The covariant Lyapunov tensor and the Lyapunov stability with respect to time-dependent Riemannian metrics
我们证明了一个光滑的一阶动力学方程的任何解都可以通过选择一个适当的时间依赖的黎曼度量而使Lyapunov稳定。
2001-12-19 math-ph math.MP nlin.CD
Characterizing dynamics with covariant Lyapunov vectors
本文介绍了一种确定离散和连续动态系统协变李雅普诺夫向量的一般方法。这允许解决基本的问题，如双曲线的程度，这可以量化的横向这些内在的向量。对于空间扩展的系统，协变的李雅普诺夫向量的本地化特性和空间傅立叶频谱定性地不同于那些组成的标准程序中获得的标准化的基础，用于计算的李雅普诺夫指数。
2007-06-04 cond-mat.stat-mech nlin.CD
Comparison of covariant and orthogonal Lyapunov vectors
两组向量，协变和正交李雅普诺夫向量（CLVs/OLVs），目前被用来表征混沌系统的线性稳定性。比较了它们的异同，特别是对流体动力学李雅普诺夫模式（HLM）的影响。我们的数值模拟表明，在哈密顿和耗散系统HLM以前通过OLVs检测生存，如果CLVs代替使用。此外，之前的两个普适性类的分类也适用于CLV，即色散关系对于Hamilton系统是线性的，对于耗散系统是二次的。HLM的意义在不同的方式变化的哈密顿系统和耗散系统的CLV的替代OLVs。对于一般的耗散系统与非双曲动力学的长波长结构的李雅普诺夫向量对应于接近零的李雅普诺夫指数是强烈减少，如果CLV代替使用，而对于高度双曲耗散系统的HLM的意义是几乎相同的CLV和OLV。相比之下，无论双曲性如何，哈密顿系统的HLM意义对于CLV和OLV总是相当的。我们还发现，在哈密顿系统中，不同的共轭对之间的对称关系观察CLV和OLVs。特别是，由于哈密顿系统的微观可逆性，共轭对中的CLV在统计上是不可区分的。附录中讨论了坐标变换下的李雅普诺夫指数、CLV和双曲性的变换性质。
2010-08-11 nlin.CD
Local Gram-Schmidt and Covariant Lyapunov Vectors and Exponents for Three Harmonic Oscillator Problems
我们比较了Gram-Schmidt和协变相空间基矢量描述三个时间可逆谐振子问题，在两个，三个，和四个相空间维分别。二维问题可以用解析法求解。这里研究的三维和四维问题同时是混沌的，时间可逆的，耗散的。我们的处理是教学性的，发表在非线性科学和数值计算的通信中，并用于我们关于时间可逆性，计算机模拟和混沌的书的更新版本。非常欢迎评论。
2011-06-24 nlin.CD
Time-reversed symmetry and covariant Lyapunov vectors for simple particle models in and out of thermal equilibrium
最近，一种新的算法的协变李雅普诺夫向量和相应的本地李雅普诺夫指数的计算已经成为可用。在这里，我们研究了一些简单的模型，包括一个谐振子耦合到一个热梯度与两级恒温器，这使得系统遍历和完全时间可逆的这些仍然不熟悉的量的属性。我们明确地展示了时间反演不变性如何影响切空间中的扰动向量和相关的局部李雅普诺夫指数。我们还发现，当地的协变指数沿横向的相流的方向不连续地变化。
2010-06-30 cond-mat.stat-mech nlin.CD
Critical Transitions and Perturbation Growth Directions
