A geometric approach to integrability conditions for Riccati equations
Jose F. Cariñena, Javier de Lucas, Arturo Ramos
从李系统理论的几何角度分析了几个可积Riccati方程的例子。这为我们以前的方法提供了一个统一的观点。
Several instances of integrable Riccati equations are analyzed from the geometric perspective of the theory of Lie systems. This provides us a unifying viewpoint for previous approaches.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Integrability of Lie systems through Riccati equations
李系统的可积性条件与约化或变换过程有关。在这里，我们分析的几何方法来构造的Riccati方程的可积性条件后，这些方法。这种方法为我们提供了一个统一的几何观点，使我们能够分析一些以前的作品的主题，并解释新的属性。此外，这种新的方法可以直接推广到描述任何李系统的可积性条件。最后，我们展示了我们的治疗的有用性，以研究问题的线性化Riccati方程。
New further integrability cases for the Riccati equation
给出了Riccati方程$dy/dx=a(x)+b(x)y+c(x)y^{2}$的新的可积性条件.第一种情况对应于Riccati方程的系数$a(x)$和$c(x)$以及函数$F(x)=a(x)+[f(x)-b^{2}(x)]/4c(x)$的固定函数形式，其中$f(x)$是任意函数。第二种可积性的情况下得到的“约化”Riccati方程与$b(x)\equiv 0$。如果系数$a(x)$和$c(x)$满足条件$\pm d\sqrt{f(x)/c(x)}/dx=a(x)+f(x)$，其中$f(x)$是任意函数，则“约化”Riccati方程的通解可以通过求积得到。简要讨论了“约化”Riccati方程的可积性条件在薛定谔方程和纳维-斯托克斯方程积分中的应用。
Computable Integrability. Chapter 2: Riccati equation
本章以Riccati方程为例，尝试证明第一章中介绍的一些思想和概念--求积可积性、守恒律等。关于RE的变换群和解的奇异性，我们构造了Riccati方程的一些等价形式。比较了Riccati方程及其等价形式的三种不同解法。RE的经典形式使我们能够很容易地构造形式级数表示的渐近解。二阶线性方程被证明是更方便地描述有限间隙势的精确孤子解，这将是一个更复杂的任务，一个RE本身，而推广的类孤子势有限间隙势需要修改Schwarzian方程。
New integrability case for the Riccati equation
给出了Riccati方程$dy/dx=a(x)+b(x)y+c(x)y^{2}$的一个新的可积条件.通过引入依赖于生成函数$f(x)$的辅助方程，如果系数$a(x)$、$b(x)$、$c(x)$和函数$f(x)$满足特定约束，则可以获得Riccati方程的通解。通过求解某些Riccati型微分方程的通解，验证了该方法的有效性和可靠性。简要讨论了可积性条件在频率依赖于时间的阻尼谐振子和孤立波情形中的应用。
Lagrangian Formalism for nonlinear second-order Riccati Systems: one-dimensional Integrability and two-dimensional Superintegrability
分析了二阶Riccati方程的Lagrange描述的存在性，并将所得结果应用于与广义Riccati方程相关的两个不同非线性系统的研究.拉格朗日量是非自然的，力不能从势中导出。守恒能量函数的常数值$E$可用作表征这两个系统解的行为的适当参数。第二部分证明了具有超可积性的二维形式的存在性。在这两种情况下，得到了附加积分的显式表达式。最后证明了第二类系统的轨道可以看作是非线性李萨如图
Integrability of Riccati equation from a group theoretical viewpoint
在本文中，我们开发了一些群论的方法，这是非常有用的，更好地理解的Riccati方程的性质，我们讨论了它的一些可积性条件从群论的角度来看。非线性叠加原理也以简单的方式出现。
Riccati-type pseudo-potential approach to quasi-integrability of deformed soliton theories
本文综述了Riccati型伪势方法在准可积sine-Gordon、KdV和NLS模型中的应用，提出统一框架分析多种变形可积系统，发现异常守恒定律和非局域守恒定律，对非线性物理多个领域具有潜在应用价值。
