Computable Integrability. Chapter 2: Riccati equation
本章以Riccati方程为例，尝试证明第一章中介绍的一些思想和概念--求积可积性、守恒律等。关于RE的变换群和解的奇异性，我们构造了Riccati方程的一些等价形式。比较了Riccati方程及其等价形式的三种不同解法。RE的经典形式使我们能够很容易地构造形式级数表示的渐近解。二阶线性方程被证明是更方便地描述有限间隙势的精确孤子解，这将是一个更复杂的任务，一个RE本身，而推广的类孤子势有限间隙势需要修改Schwarzian方程。
2005-09-12 math-ph math.MP
Integrability and Matrix Models
本文简要回顾了特征值矩阵模型的可积性与超可积性性质，并聚焦于最简单且具代表性的Gaussian Hermitian情形。
2022-12-05 hep-th math-ph math.MP
Higher-order superintegrability of a Holt related potential
在最近的一篇论文中，Post和Winternitz研究了二维欧几里得势的性质，这些势在两个笛卡尔变量之一中是线性的。特别是，他们证明了存在一个潜在的赋予积分的三阶和积分的四阶。在本文中，我们表明，这些结果可以得到一个更简单和直接的方式，注意到这个潜在的直接关系到霍尔特势。证明了高阶超可积势的存在是Holt型势族可积性的直接结果。
2013-09-27 math-ph math.MP
New integrability case for the Riccati equation
给出了Riccati方程$dy/dx=a(x)+b(x)y+c(x)y^{2}$的一个新的可积条件.通过引入依赖于生成函数$f(x)$的辅助方程，如果系数$a(x)$、$b(x)$、$c(x)$和函数$f(x)$满足特定约束，则可以获得Riccati方程的通解。通过求解某些Riccati型微分方程的通解，验证了该方法的有效性和可靠性。简要讨论了可积性条件在频率依赖于时间的阻尼谐振子和孤立波情形中的应用。
2012-04-30 math-ph math.MP nlin.SI
Global versus local superintegrability of nonlinear oscillators
哈密顿微分方程组的刘维尔（超）可积性是基于运动的全局定义常数的存在性，而李点对称性提供了守恒积分的局部方法。因此，研究李点对称在什么意义上可以用来提供关于给定哈密顿系统的超可积性的信息似乎是很自然的。二维振子和中心力问题作为基准的例子来表明，标准李点对称性和超可积性之间的关系既不简单，也不普遍。一般来说，超可积性与变分动力学对称代数的大小或结构无关。然而，对于一个给定的哈密顿系统，所有的第一积分可以通过标准点对称方法的扩展来获得，该方法被应用于描述具有非常曲率和球对称空间上的粒子运动的超可积非线性振子。
2019-01-23 math-ph math.MP
Integrability of supersymmetric Calogero-Moser models
我们分析了${\cal N}$ -扩展超对称Calogero-Moser模型的可积性。我们明确地构造了这个系统的拉克斯对$\{L,A\}$，它正确地再现了所有的运动方程。在加入一个超对称振子势后，我们将后者简化为求解时间演化算子$U(t)$的$\dot{U}\,{=}\,A\,U$。然而，玻色子变量在闭合轨道上独立于$U$演化，这是超可积性所必需的。为了直观地显示守恒流的结构，我们推导出完整的刘维尔电荷的五次方动量，${\cal N}{=}\,2$超对称模型。额外的，非对合的，保守的费用需要一个最大的超可积性，这个模型也被发现。
2022-05-19 hep-th math-ph math.MP
Integrability of Riccati equation from a group theoretical viewpoint
在本文中，我们开发了一些群论的方法，这是非常有用的，更好地理解的Riccati方程的性质，我们讨论了它的一些可积性条件从群论的角度来看。非线性叠加原理也以简单的方式出现。
1998-10-07 math-ph math.DG math.GR
Riccati-type pseudo-potential approach to quasi-integrability of deformed soliton theories