临界跃迁发生在各种动力系统中。在这里，我们采用混沌的量词来识别复杂系统的动态结构的变化之前的关键过渡。作为合适的指标变量的关键转变，我们考虑增长率和方向的协变李雅普诺夫向量的变化。研究几种快慢系统模型中的临界转变，即，一个耦合FitzHugh-Nagumo振荡器网络，约瑟夫森结模型和Hindmarsh-Rose模型，我们发现协变李雅普诺夫向量之间的相切是一个共同的，可能是一般的关键转变过程中的特征。我们进一步证明，这种偏离双曲线动力学的关键转变的发生，通过使用它作为一个指标变量，并通过接收器操作特征曲线评估预测的成功。在存在噪声的情况下，我们发现协变李雅普诺夫向量的对齐和有限时间李雅普诺夫指数的变化在宣布临界转变方面比常见的指示变量更成功，例如，方差的有限时间估计此外，我们提出了一种新的方法估计近似的协变李雅普诺夫向量的未来轨迹的系统的知识。我们发现，这些近似的协变李雅普诺夫向量也可以应用于预测临界转变。
2017-07-25 nlin.CD
Symmetry properties of orthogonal and covariant Lyapunov vectors and their exponents
李雅普诺夫指数是经典动力系统混沌特性的指标。它们最自然地根据一组所谓的协变向量的时间演化来定义，这些向量与切空间中的线性流共同移动。以一个简单的弹簧摆和Hénon-Heiles系统为例，我们证明了辛对称性和时间反演不变性的结果，这样的矢量，并研究不同参数化的流动之间的转换。
2012-06-29 nlin.CD physics.class-ph
Using Covariant Lyapunov Vectors to Quantify High Dimensional Chaos with a Conservation Law
本文利用协变李雅普诺夫向量分析扩散耦合帐篷映射晶格的高维混沌，揭示守恒律对CLV空间离域化及相邻向量纠缠的影响。
2023-03-24 math.DS nlin.CD
Orthogonal versus covariant Lyapunov vectors for rough hard disk systems
双曲动力系统的切空间到协变子空间的Oseledec分裂是通过计算协变李雅普诺夫向量的完整集合来数值实现的。本文分析了平面粗糙硬盘系统（RHDS）的协变李雅普诺夫向量、正交Gram-Schmidt向量以及相应的局部（时间相关）李雅普诺夫指数。这些结果进行了比较，为一个光滑的硬盘系统（SHDS）的各自的结果。我们发现圆盘的旋转对切空间的Oseledec分裂和切空间的结构有很大的影响。对于光滑和粗糙的硬盘，稳定，不稳定和中心流形是横向的彼此，虽然RHDS的不稳定和稳定流形之间的最小角度通常是非常小的。这两个系统都是双曲线的。然而，中心流形仅在光滑粒子的情况下与切空间的其余部分精确正交，而在粗糙圆盘的情况下则不然。我们还证明了旋转破坏了粗糙硬盘系统的哈密顿性质。
2012-05-22 cond-mat.stat-mech nlin.CD
Estimating covariant Lyapunov vectors from data
Hamburg University of Applied Sciences（汉堡应用科学大学）
协变李雅普诺夫向量表征了动力系统中扰动增长的方向。它们也被作为关键转变和极端事件的预测因子进行研究。对于许多应用，例如预测，有必要从数据中估计向量，因为模型方程对于许多有趣的现象是未知的。我们提出了一种新的方法估计协变李雅普诺夫向量的基础上的数据记录，而不知道系统的基本方程。与以前的方法相比，我们的方法可以应用于高维数据集。我们证明，这种纯粹的数据驱动的方法可以准确地估计协变Lyapunpov向量从低维和高维动力系统产生的数据记录。协变李雅普诺夫向量估计在此贡献的时间序列的最高维度是128。能够从数据记录中推断协变李雅普诺夫向量可以鼓励未来在数据分析和基于数据的预测中的许多应用。
2021-10-11 cs.LG nlin.CD physics.ao-ph
Covariant Lyapunov vectors