Integrability of Lie systems and some of its applications in physics
李系统的几何理论将用于建立几个微分方程系统的可积性条件，特别是Riccati方程和Ermakov系统。从这个新的角度分析了文献中的许多不同的可积性判据，并给出了它们在物理学中的一些应用。
Geometrical and Dynamical Aspects of Nonlinear Higher-Order Riccati Systems
研究了非线性二阶Riccati方程（SORE）在$S^1$上的投影向量场方程的几何形式，它与Virasoro轨道的稳定性代数有关.利用Darboux可积性方法得到了SORE的首次积分，并将所得结果应用于研究其拉格朗日和哈密顿描述。我们揭示了达布多项式和主对称性与二阶Riccati之间的关系。利用这些结果，我们表明存在一个拉格朗日描述的相关系统，并Painlevé II方程进行了分析。
Intrinsic Formulation of Geometric Integrability and Generation of Conservation Laws
给出了经典Backlund定理的可积性定理的一个内在形式。它的特点是一个单一的形式，可以放在一个Riccati系统的形式。它示出了如何可以将该系统线性化。在此基础上，给出了生成无穷多个守恒律的方法。
Lie systems and integrability conditions of differential equations and some of its applications
李系统的几何理论被用来建立几个系统的微分方程，特别是一些Riccati方程和Ermakov系统的可积性条件。从这个新的角度分析了文献中的许多不同的可积性判据，并给出了它们在物理学中的一些应用。
Liouvillian Propagators, Riccati Equation and Differential Galois Theory
本文提出了一种通过Riccati方程构造传播子的伽罗瓦方法。主要结果对应于线性薛定谔方程的伽罗瓦可积性与其相应特征方程的微分伽罗瓦群的虚可解性之间的关系。作为该方法的主要应用，我们通过Hamiltonian代数化和Kovacic算法求解Ince微分方程，得到了广义谐振子的传播子，该传播子在描述量子光学中简并参量放大过程和非线性各向异性波导中光的传播过程中具有应用。由可积Riccati方程和可积特征方程启发的传播子玩具模型也被提出。
On Explicit Solutions for Coupled Reaction-Diffusion and Burgers-Type Equations with Variable Coefficients Through a Riccati System
本文通过相似变换和Riccati系统，为含变系数的耦合反应-扩散与Burgers型方程（如Lotka-Volterra、Gray-Scott和Burgers模型）构造显式解，包括行波解和复杂动力学解，并用Mathematica验证。
On integrability aspects of the supersymmetric sine-Gordon equation
本文研究了超对称sine-Gordon方程的某些可积性质。我们构造了具有零曲率表示的拉克斯对，它等价于超对称sine-Gordon方程.从费米子线性谱问题出发，导出了超Riccati方程的耦合组和超对称sine-Gordon方程的自贝克隆变换.此外，详细描述了相关的达布变换，并构造了非平凡的超多孤子解。这些可积性的性质使我们能够提供新的明确的几何特征的玻色子超对称版本的Sym-Tafel公式的浸没表面的李超代数。这些特征仅用独立的玻色子和费米子变量表示。
Riccati-type equations, generalised WZNW equations, and multidimensional Toda systems
我们将李群的李代数的任意$\mathbb Z$ -阶化与一个Riccati型一阶微分方程组联系起来。考虑的特殊情况是普通的Riccati和矩阵Riccati方程。给出了这些方程的多维延拓。相关的Redheffer-里德微分系统的概括出现在一个自然的方式。建立了Toda系统与低维和高维Riccati型方程之间的联系。在这方面的可积性问题，这些方程进行了研究。作为例证，给出了与极大非交换Toda系统相关的可积多维Riccati型方程的一些例子。
A Chiellini type integrability condition for the generalized first kind Abel differential equation
将一阶第一类Abel方程$dy/dx=f(x)y^2+g(x)y^3$的Chiellini可积性条件推广到形式为$dy/dx=a(x)+b(x)y+f(x)y^{α-1}+g(x)y^α$的一般Abel方程的情形，其中$α\in \Re$，和$α> 1$ .在$α=2$情形下，广义Abel方程化为Riccati型方程，并得到了其Chiellini型可积性条件.
