The nonlinear superposition principle and the Wei-Norman method
利用群论方法研究了Riccati方程的一些性质，Riccati方程是唯一一个具有非线性叠加原理的微分方程。应用Wei-Norman方法得到了$SL(2,R)$群中的相关微分方程。从群论的角度分析了一阶微分方程组的叠加原理和Lie-Scheffers定理。最后，将该理论应用于非定常薛定谔方程等二阶微分方程的求解
1998-02-21 math-ph math.MP
Reduced Dynamics from the Unitary Group to Some Flag Manifolds : Interacting Matrix Riccati Equations
本文讨论了N能级系统中酉元的时间演化，并考虑了从酉群U（N）到第二类旗流形（用我们的术语）的约化动力学。然后，我们导出了一组相互作用的矩阵Riccati型微分方程，并提出了Riccati方程所满足的非线性叠加公式的一个重要问题。我们的结果是论文{ \bf Chaturvedi et al}（arXiv：0706.0964 [quant-ph]）的自然推广。
2008-09-01 math-ph math.MP quant-ph
Integrability of Riccati equation from a group theoretical viewpoint
在本文中，我们开发了一些群论的方法，这是非常有用的，更好地理解的Riccati方程的性质，我们讨论了它的一些可积性条件从群论的角度来看。非线性叠加原理也以简单的方式出现。
1998-10-07 math-ph math.DG math.GR
From constants of motion to superposition rules for Lie-Hamilton systems
李系统是一个非自治的一阶微分方程系统，具有叠加规则，即一个映射，它的通解表示为一个一般的有限族特解和一些常数。李-汉密尔顿系统是李系统的一个子类，其动力学由泊松流形上的函数的有限维实李代数中的曲线控制。证明了Lie-Hamilton系统具有Poisson余代数结构。这使我们能够设计方法，以代数的方式推导出它们的运动常数和叠加规则。我们通过研究具有时变频率的Kummer-Schwarz方程、Riccati方程、Ermakov系统和Smorodinsky-Winternitz系统来说明我们的方法。
2013-05-27 math-ph math.MP
Riccati equation-based generalization of Dawson's integral function
利用Riccati非线性微分方程与二阶常微分方程之间的联系，给出了Dawson积分函数的一个新的推广.建立了该广义函数的MacLaurin展开式，并由此导出了三角矩阵的一般余子式的显式公式。
2007-06-15 math-ph math.MP
Weierstrass type projective Riccati equation expansion method and solutions of KdV equation
本文给出了投影Riccati方程的两个新的Weierstrass椭圆函数解，以及将Weierstrass椭圆函数转换为双曲函数和三角函数的四个转换公式。利用投影Riccati方程的Weierstrass椭圆函数解及其转换公式，提出了称为Weierstrass型投影Riccati方程展开法.利用该方法构造了KdV方程的Weierstrass椭圆函数解、孤立波解和周期波解。通过图形给出了KdV方程的类孤波解和周期波解。
2022-05-11 math-ph math.MP nlin.SI
Geometrical and Dynamical Aspects of Nonlinear Higher-Order Riccati Systems
研究了非线性二阶Riccati方程（SORE）在$S^1$上的投影向量场方程的几何形式，它与Virasoro轨道的稳定性代数有关.利用Darboux可积性方法得到了SORE的首次积分，并将所得结果应用于研究其拉格朗日和哈密顿描述。我们揭示了达布多项式和主对称性与二阶Riccati之间的关系。利用这些结果，我们表明存在一个拉格朗日描述的相关系统，并Painlevé II方程进行了分析。
2015-07-02 math-ph math.MP
On Explicit Solutions for Coupled Reaction-Diffusion and Burgers-Type Equations with Variable Coefficients Through a Riccati System
本文通过相似变换和Riccati系统，为含变系数的耦合反应-扩散与Burgers型方程（如Lotka-Volterra、Gray-Scott和Burgers模型）构造显式解，包括行波解和复杂动力学解，并用Mathematica验证。
2024-06-25 math-ph math.MP
Riccati equations of opposite torsions from the Lie-Darboux method for spatial curves and possible applications
本文通过Lie-Darboux方法重新表述三维欧氏空间中空间曲线的Riccati方程，得到两个仅扭率符号相反的方程，并以圆柱螺旋线为例说明，同时探讨其在物理学中的潜在应用。
