微分方程之间的联系提供了证据。对于Riccati链中的高阶方程，类似的联系并不明显，因为相应的线性方程的阶数大于2。特别是对二阶和三阶Riccati方程，我们证明了Schwarzian导数在高阶Riccati方程中存在一个自然空间。存在Schwarztan导数的高阶类似物。我们证明，方程的Riccati层次嵌入在这些高阶导数。
2022-11-13 math-ph math.MP nlin.SI
On Explicit Solutions for Coupled Reaction-Diffusion and Burgers-Type Equations with Variable Coefficients Through a Riccati System
本文通过相似变换和Riccati系统，为含变系数的耦合反应-扩散与Burgers型方程（如Lotka-Volterra、Gray-Scott和Burgers模型）构造显式解，包括行波解和复杂动力学解，并用Mathematica验证。
2024-06-25 math-ph math.MP
On explicit soliton solutions and blow-up for coupled variable coefficient nonlinear Schrödinger equations
本文利用相似变换研究了广义耦合变系数非线性薛定谔方程，在系数满足Riccati系统的条件下求得了Rogue波和暗-亮孤子解，显式给出了有限时间奇异解，并提出了向常系数系统转换的n维变换。
2023-10-25 math-ph math.MP
Algebraic recasting of nonlinear systems of ODEs into universal formats
有时需要为常微分方程的非线性系统产生一个结构形式更简单的新表示，但众所周知，这个目标可能意味着系统维数的增加。如果在这个新的表示中，向量场具有较低的非线性度或较少的非线性贡献，就会发生这种情况。到目前为止，这两个问题一直被分开处理，相当不系统，在某些情况下，在维度数量过度增加的代价。我们统一在这里的治疗这两个问题在一个共同的代数框架。这使我们能够在算法上进行简单的矩阵运算。
2019-10-07 math-ph math.CA math.DS
Reduced Dynamics from the Unitary Group to Some Flag Manifolds : Interacting Matrix Riccati Equations
本文讨论了N能级系统中酉元的时间演化，并考虑了从酉群U（N）到第二类旗流形（用我们的术语）的约化动力学。然后，我们导出了一组相互作用的矩阵Riccati型微分方程，并提出了Riccati方程所满足的非线性叠加公式的一个重要问题。我们的结果是论文{ \bf Chaturvedi et al}（arXiv：0706.0964 [quant-ph]）的自然推广。
2008-09-01 math-ph math.MP quant-ph
Integrability of Riccati equation from a group theoretical viewpoint
在本文中，我们开发了一些群论的方法，这是非常有用的，更好地理解的Riccati方程的性质，我们讨论了它的一些可积性条件从群论的角度来看。非线性叠加原理也以简单的方式出现。
1998-10-07 math-ph math.DG math.GR
Riccati and Ermakov Equations in Time-Dependent and Time-Independent Quantum Systems
含时薛定谔方程（SE）的精确解析波包（WP）解的最大值和宽度随时间的演化分别代表量子系统的粒子和波方面。最大值的动力学，位于位置的平均值，是由相应的经典问题的牛顿方程。该宽度与位置不确定度成正比，服从一个复非线性Riccati方程，该方程可以转化为一个实非线性Ermakov方程。这些方程的耦合对产生的动力学不变量在我们的调查中起着关键作用。它可以表示为一个线性化黎卡提方程的复变量。该变量还提供了表征相应问题的格林函数或费曼核的时间相关参数。从那里，也可以得到系统的经典和量子动力学之间的关系。此外，Ermakov不变量和维格纳函数之间的密切联系将显示。动力学不变量的因式分解允许与创造/湮灭算子和超对称性进行比较，其中合作伙伴的潜力满足（真实的）黎卡提方程。这提供了一个非线性制定的时间无关的量子力学在Ermakov方程的振幅结合守恒定律的稳态波函数的链接。与超对称性和时间依赖性问题的比较结束了我们的分析。
2008-05-12 math-ph math.MP quant-ph
The time-dependent Schroedinger equation, Riccati equation and Airy functions
我们用Airy函数构造了$iψ_{t}+{1/4}ψ_{xx}\pm tx^{2}ψ=0$形式的Schroedinger方程的Green函数（或Feynman传播子），并在坐标和动量表象下求解了Cauchy初值问题.首先详细研究了量子参量振荡器的一种特殊情况，并给出了相应的变系数非线性薛定谔方程的特解。格林函数是明确给出的艾里函数和相应的过渡振幅的超几何函数。量子参量振荡器的一般情况，然后考虑在类似的方式。建立了跃迁振幅的群论意义及其与巴格曼函数的关系。
2009-04-22 math-ph math.MP
A nonlocal connection between certain linear and nonlinear ordinary differential equations - Part II: Complex nonlinear oscillators
本文提出了一种识别可积复非线性振子系统并构造其解的方法。为此，我们引入了两种类型的非局部变换，它们将特定类别的非线性复常微分方程（ODE）与复线性ODE联系起来，从而证明了前者的可积性。我们还展示了如何构造的解决方案，使用两种类型的非局部变换与几个物理上有趣的情况下作为例子。
2013-09-12 math-ph math.MP nlin.SI
Wei-Norman equations for classical groups via cominuscule induction
我们展示了如何减少的非线性Wei-Norman方程，表示一个李代数上的非自治方程的线性系的解决方案，到一个矩阵Riccati方程族使用余中子归纳法。该构造适用于所有不含G2、F4或E8型单因子的约化李代数。相应的非线性，虽然不再Riccati方程的层次，给出了这些例外情况。