Riccati Diagonalization of Hermitian Matrices
本文给出了一种基于Grassmann流形和矩阵Riccati方程的厄米矩阵对角化的几何方法。我们称之为黎卡提对角化。
Integrability cases for the anharmonic oscillator equation
利用N.利用Euler关于一般非谐振子方程\cite{12}可积性的定理，给出了高度非线性二阶常微分方程$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+f_{1}\left(t\right) \frac{dx}{dt}+f_{2}\left(t\right) x+f_{3}\left(t\right) x^{n}=0$的三类不同的通解.第一精确解是从点变换方程$d^{2}X/dT^{2}+X^{n}\left(T\right) =0$、$n\notin \left\{-3,-1,0,1\right\} $的特解获得的，如果系数$f_{i}(t)$、$i=1,2,3$满足可积性条件，则该特解等价于非谐振子方程。对于$f_{1}(t)$和$\frac{1}{f_{3}(t)}\frac{df_{3}}{dt}$，可积性条件可分别表示为Riccati方程.通过将可积性条件化为Bernoulli型方程，得到了非谐振子方程的两类精确解。
Geometrical aspects of integrable systems
本文回顾了Hamilton系统可积性的几个基本定理，即完全可积的Liouville-Arnold定理、部分可积的Nekhoroshev定理和非交换可积的Mishchenko-Fomenko定理，并对它们分别给出了一个适合于非紧情形的版本。我们给出了一个可能的全球版本以前的本地结果，在一定的拓扑假设的基础空间。事实证明，局部仿射结构在这种情况下自然产生。
A geometric approach to integrability of Abel differential equations
用几何方法研究了一类Abel型一阶微分方程。该方法是基于最近发展的准李系统的理论，使我们能够解释一些特殊的例子可积阿贝尔方程。二阶阿贝尔方程将被讨论和拉格朗日动力学的逆问题进行了分析：存在两个替代拉格朗日公式证明，两个拉格朗日是一个非自然类。研究是通过达布多项式和雅可比乘子。
Quantum Lie systems and integrability conditions
李系统的理论最近已被应用到量子力学和另外一些微分方程李系统的可积性条件最近也从几何的角度进行了分析。在本文中，我们使用这两个发展，以获得一个几何理论的可积性在量子力学，我们用它来提供一系列的非平凡的可积量子力学模型，并恢复一些已知的结果，从我们的统一的观点。
A Riccati equation based approach to isotropic scalar field cosmologies
引力耦合标量场$ϕ$，通过选择一个有效的自相互作用势$V(ϕ)$，模拟一个暂时不为零的宇宙学项，可以产生通货膨胀和后期的时间加速。在标量场宇宙学模型中，哈勃函数的演化由相互作用势的Riccati型方程决定。在目前的工作中，我们调查的标量场宇宙模型，可以得到的解决方案的Riccati演化方程的哈勃函数。给出了场方程的四种精确可积情形，代表了Riccati发展方程的通解类。这些解对应于哈勃函数正比于标量场势加上随时间线性递减的函数的宇宙学模型，对应于标量场势随时间变化正比于势减去其平方的模型，对应于势是任意函数与函数积分的平方之和的模型，和模型，其中的潜力是一个任意的功能和其平方根的导数，分别。详细研究了所有模型的宇宙学性质，表明它们都能描述宇宙演化中的暴胀或后期加速阶段
Integrability and Chaos - algebraic and geometric approach
本文提出了动力系统复杂性的两种描述。代数方法处理微分伽罗瓦群理论及其限制可积性。几何部分是一个制定的动态语言的微分几何与特别应用到李雅普诺夫指数和变分方程。用三个例子说明了计算李雅普诺夫谱的算法。
The integrability of Lie-invariant geometric objects generated by ideals in the Grassmann algebra
本文研究了Grassmann代数中的闭理想作为李不变几何对象的基。嘉当特别是E。将Cartan理论推广到Lax可积非线性动力系统，并在喷流流形上的Wahlquist-Estabrook延拓结构和纤维空间上的Cartan-Ehresmann联络理论的框架下进行处理.研究了Grassmann代数中与闭理想有关的可积1-形式扩充2-形式的一般结构。一个有效的Maurer-Cartan单形式的建设建议，是非常有用的应用。作为应用的一个例子，开发的Lie不变的几何对象理论的Burgers非线性动力系统被认为是引起了找到一个明确的形式相关联的Lax型表示。
The physical phenomena are described by physical quantities related by specific physical laws. In the context of a Physical Theory, the physical quantities and the physical laws are described, respectively, by suitable geometrical objects and relations between these objects. These relations are expressed with systems of (mainly second order) differential equations. The solution of these equations is frequently a formidable task, either because the dynamical equations cannot be integrated by standard methods or because the defined dynamical system is non-integrable. Therefore, it is important t…