近年来，混沌系统相空间中跨局部内禀方向的协变李雅普诺夫向量（CLV）越来越受到人们的关注。在这里，我们回顾了遍历理论的基本结果，特别提到了Oseledets定理对CLV性质的影响。然后，我们提出了一个“动态”算法来计算CLV的详细描述，并表明它一般在时间上呈指数收敛。我们还讨论了它的数值性能，并将其与文献中提出的其他算法进行了比较。最后，我们说明如何CLV可以用来量化的双曲性与耗散系统（链的Hénon映射）和哈密顿模型（费米-Pasta-Ulam链）的偏差。
2012-12-17 cond-mat.stat-mech nlin.CD
Covariant Lyapunov vectors as global solutions of a partial differential equation on the phase space
Liceo Scientifico Statale “A. Volta”（阿·伏打国立科学中学）；Universität Bremen（不来梅大学）
本文提出协变李雅普诺夫场作为相空间上偏微分方程的全局解，通过几何解释和示例展示了其在研究动力系统中的应用。
2026-01-09 math-ph math.MP nlin.CD
Macroscopic detection of the strong stochasticity threshold in Fermi-Pasta-Ulam chains of oscillators
数值计算了由嵌入在非谐最近邻Fermi-Pasta-Ulam振子链中的重杂质组成的系统在不同杂质质量值$M$下的最大李雅普诺夫指数.对于所有考虑的杂质质量值$M$，在能量密度$ε$（每自由度能量）的相同值$ε_{_T}$处获得弱混沌和强混沌之间的交叉。该阈值$\epsi lon_{_T}$与杂质动量自相关函数弛豫时间标度发生变化时的能量密度$ε$值一致，这是前人工作[M. Romero-Bastida和E. Braun，Phys. Rev. E { \bf 65}，036228（2002）]。完整的李雅普诺夫谱不显著依赖于杂质质量$M$。这些结果表明，杂质并没有显着贡献的链的动力学不稳定性（混沌），可以被认为是一个探针的杂质耦合到系统的动力学。最后，证明了在最大李雅普诺夫指数的交叉值$ε_{_T}$相同的能量密度下，链的Kolmogorov-Sinai熵存在从弱混沌到强混沌的交叉.这一结果的影响进行了讨论。
2004-02-16 cond-mat.stat-mech nlin.CD
Efficient time series detection of the strong stochasticity threshold in Fermi-Pasta-Ulam oscillator lattices
本文研究了用混沌0-1检验法在非谐振子链中检测强随机阈值的可能性，即随着系统能量密度的增加，系统从弱混沌到强混沌的转变。我们比较了上述方法的结果与最大的李雅普诺夫指数的缩放行为计算通过切空间动力学，这是迄今为止最可靠的方法来检测强随机性阈值。我们发现0-1检验确实可以在所研究的能量密度值范围内进行检测。此外，我们确定，传统的非线性时间序列分析方法无法正确计算最大的Lyapounov指数，即使是非常大的数据集，而0-1测试的计算工作量保持不变，在整个范围内的能量密度的值与中等大小的时间序列。因此，我们的研究结果表明，对于相空间的定性探测，0-1测试可以是一个有效的工具，如果适当考虑其局限性。
2011-01-05 nlin.CD
Numerical analysis of transient orbits by the pullback method for covariant Lyapunov vector
Hiroshima University（广岛大学）
本文提出一种新算法，通过协变李雅普诺夫向量的计算方法，沿轨道拉回切空间向量，用于分析暂态轨道的切空间结构，并应用于三阶常微分方程收敛于平衡点的情况，获得收敛于平衡点线性化系统的特征向量的切空间向量。
2014-11-19 cs.NA math.DS math.NA
Time's Arrow for Shockwaves ; Bit-Reversible Lyapunov and "Covariant" Vectors ; Symmetry Breaking
