关于差分方程WKB解的注记

求解差分方程和Airy函数的复WKB方法

The complex WKB method for difference equations and Airy functions

考虑差分Schr{<$}dinger方程$ψ$（z + h）+ $ψ$（z -- h）+ v（z）$ψ$（z）= 0，其中z是复变量，h > 0是参数，v是解析函数.当h $\rightarrow$ 0时，该方程的分析解在v（z）= $\pm$ 2的点附近具有标准的准经典行为。研究了在z 0附近满足v（z 0）= $\pm$ 2和v（z 0）= 0的分析解.对于有限差分方程，这些点是为微分方程定义的简单转折点的自然类似物-- $ψ$（z）+ v（z）$ψ$（z）= 0。在这样一个点的h-独立邻域中，我们得到了差分方程分析解的一致渐近展开。

Les Houches 讲座：精确 WKB 分析与 Painlevé 方程

Les Houches Lectures on Exact WKB Analysis and Painlevé Equations

本文通过介绍精确 WKB 分析理论及其在 Painlevé 方程研究中的应用，探讨了线性微分方程的单值性问题和 resurgent 结构分析。

阻尼Mathieu方程WKB近似的收敛性

On the Convergence of WKB Approximations of the Damped Mathieu Equation

本文研究阻尼Mathieu方程在质量参数趋于零时WKB近似的收敛性，证明基本解集的周期部分和指数部分均收敛，并给出特征指数和周期部分的渐近误差阶。

线性差分方程到一阶差分方程组的变换

Transformation of the linear difference equation into a system of the first order difference equations

给出了N阶线性差分方程到一阶差分方程组的变换。所提出的变换给出了得到N维一阶方程组的新形式的可能性，这些新形式可用于分析N阶差分方程的解。特别地，对于三阶线性差分方程，得到了与二阶线性差分方程的Riccati方程具有相同作用的二阶非线性差分方程.新形式的N维一阶方程组也可用于求系数随指数变化足够慢的线性差分方程的WKB解。

一类与逆误差函数相关的多项式族的渐近分析

Asymptotic analysis of a family of polynomials associated with the inverse error function

我们分析了微分差分方程$P_{n+1}(x)=P_{n}^{\prime}(x)+x(n+1)P_{n}(x)$定义的多项式序列渐近为$n\to\infty$ .多项式$P_{n}(x)$在计算逆误差函数$\operatorname{inverf}(x)$的高阶导数时出现。我们使用奇异性分析和离散版本的WKB和射线方法，并给出数值结果，显示我们的公式的准确性。

A note on generalized $q$-difference equations for general Al-Salam--Carlitz polynomials

In this paper, we deduce the generalized $q$-difference equations for general Al-Salam--Carlitz polynomials and generalize Arjika's recently results [$q$-difference equation for homogeneous $q$-difference operators and their applications, J. Differ. Equ. Appl. {\bf 26}, 987--999 (2020)]. In addition, we obtain transformational identities by the method of $q$-difference equation. Moreover, we deduce $U(n+1)$ type generating functions and Ramanujan's integrals involving general Al-Salam--Carlitz polynomials by $q$-difference equation.