Integrability conditions between the first and second Cosserat deformation tensor in geometrically nonlinear micropolar models and existence of minimizers
本文将形变梯度$\nablaφ=F=R\,U$的极分解中对称拉伸张量$U$的可积性条件推广到非对称情形。在这样做，我们恢复可积性条件的第一Cosserat变形张量。让$F=\bar R\,\bar U$与$\bar R:Ω\subset\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathrm{SO}(3)$和$\bar U:Ω\subset\mathbb{R}^3\longrightarrow \mathrm{GL}(3)$。然后$\mathfrak{K}:={\bar R}^T\mathrm{Grad}\,{\bar R}=\mathrm{Anti}\Big( \frac{1}{\mathrm{det} \bar U}\Big[\bar U(\mathrm{Curl} \bar U)^T-\frac{1}{2} \mathrm{tr}(\bar U(\mathrm{Curl} \bar U)^T) 1\!\!1 \Big]\bar U\Big),$给出第一Cosserat变形张量$\bar U$和第二Cosserat张量${\mathfrak{K}}$之间的联系。(Here，Anti表示$\mathbb{R}^{3\times 3}$和$\mathfrak{So}(3):=\{\,\mathfrak{A}\in\mathbb{R}^{3\times 3\times 3…
Geometrical Aspects of Integrability in Nonlinear Realization Scheme
我们讨论了Boussinesq方程的可积性的语言中的几何量定义在一个适当选择的陪集流形连接的$W_{3}$代数Zamolodchikov。在非线性实现方法的框架下，对交换守恒量、Lax对表示、零曲率表示、Miura映射等给出了几何解释。
Liouville integrability of Beltrami-Maxwell fields with sources: A geometric theory of magnetic surfaces
本文研究带源Maxwell场的几何理论，证明其可由Beltrami场构造，并在存在守恒量时化为辛流形上的Liouville可积系统，应用于London方程等。
On integrability of the Camassa-Holm equation and its invariants. A geometrical approach
使用arXiv：math/0304245和arXiv：nlin/0511012中公开的几何方法，我们探索了Camassa-Holm方程（初始标量形式和2x2系统形式）。我们描述哈密顿和辛结构，递归算子和无穷级数的对称性和守恒律（本地和非本地）。
A geometric approach to integrability and reduction of dynamical system is developed from a modern perspective. The main ingredients in such analysis are the infinitesimal symmetries and the tensor fields that are invariant under the given dynamics. Particular emphasis is given to the existence of invariant volume forms and the associated Jacobi multiplier theory, and then the Hojman symmetry theory is developed as a complement to Noether theorem and non-Noether constants of motion. The geometric approach to Hamilton-Jacobi equation is shown to be a particular example of the search for related…
Generalized symmetries, first integrals, and exact solutions of chains of differential equations
研究含Riccati和Abel链的常微分方程序列的可积性，通过广义对称性构造首次积分并求精确通解。
General off-diagonal integrability of metric and nonmetric geometric flow and Finsler-Lagrange-Hamilton modified Einstein equations
本文探讨了度量和非度量几何流及修正爱因斯坦方程的非对角可积性，总结了新成果和历史发展，提出了一种非平凡的爱因斯坦引力修改方法。
On integrable rational potentials of the Dirac equation
具有有理势的一维Dirac方程可化为具有类Riccati系数的常微分方程。它的可积性可以用微分伽罗瓦理论来研究，尽管结果必须用递归关系来陈述，因为一般来说方程是Heun型的。还提出了基于奇点性质的可积有理势的反问题，特别是发现了导致Whittaker方程的一类可积势.
