The covariant Lyapunov tensor and the Lyapunov stability with respect to time-dependent Riemannian metrics
G. Sardanashvily
我们证明了一个光滑的一阶动力学方程的任何解都可以通过选择一个适当的时间依赖的黎曼度量而使Lyapunov稳定。
We show that any solution of a smooth first order dynamic equation can be made Lyapunov stable at will by the choice of an appropriate time-dependent Riemannian metric.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Covariant Lyapunov vectors as global solutions of a partial differential equation on the phase space
本文提出协变李雅普诺夫场作为相空间上偏微分方程的全局解，通过几何解释和示例展示了其在研究动力系统中的应用。
Covariants,joint invariants and the problem of equivalence in the invariant theory of Killing tensors defined in pseudo-Riemannian spaces of constant curvature
通过引入常曲率伪黎曼空间中Killing张量的（积）向量空间的协变和联合不变量的新概念，推广了Killing张量不变量理论（ITKT）.利用协变量解决了由定义在欧氏平面和Minkowski平面上的二价非平凡Killing张量生成的正交坐标网的分类问题。提供了说明性示例。
An ergodic averaging method to differentiate covariant Lyapunov vectors
协变李雅普诺夫向量（CLV）跨越混沌动力系统中沿轨迹的扰动的扩张和收缩方向。由于有效的算法来计算它们，只利用轨迹信息，它们已被广泛应用于各科学学科，主要用于敏感性分析和不确定性下的预测。在本文中，我们发展了一种数值方法来计算CLV沿自己的方向的方向导数。类似于CLV的计算，其导数的本方法是迭代的，并且类似地除了雅可比矩阵之外还使用混沌映射沿轨迹的二阶导数。我们验证了一个超收缩Smal-Williams螺线管吸引子的新方法。我们还演示了其他几个例子，包括光滑扰动的Arnold猫地图，和洛伦兹吸引子，获得可视化的曲率的每个吸引子的算法。此外，我们揭示了一个基本的连接CLV自导数的统计线性响应公式。
Diffeomorphism-invariant Covariant Hamiltonians of a pseudo-Riemannian Metric and a Linear Connection
\noindent令$M\to N$（分别为\ $C\to N$）是给定签名的伪黎曼度量的纤维丛（分别为可定向连通流形$N$上的线性联络丛。确定乘积纤维丛$M\times_NC$上的一阶Ehresmann联络的几何定义类，使得对于属于该类的每个联络$γ$和$J^1(M\times_NC)$上的每个$\mathrm{Diff}N$不变拉格朗日密度$Λ$，对应的协变哈密顿量$Λ^γ$也是$\mathrm{Diff}N$不变的。还研究了$J^2M$上的$\mathrm{Diff}N$不变二阶拉格朗日密度的情形，并将所得结果应用于Palatini和Einstein-Hilbert拉格朗日量.
Covariant Schrödinger semigroups on Riemannian manifolds
这本专着发展理论的协变薛定谔半群作用于部分的向量丛在非紧黎曼流形从头开始。内容：一.向量丛上的索伯列夫空间。向量丛上的光滑热核III.黎曼流形中的基微分算子IV.最小热核的一些具体结果V. Wiener测度与黎曼流形上的布朗运动VI.收缩Dynkin和Kato势VII。协变薛定谔半群的基础VIII. $V(H^{\nabla}+1)^{-1}$的致密性IX.协变薛定谔半群X的$L^q$ -性质协变薛定谔半群的连续性XI.协变薛定谔半群的积分核XII.协变薛定谔半群的本质自伴性XIII.光滑的复合支撑部分作为型芯XIV。应用（在量子力学和几何分析）
The covariant Langevin equation of diffusion on Riemannian manifolds
本文通过要求局部正交标架向量无散度，构造出黎曼流形上扩散过程所期望的协变朗之万方程，解决了物理与数学中长期寻求的协变随机微分方程形式问题。
On the efficient numerical computation of covariant Lyapunov vectors
