The Riccati System and a Diffusion-Type Equation
Erwin Suazo, Sergei K. Suslov, Jose M. Vega-Guzman
讨论了利用某些Riccati型和Ermakov型方程组的解构造Duffusion型方程初值问题解的方法。一个非自治的Burgers型方程也被考虑。
We discuss a method of constructing solution of the initial value problem for duffusion-type equations in terms of solutions of certain Riccati and Ermakov-type systems. A nonautonomous Burgers-type equation is also considered.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Riccati-Ermakov systems and explicit solutions for variable coefficient reaction-diffusion equations
提出了几类变系数非线性反应扩散方程，包括Fisher-KPP型方程和Burgers型方程。特殊的精确解，如行波，合理的，三角波和N波型的解决方案。通过相似变换，变系数满足Riccati或Ermakov方程组。当使用Riccati系统时，建立了有限时间奇点可能发生的条件。所提出的解决方案包含多个参数，提供对解决方案的动态的控制。在补充材料中，我们提供了一个计算机代数验证的解决方案和非平凡动力学的解决方案。
On Explicit Solutions for Coupled Reaction-Diffusion and Burgers-Type Equations with Variable Coefficients Through a Riccati System
本文通过相似变换和Riccati系统，为含变系数的耦合反应-扩散与Burgers型方程（如Lotka-Volterra、Gray-Scott和Burgers模型）构造显式解，包括行波解和复杂动力学解，并用Mathematica验证。
The Riccati Differential Equation and a Diffusion-Type Equation
我们构造了整条实直线上变系数扩散型方程柯西初值问题的显式解。相应的格林函数（热核）是以初等函数和某些涉及特征函数的积分的形式给出的，这些特征函数可以作为系数随时间变化的二阶线性微分方程的解析解或数值解来求出。一些特殊的和限制的情况下进行了概述。相应的非齐次方程的解决方案也被发现。
Excursions of diffusion processes and continued fractions
众所周知，一维扩散过程的漂移可以通过考虑与该过程相关联的某个Riccati方程来研究。我们表明，在许多情况下的利益，Riccati方程可以解决的无限连分数。我们研究的概率意义的扩展。为了说明我们的结果，我们讨论了在确定性和随机环境中的扩散的一些例子。
Weierstrass type projective Riccati equation expansion method and solutions of KdV equation
本文给出了投影Riccati方程的两个新的Weierstrass椭圆函数解，以及将Weierstrass椭圆函数转换为双曲函数和三角函数的四个转换公式。利用投影Riccati方程的Weierstrass椭圆函数解及其转换公式，提出了称为Weierstrass型投影Riccati方程展开法.利用该方法构造了KdV方程的Weierstrass椭圆函数解、孤立波解和周期波解。通过图形给出了KdV方程的类孤波解和周期波解。
Riccati-type equations, generalised WZNW equations, and multidimensional Toda systems
我们将李群的李代数的任意$\mathbb Z$ -阶化与一个Riccati型一阶微分方程组联系起来。考虑的特殊情况是普通的Riccati和矩阵Riccati方程。给出了这些方程的多维延拓。相关的Redheffer-里德微分系统的概括出现在一个自然的方式。建立了Toda系统与低维和高维Riccati型方程之间的联系。在这方面的可积性问题，这些方程进行了研究。作为例证，给出了与极大非交换Toda系统相关的可积多维Riccati型方程的一些例子。
Inverse variational problem for equations in the Riccati chain
本文利用 Helmholtz 理论的变体构造 Riccati 链中方程的标准拉格朗日表示，并证明传统方法无法哈密顿化该方程族。
Geometry of Riccati equations over normed division algebras
本文提出并研究了有限维赋范除代数上的Riccati方程。证明了有限维赋范除代数$A$上的Riccati方程是欧氏空间上共形Riccati方程的一种特殊情况，它可以看作是向量场李代数$V\simeq\mathfrak{so}(\dim A+1,1)$上的一条曲线.从一个新的角度恢复了以往关于已知类型Riccati方程的结果。将一类新的Riccati方程--八元Riccati方程推广到八元射影线$\mathbb{O}{\rm P}^1$上.作为一种新的物理应用，利用四元数Riccati方程研究了1+1维四元数薛定谔方程.