We present some exact integrability cases of the extended Liénard equation $y^{\prime \prime }+f\left( y\right) \left(y^{\prime }\right)^{n}+k\left( y\right) \left(y^{\prime }\right)^{m}+g\left(y\right) y^{\prime }+h\left( y\right) =0$, with $n>0$ and $m>0$ arbitrary constants, while $f(y)$, $k(y)$, $g(y)$, and $h(y)$ are arbitrary functions. The solutions are obtained by transforming the equation Liénard equation to an equivalent first kind first order Abel type equation given by $\frac{dv}{dy} =f\left( y\right) v^{3-n}+k\left( y\right) v^{3-m}+g\left( y\right) v^{2}+h\left( y\right) v^{3}$, …
Revisiting Lie integrability by quadratures from a geometric perspective
在简单回顾了经典的李定理之后，考虑了向量场的有限维李代数，并讨论了其中一个场的积分曲线可以通过求积以规定的方式获得的最一般条件，确定了积分系统所需的求积次数。这个理论将用例子来说明，并且也将给出李代数被一些分布所取代的定理的一个扩展。
Lund--Regge Geometry and Integrability of a Generalized Konno--Oono System
研究广义 Konno - Oono 系统，通过构造依赖参数的超定线性问题，建立无穷多非平凡局部守恒律证明其可积性，还分析行波解及生成的浸入\(S^3\)曲面，极限情况可得广义 Clifford 环面相关曲面。
Pseudo-potentials, nonlocal symmetries and integrability of some shallow water equations
本文从统一的观点研究了Korteweg-de Vries、Camassa-Holm和Hunter-Saxton方程的零曲率公式、赝势、修正形式、"Miura变换“和非局部对称性：这三个方程属于"描述赝球面”的双参数方程族，因此它们的基本可积性质可以用几何方法研究.
Darboux integrability for diagonal systems of hydrodynamic type
本文证明了对角流体动力学型系统的Darboux可积性等价于其对易流系统的可积性，且可由Laplace变换序列终止刻画，并给出几何解释。
A geometric Hamilton--Jacobi theory on a Nambu-Jacobi manifold
本文提出了Nambu-Jacobi流形上的几何Hamilton-Jacobi理论.几何Hamilton-Jacobi理论的变化是：如果一个Hamilton向量场$X_H$可以通过一个一元形式的$dW$投影到一个位形流形上，那么只要$W$是Hamilton-Jacobi方程的解，投影向量场$X_H^{dW}$的积分曲线就可以变换为向量场$X_H$的积分曲线.这个过程使我们能够减少动力学到一个较低的维流形中，我们整合的运动。另一方面，兴趣的Nambu-Jacobi结构驻留在它的作用中的描述动力学的几个哈密顿函数。例如，它出现在流体动力学中。在这里，我们推导出一个显式的几何Hamilton-Jacobi方程的Nambu-Jacobi流形上，并将其应用到三阶Riccati微分方程作为一个例子。
Gel'fand-Zakharevich Systems and Algebraic Integrability: the Volterra Lattice Revisited
本文将讨论用分离变量法求解Hamilton-Jacobi（H-J）方程的双哈密顿方法的一些特点，并与代数完全可积理论，特别是代数几何Poisson括号的Veselov-Novikov概念相联系。分离Hamilton-Jacobi方程的“双哈密顿”方法基于Poisson括号束的概念和对可积系统的Gel'fand-Zakharevich（GZ）方法。我们将在此显示如何，很自然，GZ系统可能会引起AG泊松括号，连同具体的食谱来解决H-J方程。然后，我们将展示这种设置是如何工作的框架结果Veselov和Penskoi的代数可积性的Volterra格内的bihamilton设置分离变量。
Conformal bi-Hamiltonian structure and integrability of an interacting Pais-Uhlenbeck oscillator
本文研究了相互作用 Pais-Uhlenbeck 振子的共形双哈密顿结构及其可积性，通过与广义 Hénon-Heiles 系统的对应关系，揭示了其可积性质和显式解的构造方法。
Nilpotent integrability, reduction of dynamical systems and a third-order Calogero-Moser system