强烈的冲击波迅速地在局部产生熵。牛顿-汉密尔顿运动方程是动力学的基础，是完全时间可逆的。它们是如何产生不可逆激波熵的？这种不可逆转性的症状是什么？我们调查这些问题使用Levesque和Verlet的位可逆算法。通过这种方式，我们可以产生一个完全虚构的过去，与现在观察到的不可逆性相一致。我们使用龙格-库塔积分来分析向前和向后过程的局部李雅普诺夫不稳定性，以确定那些粒子最密切相关的不可逆性描述的热力学第二定律。尽管粒子轨迹具有完美的时间对称性，但与最大李雅普诺夫指数相关的完全收敛向量在时间上向前和向后是有本质区别的。这些矢量显示了与时间箭头等效的时间对称性破坏。也就是说，在自主哈密顿激波的最大局部李雅普诺夫指数，向前和向后的时间，是完全不同的。
2014-07-11 cond-mat.stat-mech nlin.CD
An ergodic averaging method to differentiate covariant Lyapunov vectors
协变李雅普诺夫向量（CLV）跨越混沌动力系统中沿轨迹的扰动的扩张和收缩方向。由于有效的算法来计算它们，只利用轨迹信息，它们已被广泛应用于各科学学科，主要用于敏感性分析和不确定性下的预测。在本文中，我们发展了一种数值方法来计算CLV沿自己的方向的方向导数。类似于CLV的计算，其导数的本方法是迭代的，并且类似地除了雅可比矩阵之外还使用混沌映射沿轨迹的二阶导数。我们验证了一个超收缩Smal-Williams螺线管吸引子的新方法。我们还演示了其他几个例子，包括光滑扰动的Arnold猫地图，和洛伦兹吸引子，获得可视化的曲率的每个吸引子的算法。此外，我们揭示了一个基本的连接CLV自导数的统计线性响应公式。
2021-04-26 math-ph math.DS math.MP
On the efficient numerical computation of covariant Lyapunov vectors
University of Cape Town（开普敦大学）；Max Planck Institute for the Physics of Complex Systems（马克斯·普朗克复杂系统物理研究所）
本文研究了确定协变李亚普诺夫向量计算中终止正反向暂态阶段的时间窗口方法，发现改进算法能提高长时程计算的准确性。
2026-04-13 math-ph math.DS math.MP
Structure of characteristic Lyapunov vectors in anharmonic Hamiltonian lattices
在这项工作中，我们进行了详细的研究的尺度性质的李雅普诺夫向量（LV）的两个不同的一维哈密顿晶格：费米-Pasta-Ulam和$Φ^4$模型。在这种情况下，特征（也称为协变）LV表现出与耗散晶格的定性相似性，但标度指数是不同的，似乎是非普适的。相反，后向LV（通过Gram-Schmidt正交归一化获得）在所有情况下呈现近似相同的标度指数，这表明它是由这些向量的强加正交性产生的人工指数。我们能够在大型系统中计算特征LV，这要归功于“位可逆”算法，该算法完全消除了计算机内存的限制。
2010-09-03 nlin.CD
Covariant Lyapunov Vectors of a Quasi-geostrophic Baroclinic Model: Analysis of Instabilities and Feedbacks
研究大气变率的经典方法是定义一个背景状态，并研究围绕这种状态的小波动的线性稳定性。弱非线性理论可以使用高阶展开项来构造。虽然这些方法无疑对阐明有关的物理过程有很大的价值，但它们无法跟踪湍流大气的动力学。我们提供了第一个例子的经典的稳定性分析扩展到非线性发展的准地转流。所谓的协变李雅普诺夫向量（CLVs）提供了一个协变的基础上描述的方向的指数扩张和衰减的扰动的非线性轨迹的流动。我们利用这种形式重新研究了在强迫纬向温度梯度$ΔT$驱动的周期通道中准地转β平面两层模式下大气的基本正压和斜压过程。我们探讨了三种设置的$ΔT$，代表相对较弱的湍流，发展良好的湍流，和中间条件。我们为每个CLV构造了洛伦兹能量循环，描述了与背景态的能量交换。正斜压转换率是不稳定的必要条件，但不是充分条件。正压不稳定只存在于$ΔT$值大的极不稳定CLV中。缓慢增长和衰减的流体动力学李雅普诺夫模式密切反映了背景流的特性。根据正压/斜压不穩定的经典必要条件，我们发现了CLV涡动通量的性质与其不稳定性之间的明确关系。具有正斜压转换的CLV似乎形成了一组模态，用于构造大气动力学的简化模式。