2015-12-23 math-ph math.MP math.RT
A Modal Series Representation of Genesio Chaotic System
本文提出了一种用一般非线性模态表示法来描述和研究非线性动力学混沌Genesio系统的分析方法。该方法将模型的非线性常微分方程转化为线性时不变常微分方程序列。通过求解线性常微分方程序列，得到了原非线性问题的一致收敛级数形式的精确解。给出了一种计算复杂度低、精度高的近似解的有效算法。仿真结果表明了该方法的有效性。
2012-08-09 math-ph math.DS math.MP
Data-driven discovery and control of multistable nonlinear systems and hysteresis via structured Neural ODEs
University of Washington（华盛顿大学）；Pacific Northwest National Laboratory（太平洋西北国家实验室）
本文提出一种结构化神经ODE架构，通过学习向量场形式F(x,u)=f(x)(x-g(x,u))，实现多稳系统轨迹稳定性，从而在短时间训练中高效捕捉多个吸引盆地并实现反馈控制。
2026-03-27 cs.SY eess.SY math-ph
Factorization of damped wave equations with cubic nonlinearities
我们在math-ph/0401040中介绍的非线性多项式常微分方程的因式分解方法被应用到具有立方非线性项的阻尼波方程的有趣情况。在由扭折速度与阻尼系数的关系所定义的平面内，只有沿着本文所绘制的双曲线，才有可能得到行进扭折解
2004-03-12 math-ph math.MP
On the use of asymptotically motivated gauge functions to obtain convergent series solutions to nonlinear ODEs
针对 Sakiadis 边界层与静态气液弯月面两个非线性 ODE 的幂级数发散问题，本文提出基于大距离渐近行为的指数规范函数变换，使级数在半无限全域收敛。
2023-12-12 math-ph math.MP physics.flu-dyn
Generalized flows and singular ODEs on differentiable manifolds
基于流形值广义函数的概念，我们在整体上研究了具有奇异（特别是：分布）右端的非线性常微分方程.在建立了几个存在性和唯一性的结果，这样的方程和流动的奇异向量场的解决方案，我们比较这里采用的解决方案的概念与纯粹的分布设置。最后，我们得到的标准，确保一个序列的光滑流对应于一个给定的奇异向量场的正则化收敛到一个可测的极限流。
2003-04-09 math-ph math.FA math.MP
Interplay between Riccati, Ermakov and Schroedinger equations to produce complex-valued potentials with real energy spectrum
本文利用 Riccati 与 Ermakov 方程结合 Darboux 方法，构造能谱继承 Hermitian 可解系统全部能量且额外含一个实本征值且无奇点的复值势，并以 Morse 和三角 Pöschl-Teller 势为例说明。
2018-04-16 math-ph math.MP quant-ph
Interconnections between various analytic approaches applicable to third-order nonlinear differential equations
我们发掘了目前文献中广泛使用的各种分析方法之间的相互联系，以确定由三阶非线性常微分方程（ODE）描述的可积非线性动力系统。我们在扩展的Prelle-Singer方法和适用于三阶常微分方程的λ-对称方法之间建立了一个重要的联系，以揭示与这些不同技术相关的各种联系。通过建立这种相互联系，我们证明了在由Jacobi最后乘子，达布多项式，李点对称，伴随对称，λ对称，积分因子和零形式组成的族中，给定任何一个量作为起点，我们都可以以直接和明确的方式导出这个族中的其余量。我们还用三个具体的例子来说明我们的研究结果。
2015-02-13 math-ph math.MP nlin.SI
Exact Solutions for the Singularly Perturbed Riccati Equation and Exact WKB Analysis
本文用 Borel–Laplace 方法构造并刻画奇异摄动 Riccati 方程在半平面内具有指定渐近性的精确解，并据此证明有理势复一维 Schrödinger 方程精确 WKB 解的存在唯一性。
2021-11-21 math-ph math.CA math.CV
Grassmannian flows and applications to nonlinear partial differential equations
我们展示了如何解决一个大类的偏微分方程的非局部Riccati型非线性可以产生相应的线性方程，从任意的初始数据。众所周知，演化矩阵Riccati方程可以通过将Stiefel流形上的线性演化流投影到Grassmann流形的坐标图上来生成。我们的方法依赖于将这个想法扩展到无限维的情况。关键是一个积分方程，它类似于可积系统中的马尔琴科方程，代表了坐标图。我们明确地展示了如何产生这样的解决方案，标量偏微分方程的任意阶非局部二次非线性使用我们的方法。我们提供了数值模拟，证明了非局部非线性Fisher-Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov方程的解的产生。我们还表明，该方法可能会扩展到更一般的类的非线性偏微分系统。
2018-01-30 math-ph math.AP math.MP
Formal exact operator solutions to nonlinear differential equations
给出了充分一般的非线性微分方程组（常微分方程组和偏微分方程组）Cauchy问题形式精确算子解的时间算子指数形式的紧致显式表达式.提出了普通算子指数形式的精确解的变形。
2009-10-20 math-ph math.MP nlin.SI