2023-09-21 math-ph math.GM math.MP
Riccati equations and quasi-1D noninteracting problems
本文用传递矩阵方法研究了一般一维矩阵薛定谔方程。对于一个二次动力学项，我们讨论的表达式为当地的格林函数的Riccati型方程的解决方案，和一个相关的公式的运营商行列式。对于一个线性动力学项，该方法减少到Eilenberger准经典方程。在一般情况下，它来自经典的结果在边值问题。我们考虑应用说明性的问题，集中在超导性，并讨论了一般的自由能量密度的梯度展开。
2019-04-04 cond-mat.mes-hall math-ph math.MP
Recent Applications of the Theory of Lie Systems in Ermakov Systems
我们回顾了李系统理论的一些最新结果，以便将这些结果应用于研究Ermakov系统。Ermakov系统的基本性质，即它们的叠加规则，Lewis-Ermakov不变量等，都是从这个新的角度发现的。我们也得到了新的结果，如一个新的叠加规则的Pinney方程的三个解决方案的相关Riccati方程。
2008-03-12 math-ph math.CA math.MP
Rational solutions for the Riccati-Schrödinger equations associated to translationally shape invariant potentials
我们发展了一种新的方法来建立一个几何形状不变的潜在的本征函数。为此，我们表明，它们的对数导数可以表示为终止连续分数在一个适当的变量。我们给出了明确的公式，所有的本征态，其具体形式取决于巴克莱-麦克斯韦类所考虑的潜在的属于。
2009-12-15 hep-th math-ph math.MP
Weakly nonassociative algebras, Riccati and KP hierarchies
最近有人观察到，某些非结合代数（称为“弱非结合”，WNA）确定，通过一个普遍的常微分方程，KP层次的解决方案与因变量在一个结合子代数（中间核）。我们回顾中心的结果，并考虑一类WNA代数的常微分方程的层次减少到一个矩阵Riccati层次，这可以很容易地解决。矩阵KP层级的所得解然后确定（在秩1条件下）标量KP层级的解。我们将这些结果推广到离散KP层次。此外，我们建立了一个桥梁，从WNA框架的Gelfand-Dickey制定的KP层次结构。
2008-01-16 math-ph math.MP nlin.SI
Recurrence formula for some higher order evolution equations
本文基于算子的对数表示，提出了一阶发展方程与高阶发展方程之间的变换，并证明了不同阶数发展方程序列的递推公式存在性。
2024-07-21 math-ph math.FA math.MP
Riccati and Ermakov Equations in Time-Dependent and Time-Independent Quantum Systems
含时薛定谔方程（SE）的精确解析波包（WP）解的最大值和宽度随时间的演化分别代表量子系统的粒子和波方面。最大值的动力学，位于位置的平均值，是由相应的经典问题的牛顿方程。该宽度与位置不确定度成正比，服从一个复非线性Riccati方程，该方程可以转化为一个实非线性Ermakov方程。这些方程的耦合对产生的动力学不变量在我们的调查中起着关键作用。它可以表示为一个线性化黎卡提方程的复变量。该变量还提供了表征相应问题的格林函数或费曼核的时间相关参数。从那里，也可以得到系统的经典和量子动力学之间的关系。此外，Ermakov不变量和维格纳函数之间的密切联系将显示。动力学不变量的因式分解允许与创造/湮灭算子和超对称性进行比较，其中合作伙伴的潜力满足（真实的）黎卡提方程。这提供了一个非线性制定的时间无关的量子力学在Ermakov方程的振幅结合守恒定律的稳态波函数的链接。与超对称性和时间依赖性问题的比较结束了我们的分析。
2008-05-12 math-ph math.MP quant-ph
Superposition Principle and the Problem of the Additivity of the Energies and Momenta of Distinct Electromagnetic Fields
在本文中，我们证明了在一个严格的数学方法（使用克利福德丛形式主义），两个不同的和任意的自由麦克斯韦场（有限的能量和动量）叠加的能量和动量是加性的，因此，有没有不相容的叠加场的原则和能量动量守恒的原则，相反，最近的一些索赔。我们的证明依赖于能量-动量1型场T^{a}的一个值得注意的公式，即Riesz公式，它对任何满足Maxwell方程的电磁场位形F都有效。
2006-12-23 math-ph math.MP
A method for constructing Weierstrass elliptic function solutions and their degenerated solutions of the mKdV equation
利用投影Riccati方程的Weierstrass椭圆函数解和将Weierstrass椭圆函数变换为双曲函数和三角函数的转换公式，提出了一种Weierstrass型投影Riccati方程展开法.利用所提出的方法得到了mKdV方程的Weierstrass椭圆函数解及其退化解，包括孤立波解和周期波解.