2015-08-17 cond-mat.stat-mech nlin.CD physics.ao-ph
Dynamical Analysis of Blocking Events: Spatial and Temporal Fluctuations of Covariant Lyapunov Vectors
在中纬度大气中最相关的天气制度之一是持续偏离近似纬向对称急流出现阻塞模式。这样的配置通常连接到特殊的局部稳定性的流动，伴随着改进的本地预测技能的现象。相反，预测阻滞的发生和衰减是非常困难的。协变李雅普诺夫向量（CLV）提供了一个合适的表征混沌流的线性稳定性，因为它们代表了完整的切线线性动力学的协变基础，探索在所有时间尺度上的线性扰动。因此，我们评估CLV是否具有阻断的特征。作为第一步，我们研究了准地转β平面2层模式在周期性通道斜压驱动的纬向温度梯度$ΔT$的CLV。地形强迫增强了局部阻塞制度的出现。我们检测阻塞事件与Tibaldi-Molteni计划适应周期性的通道。当发生阻塞时，增长最快的CLV的全球增长率明显更高。因此，与直觉相反，在阻塞阶段，循环总体上更不稳定。有限时间李雅普诺夫指数相对于长期平均值的这种增加是由于在高温梯度的情况下更强的正压和斜压转换，而对于较低的ΔT值，这种影响仅是由于更强的正压不稳定性。为了确定CLV的定位，我们比较CLV在阻断和未阻断阶段的平均方差。我们发现，平均而言，CLV的方差聚集在阻塞中心周围。这些结果表明，阻塞流影响所有的时间尺度和CLV所描述的过程。
2016-01-26 nlin.CD physics.ao-ph physics.flu-dyn
Hyperbolic Covariant Coherent Structures in two dimensional flows
提出了一种描述二维双曲流型的新方法。该方法基于协变李雅普诺夫向量（CLVs），CLVs具有与动力学协变的性质，通过切线性算子映射到另一个CLVs基上，CLVs具有范数独立性、时间反演不变性和非正交性。因此，CLV可以给出比李雅普诺夫向量基更详细的关于流的膨胀和收缩方向的信息，而李雅普诺夫向量基总是正交的。我们提出了一个双曲协变相干结构的定义，它可以定义在代表CLV之间夹角的标量场上。HCCS可以被定义为每个时刻，并且可以用于理解粒子示踪剂的长期行为。我们考虑三个例子：一个简单的自主哈密顿系统，以及非自主的“双环流”和比克利喷流，看看角度是如何能够描述特定的模式和障碍。我们比较的结果从HCCS与其他相干模式定义在有限时间的有限时间李雅普诺夫指数（FTLEs），看看这些结构的行为如何渐近变化。
2017-09-20 math-ph math.MP nlin.CD
Lyapunov Analysis of Chimera States in Globally Coupled Stuart-Landau oscillators
具有长程或全局耦合的振荡系统为高维（或微观）混沌运动和集体相互作用模式之间的相互作用提供了有前途的见解。在本文中，我们使用李雅普诺夫分析，以调查是否嵌合态在全球耦合的斯图尔特-朗道（SL）振荡器表现出集体自由度。我们比较两种类型的嵌合体状态，出现在SL合奏与线性和非线性的全球耦合，分别，后者引入了一个约束，保持振荡的平均值。李雅普诺夫谱表明，对于两个嵌合态的李雅普诺夫指数分裂成不同的群体具有不同的收敛性质的限制大系统的大小。此外，在这两种情况下的李雅普诺夫维数被发现广泛的规模和协变李雅普诺夫向量的本地化特性表现出集体李雅普诺夫模式的存在。然而，在这里，我们发现两种类型的嵌合状态之间的质的差异：而在系统中的非线性全局耦合下表现出只有缓慢的集体模式对应的李雅普诺夫指数等于或接近于零，那些经历线性平均场耦合也表现出更快的集体模式与李雅普诺夫指数与大的正值或负值。