本文综述了Riccati型伪势方法在准可积sine-Gordon、KdV和NLS模型中的应用，提出统一框架分析多种变形可积系统，发现异常守恒定律和非局域守恒定律，对非线性物理多个领域具有潜在应用价值。
2025-04-20 hep-th math-ph math.MP
Superintegrability of matrix Student's distribution
对于普通的矩阵模型，特征值概率密度随着趋于无穷大而迅速衰减，换句话说，具有“短尾”。这确保了所有的多道矩（multipoint moments）都是收敛的并且定义明确。尽管如此，许多关键现象都与看似罕见的效应的概率增加有关，人们希望它们能被“长尾”模型更好地描述。在没有指数衰减的情况下，高矩的积分会发散，这可能意味着与矩阵和本征值模型相关的（超）可积性属性的丧失，并且可能意味着与更一般的量子系统的非微扰（精确）处理相关的（超）可积性属性的丧失。在本文中，我们解释了这种对现代理解的危险可能被夸大了。我们考虑一个简单的家庭长尾矩阵模型，它保持了超可积性的重要特征：一个完整的基本平均值的精确因式分解表达式。结果表明，即使在发散的情况下，经过适当的（自然的和明显的）解析延拓，超可积性仍然存在，这为研究长尾矩阵模型开辟了新的视角.
2021-08-02 hep-th math-ph math.MP
Integrability of Lie systems and some of its applications in physics
李系统的几何理论将用于建立几个微分方程系统的可积性条件，特别是Riccati方程和Ermakov系统。从这个新的角度分析了文献中的许多不同的可积性判据，并给出了它们在物理学中的一些应用。
2008-10-22 math-ph math.MP
Geometrical and Dynamical Aspects of Nonlinear Higher-Order Riccati Systems
研究了非线性二阶Riccati方程（SORE）在$S^1$上的投影向量场方程的几何形式，它与Virasoro轨道的稳定性代数有关.利用Darboux可积性方法得到了SORE的首次积分，并将所得结果应用于研究其拉格朗日和哈密顿描述。我们揭示了达布多项式和主对称性与二阶Riccati之间的关系。利用这些结果，我们表明存在一个拉格朗日描述的相关系统，并Painlevé II方程进行了分析。
2015-07-02 math-ph math.MP
Lie systems and integrability conditions of differential equations and some of its applications
李系统的几何理论被用来建立几个系统的微分方程，特别是一些Riccati方程和Ermakov系统的可积性条件。从这个新的角度分析了文献中的许多不同的可积性判据，并给出了它们在物理学中的一些应用。
2009-02-06 math-ph math.MP
Liouvillian Propagators, Riccati Equation and Differential Galois Theory
本文提出了一种通过Riccati方程构造传播子的伽罗瓦方法。主要结果对应于线性薛定谔方程的伽罗瓦可积性与其相应特征方程的微分伽罗瓦群的虚可解性之间的关系。作为该方法的主要应用，我们通过Hamiltonian代数化和Kovacic算法求解Ince微分方程，得到了广义谐振子的传播子，该传播子在描述量子光学中简并参量放大过程和非线性各向异性波导中光的传播过程中具有应用。由可积Riccati方程和可积特征方程启发的传播子玩具模型也被提出。
2013-06-13 math-ph math.MP
On Explicit Solutions for Coupled Reaction-Diffusion and Burgers-Type Equations with Variable Coefficients Through a Riccati System
本文通过相似变换和Riccati系统，为含变系数的耦合反应-扩散与Burgers型方程（如Lotka-Volterra、Gray-Scott和Burgers模型）构造显式解，包括行波解和复杂动力学解，并用Mathematica验证。
2024-06-25 math-ph math.MP
On integrability aspects of the supersymmetric sine-Gordon equation