我们提出了一个代数制定的动力系统的可积性的概念，其流动的幂零性的基础上：它可以被明确地描述为一个多项式的演化参数。这样一个属性是建立在一个纯粹的几何-代数语言，在两个代数的所有高阶常数的运动（命名为幂零代数的动力学），和一个最大阿贝尔代数的对称性（称为嘉当子代数的动力学）。它表明，这个概念的可积性相当于零化子的幂零代数被包含在一个Cartan子代数的动力学。表现出这种性质的系统将被称为幂零可积的。我们的幂零可积性的概念提供了一个新的洞察系统的内在动力学性质，这是独立于任何辅助几何结构定义在其相空间。同时，它以一种自然的方式推广了哈密顿系统完全可积的经典概念。本文还讨论了一种对幂零可积系统有效的代数约化方法，推广了在适当商空间上辛系统和Poisson系统的约化方法。特别地，证明了通过高阶自由系统的约化可以得到一大类幂零可积系统。分析了三阶自由系统的情形，得到了一组非平凡的三阶Calogero-Moser-like幂零可积方程.
The determination of the first integrals (FIs) of a dynamical system and the subsequent assessment of their integrability or superintegrability in a systematic way is still an open subject. One method which has been developed along these lines for second order autonomous dynamical systems is the so-called direct method. According to this method, one assumes a general functional form for the FI I and requires the condition dI/dt=0 along the dynamical equations. This results to a system of partial differential equations (PDEs) to which one adds the necessary integrability conditions of the invol…
Integrability and geometry of the Wynn recurrence
本文将Wynn递推视为离散Schwarzian KP方程的约化，揭示其射影几何意义，并建立非交换Padé理论、非交换Toda方程及其在正则语言和离散解析函数中的应用。
A geometric interpretation of integrable motions
本文以黎曼几何把牛顿运动解释为力学流形测地线，将可积性联系于非 Noether 型 Killing 张量场，并在 N=2 Toda 与修正 Henon-Heiles 模型中显式构造该张量、恢复第二守恒量。
Recent generalizations of the Camassa-Holm equation are studied from the point of view of existence of global solutions, criteria for wave breaking phenomena and integrability. We provide conditions, based on lower bounds for the first spatial derivative of local solutions, for global well-posedness for the family under consideration in Sobolev spaces. Moreover, we prove that wave breaking phenomena occurs under certain mild hypothesis. Regarding integrability, we apply the machinery developed by Dubrovin [Commun. Math. Phys. 267, 117--139 (2006)] to prove that there exists a unique bi-hamilto…
Many integrable statistical mechanical models possess a fractional-spin conserved current. Such currents have been constructed by utilising quantum-group algebras and ideas from "discrete holomorphicity". I find them naturally and much more generally using a braided tensor category, a topological structure arising in knot invariants, anyons and conformal field theory. I derive a simple constraint on the Boltzmann weights admitting a conserved current, generalising one found using quantum-group algebras. The resulting trigonometric weights are typically those of a critical integrable lattice mo…
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