2019-05-01 nlin.CD
Investigating Hamiltonian Dynamics by the Method of Covariant Lyapunov Vectors
University of Cape Town（开普敦大学）
本文通过协变李雅普诺夫向量方法研究哈密顿系统动力学，改进了中心子空间的计算精度，并发现分裂子空间在粘滞运动阶段的特性与系统双曲性相关。
2025-12-18 math.DS nlin.CD physics.comp-ph
Statistical and Dynamical Properties of Covariant Lyapunov Vectors in a Coupled Atmosphere-Ocean Model - Multiscale Effects, Geometric Degeneracy, and Error Dynamics
我们研究了一个简化的耦合大气-海洋模式，使用协变李雅普诺夫向量（CLV），它连接物理为基础的扰动方向的增长/衰变率的形式主义。该模型是通过一个严重的截断准地转方程的两种流体，并包括一个简单的，但物理上有意义的表示其动力学/热力学耦合。该模型有36个自由度，并选择参数，以便观察到混沌行为。发现两个正的李雅普诺夫指数（LE），十六个负的LE，和十八个接近零的LE。许多近零LE的存在下，从巨大的时间尺度分离的两种流体的特征时间尺度之间的结果，并导致非平凡的误差增长属性的切线空间跨越相应的CLV，这是几何非常退化。这种CLV对应于两种不同的海洋/大气耦合模式。相反，由对应于正和负LE的CLV所跨越的切线空间具有非病理行为，并且可以为有限时间LE构建鲁棒的大偏差定律，从而提供用于评估沿这些方向的长到超长尺度的可预测性的通用模型。令人惊讶的是，不稳定流形的切空间对大气和海洋分量都有很强的投影。我们的研究结果强调了使用双曲性作为多尺度混沌动力系统的概念框架的困难，而部分双曲性的框架似乎更适合，可能表明混沌假设的另一种定义。我们的研究结果表明，需要准确的分析误差动态在不同的时间尺度和域，并仔细设置的同化方案时，在考虑耦合的大气-海洋模式。
2016-03-07 nlin.CD physics.ao-ph physics.flu-dyn
Collective Lyapunov modes
我们表明，使用协变的李雅普诺夫向量，除了标准的李雅普诺夫分析，存在一组集体李雅普诺夫模式在大型混沌系统表现出集体动力学。与离域李雅普诺夫向量相关联，它们共同作用于轨迹，因此表征了其集体动力学的不稳定性。我们进一步发展，为全球耦合系统，这些集体模式和相应的Perron-Frobenius方程的李雅普诺夫模式之间的连接。因此，我们解决集体动力学的有效维度的基本问题，并讨论了集体动力学存在的混沌的扩展性。
2013-06-11 cond-mat.stat-mech nlin.CD
Fast numerical test of hyperbolic chaos
为检验混沌动力学的双曲性提供了有效的数值方法。该方法采用协变李雅普诺夫向量算法的思想，但避免了显式计算。结果是一个分布的特征值是有界的单位区间内，其零表示存在的切线之间的膨胀和收缩的子空间。为了进行测试，需要解决几个副本的方程的无穷小扰动的数量等于总和的数量的积极和零李雅普诺夫指数。由于对于高维系统，该数值量通常远小于相空间的全维数，因此该方法为这类系统的数值双曲性检验提供了一种快速、节省内存的方法。
2011-11-21 nlin.CD
Lyapunov analysis of multiscale dynamics: The slow bundle of the two-scale Lorenz 96 model