2022-10-07 math-ph math.MP nlin.SI
Mixed superposition rules for Lie systems, compatible geometric structures, and applications
Instituto de Matemática Interdisciplinar, Universidad Complutense de Madrid（马德里康普顿斯大学交叉数学研究所）；Departamento de Álgebra, Geometría y Topología, Facultad de Ciencias Matemáticas, Universidad Complutense de Madrid（马德里康普顿斯大学数学科学学院代数、几何与拓扑系）；Department of Mathematical Methods in Physics, University of Warsaw（华沙大学物理数学方法系）；Departamento de Física, Universidad de Burgos（布尔戈斯大学物理系）
本文研究李系统的混合叠加规则及其与几何结构的联系，开发了适用于特定李系统的混合余代数方法，将结果应用于多种物理系统，还拓展至偏微分方程李系统并给出实例。
2026-09-04 math-ph math.DG math.MP
A new approach to deformation equations of noncommutative KP hierarchies
部分灵感来自佐藤的理论的Kadomtsev Petviashvili（KP）层次，我们开始与一个相当普遍的层次的线性常微分方程的矩阵空间，并从中推导出一个矩阵Riccati层次。后者则表现出一个潜在的“弱非结合”（WNA）的代数结构，从中我们可以得出结论，与以前的工作，Riccati系统的任何解决方案也解决了潜在的KP层次（在相应的矩阵代数）。然后，我们转向矩阵的分量使用（广义）星积相乘的情况。与变形参数相关联，存在扩大相应KP层级的额外对称性（流动方程）。它们在WNA结构方面有一个紧凑的提法。我们还提出了一个制定的KP层次方程本身的变形流方程。
2007-03-21 math-ph math.MP nlin.SI
Lie symmetries for Lie systems: applications to systems of ODEs and PDEs
{ \it Lie系统}是允许{ \it叠加规则}的一阶微分方程的非自治系统，即，用特解族和常数表示通解的地图。利用李系可以看作是向量场的有限维李代数中的一条曲线，即所谓的{ \it Vessiot-Guldberg李代数}，我们将每一个李系与由Vessiot-Guldberg李代数诱导的李点对称的李代数联系起来.这使我们能够推导出李对称性的相关物理系统所描述的一阶和高阶系统的微分方程通过李系统在一个更容易的方式比标准的方法。将所得结果推广到偏微分方程.在其他应用中，李对称性的几个新的和已知的推广真正的Riccati方程进行了研究。
2014-04-10 math-ph math.MP
Superposition Formulas for Darboux Integrable Exterior Differential Systems
在本文中，我们提出了一个深远的推广E。一个相依两个自变量的达布可积偏微分方程的Vessiot分析。我们的方法提供了新的见解，这一经典的方法，揭示了基本的几何不变量的达布可积系统，并提供了系统的，算法集成等系统。这项工作是制定的Pfwean外部微分系统的一般框架内，因此，应用远远超出目前在文献中发现的。特别是，我们的集成方法是适用于系统的双曲PDE，如户田格点方程，二维波映射和系统的超定PDE。
2008-06-11 math-ph math.DG math.MP
From nothing to something: discrete integrable systems
中国古代的圣人老子说，一切都来自于“无”。爱因斯坦认为自然的原理很简单。量子物理学证明世界是离散的。计算机科学把连续系统看成离散系统。本报告致力于通过简单的原理从“无”中推导出一些离散模型，包括著名的可积系统，如KdV、KP、Toda、BKP、CKP和特殊的Viallet方程。证明了从无生成的离散模型是可积的，因为它们是简单代数的恒等式，平凡可积系统（Riccati方程）的模型无关非线性叠加，最简单几何定理（角平分线定理）的指数齐次分解，以及Möbious变换不变量.
2014-07-27 math-ph math.MP nlin.SI
On Lie systems and Kummer-Schwarz equations
Lie系统是一个一阶微分方程系统，允许叠加规则，即，用特殊解和某些常数的一般族来表示其通解的地图。本文利用Lie系统的几何理论证明了二阶和三阶Kummer-Schwarz方程的显式积分等价于得到SL（2，R）上Lie系统的特解。这个结果可以推广到Riccati，Milne-Pinney和其它相关方程.我们证明了SL（2，R）上与完全相同的李系统相关的所有上述方程可以同时积分。这检索和概括在一个统一的和更简单的方式以前的结果出现在文献中。作为一个副产品，我们恢复各种性质的施瓦茨衍生物。
2013-04-28 math-ph math.CA math.MP
Nonlocal Symmetries and Generation of Solutions for Partial Differential Equations
我们已经构造了新的公式生成的解决方案的非线性热方程和Burgers方程的基础上线性化非局部变换和非局部对称的线性方程。利用所建立的非局部对称性和解的非局部非线性叠加公式，构造了方程的精确解链。线性化通过勒让德变换的二阶偏微分方程的三个独立的变量允许获得非局部叠加公式的解决方案，这个方程，并产生新的解决方案，从组不变的线性方程的解决方案。
2007-02-09 math-ph math.AP math.MP