本文研究了超对称sine-Gordon方程的某些可积性质。我们构造了具有零曲率表示的拉克斯对，它等价于超对称sine-Gordon方程.从费米子线性谱问题出发，导出了超Riccati方程的耦合组和超对称sine-Gordon方程的自贝克隆变换.此外，详细描述了相关的达布变换，并构造了非平凡的超多孤子解。这些可积性的性质使我们能够提供新的明确的几何特征的玻色子超对称版本的Sym-Tafel公式的浸没表面的李超代数。这些特征仅用独立的玻色子和费米子变量表示。
2017-03-23 math-ph math.MP
(Super)integrability from coalgebra symmetry: formalism and applications
回顾了从Poisson余代数构造经典可积系统的余代数方法，强调了辛实现在这一框架中所起的重要作用.给出了许多具有未变形或q-变形余代数对称性的哈密顿算子的例子，并讨论了它们的Liouville超可积性。其中，详细分析了N维非常曲率空间上的（拟极大）超可积系统。进一步推广的余代数方法，利用余代数和循环代数。这种余代数对称性框架推广到量子力学系统是简单的。
2009-05-08 math-ph math.MP nlin.SI
Inverse scattering on the line for Schrödinger operators with Miura potentials, II. Different Riccati representatives
这是第二次在一系列文件散射理论的一维薛定谔运营商与三浦潜力承认Riccati表示形式$q=u'+u^2$的一些$u\in L^2(R)$。我们认为潜在的存在“左”和“右”Riccati代表规定的半线上的可积性。这个类包括所有的Faddeev-Marchenko势在$L^1(R,(1+|x|)dx)$产生积极的薛定谔算子，以及许多与狄拉克δ函数和库仑类奇点的分布势。我们完整地描述了相应的一组反射系数$r$和证明的算法重建$q$从$r$。
2009-10-04 math-ph math.MP math.SP
A Chiellini type integrability condition for the generalized first kind Abel differential equation
将一阶第一类Abel方程$dy/dx=f(x)y^2+g(x)y^3$的Chiellini可积性条件推广到形式为$dy/dx=a(x)+b(x)y+f(x)y^{α-1}+g(x)y^α$的一般Abel方程的情形，其中$α\in \Re$，和$α> 1$ .在$α=2$情形下，广义Abel方程化为Riccati型方程，并得到了其Chiellini型可积性条件.
2013-10-05 math-ph math.MP nlin.SI
Riccati-type equations, generalised WZNW equations, and multidimensional Toda systems
我们将李群的李代数的任意$\mathbb Z$ -阶化与一个Riccati型一阶微分方程组联系起来。考虑的特殊情况是普通的Riccati和矩阵Riccati方程。给出了这些方程的多维延拓。相关的Redheffer-里德微分系统的概括出现在一个自然的方式。建立了Toda系统与低维和高维Riccati型方程之间的联系。在这方面的可积性问题，这些方程进行了研究。作为例证，给出了与极大非交换Toda系统相关的可积多维Riccati型方程的一些例子。
1998-07-16 hep-th math-ph math.MP
First Integrals of Extended Hamiltonians in n+1 Dimensions Generated by Powers of an Operator
我们描述了一个程序来构造多项式的动量第一积分的任意高的次数自然哈密尔顿算子$H$作为一维扩展的自然（测地线）$n$维哈密尔顿算子$L$。$L$的Liouville可积性蕴涵了$H$的（极小）超可积性。我们证明，作为自然可积条件的结果，它是必要的建设，与$L$相关的度量张量的曲率是常数。作为例子，该程序被应用到一维$L$，包括和改进以前的结果，和二维和三维$L$，提供新的超可积系统。
2012-01-02 math-ph math.MP nlin.SI