利用李雅普诺夫棱镜分析方法研究了双尺度Lorenz 96模型中不稳定性的几何结构。我们的详细研究全谱的协变李雅普诺夫向量揭示了存在一个缓慢的捆绑在切空间，由一组向量组成的一个显着的投影上的缓慢的自由度，它们对应于最小的（绝对值）李雅普诺夫指数，从而更长的时间尺度。我们表明，慢束的尺寸是广泛的慢和快的自由度的数量，并讨论其关系与有限大小的不稳定性分析的结果，支持的猜想，慢变量的行为是有效地确定由一个非平凡的自由度的子集。更准确地说，我们表明，慢束对应的快速和缓慢的不稳定率重叠的李雅普诺夫谱区域，“混合”他们的演变成一组向量，同时携带两个尺度上的信息。我们认为这些结果可能会铺平道路，为未来的应用集合预报和资料同化的天气和气候模式。
2019-01-04 nlin.CD physics.ao-ph
Oseledets' Splitting in Large Hamiltonian Systems: the HMF Phase Transition
通过研究高维Hamilton流在长程势下的协变Lyapunov向量（CLV），即Hamilton平均场（HMF）问题，研究了当发生相变时的Lyapunov谱和Oseledets分裂顶角（稳定子空间和不稳定子空间之间的相互定向）的行为.出于几个结果连接系统的动力学性质，他们的李雅普诺夫指数和向量，我们首先找到确认明确的敏感性，这些数量的过渡：我们的主要发现是，稳定和不稳定的子空间之间的相互取向波动在特定的恒定值的时间。此外，在临界阈值以上和以下的波动统计是不同的，因此与过渡密切相关。形象地说，稳定子空间沿参考轨道的演化，只能通过刚性整体旋转加上两个子空间之间的弱内部变形来实现;我们不知道对这种非平凡设置的任何理论解释，但是，通过与可积系统的类比，我们提供了一些关于该系统与可积系统“有多相似”的见解。
2014-01-09 nlin.CD
Chaos of the Relativistic Parametrically Forced van der Pol Oscillator
研究了1+1维vanderPol振子的一种明显相对论协变形式。我们表明，驱动相对论方程，其中$x$和$t$耦合，放松非常迅速的一对相同的解耦方程，由于快速消失的"角动量“（1+1维的提升）。类似的效果发生在阻尼驱动协变Duffing振子前面处理。这种效应是耦合混沌系统的夹带或同步（锁相）的一个例子。李雅普诺夫指数的计算使用非常有效的方法的Habib和Ryne。我们展示了一个庞加莱映射，证明了这种效果，并保持显着的稳定性，尽管不可避免的计算机错误在混沌区域的积累。对于我们选择的参数，正的李雅普诺夫指数约为0.242，几乎与积分方法无关。
1998-04-02 chao-dyn hep-th nlin.CD
Chaos and localization in the Discrete Nonlinear Schrödinger Equation
分析了一维离散非线性薛定谔方程的混沌动力学。这个不可积模型，在物理学的几个领域中普遍存在，描述了一个耦合的复杂振荡器与本地非线性势阵列的行为。我们探讨了不同值的能量密度的李雅普诺夫谱，发现Kolmogorov-Sinai熵的最大值是在无限温度下达到的。此外，我们重温动态冻结松弛平衡，发生时，大的本地化状态（离散呼吸）叠加到一个通用的有限温度背景。我们发现，本地化的激发诱导一些非常小的，但不消失，李雅普诺夫指数，这表明存在非常长的特征时间尺度。我们扩大我们的分析，通过计算相关的李雅普诺夫协变向量，调查的相互作用，一个单一的呼吸与各种程度的自由。
2021-05-11 cond-mat.stat-mech nlin.CD
Weak and strong chaos in FPU models and beyond
