奇异摄动 Riccati 方程的精确解与精确 WKB 分析
Exact Solutions for the Singularly Perturbed Riccati Equation and Exact WKB Analysis
AI总结：
本文用 Borel–Laplace 方法构造并刻画奇异摄动 Riccati 方程在半平面内具有指定渐近性的精确解，并据此证明有理势复一维 Schrödinger 方程精确 WKB 解的存在唯一性。
摘要：
奇异摄动 Riccati 方程是复域中的一阶非线性 ODE（常微分方程）$\hbar \partial_x f = af^2 + bf + c$，其中 $\hbar$ 是一个小复参数。我们证明了在半平面内当 $\hbar \to 0$ 时具有指定渐近性的精确解的存在唯一性定理。这些精确解利用 Borel–Laplace 方法构造；换言之，它们是形式发散的 $\hbar$ 幂级数解的 Borel 求和。作为应用，我们证明了具有有理势的复一维 Schrödinger 方程精确 WKB 解的存在性与唯一性。
英文摘要：
The singularly perturbed Riccati equation is the first-order nonlinear ODE $\hbar \partial_x f = af^2 + bf + c$ in the complex domain where $\hbar$ is a small complex parameter. We prove an existence and uniqueness theorem for exact solutions with prescribed asymptotics as $\hbar \to 0$ in a halfplane. These exact solutions are constructed using the Borel-Laplace method; i.e., they are Borel summations of the formal divergent $\hbar$-power series solutions. As an application, we prove existence and uniqueness of exact WKB solutions for the complex one-dimensional Schrödinger equation with a rational potential.
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