Generalized Stäckel Transform and Reciprocal Transformations for Finite-Dimensional Integrable Systems
我们提出了一个多参数推广的Stäckel变换（后者也被称为耦合常数变态），并表明在一定条件下，这种广义Stäckel变换保持刘维可积性，非交换可积性和超可积性。证明了运动方程的相应变换是一种特殊形式的互逆变换，并研究了这种互逆变换的性质。最后，我们表明，具有分离曲线的系统的哈密顿显然是非常不同的形式，可以通过适当选择的广义Stäckel变换。
2007-12-20 hep-th math-ph math.MP
Integrability cases for the anharmonic oscillator equation
利用N.利用Euler关于一般非谐振子方程\cite{12}可积性的定理，给出了高度非线性二阶常微分方程$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+f_{1}\left(t\right) \frac{dx}{dt}+f_{2}\left(t\right) x+f_{3}\left(t\right) x^{n}=0$的三类不同的通解.第一精确解是从点变换方程$d^{2}X/dT^{2}+X^{n}\left(T\right) =0$、$n\notin \left\{-3,-1,0,1\right\} $的特解获得的，如果系数$f_{i}(t)$、$i=1,2,3$满足可积性条件，则该特解等价于非谐振子方程。对于$f_{1}(t)$和$\frac{1}{f_{3}(t)}\frac{df_{3}}{dt}$，可积性条件可分别表示为Riccati方程.通过将可积性条件化为Bernoulli型方程，得到了非谐振子方程的两类精确解。
2013-04-03 math-ph math.MP nlin.SI
A Riccati equation based approach to isotropic scalar field cosmologies
引力耦合标量场$ϕ$，通过选择一个有效的自相互作用势$V(ϕ)$，模拟一个暂时不为零的宇宙学项，可以产生通货膨胀和后期的时间加速。在标量场宇宙学模型中，哈勃函数的演化由相互作用势的Riccati型方程决定。在目前的工作中，我们调查的标量场宇宙模型，可以得到的解决方案的Riccati演化方程的哈勃函数。给出了场方程的四种精确可积情形，代表了Riccati发展方程的通解类。这些解对应于哈勃函数正比于标量场势加上随时间线性递减的函数的宇宙学模型，对应于标量场势随时间变化正比于势减去其平方的模型，对应于势是任意函数与函数积分的平方之和的模型，和模型，其中的潜力是一个任意的功能和其平方根的导数，分别。详细研究了所有模型的宇宙学性质，表明它们都能描述宇宙演化中的暴胀或后期加速阶段
2014-05-24 astro-ph.CO gr-qc math-ph
Three-dimensional superintegrable systems in a static electromagnetic field
本文考虑带电粒子在由矢量势$\vec A(\vec x)$和静电势$V(\vec x)$描述的静态电磁场中运动。我们研究的条件下的结构的运动积分的第一和第二阶动量，特别是它们是如何影响的规范不变性的问题。接下来，我们集中在三种可能的可积性所产生的一阶积分对应的三个非等价的子代数的欧几里德代数，即$(P_1,P_2)$，$(L_3,P_3)$和$(L_1,L_2,L_3)$。对于这些情况，我们寻找额外的独立积分的第一或第二阶动量。这将使系统超可积（最小或最大）。我们研究了它们的量子谱和经典运动方程。在某些情况下，非多项式运动积分出现，并确保最大超可积性。
2015-07-16 math-ph math.MP
Analytical solutions of the one-dimensional Schrödinger equation with position-dependent mass
由于有效质量与位置相关的薛定谔方程在半导体性质、半导体异质结构、梯度合金、量子液体、氦-3团簇、量子阱、线和点等。在本工作中，我们得到了几类解的一维薛定谔方程与位置相关的粒子质量。作为第一步，单粒子薛定谔方程与位置相关的质量转化为一个等价的Riccati型方程。考虑Riccati方程的一些可积情形，在粒子质量函数和外部势满足某些相容性条件下，得到了薛定谔方程的七类精确解析解.