我们简要地回顾了一些最相关的结果，我们的小组在过去获得的，同时调查的费米-帕斯塔-乌拉姆（FPU）模型的动力学。第一个结果是FPU模型的动力学中存在两种不同类型的转变的数值证据：i）随机阈值（ST），其特征在于每自由度的能量值，低于该值，绝大多数相空间轨迹是规则的（消失的李雅普诺夫指数）。随着自由度N的增加，它趋于消失。ii）强随机性阈值（SST），其特征在于每自由度的能量值，在该值处，在最大李雅普诺夫指数的能量依赖性的两个不同幂律之间出现交叉，这在现象上对应于弱混沌状态和强混沌状态之间的转变。它与N是稳定的。第二个结果是发展了黎曼几何理论来解释哈密顿混沌的起源。这个理论的开始是由于基于同宿相交的方法不足以解释任意大N的系统中的混沌起源，或者任意远离准可积性，或者显示弱混沌和强混沌之间的过渡。最后，第三个结果源于寻找弱混沌和强混沌之间的过渡，而不是FPU系统。实际上，我们发现，一个非常尖锐的SST出现的动力学对应的热力学相变，这反过来又导致了，在光的黎曼理论的混沌，发展的拓扑理论的相变。
2004-10-12 cond-mat.stat-mech nlin.CD
Hyperbolicity and the effective dimension of spatially-extended dissipative systems
我们表明，使用协变的李雅普诺夫向量，空间扩展耗散系统的混沌解的发展由一组剩余的自由度，本身单独相互隔离的有限数量的物理模式双曲隔离的流形内跨越。在耗散偏微分方程的情况下，我们的结果意味着，一个忠实的数值积分需要将至少所有的物理模式，增加分辨率只是增加孤立模式的数量。
2008-10-24 cond-mat.stat-mech nlin.CD
Spatiotemporal Chaos with Extended Spatial Interactions
Mechanical Engineering Department, Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学机械工程系）
本文利用协变李雅普诺夫向量（CLVs）研究扩展空间相互作用的一维非线性映射晶格的时空混沌，建立了仅依赖晶格耦合的理论方法，揭示CLVs的谱结构及两个区域的特性，确定了区域分界索引与动力学分形维数的关系。
2026-09-02 nlin.CD nlin.PS physics.comp-ph
Exploring the role of diffusive coupling in spatiotemporal chaos
本研究利用协变李雅普诺夫向量探究扩散耦合强度对一维耦合映射格点时空混沌动力学的影响，解析推导李雅普诺夫谱与分形维数的变化规律，揭示CLV空间局域化及纠缠特性随耦合强度的演化机制。
2024-10-04 nlin.CD nlin.PS physics.comp-ph
Hyperbolic decoupling of tangent space and effective dimension of dissipative systems
我们表明，使用协变李雅普诺夫向量，空间扩展耗散系统的切空间被分裂成两个双曲解耦的子空间：一个包括有限数量的频繁纠缠的“物理”模式，其中携带的物理相关信息的轨迹，和一组残留的强烈衰减的“假”模式。物理子空间和伪子空间的解耦是由它们之间没有相切来定义的，并且通常会发生;我们在一维和二维空间的偏微分方程中找到了证据，甚至在耦合映射或振荡器的晶格中也找到了证据。我们推测，物理模式可以构成一个局部的线性描述的惯性流形在任何一点的整体吸引。
2011-07-13 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
On the geometry of Hamiltonian chaos
我们表明，Gutzwiller的表征混沌哈密顿系统的曲率与黎曼度量张量的结构的哈密顿可以扩展到广泛的一类潜在的模型的标准形式，通过定义的共形度量。当过渡到对偶流形时，测地线方程再现了原势模型的Hamilton方程，并且对偶空间中的测地线与Hamilton势模型的轨道重合。因此，我们发现一个直接的几何描述的时间发展的哈密顿势模型。在这个对偶流形的测地线偏差的第二协变导数产生一个动力学曲率，导致（能量依赖）标准不稳定的行为不同于通常的李雅普诺夫准则。我们讨论了一些例子，不稳定的哈密顿系统在二维给出，特别是详细的结果，从五阶展开的户田晶格哈密顿的潜力。
2007-04-17 gr-qc nlin.CD physics.class-ph