Reduced Dynamics from the Unitary Group to Some Flag Manifolds : Interacting Matrix Riccati Equations
本文讨论了N能级系统中酉元的时间演化，并考虑了从酉群U（N）到第二类旗流形（用我们的术语）的约化动力学。然后，我们导出了一组相互作用的矩阵Riccati型微分方程，并提出了Riccati方程所满足的非线性叠加公式的一个重要问题。我们的结果是论文{ \bf Chaturvedi et al}（arXiv：0706.0964 [quant-ph]）的自然推广。
Riccati-type pseudo-potential approach to quasi-integrability of deformed soliton theories
本文综述了Riccati型伪势方法在准可积sine-Gordon、KdV和NLS模型中的应用，提出统一框架分析多种变形可积系统，发现异常守恒定律和非局域守恒定律，对非线性物理多个领域具有潜在应用价值。
Superposition rules and second-order Riccati equations
叠加法则是一种特殊类型的映射，它使人们能够表示一阶常微分方程的某些系统的通解，即所谓的李系统，从特解的一般族和一组常数中。这项工作的第一个目的是提出几个概括这一概念的二阶微分方程。其次，给出了这种推广的存在性的几个结果，并发现了它与Lie系统和拟Lie格式理论的关系。最后，我们的方法被用来研究二阶Riccati方程和其他具有数学和物理意义的二阶微分方程。
Differential Invariants and Application to Riccati-Type Systems
我们推广了经典的李结果的基础上的微分不变量的单参数组的局部变换的情况下，任意数量的独立和依赖的变量。证明了在已知单参数群的泛不变量的条件下，通过一次求积和微分可以构造出一个函数独立的微分不变量的完备集。一阶微分不变量的Riccati型系统的一些应用。
Riccati equations and quasi-1D noninteracting problems
本文用传递矩阵方法研究了一般一维矩阵薛定谔方程。对于一个二次动力学项，我们讨论的表达式为当地的格林函数的Riccati型方程的解决方案，和一个相关的公式的运营商行列式。对于一个线性动力学项，该方法减少到Eilenberger准经典方程。在一般情况下，它来自经典的结果在边值问题。我们考虑应用说明性的问题，集中在超导性，并讨论了一般的自由能量密度的梯度展开。
Shifted Riccati Procedure: Application to Conformal Barotropic FRW Cosmologies
在正压FRW宇宙学的情况下，共形时间的哈勃参数是一个简单的常系数Riccati方程的解。我们认为这些宇宙学的框架内的非相对论性超对称性，已在该地区的超对称量子力学的有效。回顾Faraoni [Amer. J. Phys. 67（1999），732-734]提出了如何将正压FRW微分方程组简化为简谐振子微分方程，我们将后者的方程组用超对称方法求解，并将其解分为两类“玻色子”（非奇异）和“费米子”（奇异）宇宙学零模解。费米子方程可以被认为是代表Stephani类型的宇宙学，即，在保形时间内，曲率变化。接下来，我们通过在这些超对称伙伴宇宙学的共同Riccati解中引入一个常数加性参数（用S表示）来应用所谓的移位Riccati过程。这导致正压Stephani宇宙学与周期性奇点在其空间曲率指数，我们称之为U和V宇宙学，第一个是玻色子型和费米子型后者。我们完全解决这些循环奇异宇宙学在其零模式的水平上，表明一个可接受的移位参数应该是纯粹的虚的，这反过来又引入了宇称时间（PT）属性的合作伙伴曲率指数。
New integrability case for the Riccati equation
给出了Riccati方程$dy/dx=a(x)+b(x)y+c(x)y^{2}$的一个新的可积条件.通过引入依赖于生成函数$f(x)$的辅助方程，如果系数$a(x)$、$b(x)$、$c(x)$和函数$f(x)$满足特定约束，则可以获得Riccati方程的通解。通过求解某些Riccati型微分方程的通解，验证了该方法的有效性和可靠性。简要讨论了可积性条件在频率依赖于时间的阻尼谐振子和孤立波情形中的应用。
Modified AKNS model, Riccati-type pseudo-potential approach and infinite towers of quasi-conservation laws
引入了修正AKNS系统（MAKNS）的对偶Riccati型赝势公式，揭示了新的反常守恒律的无穷塔。此外，无穷塔的精确非局部守恒律揭示了系统的线性制定。它表明，某些修改的非线性薛定谔模型（MNLS）可以通过从MAKNS模型开始的还原过程。因此，新的无限集的准守恒律和相关的反常电荷的构造基于Riccati型赝势方法的统一和严格的方法，分别为标准的NLS和修改MNLS情况下，。在本文的框架下，可以研究拟可积系统，如变形Bullough-Dodd系统、Toda系统、KdV系统和SUSY sine-Gordon系统的非定域性质、无穷多个反常电荷塔的完整列表和（非定域）精确守恒律。由于AKNS型系统出现在非线性物理的许多分支中，如玻色-爱因斯坦凝聚、超导和孤子湍流，我们的结果可能会有许多应用。