2021-03-19 math-ph math.MP quant-ph
Generalized symmetries, first integrals, and exact solutions of chains of differential equations
研究含Riccati和Abel链的常微分方程序列的可积性，通过广义对称性构造首次积分并求精确通解。
2021-06-12 math-ph math.MP nlin.SI
Integrable and superintegrable 3d Newtonian potentials using quadratic first integrals: A review
确定动力学系统的第一积分并系统地评价其可积性或超可积性是一个开放的课题。沿着这些路线为二阶自治动力系统开发的一种方法是所谓的直接方法。根据这种方法，假设FI I的一般函数形式，并且沿着动力学方程需要条件dI/dt=0。这导致一个系统的偏微分方程（PDE），其中一个增加了必要的可积条件所涉及的标量。我们发现最终的偏微分方程系统分裂成两个集合：a.一组只包含几何元素和b。第二组几何和动力学量。然后，提供的几何量是已知的或可以找到的，一个使用第二组计算FI，并相应地，评估的可积性的动力系统。二次FI（QFI）的偏微分方程系统的解已在最近的论文J. Math. Phys. 61，122701（2020）中给出。在目前的工作中，我们考虑这个解决方案的应用牛顿自治保守动力系统的三个自由度，并计算可积和超可积的潜力，其可积性是通过自治和时间依赖的QFI确定。这些系统的几何元素是已知的欧几里得空间的几何元素。设置各种值的参数确定的几何元素，我们确定在一个系统的方式所有已知的可积和超可积的潜力E3与新的。为了便于参考，结果收集在表中，使目前的工作可以作为一个更新的审查的主题上的二阶可积/超可积的潜力在E3。
2023-01-02 math-ph math.MP nlin.SI
On integrable rational potentials of the Dirac equation
具有有理势的一维Dirac方程可化为具有类Riccati系数的常微分方程。它的可积性可以用微分伽罗瓦理论来研究，尽管结果必须用递归关系来陈述，因为一般来说方程是Heun型的。还提出了基于奇点性质的可积有理势的反问题，特别是发现了导致Whittaker方程的一类可积势.
2013-02-16 math-ph math.MP quant-ph
On the integrability of the Abel and of the extended Liénard equations
给出了推广的Liénard方程$y^{\prime \prime }+f\left( y\right) \left(y^{\prime }\right)^{n}+k\left( y\right) \left(y^{\prime }\right)^{m}+g\left(y\right) y^{\prime }+h\left( y\right) =0$的精确可积性情形，其中$n>0$和$m>0$为任意常数，而$f(y)$，$k(y)$，$g(y)$和$h(y)$为任意函数.通过将Liénard方程转化为等价的由$\frac{dv}{dy} =f\left( y\right) v^{3-n}+k\left( y\right) v^{3-m}+g\left( y\right) v^{2}+h\left( y\right) v^{3}$给出的第一类一阶Abel型方程，用$v=1/y^{\prime }$得到解.作为第一步，在我们的研究中，我们得到三个可积的情况下，扩展的二次-三次Liénard方程，对应于$n=2$和$m=3$，通过假设相关的阿贝尔方程的特定的解决方案是已知的。在此假设下，可以得到系数满足某些微分条件的Abel方程和Liénard方程的精确封闭形式的通解.利用Chiellini可积性条件，证明了如果Abel方程的特解已知，则推广的二次三次Liénard方程的通解可以通过求积得…
2019-08-10 math-ph math.CA math.MP
Lund--Regge Geometry and Integrability of a Generalized Konno--Oono System
Universidad a Distancia de Madrid (UDIMA)（马德里远程大学）；Universidad de Santiago de Chile（智利圣地亚哥大学）
研究广义 Konno - Oono 系统，通过构造依赖参数的超定线性问题，建立无穷多非平凡局部守恒律证明其可积性，还分析行波解及生成的浸入\(S^3\)曲面，极限情况可得广义 Clifford 环面相关曲面。
2026-07-08 math-ph math.DG math.MP