本文研究了确定协变李亚普诺夫向量计算中终止正反向暂态阶段的时间窗口方法，发现改进算法能提高长时程计算的准确性。
Hyperbolic Covariant Coherent Structures in two dimensional flows
提出了一种描述二维双曲流型的新方法。该方法基于协变李雅普诺夫向量（CLVs），CLVs具有与动力学协变的性质，通过切线性算子映射到另一个CLVs基上，CLVs具有范数独立性、时间反演不变性和非正交性。因此，CLV可以给出比李雅普诺夫向量基更详细的关于流的膨胀和收缩方向的信息，而李雅普诺夫向量基总是正交的。我们提出了一个双曲协变相干结构的定义，它可以定义在代表CLV之间夹角的标量场上。HCCS可以被定义为每个时刻，并且可以用于理解粒子示踪剂的长期行为。我们考虑三个例子：一个简单的自主哈密顿系统，以及非自主的“双环流”和比克利喷流，看看角度是如何能够描述特定的模式和障碍。我们比较的结果从HCCS与其他相干模式定义在有限时间的有限时间李雅普诺夫指数（FTLEs），看看这些结构的行为如何渐近变化。
Dimensional curvature identities on pseudo-Riemannian geometry
伪黎曼度量的曲率张量及其共变导数满足某些恒等式，这些恒等式在任何维数小于或等于$n$的流形上成立。在本文中，我们重新阐述最近的结果Gilkey-Park-Sekigawa关于$p$ -协变维数曲率恒等式，$p=0,2$。为此，我们使用自然操作的经典理论，这使我们能够简化一些参数，并概括的描述Gilkey-Park-Sekigawa。因此，我们的主要结果描述了$p$ -协变维曲率恒等式的第一空间，对任何偶数$p$。
On Singular Semi-Riemannian Manifolds
在黎曼流形或半黎曼流形上，度量决定了像列维-奇维塔联络和黎曼曲率这样的不变量。如果度量退化（如奇异半黎曼几何），这些构造不再有效，因为它们是基于度量的逆，以及相关的运算，如共变指标之间的收缩。在这篇文章中，我们发展了奇异半黎曼流形的几何。首先，我们引入了一个不变的和规范的收缩之间的共变指标，适用于退化度量。这种收缩适用于一种特殊类型的张量场，它在收缩指数中是根零化子。然后，我们利用这种压缩和Koszul形式定义共变张量场的根零化子指标的共变导数，一类奇异半黎曼流形命名为根平稳。利用这一共变导数构造了黎曼曲率，并证明了在一类奇异半黎曼流形上，称为半正则流形，黎曼曲率是光滑的。我们应用这些结果来构建一个版本的爱因斯坦张量的密度的重量2保持光滑，即使在存在半正则奇点。因此，我们可以写出爱因斯坦方程的一个致密化版本，它是光滑的，并且如果度规是非简并的，它等价于标准爱因斯坦方程。
Three lectures on global boundary conditions and the theory of self--adjoint extensions of the covariant Laplace--Beltrami and Dirac operators on Riemannian manifolds with boundary
在这三个讲座中，我们将讨论一些基本方面的理论的自伴扩展的协变拉普拉斯-贝尔特拉米和狄拉克运营商的紧凑黎曼流形与光滑边界，强调与理论的整体边界条件的关系。对称算符的自伴扩张，特别是拉普拉斯-贝尔特拉米和狄拉克算符，是量子物理学中的基础，因为它们决定了量子系统的能量和/或它们的幺正演化。著名的冯·诺依曼对称算子的自伴扩张理论并不总是容易适用于微分算子，而用边界条件来描述扩张则是一种更自然的方法。因此，努力在提供一个描述的自伴扩展的全球边界条件显示如何一个重要的家庭的自伴扩展的拉普拉斯-贝尔特拉米和狄拉克运营商很容易描述这种方式。此外，边界条件在大多数情况下起着重要的物理作用，并引起重要的物理现象，如卡西米尔效应。的几何和拓扑结构的空间的整体边界条件确定定期自伴扩展这些基本微分算子。证明了该空间的Maslov类存在一个自然同调类对偶。一个新的特点，是简洁地介绍了这里的理论是拓扑变化的系统和拓扑空间的自伴扩展其哈密顿之间的关系。一些例子将被评论和一维的情况下将被彻底讨论。
Particle with spin S=3/2 in Riemannian space-time
本文研究了由自旋为3/2的拉里塔-施温格拉格朗日量推广到黎曼时空的16分量矢量双旋量场方程。附加的一般协变约束的字段，这对于某些时空模型大大简化了原来的波动方程。详细说明了无质量自旋3/2场的描述特点。在无质量的平坦Minkowski空间中，主波方程存在规范不变性，这使得产生任意（规范）双旋量函数的4-梯度形式的整类平凡解的可能性降低，其中f ^{0}_{c} = PDMATHABMM_（？）对黎曼模型的这一性质进行了推广，证明了在一般协变情形下，当Ricci张量服从恒等式R_{αβ} - {1 \over 2} R g_{αβ} = 0时，存在梯度型解<$^{0}_β =（\nabla_β + Γ_β）<$.