A procedure for the construction of non-stationary Riccati-type flows for incompressible 3D Navier-Stokes equations
在流体力学中，许多作者一直致力于研究Navier-斯托克斯方程的解析解，甚至是三维可压缩气体流动或三维不可压缩流体非定常流动的解析解。但非定常解确实存在一个本质上的缺陷。本文讨论了不可压缩流情况下Navier-斯托克斯方程非定常解的推导问题。在一般情况下，这样的解应该从2个Riccati常微分方程的混合制系统中获得（关于时间参数t）。但是我们找到了一种简洁的方法来简化它，使之成为精确解的正确解析表示（这样的解随着t的无穷大而指数递减到零）。还必须指出，所构造的解可以被认为是一类扰动，当t趋于无穷大时，被零解指数吸收。
Riccati-type pseudopotentials, conservation laws and solitons of deformed sine-Gordon models
变形的正弦戈登（DSG）模型$\partial_ξ\partial_η\, w + \frac{d}{dw}V(w) = 0$，与$V(w)$是变形的潜力，被认为是在上下文中的Riccati型赝势方法。变形的Riccati型方程组的相容性条件再现了DSG模型的运动方程。然后，我们给出了DSG模型的一对线性方程组，并给出了一个无限大的非局部守恒律。通过直接构造和孤子散射的数值模拟，我们证明了最近在反常零曲率方法中被定义为准可积的DSG模型[Ferreira-Zakrzewski，JHEP 05（2011）130]，具有无限数量的准守恒律的新塔。我们数值计算了DSG模型的第一组非平凡和独立的电荷（超越能量和动量）：两个三阶守恒电荷和两个五阶渐近守恒电荷的赝势方法，和前四个异常的新的塔的费用，分别。我们考虑了Bazeia的扭结-扭结、扭结-抗扭结和呼吸器配置{ \sl et al.}电位$V_{q}(w) = \frac{64}{q^2} \tan^2{\frac{w}{2}} (1-|\sin{\frac{w}{2}}|^q)^2 \, (q \in R)$，包含通常的SG电位$V_2(w) = 2[1- \cos{(2 w)}]$。数值模拟采用四阶龙格-库塔法，并在无反射边界条件下进行。
Toda-Schrödinger correspondence and orthogonal polynomials
已知无限制Toda链等价于正交多项式的Stieltjes函数的Riccati方程。在一定条件下，该Riccati方程可化为薛定谔方程.我们表明，这个条件是等价的Toda链的B型解决方案。我们建立了一些非平凡的后果所产生的Toda-Schrodinger对应。特别是，我们表明，KdV密度可以确定与相应的正交多项式的矩。我们建立了Toda分子的B型解与薛定谔方程的Bargmann势之间的等价性。
Ultradiscrete Painlevé VI with Parity Variables
我们引入了一个超离散化的奇偶变量的$q$ -差分Painlevé VI方程组。证明了$q$ -Painlevé VI方程的Riccati型解的超离散极限满足带奇偶变量的Painlevé VI方程组方程组，并证明了在奇偶变量的情况下，超离散极限是成立的.研究了超离散Riccati型方程和超离散Painlevé VI型方程的解.
Wave breaking in a class of non-local conservation laws
对于描述水波的模型，Constantin和Schmider的工作一直被认为是证明波浪破碎现象的基石方法。他们的严格解析证明表明，如果流的最低斜率可以由其最高斜率控制，那么Whitham型方程就会发生波的破碎。自从这一突破以来，通过推广描述水波频散关系的核，已经建立了许多精细的破波结果。尽管这些证明涉及到一个系统的耦合Riccati型微分不等式，但是，很少或根本没有注意到这个Riccati型系统的推广。在这项工作中，从一个丰富的类的非局部守恒律，一个Riccati型系统，管理流的梯度提取和研究。该系统的首项系数函数允许改变其值和符号随着时间的推移，而不是在许多其他以前的作品是固定的常数。据作者所知，这种结构推广的爆破分析是新的，其本身以及它对各种非局部流模型的应用是有理论意义的。理论说明通过Whitham型方程的非线性漂移。我们的方法适用于一个大类的非局部守恒律。
Non-commutative NLS-type hierarchies: dressing & solutions
我们考虑广义矩阵非线性薛定谔（NLS）族。通过采用通用的达布敷料计划，我们通过矩阵Gelfand-Levitan-Marchenko方程的解导出可积偏微分方程的解，我们还确定了产生整个矩阵NLS型方程的拉克斯对的递归关系。这些结果是考虑矩阵积分或一般$n^{th}$阶矩阵微分算子作为达布变换得到的。在这个框架内的艾里和伯格斯方程的特殊联系也进行了讨论。矩阵版本的达布变换也检查导致的非交换版本的Riccati方程。求解了非对易的Riccati方程，导出了相应的守恒量。在这方面，我们还讨论了无限维的情况下，NLS矩阵模型，因为它提供了一个合适的候选人的量子版本的通常NLS模型。同样，非commutitaveRiccati方程的一般敷料变换导出，它是自然等价的辅助线性问题的解决方案中出现的。
A Riccati equation based approach to isotropic scalar field cosmologies
引力耦合标量场$ϕ$，通过选择一个有效的自相互作用势$V(ϕ)$，模拟一个暂时不为零的宇宙学项，可以产生通货膨胀和后期的时间加速。在标量场宇宙学模型中，哈勃函数的演化由相互作用势的Riccati型方程决定。在目前的工作中，我们调查的标量场宇宙模型，可以得到的解决方案的Riccati演化方程的哈勃函数。给出了场方程的四种精确可积情形，代表了Riccati发展方程的通解类。这些解对应于哈勃函数正比于标量场势加上随时间线性递减的函数的宇宙学模型，对应于标量场势随时间变化正比于势减去其平方的模型，对应于势是任意函数与函数积分的平方之和的模型，和模型，其中的潜力是一个任意的功能和其平方根的导数，分别。详细研究了所有模型的宇宙学性质，表明它们都能描述宇宙演化中的暴胀或后期加速阶段
A method for constructing Weierstrass elliptic function solutions and their degenerated solutions of the mKdV equation
利用投影Riccati方程的Weierstrass椭圆函数解和将Weierstrass椭圆函数变换为双曲函数和三角函数的转换公式，提出了一种Weierstrass型投影Riccati方程展开法.利用所提出的方法得到了mKdV方程的Weierstrass椭圆函数解及其退化解，包括孤立波解和周期波解.
Wei-Norman equations for classical groups via cominuscule induction
我们展示了如何减少的非线性Wei-Norman方程，表示一个李代数上的非自治方程的线性系的解决方案，到一个矩阵Riccati方程族使用余中子归纳法。该构造适用于所有不含G2、F4或E8型单因子的约化李代数。相应的非线性，虽然不再Riccati方程的层次，给出了这些例外情况。
Quadratic control of quantum processes
在\cite{b}的Accardi-Fagnola-Quaegebeur（AFQ）表示自由演算的框架下，研究了受量子噪声影响的幺正随机演化所产生的量子随机流的规模控制问题.在这种情况下，当进化是由一阶白噪声（其中包括量子布朗运动）的控制被证明是在代数Riccati方程的解决方案。这是通过首先解决控制问题（通过最小化相关的二次性能标准）的随机过程，其演变是描述由一个随机微分方程的类型在\cite{b}。该解作为一个反馈控制律由随机Riccati方程的解给出。
Six-vertex model and non-linear differential equations I. Spectral problem
本文将可积非线性微分方程理论与环面六顶点模型传递矩阵的谱问题联系起来。更确切地说，我们建立了一个类比之间的经典逆散射方法和以前提出的功能方程起源于杨巴克斯特代数。后者的方程，然后被视为一个辅助线性问题，使我们能够表明，六顶点模型的频谱解决Riccati型非线性微分方程。守恒量的生成函数用行列式表示，并讨论了Riccati方程与定常薛定谔方程之间的关系.
Darboux Wronskian solutions of Ito typed coupled KdV equation with exact solitonic solutions and conserved densities
本文在Darboux框架下推导Ito型耦合KdV方程的Wronskian形式的N重Darboux变换，获得零背景下精确多孤子解，并推导含守恒密度的连续性方程。
A Chiellini type integrability condition for the generalized first kind Abel differential equation
将一阶第一类Abel方程$dy/dx=f(x)y^2+g(x)y^3$的Chiellini可积性条件推广到形式为$dy/dx=a(x)+b(x)y+f(x)y^{α-1}+g(x)y^α$的一般Abel方程的情形，其中$α\in \Re$，和$α> 1$ .在$α=2$情形下，广义Abel方程化为Riccati型方程，并得到了其Chiellini型可积性条件.
Grassmannian flows and applications to nonlinear partial differential equations
我们展示了如何解决一个大类的偏微分方程的非局部Riccati型非线性可以产生相应的线性方程，从任意的初始数据。众所周知，演化矩阵Riccati方程可以通过将Stiefel流形上的线性演化流投影到Grassmann流形的坐标图上来生成。我们的方法依赖于将这个想法扩展到无限维的情况。关键是一个积分方程，它类似于可积系统中的马尔琴科方程，代表了坐标图。我们明确地展示了如何产生这样的解决方案，标量偏微分方程的任意阶非局部二次非线性使用我们的方法。我们提供了数值模拟，证明了非局部非线性Fisher-Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov方程的解的产生。我们还表明，该方法可能会扩展到更一般的类的非线性偏微分系统。
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