Path Integral Quantization and Riemannian-Symplectic Manifolds
我们发展了一般辛流形的数学定义良好的路径积分形式。我们认为，为了使一个路径积分量子化协变下的相空间上的一般坐标变换，并涉及一个真正的功能性措施，是有限的和可数的添加剂，相空间流形应配备一个黎曼结构（度量）。还提出了一种合适的方法来计算度量。
Pontryagin calculus in Riemannian geometry
在这方面的贡献，我们研究系统的自由度有限，在机器人。一个关键的想法是考虑与动能相关的质量张量作为黎曼位形空间中的度量。我们应用庞特里亚金的框架，以获得一个最佳的进化的控制力和扭矩施加到机械系统。该方程在协变形式下明确地使用黎曼曲率张量。这篇文章是为了纪念克劳德·瓦莱（Claude Vall{é}e，1945-2014）。
Analytic Lyapunov exponents in a classical nonlinear field equation
证明了Fermi-Pasta-Ulam（FPU）beta模型的连续极限非线性波方程$\partial_t^2ϕ- \partial^2_x ϕ-μ_0\partial_x(\partial_xϕ)^3 =0$具有正的李雅普诺夫指数λ da_1，并给出了其能量依赖关系的解析表达式.结果（场方程的第一个例子）是通过评估的晶格间距依赖性的FPU模型内的黎曼描述的哈密顿混沌的框架内。我们还讨论了这个经典场系统的统计力学处理的困难，这是缺乏动力学描述。
Natural Connection with Totally Skew-Symmetric Torsion on Riemannian Almost Product Manifolds
在黎曼殆积流形$(M,P,g)$上，考虑一个保持殆积结构$P$和黎曼度量$g$且具有全反对称挠率的线性联络.我们确定的类的流形$(M,P,g)$承认这样的连接，并证明这种连接是唯一的方面的共变导数的$P$关于列维-Civita连接。我们找到了一个充要条件，即所考虑的连接的曲率张量具有类似于埃尔米特几何中的Kähler张量的性质。我们注意当连接的扭转是平行的情况。我们考虑由李群$G$构造的黎曼几乎积流形$(G,P,g)$上的这种联络.
Covariant Quantization of "Massive" Spin-3/2 Fields in the de Sitter Space
基于复化伪黎曼流形中的解析性，我们给出了四维de Sitter时空中自旋为3/2的自由“有质量”场的协变量子化。场方程作为de Sitter群的Casimir算子的本征值方程得到。计算了管域中与坐标无关的de Sitter平面波的解，并讨论了零曲率极限。给出了场方程的群论内容。计算Wightman两点函数$S^{i \bar j}_{αα'}(x,x')$。我们引入了旋量向量场算子$Ψ_α(f)$和Hilbert空间结构。本文还给出了场算符$Ψ_α(x)$的坐标无关公式。
The classical r-matrix in a geometric framework
本文利用黎曼（或伪黎曼）几何框架，建立了可积系统的经典r-矩阵理论。在这幅图中，r-矩阵与位形空间上的一个四阶张量相关，称为r-张量。r-矩阵本身带有一个连接类型指标和三个张量指标。它定义在位形空间上，不依赖于动量，但在依赖于位形变量的意义上是动态的。r-矩阵的张量性质被用来推导其变换性质。由此产生的转换公式原来是有效的一般r-矩阵结构的几何框架无关。此外，整个结构的r-矩阵方程直接从一个简单的协变表达式涉及的Lax矩阵及其协变导数。因此，有人认为，这里提出的几何公式有助于提高一般的r-矩阵结构的理解。它还表明如何雅可比恒等式产生一个广义动力学经典杨巴克斯特方程涉及黎曼曲率。
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